上海市上海交大附中2016届高三上学期期中数学试题

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上海市上海交大附中2016届高三上学期期中数学试题
试卷副标题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题
1．集合A ={−1,0,1}的子集中，含有元素0的子集共有 A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个
2．在复平面内，复数()12z i i =+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知定义域为R 的奇函数()y f x =有反函数()-1
y f
x =，那么必在函数
()11y f x -=+图像上的点是（ ）.
A ．()(),1f t t ---
B ．()()
1,f t t -+- C ．((t)1,)
f t ---
D ．()()
1,f t t -+-
4．“对任意0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
， sin cos k x x x <”是“1k <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
第II 卷（非选择题)
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
5．已知sin 2
α=
，则cos(2)πα-=_________________． 6．不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.
7．已知a r 与b r 为两个不共线的单位向量,若向量a b +r r 与向量ka b -r r 垂直,则实数
k= ．
8．等比数列{}n a 的公比0q >，已知21a =，216n n n a a a +++=，则{}n a 的前4项和4S =
__________．
9．设双曲线2
9
x －216y ＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 且与双曲线的一条渐近线
平行的直线与另一条渐近线交于点B ，则△AFB 的面积为____．
10．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V
2，若它们的侧面积相
等，且12S S ＝94
，则1
2V V 的值是________．
11．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．
12．从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为
1
14
，则n=________. 13．设m ，n Z ∈，已知函数2()log (||4)f x x =-+的定义域是[],m n ，值域是[]0,2，若关于x 的方程|1|210x m -++=有唯一的实数解，则m n +=______________．
14．给出下列命题：①1y =是幂函数；②函数2()2log x
f x x =-的零点有且只有1；
2)0x -≥的解集为[2,)+∞；
④“1x <”是“2x <”的充分非必要条件；其中真命题的序号是______________．
15．已知a ，b ，c 分别为ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边，2a =且
(2)(sin sin )b A B +-()sin c b C =-，则ABC △面积的最大值为__．
16．（理）设函数2
()1f x x =-，对任意3
,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
，
2()4()(1)4()x
f m f x f x f m m
-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______． 17．若集合{}{,,,}1,2,3,4,a b c d =且下列四个关系：①1a =；②1b ≠；③2c =；④
…………装…学校:___________姓名：…………装…4d ≠中有且只有一个是正确的，则符合条件的所有有序数组(,,,)a b c d 的个数是
________．
18．若数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足12n n n n b a a a ++=⋅⋅()
*
n N ∈，{}n b 的前n
项和用n S 表示，若{}n a 满足512380a a =>，则当n 等于____________时，n S 取得最大值． 三、解答题
19．设集合2{|40,}A x x x x R =+=∈，22{|2(1)10,}B x x a x a x R =+++-=∈. (1)若A B B ⋃=，求实数a 的值; (2)若A B B =I ，求实数a 的范围. 20．设函数2()sin(
)2cos 1468
x x
f x ππ
π=--+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期．
（Ⅱ）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4
[0,]3
x ∈时
()y g x =的最大值．
21．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，AB 边（包括端点）上一点F ，BC 边（包括端点）上一点E 满足线段EF 分ABC ∆的面积为相等的两部分；
（1）设BF x =，EF y =，将y 表示为x 的函数； （2）求线段EF 长的取值范围．
22．已知函数()2x f x a =+的反函数是()1
y f
x -=，设()1,P x a y +，()2,Q x y ，
()32,R a y +是()1y f x -=图象上不同的三点；
（1）求()1
y f
x -=；
（2）如果存在正实数x ，使得1y ，2y ，3y 成等差数列，试用x 表示实数a ； （3）在（2）的条件下，如果实数x 是唯一的，试求实数a 的取值范围．
23．已知数列{}n a 中的相邻两项21k a -，
2k a 是关于x 的方程2(32)320k k x k x k -++⋅=的两个根，且212k k a a -≤(1,2,3,)k =L （1）求1a ，3a ，5a ，7a ； （2）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；
（3）记1|sin |()32sin n f n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，(2)(3)(4)(1)
123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++L ，
求n T 的最值．
参考答案
1．B 【解析】 试题分析：
中含有元素的子集有：
，共四个，故选B.
考点：集合的子集. 2．B
【解析】试题分析： ()122z i i i =+=-+，对应的点为()2,1- 考点：复数运算及相关概念
视频 3．C 【解析】 【分析】
由()()f t f t -=-得1(())f f t t --=-，再由函数图象的平移规律得出答案． 【详解】
()f x Q 定义在R 上的奇函数，()()f t f t ∴-=-，1(())f f t t -∴-=-，即(()f t -，)t -在
1()y f x -=的图象上，
1(1)y f x -=+Q 图象是由1()y f x -=的图象向左平移1个单位得到的， (()1f t ∴--，)t -在1(1)y f x -=+图象上．
故选：C ． 【点睛】
本题考查了奇函数、反函数的性质及函数图象变换，利用互为反函数的函数图象关系是关键． 4．A
【解析】当1k <时， sin cos sin22k k x x x =
，构造函数()sin22k
f x x x =-，则()cos210f x k x =-<'．故()f x 在0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
单调递增，故()022f x f ππ⎛⎫<=-<
⎪⎝⎭
，则sin cos k x x x <； 当1k =时，不等式sin cos k x x x <等价于
1
sin22
x x <，构造函数
()1sin22g x x x =-，则()cos210g x x =-<'，故()g x 在0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
递增，故
()022g x g ππ⎛⎫<=-< ⎪⎝⎭，则sin cos x x x <．综上所述，“对任意0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，
sin cos k x x x <”是“1k <”的必要不充分条件，选B ．
考点：导数的应用．
视频 5．0 【解析】 【分析】
根据诱导公式和二倍角公式化简求值即可. 【详解】
sin α=
Q ， ()2
2
cos(2)cos 212sin 1202πααα⎡⎤⎛⎢⎥∴-=-=--=--⨯= ⎢⎥⎝⎭⎣⎦
． 故答案为：0 【点睛】
此题考查三角恒等变换，涉及二倍角公式和诱导公式的使用，关键在于熟练掌握公式的运用. 6．1|4x x ⎧
⎫>⎨⎬⎩⎭
【解析】
令()2121f x x x =+--，则由()f x 1
3,()
21{41,(1)
23,(1)x x x x -<-=--≤≤>得()f x 0>的解集为
1|4x x ⎧
⎫>⎨⎬⎩
⎭.
【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）
7．1 【解析】 【分析】
根据垂直的两个向量数量为0,结合a r 与b r 为两个单位向量,整理得(1)(1)0k a b --⋅=r
r ,再根据单位向量a r 与b r 不共线,得到10a b -⋅≠r r ,从而可得结果.
【详解】
:∴向量a b +r r 与向量ka b -r r 垂直,
∴它们的数量积为零,即:()()0a b ka b +-=r r
r r 22
(1)0(1)ka k a b b ∴+-⋅-=⋯r r r r
a r Q 与
b r
为两个单位向量, 22
1a b ∴==r r
所以（1）式化为:(1)10k k a b +-⋅-=r
r
即:(1)(1)0k a b -+⋅=r
r
∴单位向量a r
与b r
不共线,
110a b a b ∴⋅<⇒-⋅≠r r
r r
因此:1k = 故答案为1 【点睛】
本题给出两个特殊的向量,在已知它们垂直的基础之上,求参数k 的值,着重考查了单位向量、共线向量和向量的数量积等概念,属于基础题. 8．
152
【解析】
由216n n n a a a +++=得：，即
，0q >，解得：q ＝2，又2
a =1，所以，112
a =
，＝
152
．
9．
103
【解析】 【分析】
结合题意，绘制图形，计算直线l 的方程，计算直线BF 的方程，计算三角形面积，即可。

【详解】 绘制图像,如图:
结合双曲线性质可得,直线l 的方程为43
y x =-，直线BF 与一条渐进线平行，说明4
3k =
过F ()5,0，则直线BF 的方程为()453y x =-，
联解这两个方程，可得B 的坐标为510,23⎛⎫
- ⎪⎝⎭ 而A 的坐标为()3,0，所以11010
2233
AFB S ∆=⋅⋅=。

【点睛】
本道题考查了双曲线的性质，考查了直线与双曲线的位置关系，难度中等。

10．
3
2
【解析】
试题分析：设两个圆柱的底面半径分别为R ，r ；高分别为H ，h ；∵
129
4S S =，∴32
R r ＝，它们的侧面积相等，212RH rh ππ＝∴23H h ＝，∴22122323()232V R H V r h ππ==⋅=．故答案为3
2
．
考点：1．棱柱、棱锥、棱台的体积；2．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
11．78 【解析】 平均成绩＝40100·75＋60100
·80＝78. 12．8 【解析】
试题分析：两数之和等于5的只有
与
两种情况，由古典概型公式得
，解得
．
考点：古典概型的定义及概率的求法． 13．1 【解析】 【分析】
根据函数值域求出||[0,3]x ∈，根据方程唯一实数解求出2m =-，即可求解. 【详解】
2()log (||4)f x x =-+Q 的值域是[]0,2，
(||4)[1,4]x ∴-+∈，||[3,0]x ∴-∈-，||[0,3]x ∴∈①
关于x 的方程|1|210x m -++=有唯一的实数解， 即关于x 的方程|1|21x m -=--有唯一的实数解， 作出|1|
2
x y -=函数图象，与1y m =--有唯一实数解，
即11m --=
则2m =-
又由函数2()log (||4)f x x =-+在()4,-0递增，在()0,4递减，
()()(0)2,330f f f =-==
当2()log (||4)f x x =-+定义域是[]2,n -，值域是[]
0,2， 得3n = 即：1m n +=. 故答案：1 【点睛】
此题考查函数与方程问题，根据方程的根的问题转化为函数问题求解，数形结合分析求解. 14．④ 【解析】 【分析】
01,0y x x ==≠，2()2log x f x x =-2)0x -≥的解集为[){}2,1+∞U ，
“1x <”是“2x <”的充分非必要条件. 【详解】
①1y =是常数函数，或者考虑0
1,0y x x ==≠，所以不是幂函数．故错；
②根据指数函数和对数函数的图象和性质得：函数2()2log x
f x x =-没有零点，故错；
10
2)020x x x ->⎧-≥⇔⎨-≥⎩
，或0x =，解得2x ≥或1x =2)0x -≥的
解集为[){}2,1+∞U ，错；
④“1x <”⇒“2x <”，但是“2x <”推不出“1x <”，因此“1x <”是“2x <”的充分不必要条件，正确.
故答案为：④．
【点睛】
此题考查幂函数概念辨析，函数零点讨论，解不等式，根据集合的包含关系讨论充分条件和必要条件，知识容量大，综合性强.
15【解析】
【详解】
由已知()()()a b a b c b c +-=-，即2221cos 2
b c a bc A +-=⇒=得60A =︒， 222244b c bc b c bc bc ∴+-=∴=+-≥
1
sin 2
ABC S bc A ∆∴=≤
16．2m ≤或2
m ≥ 【解析】
【分析】
先化简不等式，再变量分离转化为对应函数最值问题，最后根据二次函数最值以及解不等式得结果.
【详解】 2()4()(1)4()x f m f x f x f m m
-≤-+Q 22222()14(1)(1)14(1)x m x x m m
∴---≤--+- 即2221(41)230m x x m
+---≥ 即222123341,()2
m x m x x +-≥+≥ 因为当32x ≥时22323839324
x x +≤+=
所以2221834134m m m +-≥∴≥∴m ≤或m ≥
故答案为：2m ≤-或2m ≥ 【点睛】
本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 17．6
【解析】
【分析】
因为①1a =；②1b ≠；③2c =；④4d ≠中有且只有一个是正确的,故分四种情况进行讨论,分别分析可能存在的情况即可.
【详解】
若仅有①成立,则1a =必有1b ≠成立,故①不可能成立.
若仅有②成立,则1a ≠,1b ≠,2c ≠,4d =成立,此时有(2,3,1,4),(3,2,1,4)两种情况. 若仅有③成立,则1a ≠,1b =,2c =,4d =成立,此时仅有(3,1,2,4)成立.
若仅有④成立,则1a ≠,1b =,2c ≠,4d ≠成立,此时有(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2)三种情况.
综上符合条件的所有有序数组(,,,)a b c d 的个数是6个.
故答案为：6.
【点睛】
本题主要考查了集合的综合运用与逻辑推理的问题,需要根据题设条件分情况讨论即可.属于中等题型.
18．16
【解析】
【分析】
根据512380a a =>分析出公差为负数，且前16项均为正数，从第17项开始为负数，即可分析出{}n b 的前n 项和n S 取得最大值的时刻.
【详解】
512380a a =>Q ，
5538(7)a a d ∴=+，即55605
d a =->， 0d ∴<，又1621105d a a d =+=->，15741205
d a a d =+=<， 1231617180a a a a a a ∴>>>>>>>L ，1231417180b b b b b b >>>>>>>L ， 151516170b a a a =<Q ，161617180b a a a =>，
15561005d a a d ∴=+=-
>，18591305
d a a d =+=<， 1518a a ∴<-， 1516b b ∴>-，15160b b +>，
1614S S ∴>，
则16n =时，n S 取得最大值为16S ．
故答案为：16
【点睛】
此题考查等差数列的基本性质，涉及公差对单调性的影响，通过单调性处理数列中的项的符号，易错点在于忽略掉三项乘积虽有151516170b a a a =<，但15160b b +>所以最大应该16S . 19．（1）1a =；(2)1a ≤-或1a =
【解析】
【分析】
（1）∵A B B ⋃=，∴A ⊆B ，又B 中最多有两个元素，∴A=B ，从而得到实数a 的值；（2）
求出集合A 、B 的元素，利用B 是A 的子集，即可求出实数a 的范围.
【详解】
（1）∵A B B ⋃=，
∴A ⊆B ，又B 中最多有两个元素， ∴A=B ，
∴x=0，﹣4是方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的两个根，
故a=1；
（2）∵A={x|x 2+4x=0，x ∈R}
∴A={0，﹣4}，
∵B={x|x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0}，且B ⊆A ．
故①B=∅时，△=4（a+1）2﹣4（a 2﹣1）＜0，即a ＜﹣1，满足B ⊆A ；
②B≠∅时，当a=﹣1，此时B={0}，满足B ⊆A ；
当a ＞﹣1时，x=0，﹣4是方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的两个根，
故a=1；
综上所述a=1或a ≤﹣1；
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．
20．.u （Ⅰ）8；（Ⅱ
）max 6g π=
= 【解析】
解：（Ⅰ）()f x =sin cos cos sin cos 46464x x x π
π
π
π
π
--
3cos 424
x x ππ-sin()43x ππ- 故()f x 的最小正周期为T =24
π
π=8
(Ⅱ)解法一：在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点(2,())x g x -. 由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，从而
()(2)sin[(2)]43g x f x x ππ=-=--
sin[]243x πππ--
cos()43
x ππ+ 当304x ≤≤时，23433x ππππ≤+≤，因此()y g x =在区间4[0,]3
上的最大值为max 3g π
==解法二：因区间4[0,]3关于x = 1的对称区间为2[,2]3，且()y g x =与()y f x =的图象关于 x = 1对称，故()y g x =在4[0,]3上的最大值为()y f x =在2[,2]3上的最大值.
由（Ⅰ）知()f x
sin()43x ππ
-
当223x ≤≤时，6436ππππ-≤-≤,因此()y g x =在4[0,]3上的最大值为
max 6g π==
21．（1）y =
552x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭； （2）⎡⎣. 【解析】
【分析】 （1）根据面积关系，12
BEF ABC S S ∆D =列出等量关系即可，考虑定义域； （2）结合勾型函数单调性分析即可得到函数值域.
【详解】
（1）设BF x =，EF y =，
90C ∠=︒Q ，3AC =，4BC =，5AB ∴=，
过F 作FG BE ⊥于G ，则3sin 5FG B x
==，
35FG x ∴=，45
BG x =，则EG =，
故有143113425522
x x ⎫=⨯⨯⨯⎪⎪⎭． 化简得：22210016y x x =+-552x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭
．
y ∴=552x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭； （2）设222100()16f x y x x ==+-552x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭
． ()
f x Q 在52⎡⎢⎣上为减函数，在⎤⎦上为增函数，
且52524
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(5)13f =，4f =，
∴线段EF 长的取值范围为⎡⎣．
【点睛】
此题考查函数模型的应用，根据题目所给条件列出等量关系，构建函数模型，根据函数的单调性求解值域.
22．（1）12()log ()f x x a -=-()x a >； （2）a x =-(0,2)(2,)x ∈+∞U ； （3）
0a >或12
a =-． 【解析】
【分析】
（1）根据反函数的求法即可得反函数()1y f x -=；
（2）根据等差中项关系列出等式，即可表示；
（3）将问题转化为222(1)0x a x a -++=在(,)a +∞上由唯一解，利用方程的根的问题解决.
【详解】
（1）由2x y a =+，解得2log ()x y a =-，把x 与y 互换可得：12()log ()f x x a -=-()x a >；
（2）12log y x =，22log ()y x a =-，32log 21y ==，
1y Q ，2y ，3y 成等差数列，
222log ()1log x a x -=+，化为2()2x a x -=，
解得a x =-(0,2)(2,)x ∈+∞U ．
（3）由2()2x a x -=，化为222(1)0x a x a -++=在(,)a +∞上有唯一解．
当22(1)40a a ∆=+-=时，解得12
a =-，这时方程有唯一解12x =，满足条件． 当>0∆时，方程的一个根大于a ，另一个根小于a （不可能出现一个根等于a 的情形），
记()22
2(1)g x x a x a =-++， 只需()0g a <即可，解得0a >．
综上可得：0a >或12
a =-
． 【点睛】
此题考查求反函数，结合等差中项关系建立等式解对数方程，利用根的分布解法解决方程的根的问题，综合性较强. 23．（1）12a =； 34a =； 58a =；712a =； （2）2133222
n n n +++-； （3）最小值16；最大值524. 【解析】
【分析】
（1）解出方程，分类讨论当1,2,3,4k =时方程的根，的情况即可得解；
（2）利用分组求和的方法即可求解数列{}n a 的前2n 项和2n S ；
（3）根据代数式关系得1|sin |()32sin n f n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的规律，求出111236T ==⨯，2123411524
T a a a a =+=，结合放缩法证明不等式. 【详解】
（1）方程2(32)320k k x k x k -++⋅=的两个根为：13x k =，22k x =．
Q 两项21k a -，2k a 是此方程的两个根，且212k k a a -≤，
当1k =时，13x =，22x =．12a ∴=；
当2k =时，16x =，24x =．34a ∴=；
当3k =时，19x =，28x =．58a ∴=；
当4k =时，112x =，216x =．712a ∴=．
（2）2122n n S a a a =+++L
()23(12)222n n =⨯+++++++L L
()2213(1)221
n n n -+=+- 2133222
n n n ++=+-． （3）由题：1,22,,1|sin |()32sin 2,22,,k n k n N k Z n f n n k n k n N k Z ππππππ**⎧-<<∈∈⎪⎛⎫=+=⎨ ⎪<<+∈∈⎝⎭⎪⎩
， ()()()()()()(1)2,22,32,41,51,61,72,f f f f f f f =======⋅⋅⋅，
21232n n n a a n -=⋅，
(2)(3)(4)(1)
123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n
T a a a a a a a a +-----∴=++++L (1)
123456212111(1)f n n n
a a a a a a a a +--=+-++L ， 111236
T ∴==⨯，2123411524T a a a a =+=． 当3n ≥时，2123292n n n n a a n -=⋅≥⨯
2343456782121111111111166629222n n n n T a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫≥+-+++≥+-+++ ⎪ ⎪⋅⎝⎭
⎝⎭L L 2341111116626222n ⎛⎫≥+-+++ ⎪⋅⎝⎭
L 232111221111662612
n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-⋅⋅- 1116626
n =+>⨯， 同理可得：
78(1)567821256212511(1)51112424n n n n n n f T a a a a a a a a a a a a +--⎛⎫-=--++≤-+++ ⎪⎝⎭
L L
34551111124929222n ⎛⎫≤-++++ ⎪⨯⎝⎭
L 3431112251112492912
n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+⋅⨯- 515249224
n =
-<⋅ 综上可得：15624n T ≤≤． n T ∴的最小值与最大值分别为：16；524
． 【点睛】
此题考查根据二次方程的根分析数列的通项，根据条件求特定的项和分组求和以及等比数列求和，利用放缩法证明不等式，在学习中有必要积累常见的数列放缩方式.。