【3套试卷】八年级数学下册 第17章测试 勾股定理

八年级数学下册第17章测试勾股定理
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是() A．3，4，5 B．6，8，10
C.3，2， 5 D．5，12，13
2．已知命题：等边三角形是等腰三角形，则下列说法正确的是()
A．该命题为假命题B．该命题为真命题
C．该命题的逆命题为真命题D．该命题没有逆命题
3．如图是一扇高为2 m，宽为1.5 m的门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3 m，宽2.7 m；②号木板长2.8 m，宽2.8 m；③号木板长4 m，宽2.4 m．可以从这扇门通过的木板是()
A．①号
B．②号
C．③号
D．均不能通过
4．下面各三角形中，面积为无理数的是()
5．已知一个三角形的三个内角的比是1∶2∶1，则这三个内角对应的三条边的比是() A．1∶1∶ 2 B．1∶1∶2
C．1∶2∶1 D．1∶4∶1
6．(甘孜中考)如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C 重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为()
A．1 B．2 C．3 D．4
7．(黔东南中考)如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定的角度得到Rt△ADE，点B 的对应点D恰好落在BC边上，若AC＝3，∠B＝60°，则CD的长为()
A．0.5 B．1.5 C. 2 D．1
8．如图，圆柱的底面周长为6 cm ，高为6 cm ，AC 是底面圆的直径，点P 是母线BC 上的
一点，且PC ＝23
BC.一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短路程是( ) A ．(4＋6π
) cm B ．5 cm C ．3 cm D ．7 cm
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．(无锡中考)写出命题“如果a ＝b ，那么3a ＝3b ”的逆命题：____________．
10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝10，BC ＝____________．
11．如图，三个正方形的面积分别为S 1＝3，S 2＝2，S 3＝1，则在分别以它们的一边为边围
成的三角形中，∠1＋∠2＝____________度．
12．在平静的湖面上，有一朵红莲，高出水面1 m ，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵贴
到水面，已知红莲移动的水平距离为2 m ，则这里的水深是____________m.
13．如图，在△ABC 中，AB ∶BC ∶CA ＝3∶4∶5，且周长为36 cm ，点P 从点A 开始沿
AB 边向点B 以每秒1 cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2 cm 的速度移
动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ 的面积为____________cm 2.
14．要在街道旁修建一个奶站，向居民区A ，B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A ，
B 到它的距离之和最小？小聪根据实际情况，以街道为x 轴，建立了如图所示的平面直角坐
标系，并测得A 点的坐标为(0，3)，B 点的坐标为(6，5)，则A ，B 两点到奶站距离之和的
最小值是____________．
三、解答题(共44分)
15．(10分)如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，BD ＝9，BC ＝15，AC ＝20.
(1)求CD 的长；
(2)求AB的长；
(3)判断△ABC的形状．
16．(10分)一根直立的旗杆AB长8 m，一阵大风吹过，旗杆从C点处折断，顶部(B)着地，离杆脚(A)4 m，如图，工人在修复的过程中，发现在折断点C的下面1.25 m的D处，有一明显伤痕，如果下次大风将旗杆从D处刮断，则杆脚周围多大范围内有被砸伤的危险？
17．(12分)如图所示，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长．
18．(12分)已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：
(1)如图1，若点P在线段AB上，且AC＝1＋3，PA＝2，则：
①线段PB＝，PC＝；
②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为____________；
(2)如图2，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程．
参考答案
1．C 2.B 3.C 4.C 5.C 6.D 7.D 8.B 9.如果3a ＝3b ，那么a ＝b 10.52 11.90
12.32
13.18 14.10 15．(1)在△BCD 中，∵CD ⊥AB ，∴BD 2＋CD 2＝BC 2.∴CD 2＝BC 2－BD 2＝152－92＝144.∴CD
＝12.
(2)在△ACD 中，∵CD ⊥AB ，∴CD 2＋AD 2＝AC 2.∴AD 2＝AC 2－CD 2＝202－122＝256.∴AD
＝16.∴AB ＝AD ＋BD ＝16＋9＝25.
(3)∵BC 2＋AC 2＝152＋202＝625，AB 2＝252＝625，∴AB 2＝BC 2＋AC 2.∴△ABC 是直角三角
形．
16．在Rt △ABC 中，AB ＝4 m ，设BC ＝x m ，则AC ＝(8－x)m.由勾股定理，得BC 2＝AC 2
＋AB 2，即x 2＝(8－x)2＋42，解得x ＝5.如果下次旗杆从D 处刮断，设着地点为E ，则DE ＝
BC ＋CD ＝5＋1.25＝6.25(m)，AD ＝AC －CD ＝3－1.25＝1.75(m)．在Rt △ADE 中，由勾股
定理，得AE 2＝DE 2－AD 2＝6.252－1.752＝36，∴AE ＝6 m ．∴杆脚周围6 m 范围内有被砸
伤的危险．
17．∵四边形ABCD 是长方形，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°.由折叠可知，∠D ＝∠D′，
CD ＝CD′.∴∠B ＝∠D′，AB ＝CD′.又∠AEB ＝∠CED′，∴△ABE ≌△CD ′E.∴AE ＝CE.设
BE ＝x ，则AE ＝CE ＝4－x.∴32＋x 2＝(4－x)2.解得x ＝78.∴BE ＝78
. 18．(1)6 2 PA 2＋PB 2＝PQ 2 ①6 2
(提示：过C 作CH ⊥AB 于H ，则CH ＝AH ＝HB ＝1＋32＝2＋62，∴PH ＝AH －AP ＝2＋62－2＝6－22，PC ＝PH 2＋CH 2＝（6－22）2＋（6＋22
）2＝2) ②PA 2＋PB 2＝PQ 2(理由：PA 2＝2，PB 2＝6，PQ 2＝2PC 2＝8，∴PA 2＋PB 2＝PQ 2)．
(2)过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D.∵△ACB 为等腰直角三角形，CD ⊥AB ，∴CD ＝AD ＝
DB.∵PA 2＝(AD ＋PD)2＝(DC ＋PD)2＝DC 2＋2DC·PD ＋PD 2，PB 2＝(PD －BD)2＝(PD －DC)2
＝DC 2－2DC·PD ＋PD 2，∴PA 2＋PB 2＝2DC 2＋2PD 2.∵在Rt △PCD 中，由勾股定理，得PC 2
＝DC 2＋PD 2，∴PA 2＋PB 2＝2PC 2.∵△CPQ 为等腰直角三角形，∴2PC 2＝PQ 2.∴PA 2＋PB 2
＝PQ 2.
最新人教版数学八年级下册期中考试试题(含答案)
一、填空题（每小题3分，共18分）
1. 命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是
___________________________________________.
2．如图1，已知△OAB ，以OB 为边作△OBC ，再以OC 为边作△OCD.若∠OAB ＝∠
OBC ＝∠OCD ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝1，OA ＝2，则OD 2的值等于_____________.
图1 图2 图3 图4
3. 探索勾股数的规律，观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，
40，41），…，可以发现：4=2132-，12=2152-，24=2
172-，…，请写出第5个数组： ． 4. 现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄．图2是
昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC ，而走“捷径AC ”，
于是在草坪内走出了一条不该有的 “路AC ”．已知AB=40米，BC=30米，他们踩坏了
米的草坪，只为少走 米的路．
5. 如图3，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt △ABC 中，AC=b ，BC=a ，
∠ACB=90°，若图中大正方形的面积为40，小正方形的面积为5，则（a+b ）2的值为________.
6. 如图4，长方形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在点C′处，BC′交AD 于点E ，
AD ＝8，AB ＝4，则DE 的长为______.
二、选择题（每小题3分，共30分）
7. 如图5，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A 所代表的正方形的边长
为（ ）
A ．4
B ．8
C ．16
D ．64
图5 图6
8. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A. 0.3，0.4，0.5
B. 6，8，10
C.53，5
4，1 D. 4，5，6
9. 历史上对勾股定理的一种证法采用了图6所示的图形，其中两个全等的直角三角形
的边AE ，EB 在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（ ）
A. S △EDA =S △CEB
B. S △EDA +S △CEB =S △CDE
C. S 四边形CDAE =S 四边形CDEB
D. S △EDA +S △CDE +S △CEB =S 四边形ABCD
10. 图7所示的各直角三角形中，边长x 的值为5的有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
图7 11. 国家八纵八横高铁网络规划中“京昆通道”的重要组成部分──西成高铁于2017年
12月6日开通运营，西安至成都列车运行时间由14小时缩短为3.5小时．张明和王强相约
从成都坐高铁到西安旅游．如图8，张明家（记作A ）在成都东站（记作B ）南偏西30°的
方向且相距4000米，王强家（记作C ）在成都东站南偏东60°的方向且相距3000米，则张
明家与王强家的距离为（ ）
A. 4000米
B. 5000米
C. 6000米
D. 7000米
图8 图9 图10 图11
12．如图9，一圆柱高8 cm ，底面半径为2 cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，要
爬行的最短路程（π取3）是（ ）
A. 20 cm
B. 10 cm
C. 14 cm
D. 无法确定
13. 如图10，每个小正方形的边长均为1，A ，B ，C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的
度数为（ ）
A. 90°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
14. 若直角三角形的两边长分别为3和4，则以第三边长为直径的圆的面积为（ ） A. 47π B. 425π C. 7π或25π D. 47π或4
25π 15. 如图11，在4×5的方格中，A ，B 为两个格点，再选一个格点C ，使∠ACB 为直角，
则满足条件的点C 的个数为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
16．如图12，在△ABC 中，D 是边BC 上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，
那么△ABC 的面积是（ ）
A ．30
B ．36
C ．72
D ．125
三、解答题（共52分）
17.（5分）如图13，已知AD是△ABC的角平分线，AB=AC=13 cm，AD=12 cm．求BC的长．
图13 图14 图15 图16
18. （5分）如图14，已知四边形ABCD中，∠A为直角，AB=16，BC=25，CD=15，AD=12，求四边形ABCD的面积．
19. （6分）如图15，在△ABC中，已知∠B=30°，∠C=45°，.
（1）求AB的长；
（2）求△ABC的面积．
20.（8分）图16是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5 m（踏板厚度忽略不计），右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B的位置时，点B 离地面垂直高度BC为1 m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5 m（不考虑支柱的直径）．求秋千支柱AD的高．
21.（8分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明以灵感，他惊喜地发现，当四个全等的直角三角形如图18摆放时，可以用“面积法”来推导说明a2+b2=c2．请你写出推导过程．
图17 图18 ①②
图19
22.（9分）如图19，沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向130 km的B处有一台风中心，沿BC方向以15 km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=50 km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30 km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
23.（11分）（1）如图20-①，长方体的长为4 cm，宽为3 cm，高为12 cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；
（2）如图20-②，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），容器的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3 cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
附加题（20分，不计入总分）
24. 在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c. 若∠C为直角，则由勾股定理得a2＋b2＝c2.
（1）若∠C为锐角，试说明：a2＋b2＞c2；
（2）若∠C为钝角，试判断a2＋b2与c2的关系，并进行验证.
参考答案
一、1. 对应角相等的两个三角形是全等三角形
2. 7
3. 11，60，61
4. 50 20
5. 75
6. 5
二、7-16：BBDBBBCDDB
三、17. 解：因为AB=AC，AD是△ABC的角平分线，所以AD⊥BC，BD=CD．
因为在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=13，AD=12，所以BD2=AB2－AD2＝132－122＝25，所以BD=5.
所以BC=10 cm．
18. 解：因为∠A 为直角，AD=12，AB=16，所以BD 2=AD 2+AB 2=400，所以BD=20. 因为BD 2+CD 2=202+152=625=BC 2，所以△BDC 是直角三角形，且∠CDB 为直角. 所以S
△ABD =21
×16×12=96，S △BDC =21
×20×15=150.
所以四边形ABCD 的面积为96+150=246．
19. 解：（1）过点A 作AD ⊥BC 于点D ，如图所示.
因为AD ⊥BC ，所以∠ADC=∠ADB=90°.
因为∠C=45°，所以∠DAC=90°-∠C=45°.所以∠C=∠DAC.所以AD=CD.
因为AC 2=AD 2+CD 2，AC=，所以AD=CD=2.因为∠ADB=90°，∠B=30°，所以AB=2AD=4.
（2）在Rt △ABD 中，由勾股定理，得BD==2，所以
.
所以S △ABC =1
2BC ·20. 解：设AD=x m ，则由题意得AB=（x-0.5）m ，AE=（x-1）m.
在Rt △ABE 中，AE 2+BE 2=AB 2，即（x-1）2+1.52=（x-0.5）2，解得x=3．
答：秋千支柱AD 的高为3 m.
21. 解：因为S 五边形ABCDE =S 梯形AEDF +S 梯形BCDF =S 正方形DEPC +2S △AEP ，即21（b+a+b ）•b+2
1
（a+a+b ）•a=c 2+2×21
ab ，整理得a 2+b 2=c 2．
22. 解：在Rt △ABD 中，根据勾股定理，得BD 2=AB 2-AD 2=1302-502=14 400，所以BD=120 km.
120÷15=8（h ）.
所以台风中心经过8 h 从B 点移到D 点.
如图1，因为距台风中心30 km 的圆形区域内都会受到不同程度的影响，所以人们 要在台风中心到达E 点之前撤离.
BE=BD-DE=120﹣30=90（km ），=6（h ）.
所以游人在接到台风警报后的6 h 内撤离才可脱离危险．
23. 解：（1）如图2，由题意知能放入木棒的最大长度为DF 的长.
由题意得DB 2= AB 2+AD 2=42+32=25， DF 2= DB 2+FB 2=25+122=169，所以DF=13. 答：该长方体中能放入木棒的最大长度是13 cm ．
（2）将容器侧面展开，如图3所示，作点A关于EF的对称点A′，则A′B的长度即为蚂蚁爬行的最短路径．
由题意A′D=5 cm，BD=12﹣3+AE=12（cm）.
由勾股定理，得A′B2= A′D2 +BD2=169，所以A′B=13 cm．
所以蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是13 cm.
24. 解：（1）如图4，过点A作AD⊥BC于点D，则BD＝BC－CD＝a－CD.
在Rt△ABD中，AB2－BD2＝AD2；在Rt△ACD中，AC2－CD2＝AD2，所以AB2－BD2＝AC2－CD2，即c2－（a－CD）2＝b2－CD2，整理得a2＋b2＝c2＋2a•CD. 因为a＞0，CD＞0，所以a2＋b2＞c2.
（2）a2＋b2＜c2.验证如下：如图5，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，则BD＝BC＋CD＝a＋CD.
在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2；在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2，所以AB2－BD2＝AC2－CD2，即c2－（a＋CD）2＝b2－CD2，整理得a2＋b2＝c2－2a•CD.
因为a＞0，CD＞0，所以a2＋b2＜c2.
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理单元提升
一、选择题
1.如图,两个较大正方形的面积分别为225,289,则字母A所代表的正方形的面积为(D)
A.4
B.8
C.16
D.64
2.有一个学生方队,学生B的位置是第8列第7行,记为(8,7),则学生A在第2列第3行的位置可以表示为(C)
A.(2,1)
B.(3,3)
C.(2,3)
D.(3,2)
3.直角三角形有一条直角边为6,另两条边长是连续的偶数,则该三角形的周长为(C)
A.20
B.22
C.24
D.26
4.下列关于有序数对的说法正确的是(C)
A.(3,2)与(2,3)表示的位置相同
B.(a,b)与(b,a)表示的位置一定不同
C.(3,-2),(-2,3)是表示不同位置的两个有序数对
D.(4,4)与(4,4)表示两个不同的位置
5.满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是(D)
A.b2-c2=a2
B.a∶b∶c=5∶12∶13
C.∠C=∠A-∠B
D.∠A∶∠B∶∠C=9∶12∶15
6.观察下列的有序数对:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,按这些规律,第50个有序数对是(C)
A.(3,8)
B.(4,7)
C.(5,6)
D.(6,5)
7.如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,且EF∥BC交AC于点M,若CM=5,则CE2+CF2等于(B)
A.75
B.100
C.120
D.125
8.在平面直角坐标系内,点P(a,a+3)的位置一定不在(D)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
9.如图,张明家(记作A)在成都东站(记作B)南偏西30°的方向且相距4000米,王强家(记作
C)在成都东站南偏东60°的方向且相距3000米,则张明家与王强家的距离为(B)
A.6000米
B.5000米
C.4000米
D.2000米
10.如图,某小区有一块直角三角形的绿地,量得两直角边AC=4 m,BC=3 m,考虑到这块绿地周围还有足够多的空余部分,于是打算将这块绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以AC为一直角边的直角三角形,则扩充方案共有(B)
A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
二、填空题
11.有两根木棒,分别长6 cm,5 cm,要再在7 cm的木棒上取一段,用这三根木棒为边做成直
角三角形,这第三根木棒要取的长度是 cm.
12.观察下列的有序数对:(3,-1),(-5,),(7,-),(-9,),…,根据你发现的规律,第2019个
有序数对是.
13.在△ABC中,若三条边的长度分别为9,12,15,则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是108.
14.若点A(3,x+1),点B(y-7,-1)分别在x轴、y轴上,则x2+y2= 50.
15.设a>b,如果a+b,a-b是三角形较小的两条边,当第三边等于时,这个三角形为直角三角形.
16.如果一个三角形的三边a,b,c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,则这个三角形为直角三角形.
三、解答题
17.两个边长分别为a,b,c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形.试用不同的方法计算该图形的面积,你能发现a,b,c之间有什么数量关系?
解:∵该图形的面积=ab×2+c2=ab+c2,
或该图形的面积=(a+b)(a+b)=(a+b)2,
∴ab+c2=(a+b)2,
∴ab+c2=(a2+2ab+b2),
∴c2=a2+b2,即a2+b2=c2.
18.如图,用点A(3,1)表示3个胡萝卜,1棵青菜;点B(2,3)表示2个胡萝卜,3棵青菜.同理点C(2,1),D(2,2),E(3,2),F(3,3)各表示相应的胡萝卜个数与青菜的棵数.若1只兔子从A到B(顺着方格走),有以下几条路可供选择①A→C→D→B;②A→E→D→B;③A→E→F→B.问:兔子顺着哪条路走吃到的胡萝卜最多?顺着哪条路走吃到的青菜最多?各是多少?
解:按①走吃到的胡萝卜为3+2+2+2=9(个),青菜为1+1+2+3=7(棵);
按②走吃到的胡萝卜为3+3+2+2=10(个),青菜为1+2+2+3=8(棵);
按③走吃到的胡萝卜为3+3+3+2=11(个),青菜为1+2+3+3=9(棵).
故按③走吃到的胡萝卜和青菜都是最多的,分别为胡萝卜11个,青菜9棵.
19在下面的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,正方形的顶点称为格点,请在图中以格点为顶点,画出一个周长为2+2的△ABC,并求它的面积.
解:△ABC如图所示.(图形位置不唯一,合理即可)
∵AB=AC=,BC=2,
∴AB2+AC2=BC2,
∴S△ABC=·AB·AC
=
=5.
20.如图是某台阶的一部分,每级台阶的高与长都相等.如果点A的坐标为(0,0),点B的坐标为(1,1).
(1)请建立适当的平面直角坐标系,并写出点C,D,E,F的坐标;
(2)如果该台阶有10级,你能得到该台阶的高度吗?
解:(1)以A点为原点,水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,所以C(2,2),D(3,3),E(4,4),F(5,5).
(2)因为每级台阶高为1,所以10级台阶的高度是10.
21.如图,某学校(点M)距公路(直线l)的距离(MA)为1 km,在公路上距该校2 km处有一车站(点N),该校拟在公路上建一个公交车停靠点(点P),以便于本校职工乘车上下班,要求停靠站建在AN之间且到此校与车站的距离相等,请你计算停靠站到车站的距离.
解:连接MP.在Rt△MAN中,MA=1,MN=2,
由勾股定理得AN=,
设NP=x km,则PM=x km,
∴PA=(-x)km,
在Rt△MAP中,由勾股定理得12+(-x)2=x2,
解得x=.
答:停靠站应建在线段AN上离点N的距离为km处.
22.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=3,AB=4,BC=12,CD=13,试判断△BCD的形状,并说明理由.
解:△BCD是直角三角形.
∵在△ABD中,∠A=90°,
∴BD2=AD2+AB2=32+42=25,
∵在△BCD中,BD2+BC2=52+122=169,CD2=132=169,
∴BD2+BC2=CD2,∴∠DBC=90°,
∴△BCD是直角三角形.。