【精品】人教版八年级数学下册第十七章勾股定理单元检测题一含答案【3套】试题

人教版八年级数学下册第十七章勾股定理单元检测题一含答案
一、单选题（共10题；共30分）
1.下列各组数，属于勾股数的是( )
A. 4，5，6
B. 5，10，13
C. 3，4，5
D. 8，39，40
2.在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一颗大树，在一次强风中，这课大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（）
A. 一定不会
B. 可能会
C. 一定会
D. 以上答案都不对
3.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（）
A. 13
B. 13或
C. 13或15
D. 15
4.在ABC，如果AC2-AB2=BC2,那么（）
A. A=
B. B=
C. C=
D. 不能确定
5.下列说法中，正确的个数有（）
①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则斜边长为；
②直角三角形的最大边长为，最短边长为1，则另一边长为；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形；
④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
6.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC=（）
A. 6
B.
C.
D. 4
7.如图，正方形OABC的边长为1，以A为圆心，AC为半径画弧，与数轴的一个交点是D，则D点表示的数为（）
A. 1-
B. -1
C.
D.
8.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）
A. 6cm2
B. 8cm2
C. 10cm2
D. 12cm2
9.一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为（）
A. 13
B. 5
C. 13或5
D. 无法确定
10.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是（）
A. 12米
B. 13米
C. 14米
D. 15米
二、填空题（共6题；共24分）
11.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD=13，AC=12，则点D 到AB的距离为________．
12.如图，为测得到池塘两岸点A和点B间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90°，
并测得AC长5米、BC长4米，则A、B两点间距离是________米．
13.学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避免拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．
14.小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1m，当他把绳子下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为________米．
15.某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要________米
16.在直角三角形中，斜边=2，则=________
三、解答题（共8题；共46分）
17.如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
18.小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各
边的长，若已知，求的长．
19.如图，某海关缉私艇在点0处发现在正北方向30海里的A处有一艘可疑船只，测得它正以60海里∕时的速度向正东方航行，随即调整方向，以75海里∕时的速度准备在B处迎头拦截．问经过多少时间能赶上？
20.如图，每个小正方形的边长是1
（1）在图①中画出一个面积为2的直角三角形；
（2）在图②中画出一个面积是2的正方形．
21.已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 的中点，AB=10，AC=6．求AD 的长度．
22.如图，某中学有一块三角形状的花圃ABC，现可直接测量到∠B=45°，∠C=30°，AC=8米．请你求出BC的长．（结果可保留根号）
23.如图，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断△ABD的形状，并说明理
由．
24.如图，小巷左右两侧是竖着的墙，两墙相距2.2米。

一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米。

梯长多少米？
答案
一、单选题
1.C
2.A
3.B
4.B
5.D
6.B
7.A
8.A
9.C 10.A
二、填空题
11.5 12.3 13.4 14.12 15.7 16.8
三、解答题
17.解: ∵∠ACD=90°
AD=13, CD=12
∴AC2 =AD2－CD2
=132－122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2－BC2
=52－32
=16
∴AB= 4
∴AB的长是4.
18.解：BC =BD +CD =2CD ＝8，设AC=x，则AB= x，由勾股定理得（）
+8=x ，解之得x=
19.解：设经过x小时能赶上，则OB=75x，则AB=60x．在直角△ABC中，∵OB2=OA2+AB2，
∴（75x）2=302+（60x）2，解得：x= ，故经过时间为小时．答：经过小时能
赶上．
20.（1）解：所画图形如图所示：
（2）解：
21.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得：BC=8．
∵D 是BC 的中点，∴．
在Rt△ADC中，∠C=90°，
再由勾股定理得：
22.解：如图：过A作AD⊥BC于D．
在△ABD中，∵∠B=45°，
∴AD=BD．在△ACD中，
∵∠C=30°，AC=8，
∴AD= AC=4=BD，
∴CD= =4 ，
∴BC=BD+CD=4+4 ，
答：BC的长为：（4+4 ）m．
23.解：△ABD为直角三角形．理由如下：∵在△ABC中，∠C=90°，
∴AB2=CB2+AC2=42+32=52，
∴在△ABD中，AB2+AD2=52+122=132，
∴AB2+AD2=BD2，
∴△ABD为直角三角形
24. 解：设CB=x，则BD=2.2-x．由题意，∠ACB=∠BDA′=90°，∴AC2+BC2=BD2+A′D2，∴2.42+ x2=(2.2-x)2+22解得：x= 0.7．AB= =2.5．答：梯长2.5
米．
人教版数学八年级下册第十七章勾股定理单元测试（含解析）
一、单选题
1．直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为（）.
A．6 B．8.5 C． D．
2．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，它们离开港口3小时相距（）海里．
A．60 B．30 C．20 D．80
3．在锐角△ABC中，已知某两边a=1，b=3，那么第三边c的变化范围是（）
A．2＜c＜4 B．2＜c≤3 C．2＜c＜ D．＜c＜
a c-=，则三角形的4．已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足(210
形状是（）
A．底边与腰不相等的等腰三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
5．如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为、、，则、、的关系是（）
A． B． C． D．
6．如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高BD为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（）cm
A．17 B．13 C．12 D．14
7．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）
A．3, 4, 5 B． C．30, 40, 50 D．0.3, 0.4, 0.5
8．如图，一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱的高为8cm，圆柱的半径为cm，那么最短路径AB的长为（）
A．8cm B．6cm C．10πcm D．10cm
9．一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则为
A．5 B．25 C．7 D．7或25
10．等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，则面积为（）.
A．30cm2 B．130cm2 C．120cm2 D．60cm2
11．在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则=( )
A．5 B．4 C．6 D．、10
12．在△ABC中，∠A=90°，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，则下列结论错误的是（）
A．a2+b2=c2 B．b2+c2=a2 C． D．
13．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ=CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点E，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CEP与△DEQ的面积和的变化情况是（）
A．一直减小 B．一直不变 C．先变大后变小 D．先变小后变大
二、填空题
14．三角形的三边分别为a、b、c,且（a-b）2+（a2+b2-c2）2=0,则三角形的形状为————————————————。

15．如图，将一根长9cm 的筷子，置于底面直径为3cm，高为4cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为hcm ，则h的取值范围是_____________________．
16．如图，平面直角坐标系中有等边△AOB，点O为坐标原点，OB＝2，平行于x轴且与x 轴的距离为1的线段CD分别交y轴、AB于点C，D.若线段CD上点P与△AOB的某一顶点的距离为，则线段PC(PC＜2.5)的长为____________．
17．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB=BD，AB=6，∠C=30°，则△ACD的面积为_____．
18．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A 点，沿圆柱表面爬到与A 相对的上底面B 点，则蚂蚁爬的最短路线长约为__________（π取3）．
三、解答题
19．在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形ABC （顶点是网格线交点的三
角形)的顶点A 、C 的坐标分别是(-5，5)，(-2，3)．
（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系； （2）请画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；
（3）请在x 轴上求作一点P ，使△PB 1C 的周长最小，并直接写出点P 的坐标． 20．已知a ，b ，c
为正数，满足如下两个条件：a+b+c=32 ①
1
4
b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ② 是否存在以 为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角． 21．在△ABC 中，,试判断△ABC 的形状，并说明理由。

22．已知在
中，AB ，BC ，AC 三边的长分别为
，
，
，如图所示是小辉同学在正方形网格中每个小正方形的边长为，画出的格点
的三个顶点都在正方形
的顶点处请你参照小辉的方法在图2的正方形网格图中画出格点三角形
，使得DE 、EF 、DF 三边的长分别为
、、，然后判断的形状，说明理由
求这个三角
形的面积．
23．如图，四边形 ABCD 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC，AD=3，E 为 AB 上一点，AE=4，ED=5，求 CD的长.
参考答案
1．D
【解析】
试题解析：由勾股定理可得：斜边长为：
设斜边的高为
直角三角形面积
可得：斜边的高：
故选D.
2．A
【解析】分析：根据题意，画出图形，且东北和东南的夹角为90°，根据题目中给出的1小时后和速度可以计算AC，BC的长度，在直角△ABC中，已知AC，BC可以求得AB的长．详解：作出图形，因为东北和东南的夹角为90°，所以△ABC为直角三角形．
在Rt△ABC中，AC=16×3=48（km），
BC=12×3km=36（km）．
则AB=（km）
故选A．
点睛：本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中确定△ABC为直角三角形，并且根据勾股定理计算AB是解题的关键．
3．D
【解析】解：①∵当∠C是最大角时，有∠C＜90°，∴c＜，∴c＜；
②当∠B是最大角时，有∠B＜90°，∴b2＜a2+c2，∴9＜1+c2，∴c＞2，∴第三边c的变化范围：2＜c＜．故选D．
4．D
a c-=，
【解析】试题解析：∵(210
∴，b-2=0，c-1=0，
解得：b=2，c=1，
∵12+22=1+4=5=2，
∴三角形的形状是直角三角形．
故选D．
5．A
【解析】分析：设三个半圆的直径分别为：d1、d2、d3，半圆的面积=π×（）2，将d1、d2、d3代入分别求出S1、S2、S3，由勾股定理可得：d12+d22=d32，观察三者的关系即可．详解：设三个半圆的直径分别为：d1、d2、d3，S1=×π×（）2=，S2=×π×（）2=，S3=×π×（）2=．
由勾股定理可得：
d12+d22=d32，∴S1+S2=（d12+d22）==S3，所以S1、S2、S3的关系是：S1+S2=S3．
故选A．
点睛：本题主要考查运用勾股定理结合图形求面积之间的关系，关键在于根据题意找出直角三角形，运用勾股定理求出三个半圆的直径之间的关系．
6．B
【解析】
试题解析：如图所示：
这是圆柱体的侧面展开图，则从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程就是线段
的长度，圆柱体的底面周长为10cm，高BD为12cm，
在中，
故选B.
7．B
【解析】分析：根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．
详解：A．∵32+42=52，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形．故选项错误；
B．∵（）2+（）2≠（）2 ，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形．故选项正确；
C．∵（30）2+（40）2=（50）2 ，∴以这三个数为长度的线段，能构成直角三角形．
故选项错误；
D．∵（）2+（0.4）2=（0.5）2，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形．
故选项错误．
故选B．
点睛：本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，简便的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可．
8．D
【解析】
【分析】
首先画出示意图，连接AB，根据圆的周长公式算出底面圆的周长，AC=×底面圆的周长，再在Rt△ACB中利用勾股定理算出AB的长即可．
【详解】
连接AB，
∵圆柱的底面半径为cm，∴AC=×2•π•=6（cm），
在Rt△ACB中，AB2=AC2+CB2=36+64=100，
AB=10cm．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了平面展开图，最短路径问题，做此类题目先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
9．D
【解析】
试题解析: （1）若4是直角边，则第三边是斜边，由勾股定理，得
（2）若4是斜边，则第三边为直角边，由勾股定理，得
故选D．
10．D
【解析】
【分析】
首先结合题意画出图形，然后过点A作AD⊥BC于点D，由三线合一的性质，可求得BD=CD=5cm，再利用勾股定理求得高AD的长，继而求得答案．
【详解】
过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB=AC=13cm，∴BD=CD=BC=×10=5（cm），∴AD==12（cm），∴S△ABC=BC•AD=×10×12=60（cm2）．
故选D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理，注意结合题意画出图形，利用图形求解是关键．11．C
【解析】
【分析】
运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
【详解】
观察发现，
∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC=ED，
∵AB2=AC2+BC2，
∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，
即S1+S2=1，
同理S2+S3=2，S3+S4=3．
则S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6，
故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质，发现正放置的两个小正方形的面积和正好是它们之间斜放置的正方形的面积是解题的关键.
12．A
【解析】
【分析】
根据在△ABC中，∠A=90°，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，可得b2+c2=a2然后即可对4个选项作出判定即可.
【详解】
∵在△ABC中，∠A=90°，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，
∴a为斜边，
∴b2+c2=a2或a2-b2=c2或a2-c2=b2等式成立，
所以选项A错误，B、C、D正确．
故选A．
【点睛】
此题主要考查学生对勾股定理这一知识点的理解和掌握，看清楚∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，找出斜边是解题关键.
13．C
【解析】
【分析】
连接、、、，设，.利用分割法求出阴影部分的面积即可判断. 【详解】
连接、、、，设，，
，，
，
，，
，
，
，
观察图象可知的值先变大后变小.
故选：.
【点睛】
本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分割法求面积，属于中考选择题中的压轴题.
14．等腰直角三角形
【解析】∵（a-b）2+（a2+b2-c2）2=0，
∴a-b=0，a2+b2-c2=0，
∴a=b，a2+b2= c2，
∴△ABC为等腰直角三角形.
故答案为：等腰直角三角形.
15．4≤h≤5
【解析】
【分析】
根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
【详解】
由题意可知，当杯子中筷子最短时等于杯子的高，即h=9-4=5（cm），当杯子中筷子最长时等于杯子斜边长度，即h=9- =4（cm），故h的取值范围是：4≤h≤5.
故答案为：4≤h≤5.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是正确得出杯子内筷子的取值范围. 16．－1或2或2－2
【解析】【分析】过点A作AE⊥OB交CD于点F，根据已知可求得OE＝，AE＝3，AF＝2，AF⊥CD，然后根据AP＝，OP＝，BP＝三种情况分别讨论即可得.
【详解】过点A作AE⊥OB交CD于点F，
∵△AOB是等边三角形，OB＝2，
∴OE＝，AE＝3，
∵OC＝1，CD∥OB，∴CF＝OE＝，AF＝AE－OC＝2，AF⊥CD，
∵点P在CD上，AP＝，
∴PF＝＝1，且点P可以在点F左侧，也可以在点F右侧；
当点P在点F左侧时，PC＝CF－PF＝－1＜2.5；
当点P在点F右侧时，PC＝CF＋PF＝＋1＞2.5，舍去；
当OP＝时，过P作PH⊥x轴，∴PH＝1，
∴OH＝＝2，∴PC＝OH＝2＜2.5；
同理当BP＝时，BH＝＝2，
∴PC＝OH＝OB－BH＝2－2＜2.5，
综上，PC＝－1或2或2－2，
故答案为：－1或2或2－2.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理的应用等，综合性较强，有一
定的难度，根据题意正确作出辅助线，分类讨论是解题的关键.
17．9
【解析】
【分析】设AC与MN的交点为E，只要证明△ABD是等边三角形，推出BD=AD=DC=AB=6，从而求得DE、CE长，继而求得AC长，再根据三角形面积公式即可求得S△ADC.
【详解】如图，由作图可知，MN垂直平分线段AC，设AC与MN的交点为E，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=60°，
∵AB=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AD=DC=AB=6，
∴DE=3，CE=，
∴AC=2CE=6，
∴S△ADC=AC•DE=9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定、含30度角的直
角三角形的性质、勾股定理等，熟练掌握和应用相关的性质与定理是解题的关键.
18．25
【解析】
试题解析：
把圆柱侧面展开，展开图如图所示，
点A，B的最短距离为线段AB的长，
BC=20，AC为底面半圆弧长，AC=5π≈15，
所以
则蚂蚁爬的最短路线长约为25.
故答案为：25.
点睛：要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理来求．
19．(1)见解析;(2)见解析;(3) P点坐标（，0）
【解析】分析：（1）根据A点坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）分别作出各点关于轴的对称点，再顺次连接即可；
（3）作出点B关于轴的对称点B2，连接交轴于点P，则P点即为所求．
详解：（1）如图所示；
（2）如图所示；
（3）P点坐标（，0）
点睛：考查作图-轴对称变换，勾股定理，轴对称-最短路线问题，注意最短路线问题的求法，是高频考点.
20．以
为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°
【解析】试题分析：两个方程，有三个未知量，不能解出具体数值，但是能求出a,b,c 关系，本题利用代入，因式分解，求出a,b,c 关系.
试题解析：
解法1：将①②两式相乘，得8b c a c a b a b c a b c bc ca ab
+-+-+-++++=（）（）. 即：
()()()22222244b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+--+-+=0,
即 ()()()222222b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-+
+=0, ()()()2222
22b c a c a b a b c bc
ca ab +-+-+-++=0, 即 ())22220b c a ab a b c abc
⎡-+--+⎣
=, 即 ()())220b c a c a b abc ⎡-+--⎣
=,
即 ()()()0b c a c a b c a b abc
-++--+=, 所以b ﹣c+a =0或c+a ﹣b =0或c ﹣a+b =0，
即b+a=c 或c+a=b 或c+b=a ．
，，90°．
解法2：结合①式，由②式可得得 1024-2(a2+b2+c2)= 1
4 abc,
又由①式得（a+b+c）2=1024，即a2+b2+c2=1024﹣2（ab+bc+ca），
代入③式，得 1024-2[1024-2(ab+bc+ca)]= 1
4 abc，
即abc=16（ab+bc+ca）﹣4096．
（a﹣16）（b﹣16）（c﹣16）=abc﹣16（ab+bc+ca）+256（a+b+c）﹣163=﹣4096+256×32﹣163=0，
所以a=16或b=16或c=16．
结合①式可得b+a=c或c+a=b或c+b=a．
因此，以，，为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．21．直角三角形
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理，判断AB2+BC2=32+42=AC2是否成立即可．
【详解】
△ABC是直角三角形．理由如下：
∵AB2+BC2=32+42=25=52=AC2，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．22．（1）是直角三角形，理由见解析；（2）2.
【解析】
【分析】
先根据勾股定理画图，
①根据勾股定理的逆定理可得结论；
②根据直角三角形面积公式可得结论．
【详解】
如图2所示，
①△DEF是直角三角形，理由是：
∵DE2+EF2==10，
=10，∴DE2+EF2=DF2，∴△DEF是直角三角形；
②S△DEF=DE•EF==2．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及三角形面积求法，根据题意正确画出△DEF 是解题的关键．
23．CD=3.
【解析】
分析:根据勾股定理的逆定理证明.根据角平分线的性质即可求的长．
详解：∵，，，
∴.
∴.
∴.
∵.
∴.
∵平分，
∴.
∵，
∴.
点睛：考查勾股定理的逆定理以及角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键.
人教版八年级下册数学第17章勾股定理单元测试卷（解析版）一．选择题（共10小题）
1．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）
A．B．C．D．
2．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（）
A．169B．25C．19D．13
3．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）
A．72B．52C．80D．76
4．如图，是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角
边为b，那么（a+b）2的值为（）
A．13B．19C．25D．169
5．以下列数组作为三角形的三条边长，其中能构成直角三角形的是（）
A．1，，3B．，，5C．1.5，2，2.5D．，，
6．下列各组数中，可以构成直角三角形的是（）
A．2，3，5B．3，4，5C．5，6，7D．6，7，8
7．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（）
A．2，4，5B．6，8，11C．5，12，12D．1，1，
8．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A．1、2、3B．2、3、4C．3、4、5D．4、5、6
9．一架25米长的云梯，斜立在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙底端7米．如果梯子的顶端沿墙下滑4米，那么梯脚将水平滑动（）
A．9米B．15米C．5米D．8米
10．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）
A．25海里B．30海里C．40海里D．50海里
二．填空题（共5小题）
11．在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于．12．如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、
△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF＝2，DE＝8，则AB的长为．
13．有一个三角形的两边长是3和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边边长的平方是．
14．观察下面几组勾股数，并寻找规律：
①4，3，5；
②6，8，10；
③8，15，17；
④10，24，26；
请你根据规律写出第⑤组勾股数是．
15．已知甲、乙两人在同一地点出发，甲往东走4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距km．
三．解答题（共5小题）
16．问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求此三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：．
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．如果△ABC三边的长分别a、a、a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
17．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB ＝90°，求证：a 2+b 2＝c 2 证明：连结DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF ＝EC ＝b ﹣a
∵S 四边形ADCB ＝S △ACD +S △ABC ＝b 2+ab ．
又∵S 四边形ADCB ＝S △ADB +S △DCB ＝c 2+a （b ﹣a ）
∴b 2+ab ＝c 2+a （b ﹣a ）
∴a 2+b 2＝c 2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB ＝90°．求证：a 2+b 2＝c 2．
18．方格纸中小正方形的顶点叫格点．点A 和点B 是格点，位置如图．
（1）在图1中确定格点C 使△ABC 为直角三角形，画出一个这样的△ABC ； （2）在图2中确定格点D 使△ABD 为等腰三角形，画出一个这样的△ABD ； （3）在图2中满足题（2）条件的格点D 有 个．
19．王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a ＝，b＝，c＝．
（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？
（3）观察下列勾股数32+42＝52，52+122＝132，72+242＝252，92+402＝412，分析其中的规律，根据规律写出第五组勾股数．
20．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向．
2019年人教版八下数学《第17章勾股定理》单元测试
卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【分析】根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：如图所示：
S
＝×BC×AE＝×BD×AC，
△ABC
∵AE＝4，AC＝＝5，BC＝4
即×4×4＝×5×BD，
解得：BD＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出AC的长，此题难度一般．
2．【分析】先求出四个直角三角形的面积，再根据再根据直角三角形的边长求解即可．【解答】解：∵大正方形的面积13，小正方形的面积是1，
∴四个直角三角形的面积和是13﹣1＝12，即4×ab＝12，
即2ab＝12，a2+b2＝13，
∴（a+b）2＝13+12＝25．
故选：B．
【点评】注意完全平方公式的展开：（a+b）2＝a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b
之间的关系．
3．【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2＝122+52＝169
所以x＝13
所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76．
故选：D．
【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．4．【分析】根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和，从而不难求得（a+b）2的值．【解答】解：（a+b）2
＝a2+b2+2ab
＝大正方形的面积+四个直角三角形的面积和
＝13+（13﹣1）
＝25．
故选：C．
【点评】考查了勾股定理的证明，注意完全平方公式的展开：（a+b）2＝a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．
5．【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、12+（）2≠32，不能构成直角三角形，故选项错误；
B、（）2+（）2≠52，不能构成直角三角形，故选项错误；
C、1.52+22＝2.52，能构成直角三角形，故选项正确；
D、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
6．【分析】两边的平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形，根据此可找到答案．【解答】解：∵32+42＝25，52＝25．
∴32+42＝52．
可构成直角三角形的是3、4、5．
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理判断出直角三角形．7．【分析】根据勾股定理的逆定理，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．【解答】解：A、∵22+42＝20≠52，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵62+82＝100≠112，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵52+122＝169≠122，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵12+12＝2＝（）2，∴能够构成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
8．【分析】判断是否能组成直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、∵12+22≠32，∴不能组成直角三角形，故A选项错误；
B、∵22+32≠42，∴不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵32+42＝52，∴组成直角三角形，故C选项正确；
D、∵42+52≠62，∴不能组成直角三角形，故D选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
9．【分析】利用勾股定理进行解答．求出下滑后梯子低端距离低端的距离，再计算梯子低端滑动的距离．
【解答】解：梯子顶端距离墙角地距离为＝24m，
顶端下滑后梯子低端距离墙角的距离为＝15m，
15m﹣7m＝8m．
故选：D．
【点评】考查了勾股定理的应用，主要先求出两边，利用勾股定理求出第三边．10．【分析】首先根据路程＝速度×时间可得AC、AB的长，然后连接BC，再利用勾股定。