2022年秋高中数学第四章数列综合测评新人教A版选择性必修第二册

第四章综合测评
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的)
1.在等差数列{a n}中,若2a8=6+a11,则a1+a9=()
A.54
B.12
C.10
D.6
2.已知数列{a n}的前n项和为S n,若a1≠0,S n=an2+bn,且a7=3a2,S8=λa2,则λ的值为()
A.15
B.16
C.17
D.18
3.在数列{a n}中,a1=2,a n=1+1
a n-1
(n≥2),则a3=()
A.3
2B.2
3
C.5
3
D.5
2
4.在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a5=3,则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a9=()
A.5
B.7
C.9
D.11
5.在等差数列{a n}中,a1=-5,a3是4与49的等比中项,且a3<0,则a5=()
A.-18
B.-23
C.-24
D.-32
6.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且a2≥3,S5≤30,则a1的最小值是()
A.-1
B.0
C.1
D.2
7.已知在数列{a n}中,a1=1,(n+1)a n=2na n+1,则数列{a n}的通项公式是()
A.a n=n
2n-1B.a n=n
2n-1
C.a n=n
D.a n=n+1
2n
8.给出数阵:
01 (9)
12 (10)
︙︙︙︙
910 (18)
其中每行、每列均为等差数列,则此数阵所有数的和为()
A.495
B.900
C.1 000
D.1 100
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.已知等比数列{a n}的公比q=-2
,等差数列{b n}的首项b1=12,若a9>b9且a10>b10,则下列结论正确的有
3
()
A.a9a10<0
B.a9>a10
C.b10>0
D.b9>b10
10.已知等差数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*),公差d≠0,S6=90,a7是a3与a9的等比中项,则下列结
论正确的是()
A.a1=22
B.d=-2
C.当n=10或n=11时,S n取得最大值
D.当S n>0时,n的最大值为20
11.已知数列{a n}为等差数列,其前n项和为S n,且2a1+3a3=S6,则下列结论正确的是()
A.a10=0
B.S10最小
C.S7=S12
D.S19=0
=k(k为常数),则称{a n}为“等差比数列”,下列对“等差比数列”
12.在数列{a n}中,n∈N*,若a n+2-a n+1
a n+1-a n
的判断正确的为()
A.k不可能为0
B.等差数列一定是“等差比数列”
C.等比数列一定是“等差比数列”
D.“等差比数列”中可以有无数项为0
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.在等差数列{a n }中,前m (m 为奇数)项和为135,其中偶数项之和为63,且a m -a 1=14,则a 100的值为 .
14.已知两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,且S n T n =7n+14n+27(n ∈N *
),则a
11b 11
= .
15.设f (x )=4x
4x +2,可求得f
12015
+f
22015
+f
32015
+…+f
20142015
的值为 .
16.已知数列{a n }满足a n +a n+2=2a n+1,a 2=8,a 5=20,b n =2n +1+1,设数列{b n -a n }的前n 项和为S n ,则
a 1= ,S n = .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n S n-1=0(n ≥2),a 1=1
2. (1)求证:{1
S n
}是等差数列;
(2)求数列{a n }的通项公式.
.
18.(本小题满分12分)已知数列{a n}的通项公式为a n=3n-2
3n+1
(1)求a10.
是否为该数列中的项.若是,它为第几项?若不是,请说明理由.
(2)判断7
10
(3)求证:0<a n<1.
19.(本小题满分12分)甲、乙两物体分别从相距70米的两处同时相向运动.甲第1分钟走2米,以后每分钟比前1分钟多走1米,乙每分钟走5米.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1分钟多走1米,乙继续每分钟走5米,那么甲、乙开始运动后几分钟第二次相遇?
20.(本小题满分12分)(2021云南玉溪月考)已知数列{a n+3}为等比数列,且a2=6,a3=24.
(1)求a n;
(2)若3(b n+1-b n)=a n,且b1=1
,求b n.
2
21.(本小题满分12分)已知数列{a n}的各项均为正数,前n项和为S n,且满足2S n=a n2+n-4(n∈N*).
(1)求证:数列{a n}为等差数列;
(2)求数列{a n}的前n项和S n.
22.(本小题满分12分)若数列{a n }是公差为2的等差数列,数列{b n }满足b 1=1,b 2=2,且a n b n +b n =nb n+1. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)设数列{c n }满足c n =
a n +1
b n+1
,数列{c n }的前n 项和为T n ,若不等式(-1)n
λ<T n +
n
2n -1
对一切n ∈N *
恒成立,
求实数λ的取值范围.
参考答案 第四章综合测评
1.B 设等差数列{a n }的公差为d ,
∵在等差数列{a n }中,2a 8=6+a 11, ∴2(a 1+7d )=6+a 1+10d ,解得a 1+4d=6. ∴a 1+a 9=a 1+a 1+8d=2×6=12.故选B .
2.B ∵数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =an 2
+bn , ∴数列{a n }是等差数列.
∵a 7=3a 2,∴a 1+6d=3(a 1+d ),解得a 1=3
2d.
∵S 8=λa 2,∴8a 1+
8×72
d=λ(a 1+d ),
∴40d=λ×52
d ,又d ≠0,解得λ=16. 3.C ∵a n =1+
1a n -1
(n ≥2),a 1=2,∴a 2=1+1a 1
=1+12
=32
,∴a 3=1+1a 2
=1+132
=53
.故选C .
4.C ∵在各项均为正数的等比数列{a n }中,a 5=3,
∴log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+…+log 3a 9=log 3(a 1a 2…a 9)=log 3a 59
=9log 3a 5=9log 33=9.故选C .
5.B 根据题意,a 3是4与49的等比中项, 则(a 3)2
=4×49,解得a 3=±14. 又因为a 3<0,所以a 3=-14. 又a 1=-5,则a 5=2a 3-a 1=-23.故选B . 6.B 设等差数列{a n }的公差为d , 由{a 2≥3,S 5=52
(a 1+a 5)≤30,
可得{a 1+d ≥3,a 1+2d ≤6,即{2a 1+2d ≥6,-a 1-2d ≥-6,解得a 1≥0,
则a 1的最小值是0.故选B .
7.B 在数列{a n }中,a 1=1,(n+1)a n =2na n+1, 整理得
a n+1a n
=
n+1
2n ,所以a n a n -1
=n 2(n -1),a n -1a n -2
=n -12(n -2),…,a 2
a
1
=2
2×1, 所有的式子相乘得到a n a n -1
·a n -1a n -2
·…·a 2a 1
=n 2(n -1)·n -12(n -2)·…·22×1,整理得a n a 1
=n
2n -1,
所以a n =n 2n -1(a 1也符合该式).故a n =n
2n -1.故选B .
8.B 设b 1=0+1+2+…+9,b 2=1+2+3+…+10,…,b 10=9+10+…+18,则{b n }是首项b 1=45,公差d=10的等差数列,所以S 10=45×10+
10×92
×10=900.
9.AD ∵等比数列{a n }的公比q=-2
3,
∴a 9和a 10异号,即a 9a 10<0,但不能确定a 9和a 10的大小关系,故A 正确,B 不正确; ∵a 9和a 10异号,a 9>b 9且a 10>b 10, ∴b 9和b 10中至少有一个数是负数,
又b 1=12>0,∴d<0,∴b 9>b 10,b 10一定是负数,即b 10<0,故C 不正确,D 正确.故选AD . 10.BCD 因为S 6=90, 所以6a 1+
6×52
d=90,即2a 1+5d=30, ①
又因为a 7是a 3与a 9的等比中项,所以a 72
=a 3a 9,
所以(a 1+6d )2
=(a 1+2d )(a 1+8d ),整理得a 1=-10d , ②
由①②解得a 1=20,d=-2,故A 错误,B 正确; 所以S n =20n+n(n -1)2
×(-2)=-n 2
+21n=-n-21
2
2
+
4414
,又n ∈N *
,所以当n=10或n=11时,S n 取得最大值,
故C 正确;
令S n =-n 2
+21n>0,解得0<n<21,又n ∈N *
, 所以n 的最大值为20,故D 正确.故选BCD .
11.ACD 因为数列{a n }为等差数列,2a 1+3a 3=S 6,即5a 1+6d=6a 1+15d ,即a 1+9d=a 10=0,故A 正确;因为
a 10=0,所以S 9=S 10,但是无法确定数列{a n }的公差d 的大小,故无法确定S 10是最大值还是最小值,故B
错误;因为a 8+a 9+a 10+a 11+a 12=5a 10=0,所以S 12=S 7+a 8+a 9+a 10+a 11+a 12=S 7+0=S 7,故C 正确;S 19=a 1+a 19
2
×
19=19a 10=0,故D 正确.故选ACD .
12.AD 由题意,a n+1≠a n ,则a n 不为常数列,故A 正确,B,C 错误;数列0,1,0,1,0,1,…,0,1是等差比数列,且有无数项为0,故D 正确.故选AD . 13.101 ∵在前m 项中偶数项之和为S 偶=63,
∴奇数项之和为S 奇=135-63=72,设等差数列{a n }的公差为d ,则S 奇-S 偶=2a 1+(m -1)d
2
=72-63=9.
又a m =a 1+d (m-1),∴
a 1+a m
2
=9.
∵a m -a 1=14,∴a 1=2,a m =16. ∵
m(a 1+a m )
2
=135,
∴m=15,∴d=14
m -1=1,∴a 100=a 1+99d=101.
14.148111 因为在等差数列{a n },{b n }中,S n T n =7n+14n+27(n ∈N *
),所以a 11b 11=2a
112b 11
=
a 1+a 21
b 1+b 21
=S 21T 21
=21×7+1
4×21+27=
148111
.
15.1007 ∵f (x )=4x
4x +2,
∴f (x )+f (1-x )=4x 4x +2+41-x 41-x +2=4x 4x +2+41-x ·4x (41-x +2)·4x
=4x
4x +2+
44+2·4x
=4x
4x +2+2
2+4x =4x +2
4x +2=1.
故可得f
12015+f
22015
+f
32015
+…+f
20142015
=f
12015
+f
20142015
+f
22015
+f
20132015
+…+f
10072015
+f
10082015
=1007×1=1007.
16.4 2n+2
-2n 2
-n-4 ∵数列{a n }满足a n +a n+2=2a n+1,∴{a n }为等差数列. 设{a n }的公差为d ,
则{a 5=a 2+3d,a 2=a 1+d,即{20=8+3d,8=a 1+d,解得{d =4,a 1=4,
故a n =4n.∴b n -a n =2n +1+1-4n , ∴S n =
4(1-2n )1-2
+n-4·
n(n+1)2
=2n+2-2n 2-n-4.
17.(1)证明当n ≥2时,由a n +2S n S n-1=0得S n -S n-1=-2S n S n-1,所以1
S n
−1
S n -1
=2.
又1S 1
=1
a 1
=2,
所以{1
S n
}是首项为2,公差为2的等差数列.
(2)解由(1)可得1S n
=2n ,所以S n =1
2n .
当n ≥2时,a n =S n -S n-1=12n −12(n -1)=-1
2n(n -1); 当n=1时,a 1=1
2,不符合a n =-1
2n(n -1).
故a n ={12,n =1,-12n(n -1),n ≥2且n ∈N *.
18.(1)解根据题意可得a 10=
3×10-23×10+1=2831. (2)解是.令a n =710
,即3n -23n+1=710,解得n=3, 故710为数列{a n }中的项,为第3项.
(3)证明由题意可得a n =
3n -23n+1=1-33n+1, ∵n ∈N *,∴3n+1>3,
∴0<33n+1<1,∴0<1-33n+1<1,即0<a n <1.
19.解(1)设开始运动n 分钟后相遇,依题意,有2n+
n(n -1)2+5n=70,整理,得n 2+13n-140=0, 解得n=7,n=-20(舍去).
故甲、乙两物体开始运动后7分钟相遇.
(2)设开始运动m 分钟后第2次相遇,依题意,有2m+m(m -1)2+5m=3×70,整理,得m 2+13m-420=0,解得
m=15,m=-28(舍去).
故甲、乙两物体开始运动后15分钟第二次相遇.
20.解(1)因为a 3
+3a 2+3=24+36+3=3,
所以数列{a n +3}的公比为3,
所以a n +3=(a 2+3)·3n-2=9·3n-2=3n
,
故a n =3n -3.
(2)因为3(b n+1-b n )=a n ,所以b n+1-b n =13(3n -3)=3n-1-1, 所以b 2-b 1=30-1,b 3-b 2=31-1,…,b n -b n-1=3n-2-1,
所以b n -b 1=(30+31+…+3n-2)-(n-1)=1-3n -1
1-3-(n-1)=3n -12-n+12,所以b n =3n -12-n+1.
21.(1)证明当n=1时,有2a 1=a 12+1-4,即a 12-2a 1-3=0,解得a 1=3(a 1=-1舍去).
当n ≥2时,有2S n-1=a n -12+n-5,
又2S n =a n 2+n-4,两式相减得2a n =a n 2−a n -12+1,
即a n 2-2a n +1=a n -12,即(a n -1)2
=a n -12, 因此a n -1=a n-1或a n -1=-a n-1.若a n -1=-a n-1,
即a n +a n-1=1.则有当a 1=3时,a 2=-2,这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾,所以a n -1=a n-1,即a n -a n-1=1,因此数列{a n }为等差数列.
(2)解由(1)知a 1=3,d=1,所以数列{a n }的通项公式为a n =3+(n-1)×1=n+2,故S n =n 2+5n 2. 22.解(1)∵数列{b n }满足b 1=1,b 2=2,且a n b n +b n =nb n+1,
∴a 1+1=2,解得a 1=1.
又∵数列{a n }是公差为2的等差数列,
∴a n =1+2(n-1)=2n-1.
∴2nb n =nb n+1,即2b n =b n+1,
∴数列{b n }是以1为首项,2为公比的等比数列,故b n =2n-1.
(2)数列{c n }满足c n =a n
+1b n+1=2n 2n =n 2n -1,数列{c n }的前n 项和T n =1+22+322+…+n 2n -1, ∴12T n =12+222+…+n -12n -1+n 2n , 两式相减得12T n =1+12+122+…+12n -1−n 2n =
1-1
2n
1-12−n 2n =2-n+22n , ∴T n =4-n+22n -1,不等式(-1)n λ<T n +n 2n -1,
即(-1)n λ<4-22n -1恒成立,
当n=2k (k ∈N *)时,λ<4-2
2n -1,∴λ<3; 当n=2k-1(k ∈N *)时,-λ<4-2
2n -1,∴λ>-2.
综上可得,实数λ的取值范围是(-2,3).。