材料第二章汇交力系

Fy Fxy sin F cos sin
Fz F sin
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4、力的解析表达式：
若以 F ,F ,F 表示力沿直角 x y z 坐标轴的正交分量，则：
F Fx Fy Fz
而：
Fz k
j
Fx Xi ,Fy Yj,Fz Zk
所以：
Fx
i
Fy
[例2]圆柱重500N，板与墙夹角600，接 触光滑，求圆柱给墙和板的压力。 1、比例尺 2、力的多边形 O N
D
300
W
NE
FA Gtg300 500N tg300 288.7 N
G FB 577 .4 N 0 cos 30
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汇交力系几何法解题的主要步骤如下： 1．选取研究对象。根据题意，选取适当的平衡物体作为研究 对象，并画出简图。 2．分析受力，画受力图。在研究对象上，画出它所受的全部 已知力和未知力(包括约束反力)。若某个约束反力的作用线不 能根据约束特性直接确定(如铰链)，而物体又只受三个力作用 ，则可根据三力平衡必须汇交的条件确定该力的作用线。 3．作力多边形或力三角形。选择适当的比例尺，作出该力系 的封闭力多边形或封闭力三角形。必须注意，作图时总是从已 知力开始。根据矢序规则和封闭特点，就可以确定未知力的指 向。 4．求出未知量。用比例尺和量角器在图中量出未知量，或者 用三角公式计算出来。
X=Fx=F· cos ：
Y=Fy=F· sin=F · cos
F Fx Fy
X Fx cos F F
2 2
Y Fy cos F F
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2、力在平面上的投影
F

FM
FM F cos
力在平面上的投影是矢量，又称投影矢量
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[习题2] 求平面共点力系的合力
300N F2
X 0, FAB G sin 300 0
FAB A
600
Y 0, FAC G cos300 0 FAB G G sin 30 2
0
FAC 300
G
x
FAC
3 G cos30 G 2
0
29
解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
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FRy Yi F1 cos600 F2 cos300 F3 cos 450 F4 cos 450
i 1
4
200cos600 300cos600 100cos 450 250cos 450 112.3N
FR FRx FRy 129.32 112.32 171.3N FRx 129.3 cos 0.7548 , FR 171.3 112.3 cos 0.6556 FR 171.3
D
F D FD 450 FD
比例尺（KN）
0 5 10
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几何法解题不足： ①精度不够，误差大 ②作图要求精度高； ③不能表达各个量之间的函数关系。 下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法：
解析法。
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三、平面汇交力系平衡的解析法
从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系 的合力为零。 即： R 0
合力FR的作用线通过汇交点O。
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2
2
300N y F2
FRy
600 O 300 450 4501 100N
200N F x
F3
250N F4
则合力FR与x、y轴夹角分别为：α=40.990,β=49.010
3、力在直角坐标轴上的投影 1.力在空间的表示： 力的三要素： 大小、方向、作用点(线)
大小：
30
0
z C
FC
B x
300
A O
y
A FA O
y
FB
P
x
F
P
y
0
F
z
0
F
0
FB FC cos300 cos 0
FC sin 300 P 0
P F3 20 kN 0 sin 30
FA FC cos300 sin 0
FB 13.85kN
FA 10.39kN
特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。
30
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出
负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，
点，而不改变该力对刚体的效应。
因此，对刚体来说，力作用三要素为：大小，方向，作用线 作用在刚体上的力是滑移矢量
4
二、汇交力系合成的几何法
1.两个共点力的合成 (公理3平行四边形法则) 2. 任意个共点力的合成
由力的平行四边形法则作， 也可用力的三角形来作。 由余弦定理：
R F1 F2 2 F1 F2 cos
A
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[习题3] 支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C联接，并各以 铰链A、D连接于铅直墙上。已知AC=CB；F=10KN。设梁和 杆的自重不计，求铰链A的约束反力和杆DC所受的力。
A F B FAy A FA FAx C C F
450
C
B
FC/
FC
量取或计算:
FA
FD=28.3KN FA=22.4KN
F Xi Yj Zk
F X 2 Y 2 Z 2
X Y Z cos ,cos ,cosg F F F
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5、汇交力系合成的解析法：
R F1 F2 F3 Fn F i
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。
各个力依次首尾相连，合力矢则为力的 多边形的闭合边，即：合力矢量从第一 个力的起点指向最后一个力的末端。 改变个力的顺序，力的多边形形状也将 改变，但封闭边不变
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[例1]
F3 =100N， F4 =40N，求合力。 F1=60N，F2 =80N，
F1 F4
3 1 2 1 1
1
F2 F3
0 40
F2
2 2
cos(180 ) cos
为力多边形
R 1 合力方向由正弦定理： sin sin(180 )
F
5
R F1 F2 F3 F4
即：
R F
即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 线通过各力的汇交点。 平面汇交力系合成的几何法：
力的多边形法则
FRx Fx FRy Fy FRz Fz
FR FR x FR y FR z
2
2
2
( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2
FR y FR x FR z cos , cos , cosg R R R
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§2-2 汇交力系的平衡条件
一、三力平衡汇交定理（公理4)
刚体受三力(互不平行)作用而平衡，若其中两力作用线汇
交于一点，则另一力的作用线必汇交于同一点，且三力的作 用线共面。 推论2：三力平衡汇交定理 刚体受三力(互不平行)作用而平衡，若其
中两力作用线汇交于一点，则另一力的作用
线必汇交于同一点，且三力的作用线共面。
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[证 ]
2
§2-1 汇交力系合成 公理1 二力平衡公理
作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是：
这两个力大小相等 | F1 | = | F2 |
方向相反 F1 = –F2 作用线共线， 作用于同一个物体上。
3
公理2
加减平衡力系原理
在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原 力系对刚体的作用。 一、力的可传性。 作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一
F1 α R
F4
F3
R=140kN,α=430
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[习题1] F1=150N，F2 =200N， F3 =120N， F4 =180N，求合力。
0 100N
y
F2
300 600
F2 F1
45
0 30 0
F3
x
F1 F4
R
F3
F4
量得R=61N，与X轴夹角670
8
三、汇交力系合成的解析法
1、力在坐标轴上的投影
g
O
FF
方向：

由、、g三个方向角确定 Fxy
由仰角与俯角来确定。
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2、一次投影法（直接投影法） 由图可知： Fx F cos ,
Fy F cos , Fz F cos g
3、二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向夹角不易 确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y轴上， 即 Fx Fxy cos F cos cos
300
F/AB
/ A F AC
D C FAB
FAC A
A
C
FAB
G
G
FAC
FCA 一、图解法： 1、选适当比例尺； 2、画已知力； 3、分别做AB、AC平行线； 4、由多边形自行闭合量出或通过三角 函数计算出未知力大小、方向； 28
二、解析法
F/AB F/AC G
y
为使每个未知力只在一个轴 上有投影，在另一轴上的投 影为零，坐标轴应尽量取在 与未知力作用线相垂直的方 向。这样在—个平衡力程中 只有一个未知数，不必解联 立力程.
一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压
力。
作业：2-4、2-6
31
三、空间汇交力系的平衡：
空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：
R Fi 0
∴解析法平衡充要条件为：
X 0 Y 0 Z 0
称为平衡方程 空间汇交力系的平衡方程
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例：结构如图所示，杆重不计，已知 力P，求BO杆的内力和绳CO的拉力。 z C 解：研究铰链O B x
1
引 言
力系分为：平面力系、空间力系
①平面汇交力系 平面力系 ②平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况 ) ③平面一般力系(平面任意力系)
平面特殊力系：指的是平面汇交力系、平面力偶系和平面平 行力系。
平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。
研究方法：几何法，解析法。
例：起重机的挂钩。
F y/
B a
450
a
FC 43.92N , FA 53.79
Fx/ 0, FA F sin 450 FC cos750 0
C
750
FC
A
FA
Fy 0, FC sin 750 F cos450 0
27
B
600
A
[习题4] 重物重量G，杆AB与AC铰接 ，并以铰链与墙连接。如两杆和滑轮 的自重不计．并忽略摩擦，试求平衡 时杆AB和AC所受的力。 FBA B
∵ F1 , F2 , F3 为平衡力系， ∴ R , F3 也为平衡力系。 又∵ 二力平衡必等值、反向、共线，
∴ 三力 F1 , F2 , F3 必汇交，且共面。
平面汇交力系平衡的充要条件是： 二、平面汇交力系平衡的几何条件：
R F 0
在上面几何法求力系的合力中，合力为 零意味着力多边形自行封闭。所以平面 汇交力系平衡的必要与充分的几何条件 是： 力多边形自行封闭 或 力系中各力的矢量和等于零 20
Rx Ry 0
2
2
Rx X 0 R y Y 0
为平衡的充要条件，也叫平衡方程
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F
a
B
a C
600
[例5]已知F=60N,求A,C两点的 约束反力.
Fx 0, F FA sin 450 FC cos600 0
A
y
D x/
x
Fy 0, FC sin 600 FA cos450 0
33
600 450
y
O
F3 100N
300 450
200N F1
x
FRx X i F1 cos300 F2 cos600
i 1
4
250N F4
F3 cos 450 F4 cos 450 200cos300 300cos600 100cos 450 250cos 450 129.3N
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[习题2] 压路碾子，自重P＝20kN，半径R=0.6m，障碍物 高h=0.08m。碾子中心O处作用一水平拉力F。试求：水平 拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？
ห้องสมุดไป่ตู้比例尺（KN） 0 10 20
B
F
R R O
h
F FB
O P FA
FB F FA
按比例量得： P FA=11.4KN, FB=10KN