南昌三中2019届高三年级第三次月考数学(理科)试卷.doc

D.
{0}
所对的边，若 D,既不充分也不必要 南昌三中2019届高三年级第三次月考数学（理科）试卷
一、选择题（每题5分共10小题共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的）. 1.
已知集合M = (-1,0,1),N = {y\y = cosx,x^M},则MI N 是() A. (-1,0,1} B. {1}
C. {0,1)
2.
计算sin43 cos 13 -sinl3 cos43 的值等于(
)
A. -
B. —
C. —
D. — 2
3 2
2
3. 若向量 a = (1,1),b = (-l,l),c = (4,2) JiJc =() A. 3a+ b B. -a + 3b C. 3a-b D. a + 3b
4. 下列结论正确的是( )
A.当x > 0且x 更1时,lgx +」一z 2
B.当尤> o 日寸,J^ + —> 2
」Igx Vx 1 jr d.
C.当x>2时,x + —的最小值为2
D.当xe (0,—］时，/(x) = sinx + ---------- 的最小
x 2 sin x
值是4
5. 设a,b,c 分别△ABC 是的三个内角 A,B,C a=l,b=y/3,贝!）A=30 >^B =60 的（ ）
A.充分不必要条件；
B.必要不充分条件；
C.充要条件; 条件；
6. 下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（） A. y = cos 〔2x 一亲］ B. y = sin" + C. y = cosf4x-j D. y = sinfj
7.
函数/（x ）-3sin^2x-yj 的图象为C ,
①图象C 关于直线"巨兀对称；②函数f （x ）在区间内是增函数; ③由y = 3sin2x 的图象向右平移;个单位长度可以得到图象C . 以上三个论断中，正确论断的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8.
已知a = y-x,b = 2x-y, a =|z?| = l,tz-Z? = O,则 x + y 等于()
A.
7 B. 2a/2 C. 5^2 D.
a/2+a/5 A. a,b,c,成等差数列
C. a,c ，成等比数列 B. a,c,b 成等差数列
D. a,》,c 成等比数列 10.函数/■(玲 2
a -U 的3湿）的导函数是/"'（X ）,集合
9. 在 AABC 中，a,b,c 为匕A,ZB,Z C 的对边，5. cos2B + cosB + cos(A - C) = 1,
则
()。

A = {x| /( .»} 。

{律，x 若 BjA ,贝!J () A. a<O,b 2 -4ac>0 B. a > 0,b 2 -4ac > 0 C. a<O,b 2 -4ac<0
D. a > O,b 2 -4ac < 0
二、填空题(共5小题 每题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11. 角。

终边上一点 M (%, -2),且cosO = —,贝Ijsin6>= .
3 ---------
3 77" 7 TT
12. 化简 Zog^ sin — + Zog^ sin — . 13. j - jdx =・
14. 函数y = logq （x —1） + 1 （Q >。

，且gl ）的图象恒过定点A,若点A 在
一次函数
1
2
y = mx + n 的图象上，其中m 〃>0,则一+ 一的最小值为・ m n
15. 设a,b,c 是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题：①
(Q ・ b)・ c4 c-\a • b 土：
②a + b a + b :③\ b'cya-(c-ayb^c^直；④两单位向量平行，则 弓勺=1；
―>
—>
⑤将函数y=2x 的图象按向量a 平移后得到y=2x+6的图象，a 的坐标可以有无 数种情况。

其中正确命题是 （填上正确命题的序号）
三、解答题：共6小题共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. （本小题满分12分）在△ABC 中，角A. B 、C 所对的边分别是a, b, c,且
1 A A -C
a 1 +c 2 -
b 2 = —ac. （1）求sin? --------- + cos 2B 的值；（2）若扶2,求△/网面积的
2 2
最大值.
17.(本题满分12分)设关于x的一兀二次方程%2 + lax + b = 0. ( 1)若a是从0, 1, 2, 3四个数中任取一个数，b是从0, 1, 2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率。

(2)若。

是从区间［0, 3］任取的一个数，b是从区间［0, 2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
18.(本小题满分12 分)已知函数/(X)= 2cos xsin(x + y) - V3 sin2 x + sinxcos x. ( 1) 求函数/Xx)的最小正周期7;(2)在给出的直角坐标系中，画出函数f(x)在［-
|,|］上的图象；(3)若当当时,f (x)的反函数为尸⑴，求/ '(1)的值.
12 12
19.(本小题满分12 分)已知函数/(%) -cos2x + 2t sinxcosx-sin2 x, (1)当，=1 时，若/(-) = -,试求sin2«； (2)若函数f(x)在区间是增函数，求实 2 4
12 6
数f的取值范围.
20.(本小题满分13分)已知1、B、C是直线/上的三点，向量泌，0B,沅满足: 汤一［y+/ ⑴］泌+ In (x+1) K ；).
(I )求函数y= f(x)的表达式；
2x
(II )若X>0,证明：/(A") > , …；
x+z
(III)若不等5^^-/<f(/) + — 2bm— 3 时，—1］及［—1, 1］都恒成立,求实数m的取值范围.
21.(本小题满分14 分)
已知函数 /(%) - x2 - 2a cos x{k e N*' , ae R且a>0). (1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若S2010,方程/1(x) =2 a x有惟一解时，求。

的值。

siz?? A*' +CQS 2B= -7 ...............5 分
2 4
(2)由 cosB =上,得sinB = ....... 6 分
4 4
夕2, ........... 7 分 1 8
疽+ 2=^ac+4N2aG 得 acW —, ........... 10 分 « c z 3
S △就=&csi 沥W ez (a=c 时取等号) ....... 12分
2 3 故&疯的最大值为垂 3
17,解：设事件A 为“方程x 2+2ax + b = 0有实根”。

当a>0,b> 0时，方程产+2ax + b = 0有实根的充要条件为a' N b..................... 2 分
(1)基本事件共有12个： (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 1), (3, 2). ........................ 4 分
其中第一个数表示。

的取值，第二个数表示b 的取值.事件A 中包含9个基本 事件，
事件/发生的概率为尸以）=史=°. ........... 6分
12 4
（2）试验的全部结果所构成的区域为{（a,/?）|0<«<3,0</?<2} , .................... 7 构成事件，的区域为g 》）|0MoM3,0M 庭2,疽>b\ , ...................... 8分 而这个区域的面积为：『次也+ 2乂（3 —7^） = 6-略 ......... 11分 所求的概率为户（A ）= 1 一学. ............ 12分
（1）Q/（.v ） = 2cos.r|-sin.r+—cos.r |-\/3sin 2x+sinxcos.r = 2sinxcos.r+\/3（cos :.r-sin 2.r ）
=sin
2x+-x/3 cos 2x = 2 sin ^2x+-^J 分*
■ T =兀 ..... 4分
(2)图形如图 (8)
分
一、 1. B 2. A 3. C 4. B 5. B 6. A
二、 11. _2或 一1 12. -37. C 8. D 1
---- —71 2 3 3 ⑤
16.解：（1）由余弦定理：cosB=^, (2)
高三年级第三次考试数学（理科）试卷答
9. D 10. D 14. 8 15.②③
10分
12分
13分.
令。

（方）=in —2bni —
/c 、c r" 77T n r 7T _
71 3〃
(3) Qxe[—,——]0f, —<2x + —< — 12 12 2
3 2
由 /(x) = 1 得 2sin(2x + y) = 1 .........
:.2x-{——=冗 - =一兀 n x = — :. f (1)= 一
3 6 6
4 4
19.解：(1)当，=1 时，函数/(x)=cos 2
x+2sinxcosx-sin 2x = cos 2x +sin 2x , .... 3 分。

由/(—) = 2得sintr + coscr =-,两边同时平方并整理得2sinacosa = -—, 2 4
4 16
7 艮[J sin 2a = 16
(2)函数函数f(x)在区间(-,-]±是增函数，则等价于不等式/(x)>0在区间 12 6 (%,%]上恒成立，也即/(x) = -2sm2x+2/cos2x>0在区间(志上恒成立， 从而t > tan 2.r 在在区间(―，^]上恒成立，而函数y = tan 2x 在区间
上的最大值为
12 6
tan(2^) = A /3 ,所以f 2右为所求.
6 20.解：(I ) ...彻一[y+2/•'(I)]泌+ln(x+l)说 =0, .•.汤=Lr+2/',(l)]泌一 ln(x+l) ~0C
由于 A 、B 、C 三点共线 即[y + '(I)] + [ — ln(x+ 1)]=
................ 2分
y — f(x) =ln(x+l) +1 —2f z (l)
得 f ，(l )=!，故/V) =ln(x+l)
人 /、 /、 2x / 1 2(x+2) —2x
(II )令 g(x) =f(x)一不’由 de =F 一(好2)2 — (x+1) (X +2)2
V x>0, >0, g(x)在(0, +8)上是增函数 ................... 7 分
9 v
故 g(x) >g(0) =0 即 f(x) >—pz
~I ~ 乙 (III)原不等式等价于白一f3)W 井一2bm —3
1 1 9 v V — v 令 /?(x) — =-/ —ln(l + x 2),由 H ①=x —] + 了=] +茶 11分
当 1, 1]时，方(x)max = 0，.•.淅一2 如L3N0 0(1) =m —2 777—3N0
0( — 1) — in 2m —3NO
得勿N3或勿W —3 .................................... 13分
21.解：(1)由已知得，x〉0 且f (x) = 2x— (—1)" ---- .
x
当人是奇数时，则/(x)>0,则f(x)在(0,+8)上是增函数；……(2分)
当A是偶数时，则，f'(x) = 2x_也=23 + &)3 —^), ...... (4 分)
X X
所以当昨(o,&)时，/'⑴<0,当昨(7Z,+co)时，/'‘(X)>0,
故当A是偶数时,/V)在(0,扃)是减函数，在(&,+00)是增函数.……(6分) (II )若k = 2010,则f(x) = x2-2a]nx(k G TV* )
记g (龙二 f (龙 - 2 ax - x 2- 2 a xlnx - 2 ax,
g'(jv) = 2x -------- 2o = _(%2 _ ux — ci),
x x
若方程f(Eax有唯一解,即g(x)二0有唯一解;……(7分)
令g'(x) = 0,得工2 一ax- ♦ = 0 , tz > 0,x > 0
.•齐二--------- <0 (舍去) .................... (9 分)
1 2 2 2
当XG(0,X2)时，g'3)v0, g(x)在(0,叼)是单调递减函数；
当xe (x2,+oo)时，g\x) >0, g⑴在(也,+00)上是单调递增函数。

当尸X2 时，g'32)= °，g(X)min=g(X2).................... (10 分)
Qg3) = 0有唯一解，.•.g(X2)=。

- 「2
则『”2)= 0，即-履―2aln^—2。

易=° ......... (口分) [幺'(工2)= 0 x22-ax2-a = 0
2alnx2 +ax2 -a = 0 Qa >0, .\21nx2 +x2 -1 = 0 (*) ................. (12 分)设函数/z⑴=21n% + %-l,
..•在x>0时，h (x)是增函数，:・h (x)二0至多有一解。

•.F (1) = 0,...方程(*)的解为X2=l,即" + =],解得 a =l o ...(14
2 2 分)。