2020年江西省赣州市于都第五中学高三数学理联考试卷含解析

2020年江西省赣州市于都第五中学高三数学理联考试
卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为
A．－4 B．4 C．－2 D．2
参考答案：
B
2. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）
A．B．C．D．16
参考答案：
B
【分析】根据三视图可知三棱锥倒立放置，从而得出棱锥的高，根据俯视图找出三棱锥的底面，得出底面积，从而可求出棱锥的体积．
【解答】解：由主视图和侧视图可知三棱锥倒立放置，棱锥的底面水平放置，故三棱锥的高为h=4，
∵主视图为直角三角形，∴棱锥的一个侧面与底面垂直，
结合俯视图可知三棱锥的底面为俯视图中的左上三角形，∴S底==4，
∴V==．
故选：B．
【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，根据三视图的特征找出棱锥的底面是关键，属于中档题．
3.
已知椭圆满足条件：成等差数列，则椭圆离心率为
A、 B、 C、D、
参考答案：
答案：B
4. 角α的终边经过点P（sin10°，﹣cos10°），则α的可能取值为（）A．10°B．80°C．﹣10°D．﹣80°
参考答案：
D
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】算出r=|OP|=1，根据三角函数的定义得cosα==sin10°且sinα==﹣
cos10°，再由诱导公式加以计算，可得α=﹣80°+k?360°（k∈Z），k=0可得答案．【解答】解：∵sin10°＞0，﹣cos10°＜0，
∴点P（sin10°，﹣cos10°）是第四象限的点，
∵r=|OP|==1，
∴cosα==sin10°=cos80°=cos（﹣80°），
sinα==﹣cos10°=﹣sin80°=sin（﹣80°），
满足条件的α=﹣80°+k?360°（k∈Z），取k=0，得α=﹣80°．
故选：D
【点评】本题给出点P为角α的终边上一点，求满足条件的一个α值．着重考查了任意角三角函数的定义与诱导公式等知识，属于基础题．
5. 已知全集，集合,则
( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
6. 在下列图象中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（）x的图象只可能是
（）
参考答案：
A
7. 高三某班有位同学，座位号记为，用下面的随机数表选取组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第列和第列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第个志愿者的座号为（）
A．B．C．D．
参考答案：
试题分析:从随机数表第一行的第列和第列数字开始，由左到右依次选取两个数字，不超过的依次为：，第四个志愿者的座号为，故选.
考点：随机抽样.
8. 复数的虚部为（）
A.
2 B. C. D.
参考答案：
B
略
9. 设，那么（）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
10. 不等式成立的一个充分不必要条件是（）
A．或B．或C． D．
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，给出下列命题：
①F（x）=|f（x）|；
②函数F（x）是偶函数；
③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；
④当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．
其中正确命题的序号为．
参考答案：
②③④
对于①，∵函数，函数，
∴，
∴F(x)≠|f(x)|．故①不正确．
对于②，∵，
∴函数是偶函数．故②正确．
对于③，由0<m<n<1得，
又，
∴
即F(m)<F(n)，
∴F(m)?F(n)<0成立．故③正确
对于④，由于，且函数，
∴当x>0时，函数在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
∴当x>0时，F(x)的最小值为F(1)=1，
∴当x>0时，函数F(x)的图象与y=2有2个交点，
又函数F(x)是偶函数，
∴当x<0时，函数F(x)的图象与y=2也有2个交点，
画出图象如下图：
故当a>0时，函数y=F(x)?2有4个零点．所以④正确．
综上可得②③④正确．
12. 设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，
其中．若，则的值为．参考答案：
－10
13. 已知f（x）=3x2+x，则定积分f（x）dx= ．
参考答案：
10
考点：定积分．
专题：导数的概念及应用．
分析：只要找出被积函数的原函数，然后代入上下限计算即可．
解答：解：定积分f（x）dx=（3x2+x）dx=（x3+x2）|=10；
故答案为：10．
点评：本题考查了定积分的计算，关键是熟练掌握积分公式以及法则，属于基础题．14. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个
边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，
则这两个正方形重叠部分的面积恒为，类比到空间，有两
个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，
则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .
参考答案：
略
15. 如图，边长为1的菱形OABC中，AC交OB于点D，∠AOC=60°，M，N分别为对角线AC，OB上的点，满足，则?=．
参考答案：
析：先利用边长为1的菱形OABC中，∠AOC=60°，可得|AC|=1，|OB|=，AC⊥OB，再利用向量的加法与数量积运算，即可得到结论．
答：
解：∵边长为1的菱形OABC中，∠AOC=60°，
∴|AC|=1，|OB|=，AC⊥OB
∴=+=
=+=﹣+
∴?===
故答案为：
本题考查向量的加法与数量积运算，考查学生的计算能力，正确表示向量是关键，属于中16. 执行右边的程序框图，若，
则输出的．
参考答案：
【解析】本小题主要考查程序框图。

，因此输出
答案：4
17. 已知各项均为正数的等比数列的公比为，则
．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）
已知
（Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若f(x)＜a2-3对任意的恒成立，求实数a的取值范围。

参考答案：
解析：（Ⅰ）
令=0，
∴x=1 (3)
分
当0＜x＜1时，＞0，单调递增；
当1＜x＜2时，＜0，单调递减。

∴f(x)的单点增区间为（0，1），f(x)的单调减区间为（1，2）···············6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x=1时，f(x)取得最大值，即f(x)max=a-
1 ···············8分
∵f(x)＜a2-3对任意的恒成立
∴a-1＜a2-
3， (10)
分
解得a＞2，a＜-1
∴a的范围为（-∞，-1）∪（2，
+∞）···············12分
19. （本小题满分15分）如图，在四棱锥中，，平面
，，，．
求证：平面平面；
若点在棱上的射影为点，求二面角的余弦值．
参考答案：
（Ⅰ）证明：因为平面，所以，…………………………2分
又因为，所以平面，………………………4分所以平面平面
. …………………………5分
（Ⅱ）解法1：先考查二面角和二面角，
因为面，所以，又因为，
所以面，所以，，
所以即二面角的一个平面
角，……………………7分
因为
，…
…………………9分
，
……………………11分
所以，
所以
……………………
12分
……………………13分
，……………………14分所以，
所以二面角的余弦值为
．……………………15分
解法2：因为面，所以，又因为，
所以面，所以，，
所以即为二面角的一个平面
角. …………………8分
因为，所以，
，…………………………10分
所以，，.....................12分又因为直角梯形可得， (13)
分
所以
，…………………………………14分
所以，
所以二面角的余弦值为
．……………………………15分
解法3：如图所示，以为轴，以为轴，过作轴，建立空间直角坐标系，则可知，，，，，……8分
则，.
设平面的一个法向量是，可得：
即． (10)
分
同理可得的一个法向量是， (12)
分
所以二面角的余弦值为．………………………15分20. 如图，在三棱锥P-ABC中，，，D为线段AB上一点，且
，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．
（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（2）求二面角P-AC-D的平面角的余弦值．
参考答案：
（1）见解析；（2）．
（1）因为，，
所以，
所以是直角三角形，；
在中，由，，
不妨设，由得，，，，
在中，由余弦定理得
，
故，
所以，所以；
因为平面，平面，所以，
又，所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）因为平面，所以与平面所成的角为，即
，可得为等腰直角三角形，，
由（1）得，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．
则为平面的一个法向量．
设为平面的一个法向量，
因为，，
则由，得，
令，则，，
则为平面的一个法向量，
故，
故二面角的平面角的余弦值为．
21. 已知a,b,c分别为锐角?ABC内角A,B,C的对边，且a=2csinA
⑴求角C
⑵若c=，且?ABC的面积为，求a+b的值.
参考答案：
（1）∵=2csinA ∴正弦定理得，
∵A锐角，∴sinA＞0，
（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，
又由△ABC的面积得．即ab=6，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25，由于a+b为正，所以a+b=5．
22. 已知函数（）.
（1）求函数的单调区间;
(2）函数的图像在处的切线的斜率为若函数
，在区间（1，3）上不是单调函数，求的取值范围参考答案：
解：（I）……2分
当即
f(x)的单调递增区间为（0，）,单调递减区间为（, (4)
分
当，即
f(x)的单调递增区间为（,,单调递减区间为（0，）……6分
（II）得……7分
+3 ……8分
………9分
……10分
……12分即：
……12分。