云南省丽江市(六校联考)2021届新高考模拟化学试题含解析

云南省丽江市(六校联考）2021届新高考模拟化学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若双曲线22
214
x y a -= ）
A ．
B ．
C ．6
D ．8
【答案】A 【解析】 【分析】
依题意可得24b =，再根据离心率求出2a ，即可求出c ，从而得解； 【详解】
解：∵双曲线22
214
x y a -=
所以2
24
13e a
=+=，∴22a =，∴c =故选：A 【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.
2．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ） A ．2cos x - B ．2sin x -
C ．2cos x
D ．2sin x
【答案】D 【解析】 【分析】
通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果. 【详解】
由题可知：()sin f x x x =
所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-
()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+ ()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅
所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+
()()4242cos sin k f x k x x x -=-- ()()4141sin cos k f x k x x x -=--- ()44cos sin k f x k x x x =-+
由201945051,202145063=⨯-=⨯- 所以()20192019sin cos f x x x x =--
()20212021sin cos f x x x x =+
所以()()201920212sin f x f x x += 故选：D 【点睛】
本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.
3．设x ∈R ，则“|1|2x -< “是“2x x <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必条件
【答案】B 【解析】 【分析】
解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案. 【详解】
由|1|2x -<，得13x -<<，又由2x x <，得01x <<， 因为集合{|01}{|13}x x x x <<⊂-<<， 所以“|1|2x -<”是“2x x <”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】
本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.
4．已知ABC △的面积是
1
2
,1AB =,BC =,则AC =（ ）
A ．5
B ． 1
C ．5或1
D
【答案】B 【解析】 ∵11
sin 22
ABC S AB BC B ∆=⋅⋅⋅=，1AB =
,BC =
∴sin 2B =
= ①若B
为钝角，则cos 2
B =-，由余弦定理得2222cos A
C AB BC B AB BC =+-⋅⋅，
解得AC =
②若B
为锐角，则cos 2
B =，同理得1A
C =. 故选B.
5．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B 【解析】 【分析】
设(,)z a bi a b R =+∈,
则48z z a bi i +=+=+,
可得4
8
a b ⎧⎪+=⎨
=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限. 【详解】
设(,)z a bi a b R =+∈,
则48z z a bi i +=++=+
,
48
a b ⎧⎪+=∴⎨=⎪⎩,6
,68i 8a z b =-⎧∴∴=-+⎨=⎩, 所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限. 故选:B 【点睛】
本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.
6．已知点()11,A x y ，()22,B x y 是函数(
)2
f x bx =的函数图像上的任意两点，且()y f x =在点
1212,22x x x x f ⎛++⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线与直线AB 平行，则( ) A ．0a =，b 为任意非零实数
B ．0b =，a 为任意非零实数
C ．a 、b 均为任意实数
D ．不存在满足条件的实数a ，b
【答案】A 【解析】 【分析】
求得()f x 的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得0a =，b 为任意非零实数. 【详解】
依题意(
)'
2f x bx =
+，()y f x =在点1212,2
2x x
x x f ⎛++⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线与直线AB
平行，即有(
)1221b x x +=
()1
2
21
a
b x x x x =
++-
=
，由于对任意12,x x 上式都成立，可得
0a =，b 为非零实数.
故选：A 【点睛】
本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题．
7．已知双曲线()2
2
2:10y C x b
b
-=>的一条渐近线方程为y =，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右
焦点，点P 在双曲线C 上，且13PF =，则2PF =( ) A ．9 B ．5
C ．2或9
D ．1或5
【答案】B 【解析】 【分析】
根据渐近线方程求得b ，再利用双曲线定义即可求得2PF
. 【详解】 由于
b
a
=b = 又122PF PF -=且22PF c a ≥-=， 故选：B. 【点睛】
本题考查由渐近线方程求双曲线方程，涉及双曲线的定义，属基础题.
8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =- D ．43n n S a =-
【答案】C 【解析】 【分析】
在等比数列中，由11n n a a S q
q
-⋅=-即可表示之间的关系.
【详解】
由题可知，等比数列{}n a 中11a =，且公比为2，故11221112
n n
n n a a q a a q S -⋅-===---
故选：C 【点睛】
本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题.
9．已知集合A ＝{y|y =
}，B ＝{x|y ＝lg （x ﹣2x 2
）}，则∁R （A∩B ）＝（ ）
A ．[0，1
2） B ．（﹣∞，0）∪[1
2
，+∞） C ．（0，1
2
）
D ．（﹣∞，0]∪[
1
2
，+∞） 【答案】D 【解析】 【分析】
求函数的值域得集合A ，求定义域得集合B ，根据交集和补集的定义写出运算结果. 【详解】
集合A ＝{y|y =
}＝{y|y≥0}＝[0，+∞）
； B ＝{x|y ＝lg （x ﹣2x 2）}＝{x|x ﹣2x 2＞0}＝{x|0＜x 1
2＜}＝（0，
12
）， ∴A∩B ＝（0，
12
）， ∴∁R （A∩B ）＝（﹣∞，0]∪[1
2
，+∞）. 故选：D. 【点睛】
该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有函数的定义域，函数的值域，集合的运算，属于基础题
目.
10．已知||a =r ||2b =r ，若()
a a
b ⊥-r r r ，则向量a b +r r 在向量b r
方向的投影为（ ）
A ．
12
B ．
72
C ．12
-
D ．72
-
【答案】B 【解析】 【分析】
由()
a a
b ⊥-r r r ，||a =r ||2b =r 3a b ⇒⋅=r r ，再由向量a b +r r 在向量b r 方向的投影为()||
a b b
b +⋅r r r
r 化简运算即可 【详解】
∵()a a b ⊥-r r r ∴()
230a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=r r r r r r r r ，∴3a b ⋅=r r
，
∴向量a b +r r 在向量b r 方向的投影为2
()347
||cos ,22||||
a b b a b b a b a b b b b +⋅⋅++++====r r r r r r r r r r r r r .
故选：B. 【点睛】
本题考查向量投影的几何意义，属于基础题
11．已知AB 是过抛物线2
4y x =焦点F 的弦，O 是原点，则OA OB ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A ．－2
B ．－4
C ．3
D ．－3
【答案】D 【解析】 【分析】
设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫
⎪⎝⎭
，设AB ：1x my =+，联立方程得到124y y =-，计算 22
121216
y y OA OB y y ⋅=+u u u r u u u r 得到答案.
【详解】
设211,4y A y ⎛⎫
⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫
⎪⎝⎭
，故22121216y y OA OB y y ⋅=+u u u r u u u r . 易知直线斜率不为0，设AB ：1x my =+，联立方程21
4x my y x =+⎧⎨=⎩
，
得到2
440y my --=，故124y y =-，故22
1212316
y y OA OB y y ⋅=+=-u u u r u u u r .
故选：D . 【点睛】
本题考查了抛物线中的向量的数量积，设直线为1x my =+可以简化运算，是解题的关键 . 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M
满足MA MO
= ，则·OM ON u u u u r u u u r
的
取值范围是（ ） A ．[]0,2
B
．0,⎡⎣ C ．[]22-,
D
．-⎡⎣
【答案】D 【解析】 【分析】
设出M 的坐标为(,)x y ，依据题目条件，求出点M 的轨迹方程22
(2)8x y +-=，
写出点M
的参数方程，则·os OM ON θ=u u u u r u u u r ，根据余弦函数自身的范围，可求得·OM ON u u u u r u u u r
结果. 【详解】 设(,)M x y ，则
∵
MA MO
=，()0,2A -
=
∴2222(2)2()x y x y ++=+
∴22(2)8x y +-=为点M 的轨迹方程
∴点M
的参数方程为2x y θθ
⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）
则由向量的坐标表达式有：
·os OM ON θ=u u u u r u u u r
又∵cos [1,1]θ∈-
∴·[OM ON θ=∈-u u u u r u u u r
故选：D 【点睛】
考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中
的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________． 【答案】丙 【解析】
若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙． 考点：反证法在推理中的应用.
14．已知向量,a b r r 满足(2)()6a b a b +⋅-=-r r r r ，且||1,||2a b ==r r
，则cos ,a b <>=r r _________．
【答案】12
【解析】 【分析】
由数量积的运算律求得a b ⋅r r
，再由数量积的定义可得结论． 【详解】
由题意222(2)()21226a b a b a a b b a b +⋅-=+⋅-=+⋅-⨯=-r r r r r r r r r r ，
∴1a b ⋅=r r ，即cos ,2cos ,1a b a b a b <>=<>=r r r r r r ，∴1
cos ,2
a b <>=r r ．
故答案为：1
2
．
【点睛】
本题考查求向量的夹角，掌握数量积的定义与运算律是解题关键．
15．12
32e 2
(){log (1)2
x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________． 【答案】1 【解析】 【分析】
先求f （1），再根据f （1）值所在区间求f （f （1））. 【详解】
由题意，f （1）=log 3（11–1）=1，故f （f （1））=f （1）=1×e 1–1=1，故答案为：1． 【点睛】
本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.
16．已知α是第二象限角，且5
sin 5
α=，()tan 2αβ+=-，则tan β=____. 【答案】34
- 【解析】 【分析】
由α是第二象限角，且5sin α=，可得tan α，由()tan 2αβ+=-及两角和的正切公式可得tan β的值. 【详解】
解：由α是第二象限角，且5
sin α=
，可得25cos α=-，1tan 2α=-，
由()tan 2αβ+=-，可得
tan tan 21tan tan αβαβ+=--⨯，代入1
tan 2
α=-，
可得3
tan 4β=-， 故答案为：3
4
-.
【点睛】
本题主要考查同角三角函数的基本关系及两角和的正切公式，相对不难，注意运算的准确性. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图,设点2(1,0)F 为椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点，圆222:(),C x a y a -+=过2F 且斜率
为(0)k k >的直线l 交圆C 于,A B 两点，交椭圆E 于点,P Q 两点，已知当3k =
时，2 6.AB =
（1）求椭圆E 的方程.
（2）当210
3
PF =时，求PQC ∆的面积. 【答案】（1）22
198x y +=（2）
409
【解析】 【分析】
（1）先求出圆心(),0C a 到直线l 的距离为
d
=
AB =()2
23164
a a -+
=，
解之即得a 的值，再根据c=1求出b 的值得到椭圆的方程.(2)先求出81,3P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，716,39Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
，再求得PQC ∆的面积()
2140
29
Q P S CF y y =⋅-=.
【详解】
(1)因为直线l 过点()2
1,0F ，且斜率k =
所以直线l 的方程为)1y
x =-
0y -=，
所以圆心(),0C a 到直线l 的距离为
d =
又因为AB =C 的半径为a ，
所以2
22
2AB d a ⎛⎫+= ⎪
⎝⎭，即()2
23164
a a -+=， 解之得，3a =或9a =-（舍去）. 所以2228
b a
c =-=，
所以所示椭圆E 的方程为22
198
x y += .
(2)由(1)得，椭圆的右准线方程为:9m x =，离心率1
3
c e a =
=， 则点P 到右准线的距离为2
1031013
PF d e
=
==， 所以910P x -=，即1P x =，把1P x =-代入椭圆方程22
198
x y +=得，83P y =±，
因为直线l 的斜率0k >， 所以83P y =-
，81,3P ⎛
⎫∴-- ⎪⎝
⎭
因为直线l 经过()21,0F 和81,3P ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭
， 所以直线l 的方程为()4
13
y x =
-，
联立方程组()22
41,3
1,9
8y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得23470x x --=， 解得1x =-或7
3
x =， 所以716,39Q ⎛⎫
⎪⎝
⎭， 所以PQC ∆的面积()21116840
222939
Q P S CF y y ⎛⎫=⋅-=⨯⨯+= ⎪⎝⎭. 【点睛】
本题主要考查直线和圆、椭圆的位置关系，考查椭圆的方程的求法，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 18．已知函数()()()sin 12ln x
f x
g x m x x x
=
=--，. （1）求证：当(]0,x π∈时，()1f x <；
（2）若对任意(]
00,x π∈存在(]10,x π∈和(]
2120,()x x x π∈≠使()()()120g x g x f x ==成立，求实数
m 的最小值.
【答案】（1）见解析；（2）2ln 1
1
ππ+-
【解析】 【分析】 （1）不等式
()1f x <等价于(]sin ,0,x x x π<∈，设()(]sin ,0,p x x x x π=-∈，利用导数可证()0
p x <恒成立，从而原不等式成立.
（2）由题设条件可得()()0g x f x =在(]0,π上有两个不同零点，且[)()(]{}
0,1,0,y y g x x π⊆=∈，利用导数讨论()g x 的单调性后可得其最小值，结合前述的集合的包含关系可得m 的取值范围. 【详解】
（1）设()sin p x x x =-，则()cos 1p x x ='-，
当(]0,x π∈时，由()0p x '
<，所以()p x 在(]0,π上是减函数，
所以()()00p x p <=，故sin x x <. 因为(]0,x π∈，所以
sin 1x
x
<，所以当(]0,x π∈时，()1f x <.
（2）由（1）当(]0,x π∈时，()01f x ≤<；
任意(]
00,x π∈，存在(]10,x π∈和(]
2120,()x x x π∈≠使()()()120g x g x f x ==成立， 所以()()0g x f x =在(]0,π上有两个不同零点，且[)()(]{}
0,1,0,y y g x x π⊆=∈， （1）当0m =时，()2ln g x x =-在(]0,π上为减函数，不合题意； （2）当0m ≠时，()2
mx g x x
=
'-， 由题意知()g x 在(]0,π上不单调， 所以20m π<
<，即2m π
>， 当20,x m ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，2,x m π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0g x '>，
所以()g x 在20,
m ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上递减，在2,m π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上递增， 所以()()12ln 1g m πππ=--≥，解得2ln 1
1
m ππ+≥-，
因为1(0,]π∈，所以()210g g m ⎛⎫
≤=
⎪⎝⎭
成立， 下面证明存在20,t m ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，使得()1g t ≥， 取m t e -=，先证明2
m
e
m
-<
，即证20m e m ->， 令()2m
h m e m =-，则()210m
h m e -'=>在(0,)+∞时恒成立， 所以2200m e m ->->成立， 因为()2ln 121
111
m
m
g e me
m m πππ--++=+>≥
>>--，
所以2ln 1
1
m ππ+≥
-时命题成立.
因为
2ln 12ln 22111ππππππ+>>>---，所以2ln 1
1
m ππ+≥-. 故实数m 的最小值为
2ln 1
1
ππ+-. 【点睛】
本题考查导数在不等式恒成立、等式能成立中的应用，前者注意将欲证不等式合理变形，转化为容易证明的新不等式，后者需根据等式能成立的特点确定出函数应该具有的性质，再利用导数研究该性质，本题属于难题.
19．已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，且过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过左焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于不同的A ，B 两点，若22
AF B π
∠=
，求直线l 的斜率k. 【答案】（1）22143x y +=（2）直线l
的斜率为7k =
7
k =- 【解析】 【分析】
(1)根据已知列出方程组即可解得椭圆方程;
(2)设直线方程()1y k x =+,与椭圆方程联立, 22
AF B π
∠=转化为220F A F B ⋅=u u u u r u u u u r ,借助向量的数量积的坐
标表示,及韦达定理即可求得结果. 【详解】
（1）由题意得222
221,2,19
1,
4c a a b c a
b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎩
解得2,
1,a b c =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
故椭圆C 的方程为22
143
x y +=.
（2）直线l 的方程为()1y k x =+， 设()11,A x y ，()22,B x y ，
则由方程组()22
143
1x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
消去y 得， ()2
2
223484120k x
k x k +++-=，
所以212241234k x x k -=+，2
122
834k x x k +=-+， 由22
AF B π
∠=，得220F A F B ⋅=u u u u r u u u u r ，
所以()()221212110F A F B x x y y ⋅=--+=u u u u r u u u u r
，
又()()()2
212121212111y y k x x k x x x x =++=+++⎡⎤⎣⎦
所以(
)()
()2
2
212
121110k
x x k
x x k ++-+++=，
即()()222
2
222412*********k k k k k k k ⎛⎫-++--++= ⎪++⎝⎭
所以2
97
k =
， 因此，直线l 的斜率为377k =或37
7
k =-
. 【点睛】
本题考查椭圆的标准方程,考查直线和椭圆的位置关系,考查学生的计算求解能力,难度一般.
20．为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．
（1）求出易倒伏玉米茎高的中位数m ； （2）根据茎叶图的数据，完成下面的列联表： 抗倒伏 易倒伏 矮茎 高茎
（3）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，
2()P K K … 0.050
0.010 0.001 K 3.841
6.635
10.828
【答案】（1）190（2）见解析 （3）可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．
【解析】
【分析】
（1）排序后第10和第11两个数的平均数为中位数；（2）由茎叶图可得列联表；
（3）由列联表计算2
K可得结论．
【详解】
解：（1）
190190
190
2
m
+
==．
（2）
抗倒伏易倒伏矮茎15 4
高茎10 16
（3）由于
2
2
45(1516410)
7.287 6.635
19262520
k
⨯⨯-⨯
==>
⨯⨯⨯
，因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，
认为抗倒伏与玉米矮茎有关．
【点睛】
本题考查茎叶图，考查独立性检验，正确认识茎叶图是解题关键．
21．如图, 在四棱锥P ABCD
-中, 底面ABCD是矩形, 四条侧棱长均相等.
（1）求证：AB P平面PCD;
（2）求证：平面PAC⊥平面ABCD.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
【详解】
证明：（1）在矩形ABCD中，//
AB CD，
又AB⊄平面PCD，
CD ⊂平面PCD ，
所以AB //平面PCD ．
（2）连结BD ，交AC 于点O ，连结PO ，
在矩形ABCD 中，点O 为 AC BD ，
的中点， 又PA PB PC PD ===， 故PO AC ⊥，PO BD ⊥， 又AC BD O =I ，
AC BD ，⊂平面ABCD ，
所以PO ⊥平面ABCD ， 又PO ⊂平面PAC ，
所以平面PAC ⊥平面ABCD ．
22．山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为、、、、、、、共8个等级。

参照
正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为
、
、
、
、
、
、
、
.等级考试科
目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩. 举例说明.
某同学化学学科原始分为65分，该学科等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始
成绩属
等级.而
等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：
设该同学化学科的转换等级分为，
，求得
.
四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.
（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布
.
（i ）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为，其所在原始分分布区间为82～93，求小
明转换后的物理成绩； （ii ）求物理原始分在区间
的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记表示这4人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望.
（附：若随机变量，则，，
）
【答案】(1)（i）83.;（ii）272.(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据原始分数分布区间及转换分区间，结合所给示例，即可求得小明转换后的物理成绩；根据正态分布满足，结合正态分布的对称性即可求得内的概率，根据总人数即可求得在该区间的人数。

（2）根据各等级人数所占比例可知在区间内的概率为，由二项分布即可求得的分布列及各情况
下的概率，结合数学期望的公式即可求解。

【详解】
（1）（i）设小明转换后的物理等级分为，
，
求得.
小明转换后的物理成绩为83分；
（ii）因为物理考试原始分基本服从正态分布，
所以
.
所以物理原始分在区间的人数为（人）；
（2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间内的概率为，
随机抽取4人，则.
，，
，，
.
的分布列为
0 1 2 3 4
数学期望.
【点睛】
本题考查了统计的综合应用，正态分布下求某区间概率的方法，分布列及数学期望的求法，文字多，数据多，需要细心的分析和理解，属于中档题。

23．已知函数32
1()26
F x x x a =-
++，()ln G x a x =，设()()()f x F x G x '=-． （1）当3a =-时，求函数()f x 的单调区间；
（2）设方程()f x c '=（其中c 为常数）的两根分别为α，β()αβ<，证明：02f αβ+⎛⎫
''<
⎪⎝⎭
． （注：()f x ''是()f x '的导函数）
【答案】（1）()f x 在()0,3上单调递增，在()3,+∞上单调递减．（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）求出导函数()f x '
，由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间；
（2）求出含有参数a 的()f x '
，再求出()f x ''，由()f x c '=的两根是,αβ，得a αβ=，
计算(
)2
f αβ
+''，代入a αβ=后可得结论．
【详解】
解：2
1()()()2ln 2
f x F x G x x x a x '=-=-
+-，函数()f x 的定义域为()0,∞+， ()222a x x a
f x x x x
-+-'=-+-=
． （1）当3a =-时，222323(3)(1)
()x x x x x x f x x x x
-++---+'==-=-
， 由()0f x '>得03x <<，由()0f x '<得3x >，
故函数()f x 在()0,3上单调递增，在()3,+∞上单调递减． （2）证明：由条件可得()2a f x x x '=-+-
，0x >，2()1a
f x x
''∴=-+， Q 方程()f x c '=的两根分别为α，β()αβ<，()f c α'∴=，且()f c β'=，可得a αβ=．
2222
44()1102
()()()a f αβ
αβαβαβαβαβ+--⎛⎫
''=-+=-+=< ⎪+++⎝⎭
． 【点睛】
本题考查用导数研究函数的单调性，考查导数的运算、方程根的知识．在可导函数中一般由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间．。