辽宁省沈阳二中2014届高三上学期10月阶段验收数学(文)试题(附答案)

沈阳二中2013——2014学年度上学期10月 阶段验收高三（14届）数学（文科）试题
命题人： 高三数学组 审校人： 高三数学组 说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
第Ⅰ卷 （60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集U=R ，集合A={x|
＜0}，B={x|x≥1}，则集合{x|x ≤0}等于（ ）
A ．A
B ⋂ B ．A B ⋃
C ．U C A B ⋂（）
D ．U C A B ⋃（） 2等差数列{}n a 中,10795=-+a a a ,则13S 的值为( ) A ．130 B ．260 C ．156 D ．168
3．已知命题p ：∃x ∈R ，使x
221x
-+=；命题q ：∀x ∈R ，都有2lg(23)0x x ++>．下列结论中正确的
是（ ）
4.已知函数()f x 的导函数的图像如图所示，若ABC ∆为锐角三角形，则一定成立的是 （ ）
A ．(sin )(sin )f A f
B > B ．(sin )(cos )f A f B <
C ．(sin )(cos )f A f B >
D ．(cos )(cos )f A f B <
5．定义在D 上的函数f （x ），如果满足：对∀x ∈D ，存在常数M ＞0，都有M ≤f(x)成立，则称f （x ）
是D 上的有界函数．则下列定义在R 上的函数中，不是有界函数的是（ ）
=
6.若函数f （x ）=log a （x+b ）的图象如图，其中a ，b 为常数． 则函数g （x ）=a x +b 的大致图象是（
） 7.在△
ABC
中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若，则B=（ ）
8. 已知圆25)2()1(:22=-+-y x C ，直线)(
047)1()12(:R m m y m x m l ∈=--+++. 求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. A ．210x y --= B ．250x y --= C ．270x y +-= D ． +250x y -=
9.．若数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝a n －1(a ≠0)，则这个数列的特征是( )
A ．等比数列
B ．等差数列
C ．等比或等差数列
D ．非等差数列
10． 已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C ，是平面上不共线三个点，动点P 满足
),0(sin ||sin ||(
+∞∈+
+=λλC
AC B
AB ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）
A ．重心
B ．垂心
C ．外心
D ．内心
11.若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--0
5)25(2,0222k x k x x x 的解集中所含整数解只有-2，求k 的取值范围( )
A.[3,2)- B ．[1,2)- C ． [0,2)
D ． [1,2)
12.数列
11212312,,,,,,,,,,,233444111m m m m +++的前40项的和是（ ） A 1232
B 1
199 C 19 D 18
第Ⅱ卷 （90分）
二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数
的定义域为 ________
14．已知a ，ｂ 是非零向量，且满足()a a ⊥－２ｂ，()a ⊥ｂ－２ｂ，则a ，ｂ的夹角是______
15.当实数y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤++≤≥0220a y x x y x （a 为常数）时y x z 3+=有最大值为12，则实数a 的值
为 .
16. 已知函数12(0)
(),()(1)(0)x x f x f x x a f x x -⎧≤==+⎨
->⎩
方程只有两个不等实根，则实数a 的范围是___________
三、解答题：本大题共6小题，共
70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）
在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量=(2sinB,m
2
=(cos2B,2cos -1)2
B
ｎ且ｍ∥ｎ (1)求锐角B 的大小；
(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．
18. （本小题满分12分）
已知函数(
)2
cos 2cos 1f x x x x =+-()x ∈R ．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值． （Ⅱ）若()065f x =，0,42x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
．求0cos 2x 的值．
19. （本小题满分12分）
如图，已知圆C 的方程为：0622=+-++m y x y x ，直线l 的方程为：032=-+y x 。

（1）求m 的取值范围；
（2）若圆与直线l 交于P 、Q 两点，且以PQ 为直径的圆恰过坐标原点，求实数m 的值。

20. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前项和为n S ,211,(1)n n a S n a n ==+- (1)求数列{}n a 的通项公式； （2）若
1223
135
21624
,625
n n n n N S S S S S S ++++++
=∈，求n 的值.
21. （本小题满分12分）
已知函数f （x ）=ax ﹣1﹣lnx （a ∈R ）．
（1）若函数f （x ）在x=1处取得极值，对∀x ∈（0，+∞），f （x ）≥bx ﹣2恒成立，求实数b 的取值范围； （2）当0＜x ＜y ＜e 2且x≠e 时，试比较与的大小．
22. （本小题满分12分） 已知函数a a x x g x x f (2
1)(,ln )(2
+=
=为常数）
，直线l 与函数)(x f 、)(x g 的图象都相切，且l 与函数)(x f 图象的切点的横坐标为1．
（1）求直线l 的方程及a 的值；
（2）若-+=)1()(x f x h g ′)(x [注：g ′)(x 是g )(x 的导函数]，求函数)(x h 的单调递增区间； （3）当R ∈k 时，试讨论方程k x g x f =-+)()1(2的解的个数．
沈阳二中2013——2014学年度上学期10月 阶段验收高三（14届）数学（文科）答案
一、选择题
1.D
2.A
3.C
4.C
5.D
6.D
7.C
8. B
9.C 10.A 11.A 12.C 二、填空题 13.．
14. π3
15. -12 16. [3,4 )
三、解答题
17. (1)∵m ∥n ，
∴2sin B ⎝⎛⎭⎫2cos 2B
2－1＝－3cos2B ， ∴sin2B ＝－3cos2B ，即tan2B ＝－3， 又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)， ∴2B ＝2π3，∴B ＝π
3.
(2)∵B ＝π
3
，b ＝2，
∴由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac 得，
a 2＋c 2－ac －4＝0，
又∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)， S △ABC ＝12ac sin B ＝3
4
ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)．
18.（Ⅰ）由()2
cos 2cos 1f x x x x =+-得
())()
22sin cos 2cos 12cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛
⎫=+-=+=+ ⎪⎝
⎭．
所以函数的最小正周期为22T ππ=
=．因为0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． 所以2,662x π
ππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦，即0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 为增函数，而在,62x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，函数()f x 为减函数，所以2sin 262f ππ⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
为最大值，72sin 126f ππ⎛⎫
===- ⎪⎝⎭
为最小值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()002sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，又由已知()065f x =
，则03sin 265x π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭． 因为0,42x ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦，则0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此0cos 206x π⎛
⎫+< ⎪⎝
⎭，
所以04
cos 265x π⎛
⎫
+
=- ⎪⎝
⎭，于是00cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，
00cos 2cos sin 2sin 6666x x ππππ⎛⎫⎛
⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
4313525210-=-⨯
+⨯=． 19. （1）将圆的方程化为标准方程：m y x -=-++
4
37
)3()21(22 依题意得：0437>-m ，即437<m ，故m 的取值范围为)4
37,(-∞
（2）设点P （11,y x ）、点Q （22,y x ）
由题意得：OP 、OQ 所在的直线互相垂直，则1-=∙O Q O P k k ，即
12
2
11-=∙x y x y 02121=+∴y y x x 又1123y x -= ，2
223y x -=
09)(652121=++-∴y y y y ………………①
将直线l 的方程：y x 23-=代入圆的方程得：0122052=++-m y y
∴421=+y y ，5
1221m
y y +=
代入①式得：09465
125=+⨯-+⨯m
，解之得：3=m 故实数m 的值为3
20.(1)21n a n =-…………………6分 (2)2n S n =,
2222
2235
21624
,1223(1)625
n n n ++++
=⨯⨯⨯+
2
1624
1,(1)625
n -
=+125,24n n ∴+==…………………………12分 ．通过在，令，只需﹣﹣
，
整理得
＞
，考虑将﹣．x=处取得极值，∴
﹣
，，=
，可知在（﹣﹣
在（＞﹣
，整理得
＞
＞ ，由①得＜22.解：（1）由1|)(1='=x x f ，
故直线l 的斜率为1，切点为（1，)1(f ），即（1，0），
∴直线l 的方程为1-=x y ． 直线l 与)(x g y =的图象相切，等价于方程组
⎪⎩
⎪
⎨⎧+=-=a x y x y 2
21,
1只有一解， 即方程
0)1(2
12
=++-a x x 的两个相等实根， ∴0)1(21
41=+⋅-=∆a ，∴2
1-=a ．
（2）∵)1()1ln()(->-+=x x x x h ， 由1111)(+-
=-+=
'x x
x x h ， ,01
1
,0)(<+>'x x h ∴01<<-x ，∴当∈x )0,1(-时，)(x f 是增函数，
即)(x f 的单调递增区间为（1-，0）
（3）令2
1
21)1ln()()1(2221+-
+=-+=x x x g x f y ，k y =2． 由2
23211)
1)(1(112x x x x x x x x x x y ++-=+-=-+='， 令01
='y ，则0=x ，1-，1．
当x 变化时，11
,0y y ='的变化关系如下表：
又2
1
21)1ln(221+-
+=x x y 为偶函数， 据此可画出2
1
21)1ln(221+-+=x x y 的示意图如右图：
当),2(ln +∞∈k 时，方程无解；
当2ln =k 或)2
1,(-∞∈k 时，方程有两解；
当21
=
k 时，方程有三解； 当)2ln ,2
1
(∈k 时，方程有四解．。