河南省南阳市高三数学第二次联考(期末质量评估)试题 文(高清扫描版)新人教A版

河南省南阳市2014届高三数学第二次联考（期末质量评估）试题文（高清扫
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文科数学参考答案
一、选择题：CDBBAD BABCBD
二、填空题：13.223+ 14.
2ln 2
1 15.
2 16.2 三、解答题
17. 解：
sin sin c a C A ==
从而sin A A =
，tan A =∵0A π<<，∴3A π=
．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（Ⅱ）法一：由正弦定理得：6sin sin sin 3
b c B C π
===
∴b B =
，c C =，．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
2sin )sin sin()3b c B C B B π⎤+=+=+-⎥⎦
31sin 12cos 22B B B B ⎫⎫==+⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭ 12sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭.．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∵5666
B π
π
π<+< ．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ∴612sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝
⎭，即612b c <+≤（当且仅当3B π=时，等号成立） 从而ABC ∆的周长的取值范围是(12,18].．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
法二：由已知：0,0b c >>，6b c a +>= 由余弦定理得：222362cos
()33b c bc b c bc π=+-=+-22231()()()44b c b c b c ≥+-+=+ （当且仅当b c =时等号成立）
∴（2()436b c +≤⨯，又6b c +>，
∴612b c <+≤，
从而ABC ∆的周长的取值范围是(12,18].．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
18（1）证明：取AB 的中点O ，连结1AO ，OC .
AC BC = CO AB ∴⊥， 四边形11AOBB 为平行四边形， ∴11//BB AO
11//BB CC ∴ 11//AO CC 又由1CC ⊥面
ABC 知1CC CO ⊥ ∴四边形11AOCC 为矩形， 11111,AC AO AC AB ∴⊥⊥ ………………4分 又1
AO AB C =， 11C A ∴⊥平面11ABB A …………6分 （2）解：利用等体积法，由1111ABA C C AA B V V --=得
点B 到平面11AAC 的距离为：
3
32 ............12分
另解：由（1）得，平面11AAC ⊥平面11
ABB A ,过点B 作BD 垂直于1A A ,交1A A 于D,则BD 即为点B 到平面11AAC 的距离。

20.解：(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b +=，
因为e =所以224a b =，又因为(4,1)M ，所以221611a b +=，解得22
5,20b a ==，故椭圆方程为22
1205x y += (Ⅱ)将y x m =+代入22
1205
x y +=并整理得22584200x mx m ++-=，由∆22(8)20(420)0m m =-->，解得55m -<<
（Ⅲ）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，只要证明120k k +=。

设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则212128420,55
m m x x x x -+=-=。

12122112121211(1)(4)(1)(4)44(4)(4)
y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----
122112122(1)(4)(1)(4)
2(5)()8(1)
2(420)8(5)8(1)055x m x x m x x x m x x m m m m m =+--++--=+-+----=---=分子
∴120k k +=
∴直线MA 、MB 与x 轴围成一个等腰三角形
21、（Ⅰ）解：当a=1时，f （x ）=323x x 12
-+，f （2）=3；f ’(x)=233x x -, f ’(2)=6.所以曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.
（Ⅱ）解：f ’(x)=2333(1)ax x x ax -=-.令f ’(x)=0，解得x=0或x=
1a . 以下分两种情况讨论：
（1） 若110a 2a 2
<≤≥，则，当x 变化时，f ’(x)，f （x ）的变化情况如下表： X 102⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 0 12⎛⎫ ⎪⎝⎭0， f ’(x) +
0 -
f(x) 极大值
当11x f x 22⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，（）>0等价于5a 10,()0,8215a ()0,0.28
f f -⎧⎧>->⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪>>⎪⎪⎩⎩即
解不等式组得-5<a<5.因此0a 2<≤.
（2） 若a>2，则110a 2
<<.当x 变化时，f ’(x),f （x ）的变化情况如下表： X 102⎛⎫- ⎪⎝⎭， 0
1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭0， 1a 11a 2⎛⎫ ⎪⎝⎭， f ’(x)
+ 0 - 0 +
f(x) 极大值
极小值
当11x 22⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，f （x ）>0等价于1f(-)21f()>0,a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩>0,即25811->0.2a a
-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩>0,
解不等式组得52
a <<
或2a <-.因此2<a<5. 综合（1）和（2），可知a 的取值范围为0<a<5.
选做题
22．选修4—1:几何证明选讲(本小题满分10分)
解（1）取BD 的中点O ，连接OE ．
∵BE 平分∠ABC ，∴∠CBE=∠OBE ．又∵OB=OE ，∴∠OBE=∠BEO ，
∴∠CBE=∠BEO ，∴BC ∥OE ．………………3分
∵∠C=90°，∴OE ⊥AC ，∴AC 是△BDE 的外接圆的切线． …………………5分
（2）设⊙O 的半径为r ，则在△AOE 中，
222AE OE OA +=
，即2226()r r +=+，
解得r =………………………7分
∴OA=2OE ，
∴∠A=30°，∠AOE=60°．
∴∠CBE=∠OBE=30°．
∴
EC=1113222
BE ==． ………………………10分 23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
解：（I ）设P(x ，y)，则由条件知M(2
,2Y X ).由于M 点在C 1上，所以 ⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==ααsin 222,cos 22y x 即 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+==ααsin 44cos 4y x
从而2C 的参数方程为 4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩
（α为参数） （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=。

射线3π
θ=与1C 的交点A 的极径为14sin
3πρ=， 射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin 3πρ=。

所以21||||AB ρρ-==
24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲。