2014人教A版数学必修一第2章《基本初等函数》(1)(2.1对数与对数运算第1课时)示范教案
人教A版高中数学必修一第二章2.2.1对数与对数运算-课件
log8
x
2 3
;
(2)
log2
(log5
x)
0;
(3)
log3
(lg
x)
1.
请同学们结合本节课的学习，说出你有 什么收获？
ax N 等价x loga N
2.常用对数与自然对数的定义
(1)以10为底的对数叫做常用对数. • N的常用对数log10N简记为:lg N. (2)以e为底的对数称为自然对数. • N的自然对数logeN简记为:ln N. 无理数e (=2.71828……)
探究二：对数的性质
ax N 等价 x loga N a 0且a 1
2.2.1 对数与对数运算 第1课时
折纸游戏
2x 128
如何求x的值呢？
把一张A4纸沿着中线对折，若要 使折得页数为128页，需折多少次？
黑客病毒的传播
随着网络时代的飞速发展给我们的生活带来 便捷，同样也伴随着一些困扰：
如果有一台计算机感染了某种病毒，则每传 播一次，这种病毒就会增加到原来的2倍个，即 由1个传播成2个,2个传播成4个……最后到达了 10万个，那是经过了多少次传播呢？
(7) log3 34
(8)
log
1 2
1 2
3
(9) ln e5
你发现了 什么?
1.下列指数式与对数式互化不正确的是（ C ）.
A.e0 1与ln1 0
1
C.log3 9 2与92 3
1
B.8 3
1 2
与
log8
1 2
1 3
D.log7 7 1与71 7
2．求下列各式中的x.
(1)
2x 100000
如何求x的值呢？
人教版高中数学必修1第二章知识点汇总 (1)
人教版高中数学必修一第二章知识点汇总第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．①这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．①n a =；当n a =；当n (0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．①正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,mm n n aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ①()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈①()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．①负数和零没有对数．①对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ①减法：log log log a a aM M N N-= ①数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ①log a N a N =①log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ①换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；①从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；①将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．①函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．①若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．①一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．①过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．①单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．①奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．①图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠①顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠①两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．①已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ①若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ①当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a=-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． （4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ①对称轴位置：2bx a=- ①判别式：∆ ①端点函数值符号．①k ＜x 1≤x 2 ⇔①x 1≤x 2＜k ⇔①x 1＜k ＜x2 ⇔ af (k )＜0①k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔①有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合①k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由①推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （①）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ①若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ①若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ①02b x a->，则()M f p =(①)当0a <时(开口向下)xxxxx xx①若2b p a -<，则()M f p = ①若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ①若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ①02b x a->，则()mf p =．xfxf xfxxx。
人教版高中数学必修1第二章基本初等函数(I)-《2.2.1对数与对数的运算》教案(1)
§2.2.1 对数与对数运算（一）学习目标：⒈理解对数的意义、符号，能正确进行指数式与对数式的互相转化； ⒉通过阅读材料，了解对数的发展历史以及其对简化运算的作用． 教学重点：对数的意义．教学难点：对数概念的理解．教学方法：讲授式．教具准备：《几何画板》演示课本63P 例8．教学过程：（I ）新课引入：师：在上节课的例题8中，我们得到了一个指数型函数13 1.01x y =⨯．通过函数的解析式，我们可以计算得到任意一个年头x 的人口数．反之，哪一年的人口数将会达到18亿、20亿、30亿……呢？（学生思考，教师引导、演示）要解决这样一个问题，现在对我们来说是很困难的，但是我们可以通过电脑软件《几何画板》的演示来得到问题的近似解大约分别是33，43，84，…，这就是说，如果保持年增长率为1个百分点，那么大约经过33年，43年，84年，我国人口分别约为18亿，20亿，30亿． 解决这个问题，实际上就是要要从181.0113x =，201.0113x =，301.0113x =，…中分别求出x 的值，也就是已知底数和幂的值，求指数．这就是本节课开始学习的对数问题．（II ）讲授新课：⒈对数的意义：师：一般地，如果x a N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫对数的底数，N 叫真数．请同学们把前面的人口问题中的时间用对数表示出来． 生： 1.0118log 13x =， 1.0120log 13x =， 1.0130log 13x =． 师：由于我们实际应用的十进制记数方法，所以在实际应用中将以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记作lg N ．另外，在科学技术和工程计算中常使用以无理数 2.71828e =为底数的对数，以e 为底的对数成为自然对数，并且把log e N 记作ln N ．请同学们用计算器计算下面几个对数的值：lg 2，lg 3，ln 2，ln 3． 生：（计算得）lg 20.3010=，lg30.4771=，ln 20.6931=，ln 3 1.0986=． 师：由对数的定义，我们可以得到对数与指数间的关系式：请同学们填写下表中空白处的名称：生：略．2. 对数的性质：师：在对数log a N 中，我们规定0a >且1a ≠，这是为什么呢？ 生：在指数式中，为了使x a 对任意实数x 都有意义，我们规定了0a >；而当1a =时，式子1x 的值恒为1，但是在对数式中1log N 的值就是不确定的了，所以，在对数式log a N 中，我们和指数式x a 一样规定了0a >且1a ≠．师：在学习指数函数的性质时我们知道，0x a >，这反映在对数中是怎样的性质呢？生：由于0x a N =>，所以在对数中必须有0N >．师：这样我们就得到了对数的一条性质：负数和零没有对数． 在指数式中我们知道：01a =，1a a =，这反映到对数式中是怎样的呢？ 生：log 10a =，log 1a a =．师：这就是对数的另一条性质．根据指数与对数间的关系，我们还可以得到这个公式我们一般称为对数恒等式．例⒈例⒉见课本69P ．（Ⅲ）课后练习：课本70P 练习．（Ⅳ）课时小结⒈指数与对数的比较：⒉要能够熟练的进行指数式与对数式的互相转化；⒊关于对数的发展历史，同学们可以阅读课本75P 的阅读与思考．（Ⅴ）课后作业⒈课本82P 习题2.2 A 组 ⒈⒉⒉阅读课本70P～74P ，思考下列问题：⑴对数有哪些运算性质？怎样用对数的定义证明这些性质？⑵什么叫对数的换底公式？它有什么用途？怎样用定义证明对数的换底公式？教学后记:。
人教A版高中数学必修1第二章2.2.1对数与对数运算课件
. (4) log
1
2
0
；
(5) ln1= 0 ； (6) lg10= 1 ；
视察上述各式，进行适当分类，归纳出 一般性结论.
应用探究1
■(1) log31=0 ■ (5) ln1
■ (4) log 2 1=0
结论： loga 1 0 （ 1的对数为0 ）
对任意a>0且a≠1,都有 a0 1 loga 1 0.
高中数学人教A版必修一 第二章 基本初等函数（I）
2.2.1对数与对数运算
问题导入
① 2x 8 ② 2x 16
③ 2x 15
x3
x4
x=
③式x是否存在呢？
问题探究
指数函数图像如右：
y 2x
所以指数式 2x 15 中的X存在！
这是已知底数和幂的值，求指数的问题。
为了解决“已知底数和幂的值，求指数”这类问题，
根据对数的定义，写出下列各对数的值：
(1)log31= (3) log0.50.5= (5) ln1=
； (2) log33=
. (4) log
1
2
； (6) lg10=
； ；
；
应用探究
根据对数的定义，写出下列各对数的值：
(1)log31= 0 ； (2) log33= 1 ；
(3) log0.50.5= 1
(a>0,a≠1)
3．对数的基本性质 4．会用指数运算求简单的对数值
知识详解
关于对数的概念要注意以下几点
(1)a 0且a 1,这样ab总是确定的。
(2)当a 0时，N ab 0,也就是说，负数和零没 有对数
(3)求以a为底N的对数 loga N,就是求出 a的多少次方等于 N
人教A版高中数学教材目录(全)
必修1【1】第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用举例1.3实习作业第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2简单的线性规划问题3.4基本不等式选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.2双曲线2.3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1-2第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用1．2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1合情推理与演绎证明2．2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念3．2复数代数形式的四则运算第四章框图4．1流程图4．2结构图选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝第四讲平面解析几何的产生第五讲微积分的诞3．4 函数的应用（Ⅱ）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步 2．1 平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程2．3 圆的方程2．4 空间直角坐标系必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3．2 古典概型3．3 随机数的含义与应用 3．4 概率的应用必修四第一章基本初等函(Ⅱ) 1．1 任意角的概念与弧度制 1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1 向量的线性运算2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式 3．3 三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法 3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用选修1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2 基本不等式1．3 绝对值不等式的解法 1．4 绝对值的三角不等式 1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2 排序不等式2．3 平均值不等式(选学) 2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1 数学归纳法原理3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。
对数与对数运算教案-人教版高中数学必修一第二章2.2.1 第二课时
第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2 对数函数2.2.1.对数与对数运算第二课时对数运算1 教学目标1.1 知识与技能：[1]掌握对数的运算性质，能正确地利用对数的运算性质进行对数运算；[2]掌握对数换底公式的运用 .能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数。
[3]对数及其运算性质的综合应用1.2过程与方法：[1]通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．1.3 情感态度与价值观：[1]通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质 .[2]在学习过程中培养学生探究的意识.[3]让学生理解运算法则之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、相互联系，相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的科学精神．2教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]重点：对数式运算性质及时推导过程；[2]对数换底公式。
[3]对数及其运算性质的综合应用2.2 教学难点[1]难点：对数运算性质的发现过程及其证明；[2]对数换底公式的证明和应用。
3 专家建议启发学生从对数运算性质入手，了解对数在数学史上的重要作用，了解对数对大数运算的简化作用，降低运算的数量级，掌握一定量的对数计算基本模型，在熟练运用对数运算性质的基础上以对数的思维模式去考虑和处理问题，加深对于运算性质和换底公式的理解和运用，掌握对数运算的特殊性，为下一节学习对数函数打好基础.高考中对数的考查方式一般以选择题或填空题的形式出现。
4 教学方法实验探究——归纳总结——补充讲解——练习提高5 教学用具多媒体。
6 教学过程6.1 引入新课【师】同学们好。
从今天我们开始进入新一节内容的学习：对数与对数运算。
【板书】2.2.1.对数与对数运算第二课时【师】我们知道了对数的基本定义和性质,请认真回忆一下!【板书或投影】对数基本知识点1、对数的定义b N a =log其中 ),1()1,0(+∞∈ a 与 ),0(+∞∈N （负数与零没有对数）；b ∈（文字表述:N 为正数，a 为非1正数，b 为任意实数）两类特殊对数：（1）常用对数：以10为底，记作lgN ．(2)自然对数：以无理数e=2.71828……为底,记作lnN ．2、三组互化式)10( log ≠>=⇔=a a b N N a a b 且lg 10b N N b =⇔=ln b N N e b =⇔=3、两个恒值（1） 01log =a （2） 1log =a a4、两个嵌套式（迭代式）（1）对数恒等式N a N a =log（2）)10( log ≠>=a a b a b a 且5．指数运算法则,(R n m a a a n m n m ∈=⋅+),()(R n m a a mn n m ∈=)()(R n b a ab n n n ∈⋅=【生】对数定义式是......,指数式与对数式的转化......,对数恒等式,自然对数、常用对数【师】注意每个字母的取值X 围:底数，10≠>a a 且，真数N>0;再回忆一下指数运算的几个式子【板书或投影】)10( log ≠>=⇔=a a b N N a a b 且指数的运算性质n m n m a a a +=⋅; n m n m a a a -=÷mn n m a a =)( ; m nm na a = 6.2 新知介绍[1] 对数的运算性质【师】下面请同学们自行推导对数的运算性质！（5 分钟）【板演/PPT 】教师演示对数运算性质三式的证明。
人教A版高中数学必修一第二章2.2.1对数与对数运算课件
例题引入
解方程：（1）4 x 64
（2） 1 x 9 （3）2 x 5 3
问题1 对于方程 2x 5，这里的x存在吗？为什么？
思考: 22 4 5
23 9 5
2? 5
作图观察：
y
y 2x
5P
1
唯一存在
0x
x
思考：我们该如何表示这个唯一存在的数，用什么符号来表示呢？
我们通常将以10为底的对数叫做常用对数，简记为：
log10 N lg N
以后在物理、化学、建筑学等自然学科中还经常用到以
（e=2.71828…）为底的对数，叫做自然对数，简记为 ：
loge N ln N
例1 将下列指（对）数式化成对（指）数式.
1、 54 6253
3、 log 1 16 4
2
4、 lg 0.01 2
log 5 625 4
log 1 5.73 m
3
( 1 )4 16 2 102 0.01
5、 ln10 2.303
e2.303 10
探究发现：求下列各对数的值.
1、log3 1 0
2、lg 1 0
4、 ln e 1
3、log 0.5 0.5 1
log a 1 0 (a 0, a 1)
引入对数
2x 5
指数式
x log 5 2 对数式
问题2 对于等式 ax N(a 0且a 1)，如何表示这里的 x ？
形成概念
对数：一般地，如果 ax N(a 0, a 1), 那么数 x叫做以a为底N
N 的对数, 其中a叫做对数的底数， 叫做对数的真数.
记作：x loga N
读作： 以a为底，N 的对数.
高中数学人教版A版必修一课件：第二章 《基本初等函数》 2.2.1 第2课时 对数的运算
25 25 32 25 5 32 ＝lg 2.故选 A． × 解析 lg 16－2lg 9＋lg 81＝lg16÷ 81 81
答案
A
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2．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是(
)
A．a－2
C．3a－(1＋a)2 答案 A
B．5a－2
D．3a－a2
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规律方法 利用对数式与指数式互化求值的方法 (1) 在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定
义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关
系，进行正确的相互转化． (2) 对于连等式可令其等于 k(k>0) ，然后将指数式用对数式 表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从 而使问题得解．
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知识点2 换底公式 logcb logca log b＝__________ (a>0，且 a≠1；c>0，且 c≠1；b>0)．
a
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【预习评价】 (1)log35·log56·log69＝________. (2)若log34×log48×log8m＝log416，则m＝________.
3－a ∴lg 2＝ 2a lg 3. 3－a 4× 2a 43－a lg 16 4lg 2 ∴log616＝ lg 6 ＝ ＝ ＝ . lg 2＋lg 3 3－a 3＋a 1＋ 2a
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(2)法一 原式＝
log225 log25 log54 log58 3 log25 ＋ · log52＋ ＋ ＋ log24 log28 log525 log5125 2log25 log25 2log52 3log52 ＝3log25＋2log 2＋3log 2log52＋2log 5＋3log 5 2 2 5 5 1 log22 ＝ 3＋1＋3 log25· (3log52)＝13log25· log25＝13.
人教A版高中数学必修1《第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.2 对数函数 习题2.2》_14
第6节对数与对数函数考试要求 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3.知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数(a>0，且a≠1)．知识梳理1.对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)；④log a m M n＝nm log a M(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. [微点提醒]1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a ；(2)log a m b n ＝nmlog a b . 其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R .2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限. 基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.( ) (3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( ) (4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 解析 (1)log 2x 2＝2log 2|x |，故(1)错.(2)形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)为对数函数，故(2)错. (4)当x ＞1时，log a x ＞log b x ，但a 与b 的大小不确定，故(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2.(必修1P73T3改编)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝log 1213＝log 23>1.∴c >a >b . 答案 D3.(必修1P74A7改编)函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是________.解析 由log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.∴12<x ≤1.∴函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤12，14.(2019·杭州检测)计算log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝( ) A.0B.2C.4D.6解析 原式＝2log 23×(2log 32)＋log 5(102×0.25) ＝4＋log 525＝4＋2＝6. 答案 D5.(2019·上海静安区检测)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1. 答案 D6.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a ).若f (3)＝1，则a ＝________. 解析 由f (3)＝1得log 2(32＋a )＝1，所以9＋a ＝2，解得a ＝－7. 答案 －7考点一 对数的运算【例1】 (1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________.(2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.解析 (1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 6 63·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.答案 (1)－20 (2)1规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练1】 (1)若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于( ) A.1B.0或18C.18D.log 23(2)(2019·成都七中检测)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.解析 (1)由题意知lg 2＋lg(2x ＋5)＝2lg(2x ＋1)， ∴2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，(2x )2－9＝0，2x ＝3，x ＝log 23. (2)设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52， 所以t ＝2，则a ＝b 2. 又a b ＝b a ，所以b 2b ＝bb 2，即2b ＝b 2，又a >b >1，解得b ＝2，a ＝4. 答案 (1)D (2)4 2考点二 对数函数的图象及应用【例2】 (1)(2019·潍坊一模)若函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )(2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(1，2]D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析 (1)由f (x )在R 上是减函数，知0<a <1.又y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴当x >1时，y ＝log a (x －1)的图象由y ＝log a x 向右平移一个单位得到.因此选项D 正确.(2)由题意，易知a >1.在同一坐标系内作出y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)及y ＝log a x 的图象.若y ＝log a x 过点(2，1)，得log a 2＝1，所以a ＝2.根据题意，函数y ＝log a x ，x ∈(1，2)的图象恒在y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2].答案 (1)D (2)C规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练2】 (1)(2018·湛江模拟)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A.0<a －1<b <1B.0<b <a －1<1C.0<b －1<a <1D.0<a －1<b －1<1(2)(2019·日照一中调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x <1，log 2x ，x ≥1，若方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)由函数图象可知，f (x )在R 上单调递增，又y ＝2x ＋b －1在R 上单调递增，故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，即log a a －1<log a b <log a 1，所以，a －1<b <1. 综上有0<a －1<b <1.(2)作出函数y ＝f (x )的图象(如图所示).方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 恰有一个公共点，故a ＝0或a ≥2，即a 的取值范围是{0}∪[2，＋∞). 答案 (1)A (2){0}∪[2，＋∞) 考点三 对数函数的性质及应用多维探究角度1 对数函数的性质【例3－1】 已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析 由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误. 答案 C角度2 比较大小或解简单的不等式【例3－2】 (1)(一题多解)(2018·天津卷)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >b >aD.c >a >b(2)若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.(0，1)∪(1，＋∞)解析 (1)法一 因为a ＝log 2e>1，b ＝ln 2∈(0，1)，c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a >1，所以c >a >b .法二 log 1213＝log 23，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝ln x 的图象，由图知c >a >b .(2)由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案 (1)D (2)C角度3 对数型函数性质的综合应用 【例3－3】 已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围是(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩⎨⎧3－2a >0，log a （3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 规律方法 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【训练3】 (1)若a >b >0，0<c <1，则( ) A.log a c <log b c B.log c a <log c b C.a c <b cD.c a >c b(2)若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________.解析 (1)由y ＝x c 与y ＝c x 的单调性知，C ，D 不正确； ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，B 正确； log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.又a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负， ∴log a c 与log b c 的大小不能确定.(2)令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32， 所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞). 答案 (1)B (2)(0，＋∞)[思维升华]1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决. 3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定. [易错防范]1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0<a <1与a >1两种情况讨论.2.在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数).3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.24B.16C.12D.8解析 因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24. 答案 A2.(2018·天津卷)已知a ＝log 3 72，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，c ＝log 13 15，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >b >aD.c >a >b解析 log 1315＝log 3－15－1＝log 35，因为函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数，所以log 35>log 3 72>log 33＝1，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 在(－∞，＋∞)上为减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1413<⎝ ⎛⎭⎪⎫140＝1，故c >a >b . 答案 D 3.(2019·张家界三模)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2－ax ，g (x )＝log a (x ＋2)(a >0，且a ≠1)的图象大致为()解析 由题意，知函数f (x )＝2－ax (a >0，且a ≠1)为单调递减函数，当0<a <1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝2a >2，且函数g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为单调递减函数，C ，D 均不满足；当a >1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝2a <2，且x ＝2a >0，又g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上是增函数，排除B ，综上只有A 满足.答案 A4.(2019·宁波二模)已知f (x )＝lg(10＋x )＋lg(10－x )，则( )A.f (x )是奇函数，且在(0，10)上是增函数B.f (x )是偶函数，且在(0，10)上是增函数C.f (x )是奇函数，且在(0，10)上是减函数D.f (x )是偶函数，且在(0，10)上是减函数解析 由⎩⎨⎧10＋x >0，10－x >0，得x ∈(－10，10)， 且f (x )＝lg(100－x 2).∴f (x )是偶函数，又t ＝100－x 2在(0，10)上单调递减，y ＝lg t 在(0，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在(0，10)上单调递减.答案 D5.(2019·临汾三模)已知函数f (x )＝|ln x |，若f (m )＝f (n )(m >n >0)，则2m ＋1＋2n ＋1＝( )A.12B.1C.2D.4 解析 由f (m )＝f (n )，m >n >0，可知m >1>n >0，∴ln m ＝－ln n ，则mn ＝1.所以2m ＋1＋2n ＋1＝2（m ＋n ）＋4mn ＋m ＋n ＋1＝2（m ＋n ＋2）m ＋n ＋2＝2. 答案 C二、填空题6.lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________. 解析 lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2 ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫52×4－2＝1－2＝－1. 答案 －17.(2019·昆明诊断)设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________.解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1，1). 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x <1，∴－1<x <0. 答案 (－1，0)8.(2019·潍坊调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－log 2（3－x ），x <2，2x －2－1，x ≥2，若f (2－a )＝1，则f (a )＝________.解析 当2－a <2，即a >0时，f (2－a )＝－log 2(1＋a )＝1.解得a ＝－12，不合题意.当2－a ≥2，即a ≤0时，f (2－a )＝2－a －1＝1，即2－a ＝2，解得a ＝－1，所以f (a )＝f (－1)＝－log 24＝－2.答案 －2三、解答题9.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值. 解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1，3).(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈[0，1]时，f (x )是增函数；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32时，f (x )是减函数， 故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x . (1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x ). 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4).又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以|x2－1|<4，解得－5<x<5，即不等式的解集为(－5，5).能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·天津和平区二模)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝log a(x＋x2＋b)在区间(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)＝log a||x|－b|的图象是()解析∵函数f(x)＝log a(x＋x2＋b)在区间(－∞，＋∞)上是奇函数，∴f(0)＝0，∴b＝1，又函数f(x)＝log a(x＋x2＋b)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，所以a>1. 所以g(x)＝log a||x|－1|，当x>1时，g(x)＝log a(x－1)为增函数，排除B，D；当0<x<1时，g(x)＝log a(1－x)为减函数，排除C；故选A.答案 A12.设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z解析令t＝2x＝3y＝5z，∵x，y，z为正数，∴t>1.则x＝log2t＝lg tlg 2，同理，y＝lg tlg 3，z＝lg tlg 5.∴2x－3y＝2lg tlg 2－3lg tlg 3＝lg t（2lg 3－3lg 2）lg 2×lg 3＝lg t （lg 9－lg 8）lg 2×lg 3>0， ∴2x >3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t （2lg 5－5lg 2）lg 2×lg 5＝lg t （lg 25－lg 32）lg 2×lg 5<0， ∴2x <5z ，∴3y <2x <5z .答案 D13.(2019·衡水中学检测)已知函数f (x )＝lg(mx 2＋2mx ＋1)，若f (x )的值域为R ，则实数m 的取值范围是________.解析 令g (x )＝mx 2＋2mx ＋1值域为A ，∵函数f (x )＝lg(mx 2＋2mx ＋1)的值域为R ，∴(0，＋∞)⊆A ，当m ＝0时，g (x )＝1，f (x )的值域不是R ，不满足条件；当m ≠0时，⎩⎨⎧m >0，4m 2－4m ≥0，解得m ≥1. 答案 [1，＋∞)14.已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2，6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m （x －1）（7－x ）恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x ).∴f(x)＝ln x＋1x－1是奇函数.(2)由于x∈[2，6]时，f(x)＝ln x＋1x－1>lnm（x－1）（7－x）恒成立，∴x＋1x－1>m（x－1）（7－x）>0，∵x∈[2，6]，∴0<m<(x＋1)(7－x)在x∈[2，6]上恒成立.令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2，6]，由二次函数的性质可知，x∈[2，3]时函数g(x)单调递增，x∈[3，6]时函数g(x)单调递减，即x∈[2，6]时，g(x)min＝g(6)＝7，∴0<m<7.故实数m的取值范围为(0，7).。
人教A版高中数学必修1第二章2.2.1对数与对数运算课件
自然对数：以e为底的对数 loge N 简记为 ln N
e为无理数 e = 2.71828······
对数式与指数式的互化
当a>0, a≠1时
指数式
对数式
指数 a x N
loga N x 对数
底数
幂
底数
真数
例如： 32 ＝ 9 log 3 9 ＝ 2；
例1.将下列指数式写成对数式
124 16；
2.2.1 对数与对数运算
第1课时 对 数 重点：对数的概念、对数与指数的互化
目录
CONTENTS
情景导入
知识讲解
课堂练习
小结
情景一 庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭。
（1）取5次，还有多长？
（2）取多少次，还有0.125尺？
1
1
2
1 2 2
1 3 2
1 4 2
1 5 2
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
233 1 ；
27
310a 20；
log2 16 4 1
log3 27 3
lg 20 a
4 1 b 0.45.
2
ax N
log 1 0.45 b
2
loga N x
例2.将下列对数式写成指数式
1log5 125 3；
53 125
2log 1 3 2；
3
3ln a 1.069.
2
2、已知 1 8%x 2 ，求 x 的值.
共同特征：已知底数和幂，求指数
对数的概念
一般的，如果 a x N a 0且a 1 那么数 x 叫做
以 a 为底 N的对数（logarithm),记作 x loga N
高中数学人教A版必修1第二章-2.2.1对数与对数运算课件
（2）log 1
2
1 2
引导探究，获得新知
归纳对数的性质：
① 0和负数没有对数,即 即N 0 ② 1的对数为0，即loga 1=0 ③ 底的对数等于1，即loga a=1
纳皮尔的朋友—布立格（数学家，天文学家）
他通过研究《奇妙的对数》，感到其中的对数 用起来很不方便（我们的数系是十进制），不 顾路途遥远从伦敦到苏格兰拜会纳皮尔求教， 他们互相帮助，密切合作，到1624年，布里格 出版了《对数》公布了10为底包含1至20000及 90000至100000的14位常用对数表。人民为了纪 念他，也把以10为底的对数叫做“布立格对 数”。
引导探究，获得新知
例如：在 23 =8中
我们称3是以2为底8的对数
练习(1)20 1 (2)22 1 4
(3)ax y(a 0,且a 1)
幂指数 x又叫做以 a 为底 y
的对数。
引导探究，获得新知 怎样书写？ 我们常用“log”(拉丁文logarithm的缩 写)表示对数。那么，3是以2为底8的对 数，就可以写成：
2.2.1对数与对数运 算
（第一课时）
创设情境、导入新课 3+2=5
如何用另外两个数字 来表示3或2呢？ 3=5_-_2，2=5_-_3
这说明加法的逆运算是 减法 类似的乘法的逆运算是 除法
创设情境、导入新课
23 8
用3和8怎样表示2=？ 根据立方根概念
2= 3 8
创设情境、导入新课
23 8
3=？
乘方（指数）式中，已知 底数和幂，求指数时，无 法通过开方运算来实现
为了解决这类问题，我们引入一个新的概念 对数
创设情境、导入新课
对数的发明者是苏格兰数学家纳皮尔 （J.Napier）（1614年出版《奇妙的对 数》） 更奇妙的是：他是在指数的书写方法发 明之前完成的。 18世纪瑞士数学家欧拉指出：对数源于 指数。 下面我们就从指数入手
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算(2)课后训练2 新人教A版必修1
2.2.1 对数与对数运算课后训练1．若a ＞0，a ≠1，x ＞y ＞0，下列式子中正确的个数是( )．①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a x y ＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0B ．1C ．2D ．32．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27等于( )．A ．a ＋bB ．a －bC ．ab D.a b3．化简12log 612－2log ( )．A ．B ．．log D.12 4．(学科内综合题)若lg a ＋lg b ＝0(其中a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝b x 的图象关于( )．A ．直线y ＝x 对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．原点对称5．某种食品因存放不当受到细菌的侵害．据观察，此食品中细菌的个数y 与经过的时间t (分钟)满足关系y ＝2t ，若细菌繁殖到3个，6个，18个所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3分钟，则有( )．A ．t 1·t 2＝t 3B ．t 1＋t 2＞t 3C ．t 1＋t 2＝t 3D ．t 1＋t 2＜t 36．若lg x ＝lg m －2lg n ，则x ＝______.7．已知m ＞0，且10x ＝lg(10m )＋lg1m ，则x ＝______. 8．如果方程lg 2x ＋(lg 7＋lg 5)lg x ＋lg 7·lg 5＝0的两个根是α，β，则αβ的值是________．9．已知2x ＝3y ＝6z ≠1，求证：111x y z+=. 10．(能力拔高题)甲、乙两人在解关于x 的方程log 2x ＋b ＋c ·log x 2＝0时，甲写错了常数b 得两根为14，18，乙写错了常数c 得两根为12，64.求这个方程的真正根．参考答案1. 答案：A2. 答案：C log 27＝log 23·log 37＝ab .3. 答案：C 原式＝loglog 62＝log62＝log4. 答案：C ∵lg a ＋lg b ＝lg(ab )＝0，∴ab ＝1，b ＝1a . ∴g (x )＝1x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则f (x )与g (x )的图象关于y 轴对称． 5. 答案：C 由题意，得2t 1＝3,2t 2＝6,2t 3＝18，则t 1＝log 23，t 2＝log 26，t 3＝log 218，所以t 1＋t 2＝log 23＋log 26＝log 218＝t 3.6. 答案：2m n ∵lg m －2lg n ＝lg m －lg n 2＝lg 2m n ， ∴x ＝2m n. 7. 答案：0 lg(10m )＋lg1m ＝lg 10＋lg m ＋lg 1m ＝1， ∴10x ＝1＝100.∴x ＝0. 8. 答案：135由题意，可知关于lg x 的二次方程的两根为lg α，lg β， ∴lg(αβ)＝lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)＝lg 135. ∴αβ＝135. 9. 答案：证明：设2x ＝3y ＝6z ＝k (k ≠1)，∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k . ∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z＝log k 6＝log k 2＋log k 3. ∴111x y z +=. 10. 答案：分析：将方程化为关于log 2x 的一元二次方程的形式．利用一元二次方程的根与系数的关系求出b 和c ，再求出真正根．解：原方程可化为log 2x ＋b ＋c ·21log x ＝0， 即(log 2x )2＋b log 2x ＋c ＝0.因为甲写错了常数b 得两根为11,48，所以c＝log214·log218＝6.因为乙写错了常数c得两根为12，64，所以b＝－(log212＋log264)＝－5.故原方程为log2x－5＋6log x2＝0，可化为(log2x)2－5log2x＋6＝0. 解得log2x＝2或log2x＝3.所以x＝4，或x＝8，即方程的真正根为4,8.。
人教A版高中数学教材目录(全)
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克*必修1第一章 集合与函数概念 1．1 集合1．2 函数及其表示 1．3 函数的基本性质第二章 基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数 2．3 幂函数第三章 函数的应用 3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章 空间几何体 1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章 点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章 直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率 3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式 必修3第一章 算法初步1．1 算法与程序框图 1．2 基本算法语句 1．3 算法案例阅读与思考 割圆术第二章 统计 2．1 随机抽样阅读与思考 一个著名的案例阅读与思考 广告中数据的可靠性阅读与思考 如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体 阅读与思考 生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系 阅读与思考 相关关系的强与弱第三章 概率3．1 随机事件的概率阅读与思考 天气变化的认识过程3．2 古典概型 3．3 几何概型必修4第一章 三角函数 1．1 任意角和弧度制创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克*1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的诱导公式 1．4 三角函数的图象与性质 1．5 函数y=Asin （ωx+ψ） 1．6 三角函数模型的简单应用第二章 平面向量 2．1 平面向量的实际背景及基本概念 2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章 三角恒等变换 3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换必修5第一章 解三角形1.1正弦定理和余弦定理 1.2应用举例 1.3实习作业第二章 数列2.1数列的概念与简单表示法 2.2等差数列2.3等差数列的前n 项和 2.4等比数列2.5等比数列的前n 项和第三章 不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法 3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2简单的线性规划问题 3.4基本不等式选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.2双曲线2.3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1-2第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用1．2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1合情推理与演绎证明2．2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念创作编号：BG7531400019813488897SX创作者：别如克*3．2复数代数形式的四则运算第四章框图4．1流程图4．2结构图选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝第四讲平面解析几何的产生第五讲微积分的诞生第六讲近代数学两巨星第七讲千古谜题第八讲对无穷的深入思考第九讲中国现代数学的开拓与发展选修3-2选修3-3第一讲从欧氏几何看球面第二讲球面上的距离和角第三讲球面上的基本图形作编号：BG7531400019813488897SX作者：别如克*第四讲球面三角形第五讲球面三角形的全等第六讲球面多边形与欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系第八讲欧氏几何与非欧几何选修3-4第一讲平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第三讲对称与群的故事选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质第二讲直线与圆的位置关系第三讲圆锥曲线性质的探讨选修4-2第一讲线性变换与二阶矩阵第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法第三讲逆变换与逆矩阵第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量选修4-3选修4-4第一讲坐标系第二讲参数方程选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式第二讲证明不等式的基本方法第三讲柯西不等式与排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式选修4-6第一讲整数的整除第二讲同余与同余方程第三讲一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用选修4-7第一讲优选法第二讲试验设计初步选修4-8选修4-9第一讲风险与决策的基本概念第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介高中人教版（B）教材目录介绍必修一第一章集合1．1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算第二章函数2．1 函数2．2 一次函数和二次函数2．3 函数的应用（Ⅰ）2．4 函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1 指数与指数函数3．2 对数与对数函数3．3 幂函数3．4 函数的应用（Ⅱ）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1 平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程2．3 圆的方程2．4 空间直角坐标系必修三第一章算法初步作编号：BG7531400019813488897SX创作者： 别如克*1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 中国古代数学中的算法案例第二章 统计 2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体 2．3 变量的相关性第三章 概率 3．1 随机现象3．2 古典概型3．3 随机数的含义与应用 3．4 概率的应用必修四第一章 基本初等函(Ⅱ) 1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的图象与性质第二章 平面向量 2．1 向量的线性运算2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3 平面向量的数量积 2．4 向量的应用第三章 三角恒等变换 3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式 3．3 三角函数的积化和差与和差化积必修五 第一章 解直角三角形 1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章 数列 2．1 数列2．2 等差数列 2．3 等比数列第三章 不等式3．1 不等关系与不等式3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用 3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题选修1－1第一章 常用逻辑用语 1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词 1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章 圆锥曲线与方程 2．1 椭圆2．2 双曲线 2．3 抛物线第三章 导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算 3．3 导数的应用选修1－2第一章 统计案例 第二章 推理与证明 第三章 数系的扩充与复数的引入 第四章 框图选修4－5第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法 1．2 基本不等式1．3 绝对值不等式的解法 1．4 绝对值的三角不等式 1．5 不等式证明的基本方法第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2．1 柯西不等式2．2 排序不等式2．3 平均值不等式(选学) 2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章 数学归纳法与贝努利不等式3．1 数学归纳法原理3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式作编号：BG7531400019813488897SX作编号：BG7531400019813488897SX 作者： 别如克*作者： 别如克*。
高中数学必修一教学课件：第二章 基本初等函数 2.2.1对数与对数运算
对数与对 数的运算对 数式的互化
1.对数的概念 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做 以① 的对数,记作② ,其中a 叫做对数的③ ,N叫做④ .
对数式 为何 如此 规定
log a N
底数：
真数：
2.常用对数与自然对数
名称 定义 常用 通常我们将以10为底的 对数 对数叫做常用对数 在科学技术中常使用以 自然 无理数e=2.718 28…为 对数 底的对数,以e为底的对 数称为自然对数
记法
lgN
lnN
例1.求下列各式中x的取值范围： (1) log 2 ( x 10); (2) log ( x 1) ( x 2); (3) log ( x 1) ( x 1) ;
2
导图
当a 0时，且a 1时，a N x loga N
x
幂运算
对数运算
例2.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. 1 1 （1）3 = ;(2) 16 9 4 (3) log 1 27 3;(4) log x 64 6.
3 5
例5.化简下列各式： 1 （1）4lg2+3lg5-lg 5 lg 27 lg 8 lg 1000 （2） lg1.2 32 log5 3 （3）2log3 2-log3 log 3 8 5 9 （4）log 2( 6 4 2 6 4 2 )
导图
对数的换底公式： 如何证明？ log b N loga N= (a 0且a 1, b 0且b 1, N 0) log b a 1 （1）loga b= (a, b大于0且不等于1）； log b a （2）loga b log bc logcd=logad(a, b, c大于0且不等于1, d 大于0）； （3）loga b=logac logc b(a, c大于0且不等于1, b大于0）；
人教版高中数学必修1第二章基本初等函数(I)-《2.2.1对数与对数的运算》教案(2)
§2.2.1 对数与对数运算（二）学习目标：⒈理解对数的运算性质，能够运用对数的运算性质进行对数运算； ⒉知道对数换底公式能将一般对数转化成常用对数或自然对数． 教学重点：对数的运算性质．教学难点：用定义证明对数换底公式．教学方法：讲授式．教具准备：投影．教学过程：（I ）复习引入：师：上节课我们学习了对数的定义及其基本性质，请同学们回忆一下，什么叫对数？生：如果x a N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫对数的底数，N 叫真数．师：对数有哪些基本性质呢？生：对数有下面的基本性质：⑴负数和零没有对数；⑵log 10a =，log 1a a =；⑶log a N a N =．师：对数与指数之间有怎样的关系？生：log x a a N x N =⇔=．师：这一节，我们将利用对数与指数之间的关系和幂的运算性质推导出对数的运算性质和对数换底公式．（II ）讲授新课：⒈对数的运算性质：师：根据对数与指数之间的关系，我们可以进行指数式与对数式的互相转化．例如：设log a M m =，log a N n =，则有m a M =，n a N =，∴ m n a MN +=．将上式化为对数形式，得 l o g ()a M N m n=+．这样我们就得到了对数的一个运算性质：请同学们仿照上述过程，由m n M a N-=和mn n a M =得出对数运算的另外两条性质．生：（推导得出）师：下面我们来看一下对数的运算性质的应用．例题：课本71P 例3、例4.⒉对数换底公式：师：有了对数的运算性质，我们就可以对一些特殊的对数式进行运算或化简了．但实际应用中多见的还是常用对数和自然对数，怎样才能将以其他底的对数转换为以10或e 为底的对数，以方便我们的计算呢？为了解决上述问题，我们有下面的对数换底公式：你能根据对数的定义推导出上面的换底公式吗？（在教师的指导下，学生讨论、探究换底公式的证明方法，教师板书） 证明：设log a b p =，log c b m =，log c a n =，那么p a b =，m c b =，n c a =．将后面的两个式子代入前面的式子，得np m c c =．根据指数函数的单调性，得 n p m =，即 l o g l o g l c a c a b b ⋅=．∴ l o g l o g l o g c a c b b a =． 师：对数换底公式的证明方法较多，例如log log log log log a b a c c c b a a b ⋅==也可以证明．对数换底公式还有如下常用的推论： ⑴1log log a b b a=；⑵1log log n a a b b n =；⑶log log log a b a b c c ⋅=． 请同学们应用对数的换底公式计算下面各式的值：1.0118log 13x =， 1.0120log 13x =， 1.0130log 13x =． （Ⅲ）课后练习：课本75P 练习．（Ⅳ）课时小结⒈要理解对数运算性质的推导方法，能够熟练应用对数的运算性质进行化简、求值；⒉应用对数换底公式可以方便的求出任意不为1的正数为底的对数． （Ⅴ）课后作业⒈课本82P 习题2.2 A 组 ⒊⒋⒉阅读课本77P ～78P ，思考下列问题：⑴怎样的函数叫对数函数？对数函数的定义域是什么？⑵对数函数的图象是怎样的？函数2log y x =和12log y x =的图象有什么关系？⑶对数函数有哪些性质？教学后记:。
新人教A版必修1高中数学第2章基本初等函数Ⅰ2.2.1对数与对数运算第1课时对数
4．ln 1＝________，lg 10＝________． 0 1 [∵loga1＝0，∴ln 1＝0，又 logaa＝1，∴lg 10＝1.]
合作探究 提素养
指数式与对数式的互化
【例 1】 将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数 形式：
(1)2－7＝1128；(2)log1232＝－5； (3)lg 1 000＝3；(4)ln x＝2.
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算
第1课时 对数
学习目标 1．理解对数的概念，掌握对数的性质，
核心素养
能进行简单的对数计算．(重点、难点) 借助指数式与对数式的互
2．理解指数式与对数式的等价关系，会 化及应用对数的性质解
进行对数式与指数式的互化．(重点) 题，培养数学运算素养.
1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3－2＝19；
(2)14－2＝16；
(3)log127＝－3;
3
(4)log x64＝－6.
[解] (1)log319＝－2；(2)log1 16＝－2；
4
(3)13－3＝27；(4)( x)－6＝64.
利用指数式与对数式的关系求值
【例 2】 求下列各式中的 x 的值：
(1)log64x＝－23；
(2)logx 8＝6；
(3)lg 100＝x;
(4)－ln e2＝x.
[解] (1)x＝(64)－23＝(43)－23＝4－2＝116.
1
1
1
1
Hale Waihona Puke (2)x6＝8，所以 x＝(x6)6＝86＝(23)6＝22＝ 2.
人教A版高中数学必修一第二章基本初等函数第4讲2.2.1 对数及对数运算无答案
第4讲 §2.2.1 对数及对数运算※知识要点 1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以 为底 的对数，记作： ＝b ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做 ． 注：常用对数log 10N ＝ ；自然对数log e N ＝ (e 是无理数，e ≈ )．2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a >0且a ≠1)①特殊对数值：log a 1＝ ，log a a ＝ ； ②对数恒等式：a log a N ＝ ；③ 没有对数；(2)对数的运算法则(a >0且a ≠1，M >0，N >0)①log a (MN )＝ ；②log a MN＝ ；③log a M n ＝ ； 3．换底公式(1)内容：log a N ＝ ，(其中a >0，a ≠1，N >0，c >0，c ≠1)；(2)推广：①log a b ·log b a ＝ (a ，b >0且a ，b ≠1)； ②n a b g m lo ＝ (a ，b >0且a ，b ≠1，m ≠0)．③log a b ·log b c ·log c d ＝ ．※题型讲练【例1】将下列的对数式化为指数式或将指数式化为对数式：(1) (12)－1＝2 (2)log 381=4 (3)e 0=1(4)ln a =b (5)lg0.001=－3 (6)3－3＝127变式训练1：1．求解下列各式中x 的值：(1)log 8x =－23 (2)log 422 =x (3)log x 25=－22．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m +n ＝ ．3．若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝0，则x ＋y ＝ ．【例2】求下列对数式中x 的取值范围：(1)lg(2x －1)； (2)log (x －2)(x ＋2)．变式训练2：1．使log a (3a －2)有意义的a 的取值范围是________．2．解方程：log (x +1)(x ＋3)－2=0【例3】计算下列各题：(1)2ln e －52log 52+12log 3 3 3 (2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245(3)lg 25＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2变式训练3：1．计算下列各题：(1)2log 3 2－log 3 329＋log 3 8－π 2log π3 (2)lg 25＋lg 2·lg 50【例4】(1)计算：log 29·log 34＝________；(2)设3a ＝5b ＝c ，且1a ＋1b＝2，则c 的值为 ．变式训练4：1．求值：log 225·log 3116·log 519＝________.2．已知log 147＝a ，log 145＝b ，试用a 、b 表示log 3528．※课堂反馈1．已知log x 8＝3，则x 的值为( )A ．12B ．2C ．3D ．42．化简lg 2516－2lg 59＋lg 3281=( )A ．lg 2B ．lg 3C ．lg 4D ．lg 53．对数式log (10－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是________．4．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m －n ＝_______，用m ，n 表示对数log a 18＝________．5．已知2m ＝5n ＝10，则1m ＋1n＝________.6．计算：12lg16＋lg 25－2log 23－log 2 27·log 3 4※基础夯实1．方程2log 3x ＝14的解是( )A ．9B ．33C ． 3D ．192．若log 5(log 3(log 2x ))＝0，则x 等于( )A.36 B ．39 C ．24 D ．233．计算21+log 25＝( )A ．7B ．10C ．6D ．924．已知a ＝log 32，则log 38－2log 36＝( )A ．a －2B ．5a －2C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1 5．使log (x －1)(x ＋2)有意义的x 的取值范围是________．6．设g(x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≤0ln x ，x >0，则g (g (12))＝________.7．设7a ＝8b ＝k ，且1a ＋1b＝1，则k ＝________.8．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0； ②ln(ln e)＝0； ③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2， 其中正确的是________．(填序号) 9．计算下列各式． (1) (lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25 (2) log 4 9·log 3 10·lg 8(3) log 5 35＋2log 122－log 5 150－log 5 14；10．已知2x =3，log 483＝y ，求x ＋2y 的值．※能力提升1．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数， 则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c2．若log 5 14·log 4 6·log 6 x ＝2，则x ＝________.3．若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则用a ，b 的表示log 5 12=_______． 4．计算下列各式：(1)100(lg 3－lg 2)－log 98·log 433+(2+3)lg 1(2)lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2；5．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z ，2x ＝py .(1)求p ； (2)证明：1z －1x ＝12y.21-。
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河北省青龙满族自治县逸夫中学高中数学必修1第2章 基本初等函
数（1）-3.示范教案（2.1 对数与对数运算 第1课时）
教学分析
我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.
教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能,教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 三维目标
1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系；通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,并掌握化简求值的技能;运用对数运算性质解决有关问题.培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.
2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质；让学生经历并推理出对数的运算性质;让学生归纳整理本节所学的知识.
3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性. 重点难点
教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用. 教学难点:对数概念的理解,对数运算性质的推导及应用. 课时安排 3课时
教学过程
第1课时 对数与对数运算(1)
导入新课
思路1.1.庄子：一尺之棰,日取其半,万世不竭.（1）取4次,还有多长？（2）取多少次,还有0.125尺？
2.假设2002年我国国民生产总值为a 亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？ 抽象出：1.(
21)4＝？(2
1)x
＝0.125⇒x=? 2.(1+8%)x
=2⇒x=?都是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的
式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.
思路2.我们前面学习了指数函数及其性质,同时也会利用性质解决问题,但仅仅有指数函数
还不够,为了解决某些实际问题,还要学习对数函数,为此我们先学习对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕. 推进新课 新知探究 提出问题
(对于课本P 572.1.2的例8)
①利用计算机作出函数y=13×1.01x
的图象.
②从图象上看,哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿…? ③如果不利用图象该如何解决,说出你的见解？ 即
1318=1.01x ,1320=1.01x ,13
30=1.01x
,在这几个式子中,x 分别等于多少？
④你能否给出一个一般性的结论?
活动：学生讨论并作图,教师适时提示、点拨.
对问题①,回忆计算机作函数图象的方法,抓住关键点.
对问题②,图象类似于人的照片,从照片上能看出人的特点,当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标.
对问题③,定义一种新的运算.
对问题④,借助③,类比到一般的情形. 讨论结果：①如图2-2-1-1.
图2-2-1-1
②在所作的图象上,取点P,测出点P 的坐标,移动点P,使其纵坐标分别接近18,20,30,观察这时的横坐标,大约分别为32.72,43.29,84.04,这就是说,如果保持年增长率为1个百分点,那么大约经过33年,43年,84年,我国人口分别约为18亿,20亿,30亿.
③
1318=1.01x ,1320=1.01x ,13
30=1.01x
,在这几个式子中,要求x 分别等于多少,目前我们没学这
种运算,可以定义一种新运算,即若1318=1.01x
,则x 称作以1.01为底的13
18的对数.其他的可
类似得到,这种运算叫做对数运算.
④一般性的结论就是对数的定义:
一般地,如果a(a>0,a≠1)的x 次幂等于N,就是a x
=N,那么数x 叫做以a 为底N 的对数(logarithm),记作x=log a N,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 有了对数的定义,前面问题的x 就可表示了: x=log 1.01
1318,x=log 1.011320,x=log 1.0113
30.
例
如
：
42
=16⇔2=log 416;102
=100⇔2=log 10100;42
1=2⇔
2
1=log 42;10-2
=0.01⇔-2=log 100.01 提出问题
①为什么在对数定义中规定a>0,a ≠1?
②根据对数定义求log a 1和log a a(a>0,a≠1)的值. ③负数与零有没有对数? ④N
a a
log =N 与log a a b
=b(a>0,a≠1)是否成立?
讨论结果：①这是因为若a ＜0,则N 为某些值时,b 不存在,如log （－2）
2
1; 若a=0,N 不为0时,b 不存在,如log 03,N 为0时,b 可为任意正数,是不唯一的,即log 00有无数个值;
若a=1,N 不为1时,b 不存在,如log 12,N 为1时,b 可为任意数,是不唯一的,即log 11有无数个值.综之,就规定了a ＞0且a≠1. ②log a 1=0,log a a=1.
因为对任意a>0且a≠1,都有a 0
=1,所以log a 1=0. 同样易知：log a a=1.
即1的对数等于0,底的对数等于1.
③因为底数a ＞0且a≠1,由指数函数的性质可知,对任意的b∈R ,a b
＞0恒成立,即只有正数才有对数,零和负数没有对数. ④因为a b
=N,所以b=log a N,a b
=a N
a a
log =N,即a N
a a
log =N.
因为a b
=a b
,所以log a a b
=b.故两个式子都成立.(a N
a a
log =N 叫对数恒等式)
思考我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解,但还有两类特殊的对数对科学研究和了解自然起了巨大的作用,你们知道是哪两类吗? 活动：同学们阅读课本P 68的内容,教师引导,板书. 解答：①常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N 的常用对数log 10N 简记作lgN.
例如：log 105简记作lg5;log 103.5简记作lg3.5.
②自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.718 28……为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,为了简便,N 的自然对数log e N 简记作lnN. 例如：log e 3简记作ln3;log e 10简记作ln10. 应用示例
思路1
例1将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式： （1）54
=625;（2）2-6
=
641;（3）(3
1)m
=5.73; (4)log 2
116=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.
活动：学生阅读题目,独立解题,把自己解题的过程展示在屏幕上,教师评价学生,强调注意的
问题.
对（1）根据指数式与对数式的关系,4在指数位置上,4是以5为底625的对数.。