北京十一学校高三十二月月考12.12.docx

北京十一学校2016届高三十二月月考 2015.12.12
数学卷（理科） 时间：120分钟
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：（本题共8道小题,在每一小题只有一个正确答案，每小题5分，满分共40分）
1.复平面内，复数
i
i
-1对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2.已知集合⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛=121|x
x A ，集合{}0lg |>=x x B ，则=B A Y （ ）
A ．{}0|>x x
B ．{}1|>x x
C ．{}{}0|1|<>x x x x Y
D ．φ
4.下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ） A ．()x x f sin = B ．()1+-=x x f C ．()x x x f +-=22ln
D ．()()
()1,02
1
≠<+=-a a a a x f x x 5.已知圆()()111:2
2
=-++y x C 与x 轴的公共点为A ，与y 轴的公共点为B ，设劣弧AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（ ） A ．22-+=x y B ．2
1
1-
+=x y C ．22+-=x y D ．21-+=x y 6.已知平面向量b a ρ
ρ,的夹角为︒120，且1-=⋅b a ρρ，则b a ρρ-的最小值为（ ）
A ． 1
B ． 3
C ． 2
D ． 6 7.已知函数()x f 满足()()
11
1+=
+x f x f ，当[]1,0∈x 时，()x x f =，若在区间(]1,1-上方程
()0=--m mx x f 恰好有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0
B ．⎥⎦⎤ ⎝
⎛
21,0 C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡31,0 D ．⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,2
1
8.正方体D C B A ABCD ''''-的棱长为1，F E ,分别是棱C C A A '',的中点，过直线F E ,的平面分别与棱
D D B B ''、交于N M ,，设[]1,0,∈=x x BM ，给出以下四个命题：
①B D BD MENF ''⊥平面平面； ②当且仅当2
1
=
x
时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长()[]1,0,∈=x x f L 是单调函数； ④四棱锥MENF C -'的体积()x h V =为常值函数； 以上命题中假命题．．．
的序号为（ ） A ．①④ B ．② C ．③ D ．③④
二、填空题：（本题共6道小题，每小题5分，满分30分）
9.在极坐标中，点⎪⎭
⎫
⎝
⎛
4,
2π到圆θρcos 2=的圆心的距离为_____________. 10.若点)4,4(P 为抛物线px y 22
=上一点，则抛物线焦点坐标为____________；点P 到抛物线的准线的距离为______________.
11.在ABC ∆中，若7,5,120==︒=∠BC AB A ，则
C
B
sin sin 的值为____________. 12.如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为_________________；表面积为________________.
13.若不等式组⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤+≤+≥≥a
y x y x y x ,62,0,1表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是__________.
14.曲线C 是平面内到直线1:1-=x l 和直线1:2=y l 的距离之积等于常数()02
>k k 的点的轨迹.给出下列
四个结论：①曲线C 过点()1,1-；②曲线C 关于点()1,1-对称；③若点P 在曲线C 上，点B A ,分别在直线
21,l l 上，则PB PA +不小于k 2；④设0P 为曲线C 上任意一点，则点0P 关于直线1-=x ，点()1,1-及直
线1=y 对称的点分别为321P P P 、、，则四边形3210P P P P
的面积为定值2
2k . 其中，所有正确结论的序号是_____________.
三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答时应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）
15.（本小题13分）
已知函数().,4
3cos 33sin cos 2
R x x x x x f ∈+
-⎪⎭⎫
⎝
⎛
+⋅=π （I ）求()x f 的最小正周期； （II ）求()x f 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-4,4ππ上的最大值和最小值. 16.（本小题13分）
已知{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列. （I ）求{}n a 的通项公式及⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧+11n n a a 的前n 项和； （II ）设n S 表示{}n a 的前n 项和，{}n b 是首项为2的等比数列，公比q 满足()01442
=++-S q a q ，求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T . 17.（本小题14分）
如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，ABCD PAD 平面平面⊥，F E ,分别为BD
PA ,中点，2===AD PD PA . （I ）求证：PBC EF 平面//； （II ）求二面角P ED F --的余弦值；
（III ）在棱PC 上是否存在一点G ，使EDF GF 平面⊥？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由.
18.（本小题13分）
已知函数()()().0,12ln 2
142122>++++-=a x a x a x x f （I ）求函数()x f 的单调区间； （II ）当41>
a 时，存在⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞∈,210x ，()20221a x f -<，求实数a 的取值范围. 19.（本小题14分）
已知椭圆()01:22
22>>=+b a b
y a x C 的右焦点为)0,1(F ，短轴的端点分别为21,B B ，且a FB FB -=⋅21.
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）过点F 且斜率为()0≠k k 的直线l 交于椭圆于N M ,两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .与MN 的交点为P ，试求MN
DP 的取值范围.
20.（本小题13分）
若数列ΛΛ,,,,,,21012a a a a a --满足()Z n a a a n n n ∈+=
+-3
1
1，则称{}n a 具有性质A . （I ）若数列{}{
}n n b a 、具有性质A ，k 为给定的整数，c 为给定的实数.以下四个数列中哪些具有性质A ？请直接写出结论.
①{}n a -；②{}n n b a +；③{}k n a +；④{}n ca . （II ）若数列{}n a 具有性质A ，且满足1,010==a a .
（i ）直接写出()Z n a a n n ∈+-的值； （ii ）判断{}n a 的单调性，并证明你的结论.
（III ）若数列{}n a 具有性质A ，且满足20152004a a =-.求证：存在无穷多个整数对()m l ,，满足
()m l a a m t ≠=.
北京十一学校2016届高三十二月月考答案 2015.12.12
数学卷（理科） 时间：120分钟
一、选择题：BAACADBC 二、填空题：
9. 1 10. ()0,1；5 11.
53 12. 3
8
；32246++ 13. ()5,3 14. ②③ 三、解答题：
15.解：（I ）由已知，有()43
cos 3cos 23sin 21cos 2+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=x x x x x f ………………1分 4
3
cos 23cos sin 212+-⋅=x x x
43
cos 432sin 41++-=x x ………………3分
x x 2cos 4
3
2sin 41-
= ⎪⎭
⎫
⎝⎛-=3sin 2cos 3cos 2sin 21ππx x ………………4分
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=32sin 21πx ………………5分 所以，()x f 的最小正周期ππ
==
2
2T ………………6分 （II ）当⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-∈4,4ππx 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
∈-6,6532πππx ………………7分 故由当⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈-
2,6532πππ
x ，即⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--∈12,4ππx 时，()x f 单调递减；………………8分 故由当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-
6,232πππ
x ，即⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈4,12ππx 时，()x f 单调递增；………………9分
以及414,2112,414=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭
⎫
⎝⎛-πππf f f ………………10分
得当4
π
=
x 时，()x f 取到最大值
41
； 当12
π
-=x 时，()x f 取到最大值21-………………13分
故
()()⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=+-=+121121*********n n n n a a n n ，………………4分 有
1
2121121121121215131213112111113221+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++n n n n n a a a a a a n n ΛΛ…6分 （II ）由（I ）得，()()()212
12121231n n n a a n n S n n =-+=+=
-+++=Λ………………8分
16,744==S a .因为()01442=++-S q a q ，即01682=+-q q ………………9分 所以()042
=-q ，从而4=q ………………10分
又因21=b ，是{}n b 公比4=q 的等比数列，所以12111242---=⋅==n n n n q b b ………………11分
从而{}n b 得前n 项和()
()
143
2
111-=--=n n n q q b T ………………13分
考点：等差数列、等比数列、数列求和. 16.解：
（I ）如图，连接AC .因为四边形ABCD 是正方形，所以AC 与BD 互相平分. 又因为F 是BD 中点，所以F 是AC 中点.
在PAC ∆中，E 是PA 中点，F 是AC 中点，所以PC EF //.………………2分
又因为PBC PC PBC EF 平面，平面⊂⊄，………………3分 所以PBC EF 平面//. ………………4分
（II ）取AD 中点O .在PAD ∆中，因为PD PA =， 所以AD PO ⊥.
因为ABCD PAD 平面平面⊥，且AD ABCD PAD =平面平面I ，
所以ABCD PO 平面⊥ 因为ABCD OF 平面⊂，
所以OF PO ⊥. 又因为F 是AC 中点，
所以AD OF ⊥.………………5分
如图，以O 为原点，OP OF OA ,,分别为z y x ,,
6分 因为2===AD PD PA ，所以3=OP ，则()()()()0,0,1,0,2,1,0,2,1),0,0,1(,0,0,0--D C B A O
()
()0,1,0,23,
0,21,3,0,0F E P ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛. 于是()()0,1,1,23,0,23,0,2,0=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=. 因为PAD OF 平面⊥，所以()0,1,0=是平面PAD 的一个法向量.………………7分
设平面EFD 的一个法向量是()000,,z y x n =ρ
.
因为⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0n DF n ρρ………………8分
所以⎪⎩⎪
⎨⎧⎩⎨⎧-=-==+=+.3,,023
23,
000000000x z x y z x y x 即 令10=x ，则()
3,1,1--=n ρ
.
所以5551,cos ===><n ρ
………………9分
由图可知，二面角P ED F --为钝角，故二面角P ED F --的余弦值为5
5
-.……………10分 （III ）假设在棱PC 上存在一点G ,使得⊥GF 平面.EDF
设),,,(111z y x G
),1,(111z y x -=.由(II )知平面EDF 的一个法向量是)3,1,1(--=…11分
因为EDF GF 平面⊥，所以可设()
λλλλ3,,--==n FG ρ
， 则λλλ3,1,111-=-==z y x .
又因为点G 在棱PC 上，所以PC CG 与共线………………12分 因为()
()111,2,1,3,2,1z y x -+=--=， 所以
32211111-=-=-+z y x ，即3
32111--=--=-+λ
λλ，无解………………13分 故在棱PC 上不存在一点G ，使得EDF GF 平面⊥………………14分 考点：线面平行判定定理，利用空间向量求二面角
17.解：（1）()()()()()()1
221212142112121421+--=
+++--+=++++-='x a x x x a a x x x a a x x f ……………2分 令()0='x f ，则a x x 22
1
==
或 ……………………3分 i 、当2
12>a ，即41
>a 时，
区间为⎪⎭
⎫
⎝⎛-21,21和
所以()x f 的增
()+∞,2a ，减区
间为
⎪⎭
⎫
⎝⎛a 2,21………………5分 ii 、当212=a ，即41
=a 时，()()012122
≥+-='x x x f 在⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+∞-,21上恒成立，
所以()x f 的增区间为⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞-,21 ………………6分 iii 、当2120<
<a ，即41
0<<a 时， 增区间为⎪
⎭
⎫
⎝⎛-a 2,21所以()x f 的
和⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,21，减
区间为
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
21,2a ………………8分
综上所述：
410<
<a 时，()x f 的增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 2,21和⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21，减区间为⎪⎭⎫ ⎝
⎛
21,2a
41=
a 时，()x f 的增区间为⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞-,21 41>
a 时，()x f 的增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21和()+∞,2a ，减区间为⎪⎭
⎫
⎝⎛a 2,21………………9分 （II ）由题意，41>
a 时，存在()200221,,21a x f x -<⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈，即41>a 时，()x f 在⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,21上的
最小值小于222
1
a - ……………………10分
由（II ）41>
a 时，()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 2,21上递减，在()+∞,2a 上递增，，()x f 在⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,21上的最小值为()a f 2 …………………………………………11分
所以()22212a a f -<
，即()()2222
114ln 2142122a a a a a a -<++++-……………………12分 化简得()4
1
,14,114ln -<<+<+e a e a a ，
又41>
a ，所以4141-<<e a ，所求实数a 的取值范围为⎪⎭
⎫ ⎝⎛-41,41e ………………13分
考点：导数综合
18.解：（I ）依题意不妨设()()b B b B ,0,,021-，则()()b FB b FB ,1,,121-=--=……………1分 由a FB FB -=⋅21，得a b -=-21………………2分 又因为122=-b a ，…………3分 解得3,2==b a
所以椭圆C 的方程为13
42
2=+
y x . ……………………4分 （II ）依题直线l 的方程为()1-=x k y
由()()
0124843134
1222222=-+-+⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y 得 ………………5分
设()()2211,,,y x N y x M ，则2
22122214312
4,438k k x x k k x x +-=+=+………………6分
所以弦MN 的中点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+222433,434k k k k ……………………7分
所以()()()()[
]
212
212
2
2122141x x x x k
y y x x MN -++=
-+-=
………………8分
=
(
)
()
(
)⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎣⎡+--
++2
22
2
2
2
4312
4443641k k k
k k
=()
3
41
122
2++k k ……………………9分 直线PD 的方程为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=++3441343222k k x k k k y ， 由0=y ，得3422
+=k k x ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,3422k k D ……………………10分 所以()
3
41
32
22++=k k k DP …………………………11分
所以()()
1
114114134112341
322222222+-=+=++++=k k k k k k k k MN DP ……………………12分 又因为112>+k ，所以11
102<+<
k .…………………………13分 所以411114102<+-<k 所以MN DP
的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0……………………14分 19.解：（I ）①②③④………………4分
（II ）（i ）故()Z n a a n n ∈=+-,0………………5分
（ii ）（1）用数学归纳法证明当N n ∈时，有n n a a >+1
当0=n 时，结论显然
设()N k k n ∈=时，有k k a a >+1成立，
则当1+=k n 时，有()1111122223++++++>>-+>-=k k k k k k k k a a a a a a a a
故()N n a a n n ∈>+1………………7分
（2）当0<n 时，由（ii ），有()11,+-+--=-=n n n n a a a a
当()()n n n n n n a a a a a a n n >->->≥+-≥-+++--111,,,01即得
由（1）（2），有()Z n a a n n ∈>+1，故{}n a 单调递增………………9分
（III ）令k k k k a c a b --==20152014,，
其满足402940192015201420152014402940290201520140,a a a a a b c a a b ========---- 记k k k c b d -=，则{}n d 也具有性质A ，且040290==d d 若01≠d ，则令1
d d x k k =.{}n x 也具有性质A ，且1,010==x x 由（II ）知{}n x 单调递增，则1014029=>>x x ，矛盾
故01=d ，从而，由()Z n d d d n n n ∈+=+-3
11，及010==d d 可得()Z n d n ∈=0，即0,020152014=-=---n n n n a a c b ，n n a a --=20152014对一切整数n 成立. 故取()Z n n l n m ∈-=-=2015,2014，易得l m Z l m ≠∈,,（否则Z n ∉=2
4029），()m l ,满足题意 由n 有无穷多种取值，且不同的整数n 对应不同的整数对()m l ,， 知这样的整数对()m l ,有无穷多个………………13分。