泰安市高中数学解答题精选解析 (15)

泰安市高中数学解答题精选解析15
1.已知=（sin x，cos x），=（sin x，sin x），函数f（x）=．
（Ⅰ）求f（x）的对称轴方程；
（Ⅱ）求使f（x）≥1成立的x的取值集合；
（Ⅲ）若对任意实数，不等式f（x）-m＜2恒成立，求实数m的取值范围．
2.已知函数f（x）=（x-2）e x+a（x-1）2．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
3.已知椭圆,四点,,,中恰有三
点在椭圆上.
(1)求的方程；
(2)设直线不经过点且与相交于两点.若直线与直线的斜率的和为-1,
证明:过定点.
4.设数列的前n项和为，，满足，，．
求证：数列为等比数列；
求数列的前n项和．
5.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的
参数方程为，（t为参数）．
（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．
答案和解析
1.【答案】解：（Ⅰ）
=
=
=，
令，
解得．
∴f（x）的对称轴方程为.
（Ⅱ）由f（x）≥1得，
即，
∴，
解得，
故x的取值集合为.
（Ⅲ）∵，∴，
又∵y=sin x在上是增函数，
∴，
又，
∴f(x)在上的最大值为
，
∵f（x）-m＜2恒成立，
∴m＞f（x）max-2，即，
∴实数m的取值范围是．
【解析】本题考查正弦函数的图象与性质，三角恒等变换中的公式，向量数量积的运算，以及恒成立问题的转化，考查转化思想，数形结合思想，化简、变形能力，属于中档题. （Ⅰ）利用向量的数量积运算、二倍角的公式，两角差的正弦公式化简解析式，由正弦函数的对称轴和整体思想求出f（x）的对称轴方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化简f（x）≥1，由正弦函数的图象与性质列出不等式，求出不等式的解集；
（Ⅲ）由由x的范围求出的范围，利用正弦函数的性质求出f（x）的最大值，根据
条件和恒成立问题列出不等式，求出实数m的取值范围．
2.【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=（x-2）e x+a（x-1）2，
可得f′（x）=（x-1）e x+2a（x-1）=（x-1）（e x+2a）,
①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，
可得x＜1，
即有f（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增（如右上
图）；
②当a＜0时（如右下图），
若a=-，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；
若a＜-时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（-2a），
由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（-2a）,
即有f（x）在（-∞，1），（ln（-2a），+∞）递增，在（1，ln（-2a））递减；
若-＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（-2a）或x＞1，
由f′（x）＜0，可得ln（-2a）＜x＜1，
即有f（x）在（-∞，ln（-2a）），（1，+∞）递增，在（ln
（-2a），1）递减.
（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时，
f（x）在（-∞，1）递减；在（1，+∞）递增，
且f（1）=-e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；
当x→-∞时f（x）＞0或找到一个x＜1使得f（x）＞0对
于a＞0恒成立，
此时f（x）有两个零点；
②当a=0时，f（x）=（x-2）e x，所以f（x）只有一个零点
x=2；
③当a＜0时，
若a＜-时，f（x）在（1，ln（-2a））递减，在（-∞，1），
（ln（-2a），+∞）递增，
又f（1）=-e＜0，所以f（x）不存在两个零点；
当a>-时，在（-∞，ln（-2a）），（1，+∞）单调增，在（ln（-2a），1）单调减，
只有f（ln（-2a））等于0才有两个零点，
∵f（ln（-2a））=[ln（-2a）-2]（-2a）+a[ln（-2a）-1]2=a（(ln（-2a）-2)2+1)＜0
∴函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；
当a=-时，f（x）在R上递增，所以至多有一个零点，不符题意．
综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．
【解析】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题.
（Ⅰ）求出f（x）的导数，讨论当a≥0时，a＜-时，a=-时，-＜a＜0，由导数大于0，
可得增区间；由导数小于0，可得减区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．
3.【答案】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（-1，），P4（1，）两点必在椭圆C
上，
又P4的横坐标为1，
∴椭圆必不过P1（1，1），
∴P2（0，1），P3（-1，），P4（1，）三点在椭圆C上．
把P2（0，1），P3（-1，）代入椭圆C，得：
，
解得a2=4，b2=1，
∴椭圆C的方程为=1；
（2）证明：①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，-y A），
∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，
∴===-1，
解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
②当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2-4=0，
，x1x2=，
则=
=，
=
==-1，又t≠1，
∴t=-2k-1，此时=-64k，存在k，使得＞0成立，
∴直线l的方程为y=kx-2k-1，
当x=2时，y=-1，
∴l过定点（2，-1）．
【解析】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，圆锥曲线中的定点问题，考查推理论证能力、运算求解能力，属于较难题．
（1）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（-1，），P4（1，）三点在椭圆C 上．把P2（0，1），P3（-1，）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程；
（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），联立，
得（1+4k2）x2+8ktx+4t2-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，-1）.
4.【答案】（1）证明: ∵
∴n()=2，
∴，
∴，，
∴数列是以1为首项，以2为公比的等比数列；
(2)解：由（1）可知，
∴,
∴，
∴，
由错位相减得:
=
,
∴.
【解析】本题考查了向量的平行、等比数列的定义和错位相减法求和，属于中档题．
（1）先根据向量的平行得到n（S n+1-2S n）=2S n，继而得到=2•，问题得以证明；（2）由（1）可得，由错位相减法即可求出数列{S n}的前n项和T n．
5.【答案】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：
+y2=1；
a=-1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y-3=0；
联立方程，
解得或，
所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（-，）．
（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y-a-4=0，
椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），
所以点P到直线l的距离d为：
d==，φ满足tanφ=，且的d的最大值为．
①当-a-4≤0时，即a≥-4时，
|5sin（θ+φ）-a-4|≤|-5-a-4|=|5+a+4|=17
解得a=8和-26，a=8符合题意．
②当-a-4＞0时，即a＜-4时
|5sin（θ+φ）-a-4|≤|5-a-4|=|5-a-4|=17，
解得a=-16和18，a=-16符合题意．
【解析】（1）将曲线C的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标；
（2）曲线C上的点可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为进行分析，可以求出a的值．本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线C上的点到直线l距离的最大值求出a．。