§4 对称矩阵的对角化

于是得正交阵
1 0 0 P = ( P1 , P2 , P3 ) = 1 2 0 1 2 − 1 2 0 1 2 2 0 0 −1 P AP = 0 4 0 . 0 0 4
则
利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为： 1. 求A的特征值 λ1 , λ2 ,, λn ; 2. 由( A − λi E ) x = 0, 求出 A的特征向量; 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化得 P1 , P2 ,, Pn . 5. 写出正交阵 P = ( P1 , P2 , , Pn ) ，
由于 ξ 1 , ξ 2 , ξ 3是属于 A的3个不同特征值 λ1 , λ2 ,
λ3的特征向量 , 故它们必两两正交 . 第四步 将特征向量单位化 ξi , i = 1,2,3. 令 Pi = ξi
得
− 2 3 23 P1 = 2 3 , P2 = 1 3 , −1 3 − 2 3
2−λ −2 0 A − λE = − 2 1 − λ − 2 = (4 − λ )(λ − 1)(λ + 2) = 0 0 −2 −λ 得 λ1 = 4, λ2 = 1, λ3 = −2.
第二步 由( A − λi E ) x = 0, 求出A的特征向量
对 λ1 = 4,由( A − 4 E ) x = 0, 得 2 x1 + 2 x2 = 0 − 2 2 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 0 解之得基础解系 ξ1 = 2 . − 1 2x + 4x = 0 2 3 对 λ2 = 1,由( A − E ) x = 0, 得
− x1 + 2 x2 = 0 2 x1 + 2 x3 = 0 2x &#ξ 2 = 1 . − 2
对 λ3 = −2,由( A + 2 E ) x = 0, 得
1 − 4 x1 + 2 x2 = 0 2 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 0 解之得基础解系ξ 3 = 2 . 2 2x − 2x = 0 2 3 第三步 将特征向量正交化
则有 P −1 AP = Λ = diag (λ1 , λ2 ,, λn ) .
例2
2 − 1 n 设A = 求 A , . −1 2
−1 = (λ − 1)(λ − 3) 2−λ
2−λ 解: 由 A − λ E = −1
得A的特征值 λ1 = 1, λ2 = 3.
1 0 n 1 0 所以Λ = 0 3 ,Λ = 0 3n
1 P3 = 2 2
3 3 . 3
− 2 2 1 1 1 2 , 作 P = ( P1 , P2 , P3 ) = 2 3 1 2 2 − − 则 4 0 0 −1 P AP = 0 1 0 . 0 0 − 2
§4 对称矩阵的对角化
一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． 定理5 对称矩阵的特征值为实数.
定理6 设λ1 , λ2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 ,
p2是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ2 , 则p1与p2正交 .
0 1 ξ 2 = 0 , ξ 3 = 1 . ξ 2与ξ 3 恰好正交 , 1 0
所以 ξ1 , ξ 2 , ξ 3两两正交 .
ξi (i = 1,2,3)得 再将 ξ1 , ξ 2 , ξ 3单位化 , 令Pi = ξi
0 1 0 P1 = 1 2 , P2 = 0 , P3 = 1 2 . − 1 2 0 1 2
二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法
例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P ， 使 P −1 AP 为对角阵. 4 0 0 2 −2 0 (1) A = − 2 1 − 2 , ( 2) A = 0 3 1 0 1 3 0 −2 0 解 (1) 第一步 求 A 的特征值
1 − 1 1 对λ1 = 1,由A − E ~ 0 0 , 得ξ 1 = 1 ; 1 1 1 对λ2 = 3,由A − 3 E ~ − 1 0 0 , 得ξ 2 =
1 1 −1 1 1 1 所以P = (ξ 1 ξ 2 ) = 1 − 1 1 − 1 , P = 2 n n 1 3 1 3 + − 1 n n −1 所以A = PΛ P = n n 2 1 − 3 1 + 3
4 0 0 ( 2) A = 0 3 1 0 1 3 4−λ 0
A − λE =
0 0
3−λ 1
0 2 1 = (2 − λ )(4 − λ ) , 3−λ
得特征值 λ1 = 2, λ2 = λ3 = 4.
0 对 λ1 = 2,由( A − 2 E ) x = 0, 得基础解系 ξ1 = 1 − 1 对 λ2 = λ3 = 4,由( A − 4 E ) x = 0, 得基础解系
定理7 设A为n阶对称矩阵 , 则必有正交矩阵 P , 使
P −1 AP = Λ , 其中 Λ 是以 A的 n 个特征值为对角元 素的对角矩阵 .
推论 设 A为 n阶对称矩阵 , λ 是A的特征方程的 r
重根 , 则矩阵 A − λE 的秩 R( A − λE ) = n − r , 从而 对应特征值 λ 恰有 r 个线性无关的特征向量 .