利用李雅普诺夫判据判断线性时

• 考察连续时间线性时不变系统，自治状态方程为
x Ax ， x ( 0 ) x 0， t 0

其中，x为n维状态，状态空间原点即x=0为系统的 一个平衡状态。 李雅普诺夫判据： 对n维连续时间线性时不变系统，原点平衡状态x e 0 是渐进稳定的充分必要条件是，对于任给一个 n n 正定对称矩阵 Q ，李雅普诺夫方程
判断的一般步骤
（1）确定系统的平衡状态 x e 。 （2）取矩阵 Q I ，并且设实对称矩阵P为下面的形式：
p 11 P p n1
T
p 12 pn2

p1 n p nn
（3）解矩阵方程A P PA I ，求出P。
（4）利用塞尔维斯特判据，判断P的正定性。若 P 0 ，正定，系统渐近稳 定，且
v ( x ) x Px
T
例：设系统的状态方程为
x1 0 1 x2
1 x1 1 x 2
其平衡状态在坐标原点，试判断该系统的稳定性。 解：取 Q I ，则矩阵P由下式确定
A P PA I
T
即
0 1
0 0 -1
展开得：
2 K p1 3 0 , K p 2 3 p1 1 2 p1 2 0 , p1 3 3 p 2 3 p 2 2 0 ,
2
K p 3 3 p1 2 p1 3 0 , 2 p 2 3 2 p 3 3 1,
稳定性与输入无关，可令u 0 。由于 det A K 0， A 非奇异， 故原点是唯一的平衡状态。取 Q 为正半定矩阵。
0 Q 0 0 0 0 0 0 0 1
T 2 3



则 V ( x ) x Qx x 0， ( x ) 负半定。令 V
2 2
2
2
T v ( x ) x ( I ) x ( x1 x 2 ) 0
由此也可以判定系统在平衡点处是渐近稳定的。
例：试用李雅普诺夫方法确定使系统渐进稳定的K值范围。
解：由图是状态变量列写状态方程得
0 x 0 K 1 2 0 0 0 1 x 0 u K 1
T
易知，n n 解矩阵
X为
A t
T
X (t ) e
Qe ， t 0
At

对上式由 t 0 至 t 进行积分，得
X ( ) X ( 0 ) A ( X (t ) d t ) ( X (t ) d t ) A
T 0 0
由系统渐进稳定可知， 当 t 有 e 0，从而可导出
P正定的条件为：12-2K>0，且K>0。所以，当0<K<6时，系统 大范围一致渐进稳定。

V ( x ) 0，有 x 3 0，由状态方程中

x 3 Kx 1 x 3，
解得 x 1 0，考虑到
x 1 x 2，解得 x 2 0，表明只有原点使得
V ( x ) 0。
根据李雅普诺夫代数方程：T P PA A
0 1 0 0 -2 1 -K 0 -1 p 11 p 12 p 13 p 12 p 22 p 23
T
（2）为计算方便，在选定正定实对称矩阵Q时，可取 Q I ，于是矩阵P可 按下式确定；
A P PA I
T
然后检验P是不是正定的。
（3）只要选择的矩阵Q为正定的（或根据情况选为正半定的），则最终的判
定结果与矩阵Q的具体形式无关，即Q可以是任意正定矩阵（半正定）。 （4）李雅普诺夫判据的实质 从系统特征值分布的角度，李雅普诺夫判据的实质在于，给出了是矩阵A所有特征 值均具有负实部及均分布在左半开s平面的充分必要条件。基此，提供了可把李雅 普诺夫判据推广为更一般形式的可能性。
A P PABiblioteka QT有惟一n n 正定对称解阵P 。
证明 先证充分性。已知 n n 解阵P，欲证x e 0 渐进稳定。对此，取李雅普诺夫函数 V ( x ) x Px ， 且由 P P 0 知 V ( x )正定。进而可得
T
T

V ( x ) x Px x P x ( Ax ) Px x P ( Ax ) x ( A P PA ) x x Qx
At
X ( ) 0。并考虑 X ( 0 ) Q ，
且P


0
X ( t )d t，由此可得
A P PA Q
T
这就表明，
P


0
X ( t ) d t 为李雅普诺夫方程解阵

，再由 X ( t ) 存在惟一和
X ( ) 0 可知 P

0
X ( t ) d t 存在惟一。而由
P
T



0
e

A t
T
Qe
At
d
T
t



e
A t
T
Qe
At
0
dt P
n
可知 P


X ( t )d 是对称的。对任意非零
T 0 T
0
x 0 R ，有
x Px 0
0
(e x0 ) Q (e x0 )d t
T
At
At
其中 Q 可表示为 Q N N , N 为非奇异。由此可进而
渐进稳定时必存在二次型李雅普诺夫函数对于线性自治系统当系统矩阵a非奇异时仅有唯一平衡点即原点考察连续时间线性时不变系统自治状态方程为其中x为n维状态状态空间原点即x0为系统的一个平衡状态
利用李雅普诺夫判据判断线性时 不变系统的稳定性
•
众所周知，对于线性时不变系统，其渐进 概述 稳定性的判别方法有很多，如劳斯判据、赫尔 维兹判据以及奈奎斯特稳定性判据。其中劳斯 判据、赫尔维兹判据通过判断特征多项式的系 数来直接判断稳定性，奈奎斯特稳定性判据根 据开环频率特性来判断闭环系统的稳定性。这 些方法我们以前在自动控制原理中都已经学习 过，这里我主要介绍通过解线性系统的李雅普 诺夫方程的稳定性判别方法。这种方法也是一 种代数方法也不要求把特征多项式进行因式分 解，而且可以进一步应用于求解某些最优控制 问题。
x Px 0
T 0
推导出：
2


T
(e
At
0
x0 ) N N (e
T
At
x0 )d t


Ne
At
0
x0
dt 0
从而，证得解阵
P 为惟一正定。 。
必要性证得。证明完成
在应用上述定理时，应注意下面几点：
（1）如果任取一个正定矩阵Q，则满足矩阵方程 A P PA Q 的实对称 矩阵P是惟一的。若P是正定的，系统在 x e 0 处是渐近稳定的。P的正定性 是一个充要条件。
T T T T T T

T

且由 Q Q
T
0 知 V ( x ) 负定。根据李雅普诺夫 x e 0 为渐进稳定。
稳定性定理，
充分性证得。 再证必要性：已知 x e 0 渐进稳定，欲证 n n 解 阵P正定。因此，考虑矩阵方程：

X A X XA , X ( 0 ) Q , t 0
K 12 2 K 6K 12 2 K 0
2 p1 2 4 p 2 2 0 ,
解得：
K 12 K 12 2 K 6K P 12 2 K 0
6K 12 2 K 3K 12 2 K K 12 2 K
1 p 11 1 p 12
p 12 p 11 p 22 p 12
p 12 0 p 22 1
1 1 1 0
0 1
将上述矩阵方程展开成联立方程组 2 p 12 1
p 11 p 12 p 22 0 2 p 12 2 p 22 1
解得
p 11 P p 12
p 12 3 2 p 22 1 2
1 2 0 1
可知 P 0 ，正定，所以系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。而系统 的李雅普诺夫函数及其导数分别为
v ( x ) x Px
T
1 2
( 3 x1 2 x1 x 2 2 x 2 ) 0
Q
p 13 p 11 p 23 p 12 p 33 p 13
p 12 p 22 p 23
p 13 p 23 p 33
0 0 -K
1 -2 0
0 0 1 0 0 -1
0 0 0
• 利用李雅普诺夫第二方法对线性系统进行分 析，有如下几个特点： (1) 都是充要条件，而非仅充分条件； (2) 渐进稳定性等价于李雅普诺夫方程解的 存在性； (3) 渐进稳定时，必存在二次型李雅普诺夫 . T 函数 V ( x ) x Px 及 V ( x ) x T Px ； (4) 对于线性自治系统，当系统矩阵A非奇 异时，仅有唯一平衡点，即原点 x e 0； (5) 渐进稳定与大范围渐进稳定完全等价。