微波技术基础课件第七章微波谐振器

第7章 微波谐振器
从上述分析可知，谐振器的Q0和R0都与谐振器中的损 耗功率成反比，因而比值R0/Q0便与损耗无关，而只与几何 形状有关，而且R0/Q0与频率也无关。这就允许在任意频段 上对R0/Q0进行测量。因此在实际工程设计中，可将谐振器 的所有尺寸按线性缩尺方法做成模型，进行模拟测量。这 样，在较高频率时，就可以避免尺寸很小的精密加工困难 问题，而在频率较低时，则可不必浪费材料去加工尺寸很 大的谐振器。
E Ai Ei (r)e jit
同时由式(7.1-1)
H
j
Ai
Hi (r)e jit
1 Ei (r) ki Hi (r)
1 Hi (r) ki Ei (r)
(7.1-14) (7.1-15)
第7章 微波谐振器
对于谐振器任一自由振荡模式，可以证明其最大电场
We
1 | E |2 dv
V2
Wm
T(t) Aie jit
(7.1-8)
式中Ai为任意常数，由起始条件决定，亦即由谐振器起始激
励条件决定。
式(7.1-7)为本征值方程，ki为本征值。在选定坐标系后， 可用分离变量法求解。设其特解为Ei(r)，于是得到式(7.1-3)
E Ei (r) Aie jit
(7.1-9)
E
E Ei (r) Aie jit i 1
联等效电路。设电路两端的电压为V=Vm sin (ωt+φ)，则谐 振器中的损耗功率为 Pl G0Vm2 / 2
G0
2Pl Vm2
(7.1-26)
第7章 微波谐振器
图 7.1-3 微波谐振器的等效电路
第7章 微波谐振器
式中Vm是等效电路两端电压幅值。Pl可由式(7.1-23)求得。 这样，为了计算谐振器的损耗电导G0就必须确定Vm值，然 而，对于微波谐振器，其内不管哪个方向都不属于似稳场， 因而两点间的电压与所选择的积分路径有关，故G0不是单 值量。因此严格讲，在一般情况下，微波谐振器的G0值是 难以确定的。尽管如此，我们还是可以设法在谐振器内表 面选择两个固定点a和b，并在固定时刻可以沿所选择路径 进行电场的线积分，并以此积分值作为等效电压Vm的值，
E(r)
T (t)
(7.1-5)
第7章 微波谐振器
此式要成立，必须每项为常数。令分离变量常数分别为 ωi和ki，则得到方程:
T (t) i2T (t) 0
(7.1-6)
2E(r) ki2E(r) 0
(7.1-7)
式中 ki i 称为波数，在此为正实数。
第7章 微波谐振器
式(7.1-6)
p
l
(7.1-19)
代入式(7.1-17)，得到封闭式波导谐振器谐振波长一般表示
0
1
1
1
c
2
p 2l
2
1
c
2
1
g
2
(7.1-20)
式中λc为波导的截止波长。可见谐振波长与谐振器形状尺寸 和工作模式有关。
第7章 微波谐振器
(2) 品质因数Q0 品质因数(quality factor)Q0表征微波谐振系统的频率选
实上，将电场和磁场归一化，使得
| Ei (r) |2 dv 1, | Hi (r) |2 dv 1
V
V
(7.1-12)
则将式(7.1-10)和式(7.1-11)代入式(7.1-1)第一、二方程，即
Ai=-jηBi
(7.1-13)
第7章 微波谐振器
式中 / 是介质的波阻抗。于是，对于谐振器某一 特定自由振荡模式(free oscillation mode),
第7章 微波谐振器
(3) 损耗电导G0 损耗电导(loss conductance)G0表征谐振系统的功率损 耗特性。在实用中，为了工程计算的方便，常把单模工作
的谐振器在不太宽的频带内等效为LC振荡回路，用等效电
导G0或损耗电阻R0(R0=1/G0)来表示谐振器的功率损耗。为 了计算谐振器的有功损耗电导，可采用如图7.1-3所示的并
第7章 微波谐振器
故
| Ei (r) |2 dv {Ei*(r) [ Ei (r)]}dv Ei*(r) Ei (r)dv
V
V
V
Ei (r) [ Ei (r)] ds Ei*(r) Ei (r)dv
S
V
Ei*(r) Ei (r)dv ki* | Ei (r) |2 dv
第7章 微波谐振器
实际计算时，一个有耗谐振器可以当成无耗谐振器来 处理，但其谐振频率ω0需用复数有效谐振频率(complex effective resonant frequency)
0
—
—
0 1
j 2Q
(7.1-29)
第7章 微波谐振器
由式(7.1-20)、(7.1-24)和式(7.1-28)可以计算特定谐振器 的λ0、Q0和G0，谐振器的其它参数可由这三个参数导出，故 λ0、Q0和G0是微波谐振器的基本参数。为了计算这三个参数， 就需要知道谐振器的模式及其场分布。这只对极少数形状简 单规则的谐振器才是可行的。对于形状较复杂的谐振器，则 难以由上述公式计算得到，而需要利用等效电路概念，通过 测量来获得。
(7.1-10)
式中，Ei(r)是满足边界条件的矢量函数，称为模式矢量函数；
ωi是谐振器自由振荡的模式角频率； ki i 。i / v
第7章 微波谐振器
对于式(7.1-3)
H
Hi (r)Bie jit
(7.1-11)
i1
式中，Hi(r)也是模式矢量函数，Bi也是任意常数。由于电场
和磁场满足麦克斯韦方程，故当Ai决定后，Bi即可决定。事
第7章 微波振电路 如图7.2-1(a)所示串联RLC集总元件谐振电路，其输入
Zin
R
jL
j
1
c
C
(7.2-1)
传送给谐振器的复功率为
2
Pin
1 VI* 2
1 2
Zin
|
I
|2
1 2
Zin
V Zin
1 2
|
I
|2
R
jL
j
1
C
(7.2-2)
第7章 微波谐振器
种情况下的相位常数β值是连续的，即波沿z向不具有谐振
特性。对于谐振器情况，z向也有边界限制，如图7.1-2所示
的封闭式波导谐振器,波沿z向也应呈驻波分布，且
l p g
2
p 1,2,
(7.1-18)
第7章 微波谐振器
图 7.1-2 任意形状封闭谐振器
第7章 微波谐振器
式中，l是谐振器的长度，λg
式(7.2-1)
Pin=Pl+2jω(Wm-We)
(7.2-6)
Zin
2Pin | I |2
Pl
2 j(Wm We )
| I |2 / 2
(7.2-7)
第7章 微波谐振器
当平均磁场储能与平均电场储能相等，即Wm=We时便 产生谐振。由式(7.2-7)和式(7.2-3)知，谐振时的输入阻抗为
纯实阻抗，即Zin=2Pl/｜I｜2=R，而由式(7.2-4)和式(7.2-5)， Wm=We意味着谐振频率ω0
第7章 微波谐振器
我们知道，谐振器的线性尺寸与工作波长成正比，因 此可以认为
Q0
(7.1-25b)
例如在常用的厘米波段，δ一般在数微米至数十微米之间， 因此可以估计Q0值约为104～105量级。
需要指出的是，由上面求得的Q0是孤立谐振器的品质 因数，称之为无载Q值(unloaded Q)或固有品质因数 (intrinsic Q)。
式中，Rs为表面电阻率，Htan为切线方向磁场。
第7章 微波谐振器
将式(7.1-22)和式(7.1-23)代入式(7.1-21)，得到品质因数
Q0
0
Rs
| H |2 dv
V
2
| Htan |2 ds
| H |2 dv
V
| H tan |2 ds
S
S
式中δ为导体的趋肤深度。
(7.1-24)
第7章 微波谐振器
b
Vm Em dl a
(7.1-27)
第7章 微波谐振器
式中Em为电场强度矢量的幅值。损耗电导的一般表示式则
| H tan |2 ds
G0 Rs S b
2
Em
dl
a
(7.1-28)
显然，谐振器的有功损耗电导G0与所选择的点a和b有关。 这有别于Q0 。Q0对每个给定尺寸的谐振器来说是固定不 变的。
第7章 微波谐振器
2.谐振器的基本参数 (1) 谐振波长λ0。 谐振波长(resonant wavelength)λ0是微波谐振器最主要的 参数。它表征微波谐振器的振荡规律，即表示微波谐振器
内振荡存在的条件。
k 2 ku2 kv2 kz2 kc2 2
(7.1-17)
在导行系统情况下，沿z向无边界限制，波沿z向传播。此
1 | H |2 dv
V2
第7章 微波谐振器
由式(7.1-14)
Wm
V
1 2
Ai
2
|
Hi (r)
|2
dv
1 2
Ai ki
2
| Ei (r) |2 dv
V
(7.1-16)
由于
{Ei* (r) [ Ei (r)]} Ei* (r) Ei (r) Ei* (r) Ei (r) | Ei (r) |2 Ei*(r) Ei (r)dv
谐振器内壁附近的切线磁场总要大于腔内部的磁场，
~ 可近似认为｜H｜2 ｜Htan｜2/2
Q0
~
1
V S
(7.1-25a)
据此近似式可以估计谐振器的Q0值。由此式可见，在一级
近似下，谐振器的Q0值近似与其体积V成正比，与其内壁表
面积S成反比，与趋肤深度成反比。比值V/S越大，Q0值越
高。因此，为获得较高的Q0值，应选择其形状使V/S大。
图 7.2-1 (a) 串联RLC谐振电路；(b) 谐振曲线
第7章 微波谐振器
我们知道，电阻R
Pl
1 2
|
I
|2
R
电感L
Wm
1 4
|
I
|2
L
电容器C
We
1 4
| VC
|2
C
1 4
|I
|2
1
2C
(7.2-3) (7.2-4) (7.2-5)
第7章 微波谐振器
式中VC是电容器两端的电压。于是式(7.2-2)所示复功率可 以写成
Q0
2
W WT
0
W Pl
(7.1-21)
式中，W代表谐振器储能，WT代表一周期内谐振器的能量 损耗，Pl则代表一周期内的平均损耗功率。
第7章 微波谐振器
1
W We Wm 2
| H |2 dv
V
(7.1-22)
1
Pl 2
|
S
Js
|2
Rs ds
1 2
Rs
| H tan |2 ds
S
(7.1-23)
V
V
在谐振器内壁(电壁)， Ei (r) 0 ，故式中 0 。
将上式代入式(7.1-16)，得到
S
2
Wm
1 2
Ai ki
ki2
V
|
E(r)
|2dv
1 2
| E |2dv We
V
第7章 微波谐振器
综上讨论，我们可以得到如下结论: ①微波谐振器中可以存在无穷多不同振荡模式的自由 振荡，不同的振荡模式具有不同的振荡频率。这表明微波 谐振器的多谐性，与低频LC回路不同。 ②微波谐振器中的单模电场和磁场为正弦场，时间相 位差90°，电场最大时，磁场为零；磁场最大时，电场为 零，两者最大储能相等。由于谐振器内无能量损耗，谐振 器表面亦无能量流出，能量只在电场和磁场之间不断交换， 形成振荡。故振荡实质与低频LC回路相同。
1.任意形状微波谐振器自由振荡的基本特性 为使我们对微波谐振器(microwave resonators)的基本特 性有所了解，我们来分析一下任意形状的微波谐振器，如图 7.1-1所示，其体积为V，表面为S。S面既可以是电壁(理想 导体壁)，也可以是磁壁(开路壁)，也可以是部分电壁部分磁 壁。下面我们以理想导体壁为例来讨论，其它情况的分析大 同小异。设微波谐振器体积内填充理想的均匀介质，其电导 率σ=0，且谐振器内无其它场源。于是体积V内的电磁场满 足如下麦克斯韦方程:
t 2
2H
2H t 2
0
(7.1-3)
第7章 微波谐振器
式(7.1-3)的求解可用分离变量法。以电场方程为例，
E=E(r)T(t)
(7.1-4)
其中，T(t)只是时间t的函数，是个标量；E(r)只是空间位置
坐标r的函数,为一矢量。将式(7.1-4)代入式(7.1-3)第一式，
2E(r) T (t) 0
第7章 微波谐振器
第7章 微波谐振器
7.1 微波谐振器的基本特性与参数 7.2 串联和并联谐振电路 7.3 传输线谐振器 7.4 金属波导谐振腔 7.5 介质谐振器 7.6 法布里-珀罗谐振器 7.7 谐振器的激励 7.8 微波谐振腔的微扰理论 本章提要 习题
第7章 微波谐振器
7.1 微波谐振器的基本特性与参数
第7章 微波谐振器
图 7.1-1 任意形状微波谐振器
第7章 微波谐振器
E H
t
H E
t E 0 H 0 在S面上的边界条件是
E nˆ 0 H nˆ 0
式中 nˆ 是S面的法向单位矢量。
(7.1-1) (7.1-2)
第7章 微波谐振器
由式(7.1-1)
2E 2E 0