暑假作业试题一：平面向量及其应用 答案

暑假作业试题一：平面向量及其应用答案
一．选择题（共8小题）
1．
【解】A ．由向量(,1)a x ，(1,)b y ，(2,1)c ，a c
，可得(,1)(2,1)210a c x x ，即12
x ．由//b c 可得，21y ，即12y ，所以1(,1)2a ，1(1,)2b ， 31(,22a b
，||2
a b ，
2．
【解】A ． (4,4)AB ，(3,)BC m ， (1,4)AC m ，若A ，C ，D 三点共线，则//AC AD
，又(1,)AD m
，4m m ，解得2m ，
3．
【解】B ．如图，1111()2222
CD CA AD CA DB CA CB CD CA CB CD
， 1322
CB CD CA ，即3232CB CD CA n m ．4．【解】D ．
由120,A a
22sin 2
a
R A
；
所以22(2sin sin )
22sin sin 2sin sin b c R B C B C B C
；
5．【解】C ．设a
与b 夹角为 ，则123cos 545||||a b a b ，
a
在b 上的投影向量为33||cos 5()544||
b b a b b
．
6．【解】A ．因为(1,1)a ，||2b ，
所以||a 又因为()1a b a ，所以221a b a a b ，1a b
，222()222144a b a a b b ，所以||2a b
．
7．【解】C ．因为30A
，2
2
2
b c a ，所以222cos 2b c a A bc
，所以4bc ，则ABC 的面积111
sin 41222
S bc A ．
8．
【解】D ．由题意得110m 且10m ，所以1m 且1m ．二．多选题（共4小题）
9．【解】ACD ．对于A ， (2,1),(1,3)a b ， 不存在实数 使得a b ，即a
与b 能作为一组基底，故A 正确；对于B ， (2,1),(1,3)a b ， (3,4)a b ，则与a b
同向的单位向量的坐标为
134
(3,4)(,)555 ，故B 错误；对于C
，cos ,2||||a b a b a b
，
,4a b ，则a
与b
的夹角的正弦值为
2
，故C 正确；对于D ， (,),||||c x x a c b c ，2222(2)(1)(1)(3)x x x x ，解得5
2
x ，故D 正确．
10．
【解】BD ．根据题意，设单位向量,a b
的夹角为
，若|3|a b 106cos 13 ，解可得1cos 2 ，又由0 剟
，则3 ，故D 正确； 111122a b
，故A 错误；222()21a b a a b b ，||1a b ，故B 正确；222()23a b a a b b
，||a b
，故C 错误；
11．
【解】ABD ．选项A ，取AB 的中点D ，则2PA PB PD ，若0PA PB PC ，即PA PB PC
，则2PD PC
，故点P 为中线CD 的三等分点，同理可得，点P 也是边AC 和边BC 的中线的三等分点，
所以点P 为ABC 的重心，即选项A 正确；选项B ，若PA PB PB PC ，则()0PA PC PB ，即CA PB
，同理可得，BA PC ，BC PA ，故点P 是ABC 的垂心，即选项B 正确；选项C ，由()||||AB AC
AP AB AC
，知点P 在BAC 的平分线上，但不一定在ABC 或ACB 的平分线上，即选项C 错误；选项D ，因为
()0PA PB BA ，所以()()0PA PB PA PB ，所以22||||0PA PB ，即||||PA PB
，同理可得，||||PB PC ，||||PA PC
，所以点P 为ABC 的外心，即选项D 正确．12．【解】AC ．
cos cos )2sin a C c A b B ，
cos sin cos )2sin sin A C C A B B ，
即)2sin sin A C B B B ，sin 0B
，sin B ，又3CAB ，可得2(0,)3B
，
3
B
，故A 正确．3
ACB
， 在ADC 中，3AD ，1DC ，设AC x ，可得24x ， 由
余弦定理可得：2
2
2
2cos AC AD CD AD CD D ，可得：2
106cos x D ，
可得2
10cos 6x B ，
当x 时，可得cos 0B ，B 为直角，故B
错误；
2113331063232223ABC ACD ABCD S S S x xsin sinD sinD cosD sinD sin D
四边形 四边形
ABCD
面积的最大值为
32
，故C 正确，D 错误．三．填空题（共4小题）13．【
解】(10
，10． (6,2)a ， 与a
共线且方向相反单位向量b
，
2)(10
，10
14．
【解】4 ． 向量(1,1)a ，(0,2)b ，(2)//(2)a b a b ， a 、b
不共线， 221
，则4 ，15．
【解】0．如图22
()()()()()BE CE BC BE CE BE EC BE CE BE CE BE CE ，因为||||BE CE ，所以()0BE CE BC
；16．【解】1
9
．设N P tN B ，则
111313122()()44444499t t t AP AN NP AC tNB AC t NC CB AC AC tBC AB BC m AB BC ， 1324912
4
9
t m t ，
解得：1
9
m
．四．解答题（共6小题）
17．
【解】（1）由(2,4)a
，(3,1)b ，可得3(29a b ，43)(11 ，1)；（2
）cos 10||||a b a b ；（3）因为向量a kb 与a kb
互相垂直，所以
()()0a kb a kb ，即2220a k b ，因为220a
，210b ，所以220100k
，解得k 18．
【解】（1）在ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B
，得：sin sin A a B b
，则有3sin B A
，而sin A B
解得sin 2A
，又a b ，即A 为锐角，于是得4A ，
所以sin sin 3
A B
，4A ．（2）在ABC 中，由余弦定理2222cos a b c bc A ，得
：222323cos 4c c
，整理得
：
240c ，
解得c
或c ，
当c
时，113
sin 32222ABC S bc A ，
当c
时，11sin 3322ABC S bc A ，所以ABC 的面积为3
2或3．
19．
【解】 在四边形ABCD 中，AB DC
， 四边形ABCD 为平行四边形，（1） AB BD AD DB ， 0AB BD AD DB ， 0AB BD AD BD
， ()0BD AB AD ，又四边形ABCD 为平行四边形， AB AD AC ， 0BD AC
，BD AC ， 平行四边形ABCD 的两
对角线相互垂直， 四边形ABCD 为菱形；
（2）如图， ABCD 为平行四边形，E 为BC 的中点， a AC AB AD
，12
b AE AB BE AB AD ，
联立两式解得2AB a b ，22AD a b
， (2)(22)34DB AB AD a b a b a b ．
20．
【解】（1）cos cos 2cos a B b A c C ， 由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos sin()2sin cos A B B A C C A B C C ，A B C 且0C ，又 1cos 2C
，即3
C
；
（2）由正弦定理有sin sin sin a b c A B C ， ,a A b B ， 23A B C
，
23sin()](sin )4sin()326a b A B A A A A A
，又 203A ，所以5666A ，所以1sin()126
A …，24a b …．
21．【解】（1） (2cos ,2sin )(0360)a …，(b ， ||2a
，
||2b ， 2222()()||||0a b a b a b a b ， 向量a b 与a b 垂直．
（2） 与b
平行， 1 ，解得tan ，0360 …，120 或300 ．
22．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若(2)cos cos 0a c B b C ．
（1）求角B 的大小；（2）设角B 的平分线交AC 边于点D ，且BD 2c ，求a ．
【解】（1）由(2)cos cos 0a c B b C 得2cos cos cos 0a B c B b C ，由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos 2sin cos sin 0A B C B B C A B A ，因为(0,)A ，所以sin 0A ，所以
1cos 2B
，又(0,)B ，即23
B
．（2）由（1）知23B
，又由BD 为角B 的平分线，可知3
ABD CBD
则ABC ABD CBD S S S ，即111
sin sin sin 222
ac B c BD ABD a BD CBD ，
所以12112sin 2sin 232323
a a ，解得6a ．。