沧县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

沧县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知△ABC 中，a=1，b=，B=45°，则角A 等于（ ）
A ．150°
B ．90°
C ．60°
D ．30°
2． 已知a n =
（n ∈N *
），则在数列{a n }的前30项中最大项和最小项分别是（ ）
A ．a 1，a 30
B ．a 1，a 9
C ．a 10，a 9
D ．a 10，a 30
3． 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 圆2
2
2
(2)x y r -+=（0r >）与双曲线2
2
13
y x -=的渐近线相切，则r 的值为（ ）
A B ．2 C D ．
【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查基本运算能力．
5． 在曲线y=x 2上切线倾斜角为的点是（ ）
A ．（0，0）
B ．（2，4）
C ．（，
）
D ．（，）
6． 已知抛物线C ：2
8y x =的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，
Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若2PQ QF =，则直线PF 的方程为（ ）
A ．20x y --=
B ．20x y +-=
C ．20x y -+=
D ．20x y ++=
7． 若函数21,1,()ln ,1,
x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩则函数1
()2y f x x =-+的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8． sin45°sin105°+sin45°sin15°=（ ）
A ．0
B ．
C ．
D ．1
9． 已知点P 是双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>左支上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右两个焦点，且
12PF PF ⊥，2PF 与两条渐近线相交于M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段2PF ，则双曲线的离心率
是（ ）
A.5
B.2 D.2
【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考查运算求解能力.
10．复数z=
的共轭复数在复平面上对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 11．函数f （x ）=1﹣xlnx 的零点所在区间是（ ）
A ．（0，）
B ．（，1）
C ．（1，2）
D ．（2，3）
12．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的（ ） A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
二、填空题
13．当0,1x ∈（）
时，函数()e 1x
f x =-的图象不在函数2
()g x x ax =-的下方，则实数a 的取值范围是___________．
【命题意图】本题考查函数图象间的关系、利用导数研究函数的单调性，意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力．
14．已知集合{}|03,A x x x R =<∈≤，{}|12,B x x x R =-∈≤≤，则A ∪B ＝ ▲ ．
15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若﹣1＜a 3＜1，0＜a 6＜3，则S 9的取值范围是 ．
16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 不是直角三角形，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）
①tanA •tanB •tanC=tanA+tanB+tanC
②tanA+tanB+tanC 的最小值为3
③tanA ，tanB ，tanC 中存在两个数互为倒数 ④若tanA ：tanB ：tanC=1：2：3，则A=45°
⑤当tanB ﹣1=
时，则sin 2
C ≥sinA •sinB ．
17．正六棱台的两底面边长分别为1cm ，2cm ，高是1cm ，它的侧面积为 ．
三、解答题
18．
（本小题满分10分）如图⊙O 经过△ABC 的点B ，C 与AB 交于E ，与AC 交于F ，且AE ＝AF . （1）求证EF ∥BC ；
（2）过E 作⊙O 的切线交AC 于D ，若∠B ＝60°，EB ＝EF ＝2，求ED 的长．
19．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1)cos 2cos a B b A c -=， （Ⅰ）求
tan tan A
B
的值；
（Ⅱ）若a =4
B π
=
，求ABC ∆的面积．
20．设圆C 满足三个条件①过原点；②圆心在y=x 上；③截y 轴所得的弦长为4，求圆C 的方程．
21．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱DD1、C1D1的中点．
（Ⅰ）证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；
（Ⅱ）证明：B1F∥平面A1BE；
（Ⅲ）若正方体棱长为1，求四面体A1﹣B1BE的体积．
22．在直角坐标系xOy中，已知一动圆经过点(2,0)且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；111]
（2）过点(1,0)作互相垂直的两条直线，，与曲线C交于A，B两点与曲线C交于E，F两点，线段AB，EF的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点P，并求出定点P的坐标．
23．（本小题满分12分）△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线．（1）求证：AD＝1
22b
2＋2c2－a2；
（2）若A＝120°，AD＝19
2，sin B
sin C
＝3
5
，求△ABC的面积．
24．函数。

定义数列如下：是过两点的直线
与轴交点的横坐标。

（1）证明：；
（2）求数列的通项公式。

沧县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：∵，B=45°
根据正弦定理可知
∴sinA==
∴A=30°
故选D．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．
2．【答案】C
【解析】解：a
==1+，该函数在（0，）和（，+∞）上都是递减的，
n
图象如图，
∵9＜＜10．
∴这个数列的前30项中的最大项和最小项分别是a10，a9．
故选：C．
【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了数形结合的解题思想，解答的关键是根据数列通项公式画出图象，是基础题．
3．【答案】A
【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个，
取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，
故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=．
故选：A．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件．
4．【答案】C
5．【答案】D
【解析】解：y'=2x，设切点为（a，a2）
∴y'=2a，得切线的斜率为2a，所以2a=tan45°=1，
∴a=，
在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（，）．
故选D．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
6．【答案】B
【解析】
考点：抛物线的定义及性质．
【易错点睛】抛物线问题的三个注意事项：（1）求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程．（2）注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．（3）直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物
线相切，因为当直线与对称轴平行（或重合）时，直线与抛物线也只有一个交点． 7． 【答案】D 【
解
析
】
考点：函数的零点．
【易错点睛】函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令0)(=x f ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：要求函数在],[b a 上是连续的曲线，且0)()(<b f a f .还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
8． 【答案】C 【解析】解：sin45°sin105°+sin45°sin15°
=cos45°cos15°+sin45°sin15°
=cos （45°﹣15°） =cos30°
=
．
故选：C ．
【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
9． 【答案】A. 【
解
析】
10．【答案】C
【解析】解：∵复数z=
=
=
=﹣+i ，∴ =﹣﹣i ，
它在复平面上对应的点为（﹣，﹣），在第三象限， 故选C ．
【点评】本题主要考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．
11．【答案】C
【解析】解：∵f （1）=1＞0，f （2）=1﹣2ln2=ln ＜0， ∴函数f （x ）=1﹣xlnx 的零点所在区间是（1，2）． 故选：C ．
【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．
12．【答案】B
【解析】解：∵b ⊥m ，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a ⊥b 成立， 若a ⊥b ，则α⊥β不一定成立， 故“α⊥β”是“a ⊥b ”的充分不必要条件， 故选：B ．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．
二、填空题
13．【答案】[2e,)-+∞
【解析】由题意，知当0,1x ∈（）时，不等式2
e 1x
x ax -≥-，即21e x x a x +-≥恒成立．令()21e x
x h x x
+-=，
()()()
2
11e 'x x x h x x
-+-=
．令()1e x k x x =+-，()'1e x k x =-．∵()0,1x ∈，∴()'1e 0,x k x =-<∴()
k x 在()0,1x ∈为递减，∴()()00k x k <=，∴()()()
2
11e '0x x x h x x
-+-=
>，∴()h x 在()0,1x ∈为递增，∴
()()12e h x h <=-，则2e a ≥-．
14．【答案】1－1，3] 【解析】
试题分析：A ∪B ＝{}{}|03,|12,x x x R x x x R <∈-∈≤≤≤＝1－1，3]
考点：集合运算 【方法点睛】
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 15．【答案】 （﹣3，21） ．
【解析】解：∵数列{a n }是等差数列，
∴S 9=9a 1+36d=x （a 1+2d ）+y （a 1+5d ）=（x+y ）a 1+（2x+5y ）d ， 由待定系数法可得
，解得x=3，y=6．
∵﹣3＜3a 3＜3，0＜6a 6＜18， ∴两式相加即得﹣3＜S 9＜21． ∴S 9的取值范围是（﹣3，21）． 故答案为：（﹣3，21）．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式及其“待定系数法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
16．【答案】 ①④⑤
【解析】解：由题意知：A ≠
，B ≠
，C ≠
，且A+B+C=π
∴tan （A+B ）=tan （π﹣C ）=﹣tanC ，
又∵tan （A+B ）=
，
∴tanA+tanB=tan （A+B ）（1﹣tanAtanB ）=﹣tanC （1﹣tanAtanB ）=﹣tanC+tanAtanBtanC ，
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故①正确；
当A=，B=C=时，tanA+tanB+tanC=＜3，故②错误；
若tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数，则对应的两个内角互余，则第三个内角为直角，这与已知矛盾，故③错误；
由①，若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则6tan3A=6tanA，则tanA=1，故A=45°，故④正确；
当tanB﹣1=时，tanA•tanB=tanA+tanB+tanC，即tanC=，C=60°，
此时sin2C=，
sinA•sinB=sinA•sin（120°﹣A）=sinA•（cosA+sinA）=sinAcosA+sin2A=sin2A+﹣
cos2A=sin（2A﹣30°）≤，
则sin2C≥sinA•sinB．故⑤正确；
故答案为：①④⑤
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，难度中档．
17．【答案】cm2．
【解析】解：如图所示，是正六棱台的一部分，
侧面ABB1A1为等腰梯形，OO1为高且OO1=1cm，AB=1cm，A1B1=2cm．
取AB和A1B1的中点C，C1，连接OC，CC1，O1C1，
则C1C为正六棱台的斜高，且四边形OO1C1C为直角梯形．
根据正六棱台的性质得OC=，O
C1==，
1
∴CC1==．
又知上、下底面周长分别为c=6AB=6cm，c′=6A1B1=12cm．
∴正六棱台的侧面积：
S=．
=
=（cm2）．
故答案为：cm2．
【点评】本题考查正六棱台的侧面积的求法，是中档，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
三、解答题
18．【答案】
【解析】解：（1）证明：∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE.
又B，C，F，E四点共圆，
∴∠ABC＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠ACB，又∠AEF＝∠AFE，∴EF∥BC.
（2）由（1）与∠B＝60°知△ABC为正三角形，
又EB＝EF＝2，
∴AF＝FC＝2，
设DE＝x，DF＝y，则AD＝2－y，
在△AED中，由余弦定理得
DE2＝AE2＋AD2－2AD·AE cos A.
，
即x2＝（2－y）2＋22－2（2－y）·2×1
2
∴x2－y2＝4－2y，①
由切割线定理得DE2＝DF·DC，
即x2＝y（y＋2），
∴x2－y2＝2y，②
由①②联解得y＝1，x＝3，∴ED＝ 3. 19．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由1)cos2cos
a B
b A c
-=及正弦定理得
1)sin cos2sin cos sin sin cos+cos sin
A B B A C A B A B
-==，（3分）
cos3sin cos
A B B A
=
，∴tan
tan
A
B
=6分）
（Ⅱ）tan A B
==
3
A
π
=
，
sin4
2
sin sin
3
a B
b
A
π
π
===，（8分）
sin sin()
C A B
=+=，（10分）
∴ABC
∆
的面积为111
sin2(3
222
ab C==（12分）
20．【答案】
【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：
当圆心C1在第一象限时，过C1作C1D垂直于x轴，C1B垂直于y轴，连接AC1，
由C1在直线y=x上，得到C1B=C1D，则四边形OBC1D为正方形，
∵与y轴截取的弦OA=4，∴OB=C1D=OD=C1B=2，即圆心C1（2，2），
在直角三角形ABC1中，根据勾股定理得：AC1
=2，
则圆C1方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8；
当圆心C2在第三象限时，过C2作C2D垂直于x轴，C2B垂直于y轴，连接AC2，
由C2在直线y=x上，得到C2B=C2D，则四边形OB′C2D′为正方形，∵与y轴截取的弦OA′=4，∴OB′=C2D′，=OD′=C2B′=2，即圆心C2（﹣2，﹣2），
在直角三角形A ′B ′C
2中，根据勾股定理得：A ′C 2=2
， 则圆C 1方程为：（x+2）2+（y+2）2
=8，
∴圆C 的方程为：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=8或（x+2）2+（y+2）2
=8．
【点评】本题考查了角平分线定理，垂径定理，正方形的性质及直角三角形的性质，做题时注意分两种情况，利用数形结合的思想，分别求出圆心坐标和半径，写出所有满足题意的圆的标准方程，是中档题．
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体， ∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1； ∵A 1B ⊂平面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥A 1B ．
又∵A 1B ⊥AB 1，B 1C 1∩AB 1=B 1， ∴A 1B ⊥平面ADC 1B 1， ∵A 1B ⊂平面A 1BE ，
∴平面ADC 1B 1⊥平面A 1BE ；
（Ⅱ）证明：连接EF ，EF ∥，且EF=
，
设AB 1∩A 1B=O ，
则B 1O ∥C 1D ，且
，
∴EF ∥B 1O ，且EF=B 1O ， ∴四边形B 1OEF 为平行四边形． ∴B 1F ∥OE ．
又∵B 1F ⊄平面A 1BE ，OE ⊂平面A 1BE ， ∴B 1F ∥平面A 1BE ，
（Ⅲ）解：
=
=
=
=．
22．【答案】（１） 2
4y x ；（２）证明见解析；(3,0)．
【解析】
（2）易知直线，的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则直线：(1)y k x =-，1212
(
,)22
x x y y M ++， 由24,(1),
y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222
(24)0k x k x k -++=， 2242(24)416160k k k ∆=+-=+>，
考点：曲线的轨迹方程；直线与抛物线的位置关系．
【易错点睛】导数法解决函数的单调性问题：（1）当)(x f 不含参数时，可通过解不等式)0)((0)('
'
<>x f x f 直接得到单调递增（或递减）区间．（2）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件
),(),0)((0)(''b a x x f x f ∈≤≥恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意
参数的取值是)('
x f 不恒等于的参数的范围．
23．【答案】 【解析】解：
（1）证明：∵D 是BC 的中点，
∴BD ＝DC ＝a
2
.
法一：在△ABD 与△ACD 中分别由余弦定理得c 2
＝AD 2
＋a 2
4
－2AD ·
a
2
cos ∠ADB ，① b 2＝AD 2＋a 2
4－2AD ·a 2
·cos ∠ADC ，②
①＋②得c 2＋b 2＝2AD 2＋a 2
2
，
即4AD 2＝2b 2＋2c 2－a 2，
∴AD ＝1
2
2b 2＋2c 2－a 2.
法二：在△ABD 中，由余弦定理得
AD 2＝c 2
＋a 24－2c ·a 2cos B
＝c 2
＋a 2
4－ac ·a 2＋c 2－b 22ac
＝2b 2＋2c 2－a 2
4，
∴AD ＝1
2
2b 2＋2c 2－a 2.
（2）∵A ＝120°，AD ＝1219，sin B sin C ＝3
5，
由余弦定理和正弦定理与（1）可得 a 2＝b 2＋c 2＋bc ，① 2b 2＋2c 2－a 2＝19，②
b c ＝3
5
，③ 联立①②③解得b ＝3，c ＝5，a ＝7，
∴△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×3×5×sin 120°＝153
4
.
即△ABC的面积为15
4 3.
24．【答案】
【解析】（1）为，故点在函数的图像上，故由所给出的两点
，可知，直线斜率一定存在。

故有
直线的直线方程为，令，可求得
所以
下面用数学归纳法证明
当时，，满足
假设时，成立，则当时，。