2021-2022学年广东省珠海市香洲区九洲中学九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年广东省珠海市香洲区九洲中学九年级（上）
期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下列四幅图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A. B. C. D.
2.用配方法解一元二次方程x2+2x−1=0时，此方程可变形为()
A. (x+1)2=1
B. (x−1)2=1
C. (x+1)2=2
D. (x−1)2=2
3.若方程x2+kx−2=0的一个根是−2，则k的值是()
A. −1
B. 1
C. 0
D. −2
4.顶点(−5,−1)，且开口方向、形状与函数y=1
3
x2的图象相同的抛物线是()
A. y=1
3x2−5 B. y=1
3
(x−5)2+1
C. y=1
3(x−5)2−1 D. y=1
3
(x+5)2−1
5.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2−7x+12=0的一个根，则菱
形ABCD的周长为()
A. 16
B. 12
C. 16或12
D. 24
6.新能源汽车因节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年销量逐年
增加，2018年销量为95万辆，到2020年销量为120万辆，设年平均增长率为x，可列方程为()
A. 95(1−x)2=120
B. 95(1+2x)=120
C. 120(1−x)2=95
D. 95(1+x)2=120
7.抛物线y=x2+4x−m2+2(m是常数)与坐标轴交点的个数为()
A. 0
B. 1
C. 3
D. 2或3
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转一定角度
得到Rt△DEC，点D恰好落在边AB上．若∠B=25°，则∠BCE的度数为()
A. 20°
B. 30°
C. 50°
D. 60°
9.如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点P，若点P的横坐标
为−1，则一次函数y=(a−b)x+b的图象大致是()
A.
B.
C.
D.
10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标(x,y)的对应值如表所
示，则方程ax2+bx+2.32=0的根是()
x……0√54……
y……0.32−20.32……
A. 0或4
B. 1或5
C. √5或4−√5
D. √5或√5−2
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11.已知坐标系中点A(−2,a)和点B(b,3)关于原点中心对称，则a+b=______ ．
12.将二次函数y=−(x−1)2的图象沿x轴向左平移2个单位，得到的函数表达式为
______．
13.若关于x的方程(k−1)x2+2x−1=0有两个实数根，则k的取值范围是______．
14.抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y>0
时，x的取值范围是______
15.将边长为3的正方形ABCD绕点C顺时针方向旋转45°到
FECG的位置(如图)，EF与AD相交于点H，则HD的长为
______.(结果保留根号)
16.已知矩形的周长为18cm，绕它的一边旋转成一个圆柱，则旋转成的圆柱的最大侧
面积为______m2．
17.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(2,0)，
对称轴为直线x=−1.下列结论：①abc>0；
②8a+c=0；③对于任意实数m，总有a(m2−
1)+b(m+1)≥0；④对于a的每一个确定值，若一
元二次方程ax2+bx+c=P(P为常数，且P>0)的
根为整数，则P的值有且只有三个，其中正确的结论
是______.(填序号)
三、解答题（本大题共8小题，共62.0分）
18.解方程：2x2−5x+1=0(用配方法)
19.在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点都在格
点上，点A的坐标(4,4)，若将△ABC绕点O逆时针旋转90°．
(1)画出旋转后的△A1B1C1；
(2)点A坐标为______，B1坐标为______，C1坐标为______．
20.已知二次函数y=x2−2mx+m2+2(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移______个单位长度后，得到的函数图象与x轴只
有一个公共点．
21. 甲、乙两人同解方程组{
ax +5y =15①
4x −by =−10②
，由于甲看错了方程①中的a ，得到方程
组的解为{x =−3y =1，乙看错了方程②中的b ，得到方程组的解为{x =5
y =−4．
(1)求a ，b 的值；
(2)若关于x 的一元二次方程ax 2−bx +m =0两实数根为x 1，x 2，且满足7x 1−x 2=6，求实数m 的值．
22. 观察下列两个三位数的乘积，其中百位上的数字都是9．
901×999，902×998，903×997，……，998×902，999×901 解决以下问题：
(1)根据上面的规律填空：912×______；
(2)若某个三位数中，十位上的数字与个位上的数字组成的两位数为x ，则这个三位数可以表示为______，当x 取何值时，以上两个三位数的乘积最大．
23. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形
的长OA 为12m ，宽OB 为4m ，建立直角坐标系，抛物线可用y =−1
6x 2+bx +c 表示．
(1)求抛物线的函数关系式和拱顶D 到地面OA 的距离；
辆货车能否安全通过？
24.某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，物价部门规定这种产品
的销售价不高于18元/千克，同时公司要保证获得的利润不低于20%，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)之间的函数关系如图所示：
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？
(3)当售价为多少时，公司能获得最大利润，最大利润是多少？
25.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(4,0)、B(−1,0)、C(0,4)三点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图1，点D是直线AC上方的抛物线的一点，DN⊥AC于点D，DM//y轴交AC于
点M，求△DMN周长的最大值及此时点D的坐标；
(3)如图2，点P为抛物线第一象限上的点，连接OP与直线AC相交于点Q，若S△COQ：
S△AOQ=3：5，求点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：x2+2x−1=0，
x2+2x=1，
x2+2x+1=1+1，
(x+1)2=2，
故选：C．
先移项，再配方，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：把x=−2代入方程x2+kx−2=0得(−2)2−2k−2=0，
解得k=1．
故选：B．
把x=−2代入方程x2+kx−2=0得(−2)2−2k−2=0，然后解关于k的方程即可．
次方程的解．
4.【答案】D
x2的图象相同，【解析】解：∵抛物线的顶点为(−5,−1)，且开口方向，形状与函数y=1
3
(x+5)2−1．
∴这个二次函数的解析式为y=1
3
故选：D．
根据抛物线的形状开口方向和抛物线的形状与a值有关，利用顶点式解析式写出即可．本题考查了二次函数的三种形式，二次函数图象与系数的关系，熟记抛物线y=ax2+ bx+c中，a值确定抛物线的开口方向和抛物线的形状是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：(x−3)(x−4)=0，
x−3=0或x−4=0，
所以x1=3，x2=4，
∵菱形ABCD的一条对角线长为6，
∴边AB的长是4，
∴菱形ABCD的周长为16．
故选：A．
先利用因式分解法解方程得到x1=3，x2=4，再根据菱形的性质可确定边AB的长是4，然后计算菱形的周长．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).也考查了菱形的性质．
6.【答案】D
【解析】解：设年平均增长率为x，可列方程为：
故选：D．
设年平均增长率为x，由题意得等量关系：2018年销量×(1+增长率)2=2020年销量，根据等量关系列出方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
7.【答案】D
【解析】解：∵Δ=42−4×1×(−m2+2)=4m2+8>0，
∴抛物线与x轴有2个公共点，
∵x=0时，y=−m2+2，
若m=±√2，则抛物线与y轴交于原点，
此时抛物线与坐标轴有2个交点，
若m≠±√2，则抛物线与y轴交于(0,−m2+2)，
此时抛物线与坐标轴有3个交点，
故选：D．
先计算出△=4m2+8>0，可得抛物线与x轴有2个公共点，而抛物线与y轴一定有一个交点，再讨论是否有重合的点，据此即得结论．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握函数与坐标轴的交点．
8.【答案】C
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠B=25°，
∴∠A=65°，
∵将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转一定角度得到Rt△DEC，
∴AC=CD，∠ACD=∠BCE，
∴∠A=∠ADC=65°，
∴∠ACD=50°，
∴∠BCE=50°，
故选：C．
和定理可得∠ACD=50°，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：由二次函数的图象可知，
a<0，b<0，
当x=−1时，y=a−b<0，
∴y=(a−b)x+b的图象在第二、三、四象限，
故选：D．
先求出a<0，b<0，再求出a−b<0，最后判断函数图象即可．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，由二次函数图象得出a−b<0是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由抛物线经过点(0,0.32)得到c=0.32，
因为抛物线经过点(0,0.32)、(4,0.32)，
所以抛物线的对称轴为直线x=2，
而抛物线经过点(√5,−2)，
所以抛物线经过点(4−√5,−2)，
所以二次函数解析式为y=ax2+bx+0.32，
方程ax2+bx+2.32=0变形为ax2+bx+0.32=−2，
所以方程ax2+bx+0.32=−2的根理解为函数值为−2所对应的自变量的值，
所以方程ax2+bx+2.32=0的根为x1=√5，x2=4−√5．
故选：C．
利用抛物线经过点(0,0.32)得到c=0.32，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线经过点(√5,−2)，由于方程ax2+bx+2.32=0变形为ax2+bx+ 0.32=−2，则方程ax2+bx+2.32=0的根理解为函数值为−2所对应的自变量的值，所以方程ax2+bx+2.32=0的根为x1=√5，x2=4−√5．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)
与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．11.【答案】−1
【解析】解：∵坐标系中点A(−2,a)和点B(b,3)关于原点中心对称，
∴b=2，a=−3，
则a+b=2−3=−1．
故答案为：−1．
直接利用关于原点对称点的性质，得出a，b的值，即可得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．12.【答案】y=−(x+1)2
【解析】解：将二次函数y=−(x−1)2的图象沿x轴向左平移2个单位，得到的函数表达式为y=−(x−1+2)2，即y=−(x+1)2；
故答案为：y=−(x+1)2．
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．13.【答案】k≥0且k≠1
【解析】解：∵关于x的方程(k−1)x2+2x−1=0有两个实数根，
∴22−4×(k−1)×(−1)≥0且k−1≠0，
解得k≥0且k≠1，
故答案为：k≥0且k≠1．
由关于x的方程(k−1)x2+2x−1=0有两个实数根，知22−4×(k−1)×(−1)>0且k−1≠0，解之即可．
本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：①当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ<0时，方程无实数根．
14.【答案】−1<x<3
【解析】解：抛物线的对称轴为直线x=1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0)，
所以当−1<x<3时，y>0．
故答案为−1<x<3．
利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0)，然后写出抛物线在x 轴上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化解．关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
15.【答案】3√2−3
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD=3，∠CDA=90°，
∵边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，
∴CF=3√2，∠CFE=45°，
∴△DFH为等腰直角三角形，
∴DH=DF=CF−CD=3√2−3．
故答案为：3√2−3．
先根据正方形的性质得到CD=3，∠CDA=90°，再利用旋转的性质得CF=3√2，根据正方形的性质得∠CFE=45°，则可判断△DFH为等腰直角三角形，从而计算CF−CD即可得出答案．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
π
16.【答案】81
20000
【解析】解：设矩形的长为x cm，宽为y cm，
则x+y=9cm，
∴旋转成的圆柱的侧面积S =2πxy(cm 2)，
∵2πxy ≤2π⋅(x+y 2)2=812π，
∴旋转成的圆柱的最大侧面积为812πcm 2=8120000πm 2，
故答案为：8120000π.
设矩形的长为x cm ，宽为y cm ，根据圆柱的侧面积公式表示出圆柱的侧面积，根据不等式的性质解答即可．
本题考查的是圆柱的计算、不等式的性质，掌握圆柱的圆柱的侧面积公式是解题的关键． 17.【答案】①②④
【解析】解：∵抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)经过点(2,0)，对称轴为直线x =−1， ∴{0=4a +2b +c −b 2a
=−1，解得得{b =2a c =−8a ， ∴抛物线y =ax 2+bx +c 为y =ax 2+2ax −8a ，
由图可知：a <0，
∴b =2a <0，c =−8a >0，
∴abc >0，故①正确；
由c =−8a 得8a +c =0，故②正确；
∵a(m 2−1)+b(m +1)
=a(m 2−1)+2a(m +1)
=a(m +1)(m −1)+2a(m +1)
=a(m +1)(m −1+2)
=a(m +1)2，
且a <0，(m +1)2≥0，
∴a(m +1)2≤0，即a(m 2−1)+b(m +1)≤0，故③错误；
∵抛物线y =ax 2+bx +c 与直线y =p(P 为常数，且P >0)交点横坐标为整数，对称轴是x =−1，且抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)经过点(2,0)，
∴交点横坐标可能是−1，0或−2，1或−3，
∴P 的值有且只有三个，故④正确；
故答案为：①②④．
由抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)经过点(2,0)，对称轴为直线x =−1，可得{b =2a c =−8a
，
由图可知a<0，即有b=2a<0，c=−8a>0，可判断①；由c=−8a可判断②；把a(m2−1)+b(m+1)变形为a(m+1)2，可判断③；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=p(P为常数，且P>0)交点横坐标为整数，对称轴是x=−1，且抛物线y=ax2+ bx+c(a≠0)经过点(2,0)，可判断④．
本题考查二次函数图象与系数关系、图象上点的坐标特征，根的判别式，抛物线与x轴交点，解题的关键是掌握二次函数的图象性质和数形结合法．
18.【答案】解：∵2x2−5x=−1，
∴x2−5
2x=−1
2
，
∴x2−5
2x+25
16
=−1
2
+25
16
，即(x−5
4
)2=17
16
，
则x−5
4=±√17
4
，
∴x=5±√17
4
．
【解析】将常数项移到右边后把二次项系数化为1，再两边配上一次项系数一半的平方求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19.【答案】(−4,4)(−1,1)(−1,3)
【解析】解：(1)如图△A1B1C1即为所求；
(2)点A1坐标为(−4,4)，B1坐标为(−1,1)，C1坐标为(−1,3)．
故答案为：(−4,4)，(−1,1)，(−1,3)．
(1)根据旋转的性质即可画出图形；
(2)结合(1)即可得结论．
此题主要考查了作图−旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
20.【答案】2
【解析】(1)证明：∵Δ=(−2m)2−4×1×(m2+2)=4m2−4m2−8=−8<0，
∴方程x2−2mx+m2+2=0没有实数解，
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
(2)解：∵y=x2−2mx+m2+2=(x−m)2+2，
把函数y=(x−m)2+2的图象沿y轴向下平移2个单位长度后，得到函数y=(x−m)2的图象，它的顶点坐标是(m,0)，
因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，
故答案为：2．
(1)求出根的判别式，即可得出答案；
(2)先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．
本题考查了二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．题目比较好．有一定的难度．
21.【答案】解：(1)根据题意得{5a +5×(−4)=15
4×(−3)−b =−10，
解得{a =7b =−2
； (2)当{a =7b =−2
时，一元二次方程ax 2−bx +m =0化为7x 2+2x +m =0， ∵关于x 的一元二次方程ax 2−bx +m =0两实数根为x 1，x 2，
∴x 1+x 2=−27，x 1⋅x 2=m 7，
∵7x 1−x 2=6，
∴联立方程组得{x 1+x 2=−277x 1−x 2=6， 解得{x 1=57x 2=−1
， ∴57×(−1)=m 7
， ∴m =−5．
【解析】(1)把甲的结果代入方程②，乙的结果代入方程①，联立计算即可求出a 与b 的值；
(2)由根与系数的关系得到x 1+x 2=−27，x 1⋅x 2=m 7，解方程组{x 1+x 2=−277x 1−x 2=6，求得方程的两个根，进一步即可求得m 的值．
此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根与系数的关系．
22.【答案】988 900+x
【解析】解：(1)由题意可得：两个数的后两位数字加起来是100，
∴100−12=88，
∴912×988，
故答案为：988；
(2)由题知，三位数的百位数字为9，十位上的数字与个位上的数字组成的两位数是x ， 则这个三位数表示为900+x ，
故答案为：900+x ，
由(1)规律知，第二个两位数的后两位是100−x ，则第二个数为900+100−x =1000−x ，
设这两个三位数的乘积为y ，
则y =(900+x)(1000−x)=−(x −50)2+902500，
∴当x =50时，y 有最大值．
(1)根据已知数据可得出两个数的后两位数字加起来是100，即可得解；
(2)根据三位数百位数字是9写出即可，然后根据二次函数求最值的方法求出x 的取值即可．
本题主要考查数字的变化规律及二次函数的性质，观察归纳出数字的变化规律及利用二次函数的性质求最值是解题的关键．
23.【答案】解：(1)根据题意将点B(0,4)、C(12,4)代入解析式得：
{c =4−16
×122+12b +c =4，
解得：{b =2c =4
， ∴y =−16x 2+2x +4=−16(x −6)2+10， ∴拱顶D 到地面OA 的距离为10m ；
(2)∵当x =6−4=2时，y =−16(x −6)2+10=−16×16+10=
223>6，
∴如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能安全通过．
【解析】(1)根据题意得出点B(0,4)、C(12,4)，再利用待定系数法求解可得；
(2)根据题意求出x =6−4=2时的函数值，比较可得；
本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
24.【答案】解：(1)设y 与x 之间的函数关系式y =kx +b ，
把(10,40)，(18,24)代入得：
{10k +b =4018k +b =24
， 解得：{k =−2b =60
， ∴y =−2x +60，
∵销售价不高于18元/千克，同时公司要保证获得的利润不低于20%，
×100%≥20%，
∴x≤18且x−10
10
∴12≤x≤18，
故y与x之间的函数关系式y=−2x+60(12≤x≤18)；
(2)由题意得：(x−10)(−2x+60)=150，
整理得：x2−40x+375=0
解得：x1=15，x2=25，
∵12≤x≤18，
∴x=15，
∴销售价定为15元时，该经销商每天获得150元的销售利润；
(3)设公司每天利润为w，则
w(x−10)(−2x+60)
=−2x2+80x−600
=−2(x−20)2+200，
∵−2<0，
∴对称轴为直线x=20，在对称轴的左侧y随着x的增大而增大，
∵12≤x≤18，
∴当x=18时，w最大，最大为192．
即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．
【解析】(1)设函数关系式y=kx+b，把(10,40)，(18,24)代入求出k和b即可，销售价不高于18元/千克，利润不低于20%，得出自变量x的取值范围；
(2)根据销售利润=销售量×每一件的销售利润列出方程，解方程并注意自变量的取值范围；
(3)根据销售利润=销售量×每一件的销售利润得到w和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可．
本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键，结合实际情况利用二次函数的性质解决问题．
25.【答案】解：(1)设抛物线解析式是y=a(x−4)⋅(x+1)，
∴a⋅(−4)×1=4，
∴a=−1，
∴y=−(x−4)⋅(x+1)=−x2+3x+4；
(2)如图1，
设DN的延长线交OA与N，
∵OA=OC=4，∠AOC=90°，
∴∠OAC=∠ACO=45°，
∵DM//y轴，
∴∠DNA=∠AOC=90°，
∠AMN=∠ACO=∠DMN=∠OAC=45°，
∴AN=MN，
∵∠DNM=90°，
∴∠D=∠DMN=45°，
DM，
∴DN=NM=√2
2
设D(m,−m2+3m+4)，
∴MN=AN=OA−ON=4−x，
∴DM=DN−MN
=−m2+3m+4−(4−m)
=−m2+4m
=−(m−2)2+4；
∵DN+MN+DM=√2DM+DM=(√2+1)⋅DM，∴当m=2时，DM最大=4，
即△DMN的周长=(DN+MN+DM)最大=4√2+4，当x=2时，y=−(2−4)×(2+1)=6，
∴D(2,6)；
(3)如图2，
∵S △COQ ：S △AOQ =3：5，
∴CQ QA =35，
作QD ⊥OA 于D ，
∵CO ⊥OA ，
∴DQ//OC ，
∴OD AD ==CQ QA =35，
∵OA =4，
∴OD =32，OD =AD =52
， ∴Q(32,52)，
∴QO 的解析式是：y =53x ，
当−x 2+3x +4=53x 时，
x =2±2√103， ∵P 在第一象限，
∴x =2+2√103
， ∴y =−(
2+2√103)2+3×2+2√103+4 =10+10√109
， ∴P(
2+2√103,10+10√109
). 【解析】(1)设交点式：y =a(x −4)⋅(x +1)，把C 点坐标代入；
(2)推理得△DMN 是等腰直角三角形，△DMN 周长=(√2+1)DM ，所以求DM 的最值即可，设D 点坐标，求出DM 的函数关系式，求其最值；
(3)由S△COQ：S△AOQ=3：5得CQ：QA=3：5，作QD⊥OA于D，根据三角形相似或平行线分线段成比例得出Q点坐标，求出QO的函数关系式，与二次函数关系式联立求得．本题考查了二次函数及其图象性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是使用图形的特殊性和转化条件．。