统计学课件第5章正态分布配套讲义
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7.4 8.0 -0.12 0
Business Statistics: A First Course, 5e © 2009 PrenticeHall, Inc..
X Z
Chap 6-26
经验法则
对于任何正态分布，观测值在平均数周围的如何分布 ?
f(X) μ ± 1σ 包括了大约68.26% 的X值 σ σ
X
P( X ) 1.0
Chap 6-14
标准正态分布表
• 教科书 (附录表 E.2)上累计标准正态分布表给出了低于
一个需要的Z值概率 (也就是,从负无穷到Z)
例子: P(Z < 2.00) = 0.9772 0
Business Statistics: A First Course, 5e © 2009 PrenticeHall, Inc..
Chap 6-5
正态分布形态
f(X)
改变μ 左或右移分布.
改变σ 增加或减少散布 σ
μ
Business Statistics: A First Course, 5e © 2009 PrenticeHall, Inc..
X
Chap 6-6
标准正态分布
•
任何正态分布(任何平均数和标准差的组合)都能够转换为标准 正态分布(Z)
1.000
0.5478 1.0 - 0.5478 = 0.4522
Z 0
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Z 0 0.12
Chap 6-22
0.12
计算两个值之间的正态分布概率
• 假设X服从正态分布，平均数 8.0 且标准差 5.0。 计算 P(8 < X < 8.6)
Chap 6-23
结论: 计算 P(0 < Z < 0.12)
标准正态分布表 (部分)
Z
.00
.01
.02
P(8 < X < 8.6) = P(0 < Z < 0.12) = P(Z < 0.12) – P(Z ≤ 0) = 0.5478 - .5000 = 0.0478
0.0478 0.5000
X μ Z σ
Z 分布的平均数 = 0 且标准差 = 1
Business Statistics: A First Course, 5e © 2009 PrenticeHall, Inc.. Chap 6-8
标准正态分布分布函数
• 标准正态分布分布函数公式为
f(Z)
1 (1/2)Z 2 e 2π
左半部分概率
(续 )
现在计算 P(7.4 < X < 8)…
P(7.4 < X < 8) = P(-0.12 < Z < 0) = P(Z < 0) – P(Z ≤ -0.12) = 0.5000 - 0.4522 = 0.0478
0.0478
0.4522 正态分布是对称的, 所有此概率 与P(0 < Z < 0.12)相同
200 2.0
X Z
(μ = 100, σ = 50) (μ = 0, σ = 1)
注意分布形态是一样的，仅是坐标改变。我们可以将问 题用原始单位(X)或标准单位(Z)表示。
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f(Z)
1 0 平均数之上的观测值有正的Z-值, 平均数之下的观测值有负的Z-值
Business Statistics: A First Course, 5e © 2009 PrenticeHall, Inc.. Chap 6-10
Z
例子
• 如果X服从正态分布，平均数为100且标准差为50, 对于 X = 200 的Z值为
0.9772
2.00
Z
Chap 6-15
标准正态分布表
(续 )
列给出到第二位小数的Z值
Z 0.00 0.01 0.02 …
行显示到第一Hale Waihona Puke 小数的Z值0.0 0.1
. . .
2.0
.9772
表中的值给出从Z = 直到所需要的Z 值的概率
2.0 P(Z < 2.00) = 0.9772
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Business Statistics: A First Course, 5e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. Chap 6-3
正态分布的概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为
f(X)
1 e 2π
1 (X μ) 2
2
Where e = 数学常数，大约为2.71828 π = 数学常数，大约为3.14159 μ = 总体平均数 σ = 总体标准差 X = 连续变量的任何观测值
•
•
需要将X转换为Z
标准正态分布(Z)的平均数为0且标准差为1
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Chap 6-7
转换成标准正态分布
• 通过将X减去平均数之后处于其标准差转换成标准正态分布 (“Z” 分布) :
计算正态分布概率
• 令X表示从互联网上下载一张图片所需要的 时间 • 假设X服从正态分布，平均数 8.0 且标准差 5.0。 计算P(X < 8.6)
X 8.0
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8.6
正态分布
计算正态分布的概率 使用正态分布图判定一组数据是否近似正态分布
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Chap 6-1
Chap 6-1
连续概率分布
• 连续随机变量是可以取连续的任意值的变量 (可以假设有不可数的 观察值数)
概率为曲线下面积
曲线下总面积为 1.0, 且曲线是对称的, 因此一般大于平 均数, 一半小于 f(X) P( X μ) 0.5
P(μ X ) 0.5
0.5
0.5
μ
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Chap 6-16
计算正态分布概率的一般步骤
计算P(a < X < b) ，当X服从正态分布:
• 画出问题所对应于X的正态分布曲线
• 将X值转换成Z值 • 使用标准正态分布表
Business Statistics: A First Course, 5e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. Chap 6-17
0.0 .5000 .5040 .5080
0.1 .5398 .5438 .5478
0.2 .5793 .5832 .5871 0.3 .6179 .6217 .6255
0.00
Business Statistics: A First Course, 5e © 2009 Prentice-Hall, Inc..
X
0 0.12
Z
P(X < 8.6)
P(Z < 0.12)
Chap 6-19
结论: 计算 P(Z < 0.12)
标准正态分布表 (部分) P(X < 8.6) = P(Z < 0.12) .5478
Z
.00
.01
.02
0.0 .5000 .5040 .5080
0.1 .5398 .5438 .5478
2σ x
3σ μ
3σ x
95.44%
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99.73%
Chap 6-28
给定正态分布概率计算X值
• 对于已知概率计算 X值的步骤:
X 8.0
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8.6
Chap 6-21
计算正态分布右侧概率
(续 )
• 现在计算 P(X > 8.6)…
P(X > 8.6) = P(Z > 0.12) = 1.0 - P(Z ≤ 0.12) = 1.0 - 0.5478 = 0.4522
μ-1σ
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μ
μ+1σ
X
68.26%
Chap 6-27
经验法则
(续 )
•
•
μ ± 2σ 包括了大约95% of X值
μ ± 3σ 包括了大约99.7% of X值
2σ μ
Chap 6-18
计算正态分布概率
(续 )
• 令X表示从互联网上下载一张图片所需要的时间
• 假设X服从正态分布，平均数 8.0 且标准差 5.0。 计算P(X < 8.6)
X μ 8.6 8.0 Z 0.12 σ 5.0
μ=8 σ = 10 μ=0 σ=1
8 8.6
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计算Z值:
X μ 8 8 Z 0 σ 5 X μ 8.6 8 Z 0.12 σ 5
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8 8.6 0 0.12
X Z
P(8 < X < 8.6) = P(0 < Z < 0.12)
Chap 6-12
计算正态分布概率
概率用曲线下面积来度量
f(X)
P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X < b)
(注意任何单个观测值的 概率为0)
a
b
X
Chap 6-13
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• • • • 某物的厚度 完成任务所需要的时间 溶液的温度 以英寸计的高度
• 其潜在的值仅取决于度量工具的精确跟准确度
正态分布
• ‘钟形’
• 对称 • 平均数, 中位数 和众数相等 位置由均数, μ决定 散布由标准差, σ 决定
随机变量理论上有无限的全距 : + 到
f(X)
σ μ
X
平均数 = 中位数 = 众数
Business Statistics: A First Course, 5e © 2009 PrenticeHall, Inc..
Chap 6-4
各种正态分布
通过变动参数μ 和σ, 我们得到不同的正态分布
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Where e = 数学常数，大约为2.71828 π = 数学常数，大约为3.14159 Z = 标准正态分布的任何观测值
Business Statistics: A First Course, 5e © 2009 PrenticeHall, Inc..
Chap 6-9
标准 正态分布
• • • 也称为“Z” 分布 平均数 is 0 标准差 is 1
0.2 .5793 .5832 .5871
Z
0.3 .6179 .6217 .6255
Business Statistics: A First Course, 5e © 2009 Prentice-Hall, Inc..
0.00
0.12
Chap 6-20
计算正态分布右侧概率
• 假设X服从正态分布，平均数 8.0 且标准差 5.0。 • 现在计算P(X > 8.6)
Z
0.12
Chap 6-24
左半部分概率
• 假设X服从正态分布，平均数 8.0 且标准差 5.0。 • 现在计算 P(7.4 < X < 8)
X 8.0 7.4
Business Statistics: A First Course, 5e © 2009 PrenticeHall, Inc.. Chap 6-25
•
X μ 200 100 Z 2.0 这说明X = 200在平均数 (2个50). σ 100之上两个标准差 50
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Chap 6-11
比较X和Z单位
100 0
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X Z
Chap 6-26
经验法则
对于任何正态分布，观测值在平均数周围的如何分布 ?
f(X) μ ± 1σ 包括了大约68.26% 的X值 σ σ
X
P( X ) 1.0
Chap 6-14
标准正态分布表
• 教科书 (附录表 E.2)上累计标准正态分布表给出了低于
一个需要的Z值概率 (也就是,从负无穷到Z)
例子: P(Z < 2.00) = 0.9772 0
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Chap 6-5
正态分布形态
f(X)
改变μ 左或右移分布.
改变σ 增加或减少散布 σ
μ
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X
Chap 6-6
标准正态分布
•
任何正态分布(任何平均数和标准差的组合)都能够转换为标准 正态分布(Z)
1.000
0.5478 1.0 - 0.5478 = 0.4522
Z 0
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Z 0 0.12
Chap 6-22
0.12
计算两个值之间的正态分布概率
• 假设X服从正态分布，平均数 8.0 且标准差 5.0。 计算 P(8 < X < 8.6)
Chap 6-23
结论: 计算 P(0 < Z < 0.12)
标准正态分布表 (部分)
Z
.00
.01
.02
P(8 < X < 8.6) = P(0 < Z < 0.12) = P(Z < 0.12) – P(Z ≤ 0) = 0.5478 - .5000 = 0.0478
0.0478 0.5000
X μ Z σ
Z 分布的平均数 = 0 且标准差 = 1
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标准正态分布分布函数
• 标准正态分布分布函数公式为
f(Z)
1 (1/2)Z 2 e 2π
左半部分概率
(续 )
现在计算 P(7.4 < X < 8)…
P(7.4 < X < 8) = P(-0.12 < Z < 0) = P(Z < 0) – P(Z ≤ -0.12) = 0.5000 - 0.4522 = 0.0478
0.0478
0.4522 正态分布是对称的, 所有此概率 与P(0 < Z < 0.12)相同
200 2.0
X Z
(μ = 100, σ = 50) (μ = 0, σ = 1)
注意分布形态是一样的，仅是坐标改变。我们可以将问 题用原始单位(X)或标准单位(Z)表示。
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f(Z)
1 0 平均数之上的观测值有正的Z-值, 平均数之下的观测值有负的Z-值
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Z
例子
• 如果X服从正态分布，平均数为100且标准差为50, 对于 X = 200 的Z值为
0.9772
2.00
Z
Chap 6-15
标准正态分布表
(续 )
列给出到第二位小数的Z值
Z 0.00 0.01 0.02 …
行显示到第一Hale Waihona Puke 小数的Z值0.0 0.1
. . .
2.0
.9772
表中的值给出从Z = 直到所需要的Z 值的概率
2.0 P(Z < 2.00) = 0.9772
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Business Statistics: A First Course, 5e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. Chap 6-3
正态分布的概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为
f(X)
1 e 2π
1 (X μ) 2
2
Where e = 数学常数，大约为2.71828 π = 数学常数，大约为3.14159 μ = 总体平均数 σ = 总体标准差 X = 连续变量的任何观测值
•
•
需要将X转换为Z
标准正态分布(Z)的平均数为0且标准差为1
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Chap 6-7
转换成标准正态分布
• 通过将X减去平均数之后处于其标准差转换成标准正态分布 (“Z” 分布) :
计算正态分布概率
• 令X表示从互联网上下载一张图片所需要的 时间 • 假设X服从正态分布，平均数 8.0 且标准差 5.0。 计算P(X < 8.6)
X 8.0
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8.6
正态分布
计算正态分布的概率 使用正态分布图判定一组数据是否近似正态分布
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Chap 6-1
Chap 6-1
连续概率分布
• 连续随机变量是可以取连续的任意值的变量 (可以假设有不可数的 观察值数)
概率为曲线下面积
曲线下总面积为 1.0, 且曲线是对称的, 因此一般大于平 均数, 一半小于 f(X) P( X μ) 0.5
P(μ X ) 0.5
0.5
0.5
μ
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Chap 6-16
计算正态分布概率的一般步骤
计算P(a < X < b) ，当X服从正态分布:
• 画出问题所对应于X的正态分布曲线
• 将X值转换成Z值 • 使用标准正态分布表
Business Statistics: A First Course, 5e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. Chap 6-17
0.0 .5000 .5040 .5080
0.1 .5398 .5438 .5478
0.2 .5793 .5832 .5871 0.3 .6179 .6217 .6255
0.00
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X
0 0.12
Z
P(X < 8.6)
P(Z < 0.12)
Chap 6-19
结论: 计算 P(Z < 0.12)
标准正态分布表 (部分) P(X < 8.6) = P(Z < 0.12) .5478
Z
.00
.01
.02
0.0 .5000 .5040 .5080
0.1 .5398 .5438 .5478
2σ x
3σ μ
3σ x
95.44%
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99.73%
Chap 6-28
给定正态分布概率计算X值
• 对于已知概率计算 X值的步骤:
X 8.0
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8.6
Chap 6-21
计算正态分布右侧概率
(续 )
• 现在计算 P(X > 8.6)…
P(X > 8.6) = P(Z > 0.12) = 1.0 - P(Z ≤ 0.12) = 1.0 - 0.5478 = 0.4522
μ-1σ
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μ
μ+1σ
X
68.26%
Chap 6-27
经验法则
(续 )
•
•
μ ± 2σ 包括了大约95% of X值
μ ± 3σ 包括了大约99.7% of X值
2σ μ
Chap 6-18
计算正态分布概率
(续 )
• 令X表示从互联网上下载一张图片所需要的时间
• 假设X服从正态分布，平均数 8.0 且标准差 5.0。 计算P(X < 8.6)
X μ 8.6 8.0 Z 0.12 σ 5.0
μ=8 σ = 10 μ=0 σ=1
8 8.6
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计算Z值:
X μ 8 8 Z 0 σ 5 X μ 8.6 8 Z 0.12 σ 5
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8 8.6 0 0.12
X Z
P(8 < X < 8.6) = P(0 < Z < 0.12)
Chap 6-12
计算正态分布概率
概率用曲线下面积来度量
f(X)
P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X < b)
(注意任何单个观测值的 概率为0)
a
b
X
Chap 6-13
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• • • • 某物的厚度 完成任务所需要的时间 溶液的温度 以英寸计的高度
• 其潜在的值仅取决于度量工具的精确跟准确度
正态分布
• ‘钟形’
• 对称 • 平均数, 中位数 和众数相等 位置由均数, μ决定 散布由标准差, σ 决定
随机变量理论上有无限的全距 : + 到
f(X)
σ μ
X
平均数 = 中位数 = 众数
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Chap 6-4
各种正态分布
通过变动参数μ 和σ, 我们得到不同的正态分布
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Where e = 数学常数，大约为2.71828 π = 数学常数，大约为3.14159 Z = 标准正态分布的任何观测值
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Chap 6-9
标准 正态分布
• • • 也称为“Z” 分布 平均数 is 0 标准差 is 1
0.2 .5793 .5832 .5871
Z
0.3 .6179 .6217 .6255
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0.00
0.12
Chap 6-20
计算正态分布右侧概率
• 假设X服从正态分布，平均数 8.0 且标准差 5.0。 • 现在计算P(X > 8.6)
Z
0.12
Chap 6-24
左半部分概率
• 假设X服从正态分布，平均数 8.0 且标准差 5.0。 • 现在计算 P(7.4 < X < 8)
X 8.0 7.4
Business Statistics: A First Course, 5e © 2009 PrenticeHall, Inc.. Chap 6-25
•
X μ 200 100 Z 2.0 这说明X = 200在平均数 (2个50). σ 100之上两个标准差 50
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Chap 6-11
比较X和Z单位
100 0