高考数学 2.12 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用练习

课时提升作业(十五)
定积分的概念与微积分基本定理、
定积分的简单应用
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2014·陕西高考)定积分的值为( ) A.e+2
B.e+1
C.e
D.e-1
【解析】选
C.
=e.
2.(2015·泉州模拟)直线y=2x+4与抛物线y=x2+1所围成封闭图形的面积是 ( )
10163235A.
B. C. D.3333 【解析】选 C.直线与抛物线在同一坐标系中的图象如图,则其围成的封闭图形的面积是3
1-⎰
[(2x+4)-(x2+1)]dx
=3
1-⎰(-x2+2x+3)dx=
32
3132(x x 3x)133-++=-. 3.(2015·南昌模拟)已知函数f(x)=2 x ,2x 0,x 1,0x 2,⎧-≤≤⎨+<≤⎩则2
2-⎰f(x)dx 的值为( )
A.4
3
B.4
C.6
D.203
【解析】选D.2
2-⎰
f(x)dx=0
2-⎰
x2dx+2
0⎰
(x+1)dx
3202118120
x (x x)(0)(420).
2032323=++=++⨯+-=-
4.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)=t2-t+2,质点做直线运动,则此质点在时间[1,2]内的位移为( )
17141311
A.
B. C. D.6366
【解析】选A.质点在时间[1,2]内的位移为2
1⎰(t2-t+2)dt=
32
21117(t t 2t)1326-+=. 5.由直线x+y-2=0,曲线y=x3以及x 轴围成的图形的面积为( )
4553
A. B. C. D.3464
【解析】选D.由题意得3x y 20,
y x ,+-=⎧⎨=⎩解得交点坐标是(1,1).
故由直线x+y-2=0,曲线y =x3以及x 轴围成的图形的面积为
1
⎰x3dx+
2
1⎰(2-x)dx=
421211113
x (2x x )0142424+-=+=. 【方法技巧】求平面几何图形面积的技巧
求平面几何图形的面积,需根据几何图形的形状进行适当分割,然后通过分别求相应区间上的定积分求出各自的面积,再求和.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知t>0,若(2x-1)dx=6,则t 的值等于 .
【解析】 (2x-1)dx=
2xdx-1dx=
2
2t t x x
t t,
-=-由t2-t=6得t=3或t=-2(舍去).
答案:3
【加固训练】设函数f(x)=ax2+b(a ≠0),若3
⎰f(x)dx=3f(x0),则x0等于( ) A.±1
B.2
C.±3
D.2
【解析】选C.3
0⎰f(x)dx=3
0⎰(ax2+b)dx=3
31(ax bx)9a 3b 03+=+,所以9a+3b=3(a 20x +b),即20x =3,x0=±3,
故选C.
7.(2015·深圳模拟)由曲线y=sin x,y=cos x 与直线x=0,x=2π
所围成的平面图形(图中
的阴影部分)的面积是 .
【解析】由图可得阴影部分面积S=240
π⎰(cos x-sin x)dx=
()2sin x cos x 4
π
+
=2(2-1).
答案
:22-2
8.(2013·湖南高考)若x2dx=9,则常数T的值为.
【解析】x2dx=
33
T
11
(x)T9
33
==
,所以T=3.
答案:3
三、解答题
9.(10分)(2015·哈尔滨模拟)求由曲线y=x,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积.
【解析】y=x与y=x-2以及y轴所围成的图形为如图所示的阴影部分,联立
y x,
y x2
⎧=
⎪
⎨
=-
⎪⎩
得交点坐标为(4,2),
故所求面积为S=
4
⎰
[x-(x-2)]dx=
32
2
4
2x16
[x(2x)]
323
--=
.
【加固训练】设变力F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运动到x=10,已知F(x)=x2+1且方向和x 轴正向相同,求变力F(x)对质点M所做的功.
【解析】变力F(x)=x2+1使质点M沿x轴正向从x=1运动到x=10所做的功为
W=
10
1
⎰
F(x)dx=
10
1
⎰
(x2+1)dx
()
3
10
1
(x x)342J.
1
3
=+=
(20分钟40分)
1.(5分)(2015·金华模拟)图中阴影部分的面积是()
A.16
B.18
C.20
D.22
【解析】选B.由
2
y x4,
y2x,
=-
⎧
⎨
=
⎩得
x2,
y2
=
⎧
⎨
=-
⎩或
x8,
y4,
=
⎧
⎨
=
⎩
则阴影部分的面积为
S=2
2
2x
⎰
dx+
8
2
⎰
(2x -x+4)dx
33
2
22
28
422211638 x(x x4x)18.
02
33233
=+-+=+=
2.(5分)若f(x)=
()
x
f x4,x0,
2cos 3tdt,x0
6
->
⎧
⎪
⎪π
⎨
+≤
⎪
⎪⎩
⎰，
则f(2 014)=.
【解析】当x>0时,f(x)=f(x-4), 则f(x+4)=f(x),
所以f(2 014)=f(2)=f(-2),
又因为
6
π
⎰
cos 3tdt=
11
(sin 3t),
6
33
π
=
所以f(2 014)=f(-2)=2-2+1
3=
7
12.
答案:
7 12
3.(5分)(2015·长沙模拟)如图,矩形OABC内的阴影部分是由曲线f(x)=sin x(x∈(0,π))及直线x=a(a∈(0,π))与x轴围成,向矩形OABC内随机投掷一点,若落在阴影
部分的概率为1
4,则a的值是.
【解题提示】利用定积分求出阴影部分面积,再利用几何概型求解.
【解析】由已知S 矩形OABC=a ×6
a =6,
而阴影部分的面积为S=a
0⎰
sin xdx
=(-cos x)
a
0 =1-cos a,
依题意有OABC
S
11cos a 1,,S 464
-==矩形即
得:cos a=-1
2,又a ∈(0,π), 所以a=2
3π. 答案:23π
4.(12分)汽车以54 km/h 的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以等加速度-3 m/s2刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多远?
【解析】由题意,得v0=54 km/h=15 m/s. 所以v(t)=v0+at=15-3t.
令v(t)=0,得15-3t=0.解得t=5. 所以开始刹车5 s 后,汽车停车.
所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为
s=
5
⎰v(t)dt=
5
⎰(15-3t )dt
=
253
(15t t )
02-=37.5(m).故汽车走了37.5 m. 5.(13分)(能力挑战题)如图所示,直线y=k x 分抛物线y=x-x2与x 轴所围图形为面积相等的两部分,求k 的值.
【解析】抛物线y=x-x2与x 轴两交点的横坐标为 x1=0,x2=1,
所以,抛物线与x 轴所围图形的面积
S=1
0⎰(x-x2)dx=
231x 11(x ).0236-= 由2y x x ,
y kx,⎧=-⎨
=⎩
可得抛物线y=x-x2与y=kx 两交点的横坐标为x3=0,x4=1-k, 所以S 2=1k 0-⎰(x-x2-kx)dx
()3
231k 1k 11(x x )1k .
0236--=-=-
又知S=16,所以(1-k)3=1
2,
于是
3
314
k 1122==-
. 【加固训练】曲线C:y=2x3-3x2-2x+1,点P(1
2,0),求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积.
【解析】设切点坐标为(x0,y0),y ′=6x2-6x-2, 则f ′(x0)=6x02-6x0-2,
切线方程为y=(6x02-6x0-2)1(x )
2-, 则y0=(6x02-6x0-2)
01
(x )
2-, 即2x03-3x02-2x0+1=(6x02-6x0-2)·
01
(x )
2-, 整理得x0(4x02-6x0+3)=0,
解得x0=0,则切线方程为y=-2x+1.
解方程组
32y 2x 1,y 2x 3x 2x 1,=-+⎧⎨=--+⎩ 得x 0,y 1=⎧⎨
=⎩
或3x ,2y 2.⎧
=⎪
⎨⎪=-⎩ 由y=2x3-3x2-2x+1与y=-2x+1的图象可知
S=
3
2
⎰
[(-2x+1)-(2x3-3x2-2x+1)]dx
=
3
2
⎰
(-2x3+3x2)dx=
27
32.。