数字信号处理期末考试试题以及参考答案

一、选择题（每空1分，共20分）1．序列⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n x 6sin 4cos )(ππ的周期为（A ）。

A ．24B ． 2πC ．8D ．不是周期的2．有一连续信号)40cos()(t t x a π=，用采样间隔s T 02.0=对)(t x a 进行采样，则采样所得的时域离散信号)(n x 的周期为（C ）A ．20B ． 2πC ．5D ．不是周期的3．某线性移不变离散系统的单位抽样响应为)(3)(n u n h n =，该系统是（B ）系统。

A ．因果稳定B ．因果不稳定C ．非因果稳定D ．非因果不稳定4．已知采样信号的采样频率为s f ，采样周期为s T ，采样信号的频谱是原模拟信号频谱的周期函数，周期为（A ），折叠频率为（C ）。

A ． s fB ．s TC ．2/s fD ．4/s f5．以下关于序列的傅里叶变换)(ωj e X 说法中，正确的是（B ）。

A ．)(ωj e X 关于ω是周期的，周期为πB ．)(ωj e X 关于ω是周期的，周期为π2C ．)(ωj e X 关于ω是非周期的D ．)(ωj e X 关于ω可能是周期的也可能是非周期的6．已知序列)1()()1(2)(+-+-=n n n n x δδδ，则0)(=ωωj e X 的值为（C ）。

A ．0B ．1C ．2D ．3 7．某序列的DFT 表达式为∑-==1)()(N n nkMWn x k X ，由此可看出，该序列的时域长度是（A ），变换后数字域上相邻两个频率样点之间的间隔（C ）。

A ．N B ．M C ．M /2π D ． N /2π8．设实连续信号)(t x 中含有频率40Hz 的余弦信号，现用Hz f s 120=的采样频率对其进行采样，并利用1024=N 点DFT 分析信号的频谱，得到频谱的谱峰出现在第（B ）条谱线附近。

A ．40 B ．341 C ．682 D ．10249．已知{},3,421)(，=n x ，则()=-)()(66n R n x （A ），()=+)()1(66n R n x （C ） A ．{},0,0,4,3,21 B ．{},0,0,4,31,2 C ．{}1,,3,4,0,02 D ．{}0,3,42,,10， 10．下列表示错误的是（B ）。

A ．n k N N nk N W W )(--=B ．nk N nk N W W =*)(C ．k n N N nk N W W )(--=D ． 12/-=N N W11．对于L N 2=点的按频率抽取基2FFT 算法，共需要（A ）级蝶形运算，每级需要（C ）个蝶形运算。

A ．LB ．2NL C ．2ND ．L N + 12．在IIR 滤波器中，（C ）型结构可以灵活控制零极点特性。

A ．直接ⅠB ．直接ⅡC ．级联D ．并联13．考虑到频率混叠现象，用冲激响应不变法设计IIR 数字滤波器不适合于（B ）。

A ．低通滤波器B ．高通、带阻滤波器C ．带通滤波器D ．任何滤波器 14．以下哪种描述不属于双线性变换（A ）。

A ．ω和Ω是线性关系B ．不会产生频谱混叠现象C ．s 平面和z 平面是单值映射D ．ω和Ω是单值映射15．利用窗函数设计FIR 滤波器，为使滤波器的过渡带变小，可通过（A ）有效实现。

A ．增加窗口长度B ．改变窗口形状C ．减少窗口长度D ．窗口长度不变16．窗函数法设计FIR 滤波器时，减小通带内波动以及加大阻带衰减只能从（B ）上找解决方法。

A ．过渡带宽度 B ．窗函数形状 C ．主瓣宽度 D ．滤波器的阶数二、判断题（每题1分，共10分。

各题的答案只能是“对”或“错”，要求分别用“√”或“×”表示） 1．)792sin()()(ππ+=n n x n y 是线性移不变系统。

（×） 2．稳定系统的系统函数的收敛域必须包括单位圆。

（√） 3．同一个z 变换函数，若收敛域不同，对应的序列是不同的。

（√） 4．系统函数)(z H 极点的位置主要影响幅频响应峰点的位置及形状。

（√） 5．有限长序列的DFT 在时域和频域都是离散的。

（√） 6．)(n x 为N 点有限长序列，[])()(n x DFT k X =为周期序列。

（×） 7．在按频率抽取的基-2FFT 算法中，先将)(n x 按n 的奇偶分为两组。

（×） 8．冲激响应不变法的频率变换关系是非线性的。

（×） 9．IIR 滤波器总是稳定的。

（×） 10．窗谱中主瓣与旁瓣的相对比例由窗函数的形状决定。

（√） 三、简答题（共25分）1．（4分）简述DTFT 和z 变换之间，DTFT 与DFT 之间的关系。

答：单位圆上的z 变换是DTFT 。

DFT 是DTFT 在]2,0[π上的N 点抽样。

2．（6分）对实信号进行谱分析，要求谱分辨率Hz F 10≤，信号最高频率kHz f h 5.2=，试确定以下参量：（1）最小记录长度0T ；（2）抽样点间的最大时间间隔T ；（3）在一个记录中的最小抽样点数N 。

答：最小记录长度s FT 1.010==抽样点间的最大时间间隔3102.05000121-⨯===h f T 在一个记录中的最小抽样点数5000==TT N3．（4分）试写出按时间抽取和按频率抽取的基2-FFT 算法的蝶形运算公式，已知蝶形运算的输入分别用)(1k X 和)(2k X 表示，输出分别用)(1k Y 和)(2k Y 表示，系数用W 表示。

答：DIT ：)()()(211k WX k X k Y +=；)()()(212k WX k X k Y -= DIF ：)()()(211k X k X k Y +=；[]W k X k X k Y )()()(212-=4．（6分）某一个数字滤波器的流程图如图1所示，已知021==b b ，5.01=a ，5.02-=a ，13-=a ，试问该滤波器属于IIR 滤波器还是FIR 滤波器？是否具有线性相位？简要说明理由。

答：该滤波器属于FIR 滤波器，因为不含反馈回路 具有线性相位，因为满足()()n N h n h ---=15．（5分）试写出下列英文缩写字母的中文含义：IIR ，FIR ，DFT ，DTFT ，FFT 。

答：IIR ：无限长单位抽样（冲激）响应 FIR ：有限长单位抽样（冲激）响应 DFT ：离散傅里叶变换DTFT ：离散时间傅里叶变换 FFT ：快速傅里叶变换 四、计算题（共45分）1．（6分）设两个线性移不变因果稳定系统的)(1n h 和)(2n h 级联后的总单位抽样响应)(n h 为）（n δ。

已知)1(5.0)()(1--=n n n h δδ，求)(2n h 。

解：)()()(21n h n h n h =*)()()(21z H z H z H =，而115.01)(--=z z H所以5.0,5.011)(12>-=-z z z Hx图1)(5.0)(2n u n h n =2．（6分）已知一个时域离散系统的流程图如图2所示，其中m 为一个实常数，（1）试求系统函数)(z H ；（2）若系统是因果的，试求系统函数的收敛域；（3）m 取何值时，该系统是因果稳定的。

解：113141)(--+-=zm z m z H 若系统是因果的，试求系统函数的收敛域3m z >。

3,13<<m m即，该系统是因果稳定的。

3．（8分）设信号）（）（）（21)(-+-+=n n n n x δδδ，（1）计算)(n x 与)(n x 的线性卷积)(1n y （2）计算)(n x 与)(n x 的8点圆周卷积)(2n y ，并与（1）的结果比较，指出圆周卷积与线性卷积的关系。

解：{},2,3,2,11)(1=n y {},0,0,2,3,2,1,01)(2=n y )(2n y 是)(1n y 以8为周期，周期延拓再取主值区间得到的4．（9分）已知一个有限长序列为{},0,0,0,31)(=n x ，（1）求它的8点DFT )(k X ；（2）已知序列)(n y 的8点DFT 为)()(48k X W k Y k =，求序列)(n y ；（3）已知序列)(n g 的8点DFT 为)()()(k Y k X k G =，求序列)(n g解：（1）)4(3)()(-+=n n n x δδ[]70,)1(3131)4(3)()()(48781≤≤-+=+=-+==∑∑=-=k W Wn n W n x k X k k n nk N n nkNδδ{}2,4,2,4,2,4,2,4)(----=k Xx图2（2）由)()(48k X W k Y k =可知，)(n y 与)(n x 的关系为{})4()(30,0,0,1,0,0,0,3)())4(()(88-+==-=n n n Rn x n y δδ（3）)(n g 为)(n x 和)(n y 的8点圆周卷积()()()()k k k k k k k k k k k k W W W W W W W W W W W W k G 0848480808480848484848486109333313131)(+=++++=++=++=)4(10)(6)(-+=n n n g δδ5．（8分）设IIR 数字滤波器的系统函数为21181431311)(---+++=zz z z H ，试求该滤波器的差分方程，并用一阶节的级联型以及一阶节的并联型结构实现之。

（注：级联型和并联型各画一种可能的结构即可）。

解：)2(81)1(43)1(31)()(-----+=n y n y n x n x n y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=---111211411311)(z z z z H级联型 或并联型112113241131)(--+++=z z z Hx )1 x )x )6．（8分）某二阶模拟低通滤波器的传输函数为22233)(cc ca ss s H Ω+Ω+Ω=，试用双线性变换设计一个低通数字滤波器，并用直接Ⅱ型结构实现之，已知低通数字滤波器的3dB 截止频率为kHz f c 1=，系统抽样频率为kHz f s 4=。

（注：TC 2=，T 为抽样周期） 解：Ttg T c c 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=Ω'ω；22223232)(⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=T s T s T s H a()2121212111211112222112343434413413423413443421311311123232)()(1111------------+-=+-=+-++++++++=-+++++=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==----zz z z z z z z z z z z T s T s T s H z H z z T s z z T s a直接Ⅱ型注：计算结果不正确但思路正确可酌情给分x )。