非线性控制系统分析

第七章非线性控制系统分析
§7.1 非线性系统概述
非线性系统运动的规律，其形式多样。

线性系统只是一种近似描述
非线性系统特征—不满足迭加原理
不仅与自身结构参数有关，而且与初条件，输入有关
1) 稳定性
平衡点灯可能有多个
2)自由运动形式，与初条件，输入大小有关。

3)自振，在一定条件下，受初始扰动表现出的频率，振幅稳定的周期
运动。

自振是非线性系统特有的运动形式。

4)正弦响应的复杂性
(1)跳跃谐振及多值响应
(2)倍频振荡与分频振荡
(3)组合振荡 ( 混沌 )
(4)频率捕捉
非线性系统研究方法
1)小扰动线性化处理
2)相平面法 ----- 用于二阶非线性系统运动分析
3)描述函数法 ----- 用于非线性系统的稳定性研究及自振分析。

4)仿真研究 --- 利用模拟机，数字机进行仿真实验研究。

常见非线性因素对系统运动特性的影响：
1.死区： ( 如：水表，电表，肌肉电特性等等 )
死区对系统运动特性的影响：
e ss (跟踪阶跃信号有稳态误差），能滤去小幅值噪声，提高抗干扰能力
等效 K
， % ［原来不稳定的系统，此时可能稳定（初始扰动不大时）］振荡性
可见：非线性系统稳定性与自由响应和初始扰动的大小有关。

2.饱和(如运算放大器，学习效率等等)
饱和对系统运动特性的影响：
%(原来系统稳定，此时系统一定稳定）
进入饱和后等效 K↓振荡性（原来不稳，非线性系统最多是等幅振荡）
限制跟踪速度，跟踪误差，快速性
3.间隙： ( 如齿轮，磁性体的磁带特性等 )
间隙对系统影响：
1)间隙宽度有死区的特点 ---- 使e ss
2) 相当于一个延迟τ时间的延迟环节 ,%振荡性
减小间隙的因素的方法：
(1)提高齿轮精度；
(2)采用双片齿轮；
(3)用校正装置补偿。

4.摩擦 ( 如手指擦纸 )
摩擦引起慢爬现象的机理
改善慢变化过程平稳性的方法1)、良好润滑
2)、采用干扰补偿
3)、增加阻尼，减少脉冲，提高平衡性
摩擦对系统运动的影响：
影响系统慢速运动的平稳性
5. 继电特性：
对系统运动的影响：
1)、理想继电特性 等效
一、二阶系统可以稳定
K ：
一般地，很多情况下非线性系统会自振
e ss ( 带死区 )
2) 、带死区继电特性 等效
K ：
%
快态影响 （死区 +饷）的综合效果
振荡性
3) 、一般继电特性：除 3、 2中听情况外，多出一个延迟效果（对稳定性不利）
§ 7.2 相平面法基础 ( 适用于二阶系统 )
1. 相平面相轨迹
二阶非线性系统运动方程： x(t)
f [ x(t ), x(t )] ――定常非线性运动方程
以 为纵标， x 为横标，构成一个平面（二维空间）
dx dx
x
f [ x, x]
称之为相平面（状态平面）
即：
dx
dt
系统运动时，
，
以t 为参变量在相平面上
dx f [ x, x]
x(t) x(t)
dx x
描绘出的轨迹称为相轨迹（可以描述系统运动）
相平面法是用图解法求解一般二阶非线性控制系统的精确方法。

它不
仅能给出系统的稳定性信息和时间特性信息， 还能给出系统运动轨迹
的清晰图象。

二维空间 ( 平面 ) 上表示点的运动的概念，可以扩展到 N 维空间中去。

状态：系统运动的状况
状态变量：表征系统状态的变量
状态平面（相平面）：由状态变量张成的平面
状态轨迹（相轨迹）：系统运动时状态变量在状态平面上描绘出的运动轨迹
1. 相平面：由 c, c 构成的，用以描述系统运动特性的平面。

相轨迹： c, c 随时间变化在相平面上描绘出来的轨迹。

例：欠阻尼二阶系统响应的相平面描述
---- 相轨迹
例：系统方程为 x
n 2 x 0 ( =0) 求相轨迹方程。

解：
x dx dx x dx
n
2
x
dx dt dx
xdx n
2
xdx
1
x 2
2 x 2 c 2
n
2
x 2
x
2c 令
2
2 2 A
n
n
得： x 2
x 2
1 ――椭圆方程
A 2 2
2
A
n
系统特征方程：
2
2 0
s n
特征根：1,2j n （中心点）
平衡点（奇点）： x e0
自控演示实验 x-y 记录仪所画的相轨迹：
2.二阶系统极点分布，奇点类型及相轨迹形式（见挂图）自由运动方程范围极点位置奇点名称
中心点
0 1 稳定焦点
1
稳定节点
1 0 不稳定节点
1
不稳定节点
x
2
n
x
n
x
鞍点
注： 1). 奇点 =平衡点 =各阶导数为 0 之点 ;
2). 实极点数值 =特殊相轨迹的斜率 ;
3). x
0时 x 右移 x ＜ 0时 x 左移 x ＝0时 一般垂直通过
例 1. 系统方程为： x 2
n
x
0 作相轨迹
解：原方程＝ x dx
2
n x x[
dx
2
n ] 0
dx dx
x 0 --横轴（平衡点集合）
即：
dx
2 n --斜率为 - 2 n 的直线族
dt
3. 利用线性系统（二阶）奇点性质概略地作出
一类二阶非线性系统的相轨迹。

例 2. 系统运动方程：x x x0 ，作出其相轨迹。

解：原方程：x x x 0x0(1)
x x x 0x0(2)
解(1) ：(s2s 1) X ( s) 0
s
1,20.5j3――稳定焦点
2
解(2) ：(s2s 1) X (s)0
s1 0.62; s2 1.62 ――鞍点
作图，可见初始条件≠ 0 时自由运动结果总发散（向负方向）例 3. 系统运动方程：x x signx0 ，作相轨迹。

解：原方程：x x10x0(3)平衡点： x1
x x10x0(4)平衡点： x1
对(3):令x'
x 1
x'x'0s1,2'j
令x''x 1x''x''s1,2''
都是中心点（相轨迹为圆）
对(4) :0j 作图：见下页：
x(x1)0 x dx
( x1)
dx
x2(x 1)2A2
xdx( x1)d ( x 1)
x2( x1)2A2
可见：系统自由运动总是稳定的：
奇点为一线段［ -1 ，1］，依初始条件x
0不同，x0
最终可以稳定在［ -1 ，1］之间任一点上。

例 4. 系统运动方程为x sin x0 求出全部平衡点，并分析其特性。

解：令 x x 0 sin x0
∴平衡点 x e
0, ,2 , ,k .
2k 时： sin x
x
当 x e
1) 时 : - sin x
x
(2k ∵在平衡点附近变化时， x 是小量，与 sin x 等价。

x x
0 s
1,2
（中心点） j
∴原方程为
（鞍点）
x x
s
1,2
1
平衡点颁布及其附近的相轨迹：
4. 相轨迹作图法（解析法，等斜线法，
图弧法）
(1)
等倾斜线法：
系统方程为： x x
dx f ( x, x)
dx
dx f ( x, x)
令
相轨迹的斜率
dx
x
得出等斜线方程：
f ( x, x) 相平面上此方程对应曲线点上的
x
相轨迹斜率为等值
给定不同的 值，画出不同的等斜线， 在上面画出斜率等于相应
的
短线，可以构成相轨迹切线的方向场。

由此可画出非线性运动的相轨
迹。

4.
等倾斜线法
例 1，系统如右，用等倾斜线法作系统相轨迹。

解：对线性部分：
k
C ( s)
s(Ts 1) U (s)
(Ts 2 s)C (s) kU ( s)
T c c k
M
x h c
h
I u0
h
x h h c
h II
M
x
h
c
h
III
...
Ⅰ： T c c kM
dc
dc
dc
(
1) dc
(
1)
Tc
c
T
T
kM
dc
dc
c
kM (等倾斜线方程，水平线） T=k=M=1
1
1
T 1
Ⅲ： Tc
c
kM ，同上讨论可得：
c
kM T
1 k 1
1
1
M 1
1
T
1
1
∞
-3
-2 3
2
2
Ⅰ：
1
2
1 1 0
1
-1
-2
1
2
2
Ⅲ：
1
-2
-1
1 0
1 1
2
1
2
2
T 1 K 1 M 1
Ⅱ： Tc c 0
(T
1)c 0
1 T
1
画出等斜线并作出相轨迹见 3 号图：
系统自由运动分析：
(1) 自由运动收敛，最终达到稳定。

(2) 最终平衡位置 [ h,h]
例 2，在例 1 中，将非线性特性改为纯滞环继电特性。

Tc c ku
M
x h x h, x 0 u
x h M
x h, x 0
c h
I
kM
h,c 0
Tc c
c
h
c
II
kM
h, c 0
c
画等斜线（同例 1, ⅠⅢ区）作相轨迹见 6 号图
系统自由运动分析：自由运动的最终状态是自振（对应有一个极限环）
名类极限环（见挂图）
§ 7.3 描述函数法
1. 描述函数一般概念
如右图示：对非线性环节输入正弦信号一般地输入 y(t) 是一个周期信号 y(t )
例：对于理想的继电特性输出 y(t )
可以把周期信号展开成富立哀级数：
y(t ) A 0
( A n cosn t B n sin n t )
n 1
A 0
y n sin(n t
n )
n 1
1 其中： A 0
2
2 y(t )d (
t )
A n
B n
1
1
2
y(t)cos n td ( t) 0 2 y(t)sin n td ( t)
y n
A n 2
B n 2
A n
n
arctg
B n
对于 y(t ) 中的基波分量 (n=1) 有:
y 1 (t) A 1 cos t B 1 sin t y 1 sin( t 1 )
其中： 1
2 y(t )cos td ( t)
A 1
B 1
1
2
td ( t)
y(t)sin
y 1
A 12
B 12
1
arctg
A 1
B 1
例：对理想继电特性输入（方波信号）中，基波分量可以如下求出
:
由理想继电特性的对称性，可以确定
A 0 0。

由 y(t) 的奇函数特性
可以确定 A i 0
1
2 td ( t )
B 1
y(t )sin
4 2 y(t)sin
td ( t)
4M
[
cos t] 02
4M
A 1 0 0
1
arctg
arctg
B 1
B 1
y 1(t) A 1 cos t B 1 sin t 0 4M
sin t
如果把各次谐波都加上有：――方波信号是各次谐波分量的迭加
y(t ) A 0
y n sin n t
n 1
0 y 1 (t ) y 2 (t )
4M
[sin t
1
sin 3 t
1
sin 5 t
1
sin n t
]
3
5
n
而在各次谐波分量中，基波分量最能表征y(t) 的特征。

描述函数定义：
对一非线性特性，若输入 r (t )X sin t 时
其输出 y(t ) 中的基波分量为 y1 (t)Y1 sin( t1) 则定义
非线性特性的描述函数：N ( x)Y11B
1j
A
1
X X X
A12B12 1 A X : 正弦输入的幅值
即： N ( x)tg1Y1 : 输入中基波分量
B1
X
1 : y1 (t)对 r (t)的相角差
描述函数――从线性系统频率特性的角度来描述非线性特性的一种函
数。

描述函数是非线性环节的“频率特性”，是非线性特性的谐波线性化，线性系统频率特性是非线性系统描述函数的特例。

描述函数 N ( x) 与频率特性 G( j ) 概念上不同，但有类似的地方是其谐波线性化，是“频率特性”概念的推广。

4M
4M
例：理想继电特性：N ( x)00
X X
2.常见非线性特性的描述函数
描述函数的确定（以一般继电特性为例）
1）确定y(t )上的特征点 1 ,2,3,4由
输入 x(t ) x sin t 曲线可见：
对1： X sin 1对 2 ：X sin2
2sin 1
对3： X sin 3
h1sin 1
h
X
X sin( 2 )mh
mh2sin 1 mh X X
X sin( 3)h
3sin 1
h3sin 1
h X X
对 4 ： X sin 4
X sin(2
4 )
mh 2
4
sin 1 mh
4
2 sin 1
mh
X
X
1
:sin
1
h cos
1
1
( h
)2
X
X
2
:sin
2
mh cos 2
1 ( mh ) 2
由：
X
X
h
( h )2
3
:sin
3
cos 3
1
X
X 4
:sin
4
mh cos 4
1 ( mh )2
X
X
2）求 y(t ) 中基波分量的系数 A 1, B 1
1 2
4
M
A 1
[ M cos
td ( t)
M cos td (
t )]
{[sin t ]
1
3
M [( mh h )
( mh
h
)]
2Mh (m
1)
( x
x
x
x
x
x
2
1
[sin t] 43 }
h)
B 1
1 [
2
td ( t) 4
M sin td ( t)]
M sin
1
3
M
{[
cos t ] 12 [ cos t ] 34 }
M { [
1 sin 2
2
1 sin
2 1 ]
[ 1 sin 2
4
( 1 sin 2 3 )]}
M { 1 ( mh )2
1 ( h
)
2
1 ( mh )2
1 ( h
) 2 }
x
x
x x
2M { 1 ( mh )2
1 ( h
)2 }
(x h)
x
x
j
A
1
A 1 2Mh ( m
1)
N (x)
Y 1 1
B 1
X
X
X
X
B 1
2M { 1 ( mh )2
1 ( h
)2 }
X X 2M { 1
( mh )2
1
( h
) 2 } j 2Mh (m
1)
X
X
X X 2
特例：
h 0 ：理想继电特性
4M
N(X)
X
m1：无滞环有死区N(X)4M 1 (h )2
x X
m
：纯滞环4M h
24Mh 1
N(X)X 1 (X)j X 2
可见，描述函数N ( X ) 一般是非线性特性前，输入正弦信号x(t) 幅值X 的函数，并且在一般情况下，N ( x) 是一个复数。

3.用描述函数分析非线性系统
为何引出 N ( X ) 的概念：
实际物理系统，严格地讲，都是程度不同地带有非线性因素，非线性
系统的许多运动规律是线性系统领域看不到的，如非线性自振。

若一个实际系统（如火炮系统）发生自振，当瞄准具对准一个目标，
炮口由于自振而不停摆动，是打不中目标的，另外对系统本身磨损也很厉害，所以有必要把非线性系统的稳定性及自振问题专门拿出来研究。

描述函数法是专门研究一类非线性系统稳定性及其自振问题的方法。

1)描述函数分析法的基本思想
假设一个非线性系统满足以下三个条件：
1)、可以化为如右图的形式；
2)、 N ( X )特性的输入 y(当 x X sin t时) ，基波分量幅值最大；
3) 、 G( j )是最小相角系统，且具有较好的低通滤波特性。

( N M )
注：许多实际系统均可以满足此条件，所以此法具有较广的实用范围。

则： N (x) 的输出 y(t) 经 G ( j ) 的滤波处理 c(t) 信号近似为一正弦信号这样，可以近似把y(t ) 用其基波信号来代替，用线性系统频率分析法的思想来研究系统稳定性问题。

（2）系统稳定性分析：
由右图可见：系统自振的条件为（必要条件）：
N ( X ) G ( j )1――自身输出反号后满足自身输入的需要
即：1
G ( j )
N(X)
借用奈奎斯特稳定判据，视负倒描述函数1为广义的 ( 1, j 0) 点，则有：
N ( x)
判定非线性系统稳定性的方法：
不包围
1稳定
G ( j ) 包围则系统不稳定
N(X)
相交于可能自振（满足自振必要条件）例：对理想的继电系统：
负倒描述函数
1
1
x N(X)4M4M
x
1
X
描绘出一条曲
N ( x)
同画在一个坐标图上 当 X 0 变化时， N(X )
G( j
)
4M
线（不是定点）
当线性部分传递函数为：
G 1( s)
G 1 ( j )包围
1
不稳定（发散）
N ( x)
G 3 ( s), G 4 (s)
G 3 ( j )或 G 4 ( j )不包围
1 系统稳定（运动收敛）
N ( x)
G 2 ( s)
G 3 ( j )与
1
在A 点相交
系统可能自振
N ( x)
（3）负倒描述函数曲线
1 的绘制及广义 ( 1, j 0) 点的变化规律：以纯滞环
N ( x)
继电系统为例：
N(X)
4M 1 ( h
)2
j 4Mh
X
X
X 2
N 0(X)
h N(X)
4h 1 ( h
)2
j 4 ( h ) 2
M
X
X
X
把 M
――等效非线性部分的增益折算到线性部分增益之中。

则标称化的
h
负倒描述函数：
1 X 1 X 1 ( h
)2
j h
X
X
N 0(X) 4h
1 ( h
)
2
j
h
4h
1 ( h
)2
( h ) 2
X
X
X
X
4 X
[ 1 ( h
)
2
j h
] [ (X )2
1 j ]
h
X
X
4h
可见，
1
的虚部是一个常数 (
) ，以 X
为自变量计算画图：
N 0(X)
4
h
X
( X h)
1
2
2
2.3
2.5 3 456
h
1
0 -0.785 -1.36 -1.63 -1.78 -2.22 -3.04 -3.85 -4.65
Re[ ]
N0
可见，广义的 ( 1, j 0) 点1
N0(X)
是随 X（当 h 确定时）的变化而变化的，不是像线性系统时的固定点( 1, j 0) 。

当非线性系统工作状态（对应一个确定X 值）不同时，该广义( 1, j 0) 点在
1
曲线上移动。

N0(X )
见挂图――常见非线性特性的
1
曲N0(X)
线。

（4）自振分析：
<1> 必要条件 : G ( j)
1
―― G ( j )曲线与
1
曲线有交点。

N(X)N(X)
如右系统：
1）、对于 A――(1)穿进M
G ( j ) 曲线的点
N(X)h
A1(X1)
在 G0 ( j)之外稳定， X1
不稳定极限环
A，运动趋于
发散， X2 A2 (X2 )内
2）、对于 B――(
1
) 穿出
M
G( j )曲线的点N1(X)h
B1(X3)
在 G0 ( j)之内发散： X3
稳定极限环
B，运动趋于
稳定： X4 B2 (X4)外
可见，当初始扰动使x0不同时，系统运动规律不同：
X
0 : 0
运动收敛到平衡点（稳定）
X
A有发散趋势
X B
对应自振有收敛趋势
<2> 自振的判定方法：（总结出来的结论）
非稳定自振点（不稳定极限环）－确定稳定
的界限
1X 穿入发散穿出 G0( j )稳定自振点（稳定极限环）－确定一个自振状态
N0( X )
相切于半稳定自振点（半稳定的极限环）
例： P32-5 中交点 A 是一个稳定
的自振点，该系统不论初始扰动大
小，最后总要自振（不会发散，也不会
收敛到零）
<3> 自振参数的确定及参数变化时系
统运动的规律
自振幅值――由交点 B 上
N 0
1
( X )
的 X 值x6确定（系统各点的幅
值可以折算过去）
自振频率――由交点B上G ( j) 的值0 定，参数变化时，系统运动规律分析：
参数变体时，系统运动的规律分析：
① k0M
h
k 变化时，（h不变，Mk 变化时）
自振循环点
( X 0 X 2 )时自振加剧
x 3
3
k 0
: 0
总稳定
X
X 时，系统收敛，稳定界限X k 3
k 1
0 2
2
② h 变化时（ h 变化，但保持 M
不变）
X 对应 B 点：X 6
h
h ：h
常值
X 6B 点自振幅值
( c 不变）
h
h
变化时，对应
1
曲线不同
③ m N 0(X) 应分开来讨论
不同时， G( j 曲线不同
T 1,T 2 )
<4> 定量计算
例： 90 年西工大研究题（ 10 分）
已知系统结构图如右， 试求系统产生
自振时的振幅和频率（
M 1）
理想继电特性描述函数 N ( X )
4M
X
解：依题大致作出 G ( j ) 和
1
图形：明显，A 点为稳定的自振点
N(X)
( G ( j )虚部为 0 的点 )
G( j )
10
( j
1)( j
2)
j 10( j )( j 1)( j
2)
2 (
2
1)(
2
22 )
10 j [2
2
3 j
]
30 2
j10(2
2 )
X
jY
2 (
2
1)( 2
4)
2(2
1)(2 4)
令其虚部为 0：
2(自振频率 )
求实部值： ReG( j 2)
30
30
5
2
2
4) 2
1.667
( 1)( (2 1)(2
4)3
由自振的必要条件： G( j )
A 点
1
N ( x)
x M 1 x
有:
1.667
4M
4
X
4
1.667
2.122(自振幅值 )
A
2
X A 2.122
例：非线性系统如右图所示：
M 1 ，
要求要产生一个
x 1
的周期信
号，求
4
系统参数 K ,
分析：画出
1 与 G( j ) 曲线可见：当 K 改变时，只影响自振幅值 X ，不改
N(X)
变自振频率
，而当 0 时，会使自振频率降低， 幅值增加。

所以调节 K , 参
数实现所需的自振参数。

解：由自振条件： G ( j ) N ( x)
1
4M
Ke j
1
x j (1 j
)(2 j )
4KMe j
j (1
j )(2
j ) 3
2
j (2
2 )
x
2
4
tg 1 2
2
4 5
3
代入 M
1, x 4, 1：
K
3
j1
10
tg 1 1
3
K 10
∴
tg
1 1
18.435 0.322
3 57.3
例：将右图非线性系统化为串联形式，求出等效的开环传递函数
解法一：将非线性特性视为线性环节来对待，则由梅逊公式：
K K
(s)
Js 2
KN (x) K Js 2 K KsN( x)
1
Js
Js 2
D ( s) Js 2 K
KsN (x)
KsN (x)( Js2K )
Ks
1
N ( x)
Js2K
∴G ( s)Ks Js2 K
解法二：用结构图等效化简法：
Ks 如右图化简∴G ( s)
Js2K。