传热学4.3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解

+ tm,n−1
+
2Δx
λ
qw
+ Φ& m,n
Δx2
2λ
qw (m, n)
(3)内部角点
λΔy tm−1,n − tm,n
Δx
+ ⎜⎛ λ
⎝
Δy 2
tm+1,n − tm,n Δx
+
Δy 2
qw
⎟⎞ ⎠
+
λΔx tm,n+1 − tm,n
Δy
+
⎜⎛ λ
⎝
Δx 2
tm,n−1 − Δy
tm,n
+
Δx 2 qw
⎟⎞ ⎠
qw
+
Φ& mห้องสมุดไป่ตู้n
3ΔxΔy 4
=
0
Δx = Δy ⇒
1 tm,n = 6 (2tm−1,n + 2tm,n+1 + tm,n−1 + tm+1,n
+
3Δx
2λ
2
Φ&
+
2Δx
λ
2
qw
)
qw的情况： (1) 第二类边界条件：将 qw = const ，带入上面各式即可
绝热或对称边界条件？
⑵ 第三类边界条件：将 qw = h(t f − tm,n ) ，带入上面各式
即可
？
课堂作业：将 qw = h(t f − tm,n ) 带入外部角点的温
度离散方程，并化简到最后的形式
(3) 辐射边界条件：qw = const
qw
=
εσ
(T
4 f
−
T4 m,n
)
或其他
写出所有内节点和边界节点的温度差分方程
n个未知节点温度，n个代数方程式：
代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法
Δx
Δx
Δy
Δy
+ Φ& ΔxΔy = 0
qw
(1) 平直边界上的节点
(m, n)
λΔy tm−1,n − tm,n
Δx
+
Δyqw
+ λ Δx tm,n+1 − tm,n + λ Δx tm,n−1 − tm,n
2 Δy
2 Δy
qw
+
Φ& m,n
Δx 2
Δy
=
0
Δx = Δy ⇒
4tm,n
=
2tm−1,n
+
2Δx
λ
qw
+ tm,n+1
+
tm,n−1
+ Φ&m,n
Δx2
λ
qw
(m,n) (2) 外部角点
λ
Δy 2
tm−1,n − Δx
t m ,n
+
Δy 2
qw
+
Δx 2
qw
+
λ
Δx 2
tm ,n−1 − Δy
t m ,n
qw
+
Φ& m ,n
Δx 2
⋅
Δy 2
=
0
Δx = Δy ⇒
2tm,n
=
tm−1,n
例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度：
在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）
判断迭代是否收敛的准则：
ε — 允许的偏差； 相对偏差ε值一般
取10−3 ~ 10−6
k及k+1表示迭代次数；
—第k次迭代得到的最大值
当有接近于零的t 时，第三个较好
1
(m, n)
qw
Φ左 Φ右
= =
−λΔy dt = λΔy λΔy tmd+x1,n − tm,n
Δx
tm−1,n − Δx
t m ,n
qw
Φ上 Φ下
= =
λΔx tm,n+1 − tm,n λΔx tm,n−1Δ−y tm,n
Δy
内热源：Φv = Φ& ⋅V = Φ& ⋅ ΔxΔy
λΔy tm−1,n − tm,n + λΔy tm+1,n − tm,n + λΔx tm,n+1 − tm,n + λΔx tm,n−1 − tm,n