2021年安徽省黄山市高考数学第一次质检试卷(文科)(一模)

2021年安徽省黄山市高考数学第一次质检试卷（文科）（一
模）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卷的相应区域答题.）
1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|（3﹣x）（x﹣7）≥0}，则集合A中元素个数为（）A．3B．4C．5D．6
2．（5分）复数2+2i﹣||＝（）
A．0B．2C．﹣2i D．2i
3．（5分）瑞士数学家欧拉发明了著名的“欧拉公式e ix＝cos x+i sin x（i为虚数单位）”，欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e3i表示的复数在复平面中位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）从集合{1，2，4}中随机抽取一个数a，从集合{2，4，则向量＝（a，b）与向量（）
A．B．C．D．
5．（5分）设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系
i，y i）（i＝1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（）
A．y与x具有正线性相关关系
B．回归直线过样本的中心点
C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg
6．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，丨φ丨＜）的部分图象如图所示（x）的解析式为（）
A．f（x）＝2sin（x+）B．f（x）＝2sin（2x+）
C．f（x）＝2sin（2x﹣）D．f（x）＝2sin（4x﹣）
7．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）x，则f（log827）的值为（）
A．B．C．﹣3D．3
8．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P为抛物线上一点，垂足为E，若∠EPF＝60°，则p＝（）
A．2B．4C．D．8
9．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不能是下面的（）
A．4B．5C．6D．7
10．（5分）若存在等比数列{a n}，使得a1（a2+a3）＝6a1﹣9，则公比q的最小值为（）A．B．C．D．
11．（5分）已知F1、F2分别是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，Q为左支上一点，若（+）•＝02Q周长最小值为实轴长的4倍，则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．2D．
12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的底面是正三角形，P A＝a，点A在侧面PBC内的射影H 是△PBC的垂心，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）
A．B．3πa2C．D．12a2
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请在答题卷的相应区域答题.）13．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是．
14．（5分）已知||＝3，||＝4，且•，•＝0，则|．
15．（5分）已知函数f（x）＝x2+2，g（x）＝lnx，若曲线y＝f（x）（x）的公切线与曲线y＝f（x）切于点（x1，y1），则x12﹣ln（2x1）＝．
16．（5分）在数列{a n}中，，其前n项和为S n，用符号[x]表示不超过x的最
大整数．当[S1]+[S2]+…+[S n]＝42时，正整数n为．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答题卷的相应区域答题.）
17．（12分）2020年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感染最有效的方式．在家中适当锻炼，合理休息，抵抗病毒．某小区为了调查“宅”
家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，其频率分布直方图如图所示：（1）求a的值，并估计这100位居民锻炼时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）小邱是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家7天的锻炼时长：
序号n1234567锻炼时长m（单位：分钟）12151218253134
（Ⅰ）根据数据求m关于n的线性回归方程；
（Ⅱ）若（是（1）中的平均值），则当天被称为“有效运动日”．估计小邱“宅”家第8天是否是“有效运动日”？
参考数据：．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求角B的大小；
（2）若BD为AC边上的高，若，求BD的最大值．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，点E为棱PC的中点．
（1）证明：BE∥平面P AD；
（2）求直线BE与平面P AC所成角的大小．
20．（12分）已知函数，g（x）＝xlnx．
（1）当m＝0时，求f（x）的最小值；
（2）函数h（x）＝f（x）+mg（x），证明：函数h（x）在（，e）上有两个零点．21．（12分）已知椭圆的离心率为e，若椭圆的长轴长等于圆M：x2+y2﹣2x﹣15＝0的半径，且a是2e和b2的等差中项，A、B为椭圆C上任意两个关于
x轴对称的点，椭圆的右准线与x轴的交点为P
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）试探求直线AE是否能过定点？若能，求出定点坐标；若不能
考生注意：请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：极坐标与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知点M（2，0），曲线C1的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系2的极坐标方程为θ＝θ0（ρ＞0），点Q是C1与C2的公共点．
（1）当时，求直线MQ的极坐标方程；
（2）当时，记直线MQ与曲线C1的另一个公共点为P，求|MP|•|MQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣|+|2x+1|（x）最小值为k．
（1）求k的值；
（2）若a，b，c为正数，且（）2+（）2+（）2＝1．求证：
≥．
2021年安徽省黄山市高考数学第一次质检试卷（文科）（一
模）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卷的相应区域答题.）
1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|（3﹣x）（x﹣7）≥0}，则集合A中元素个数为（）A．3B．4C．5D．6
【分析】列举法解出A集合可得答案．
【解答】解：已知集合A＝{x∈Z|（3﹣x）（x﹣7）≥2}＝{3，4，8，6，7}，
则集合A中元素个数为6个，
故选：C．
【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．
2．（5分）复数2+2i﹣||＝（）
A．0B．2C．﹣2i D．2i
【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．
【解答】解：2+2i﹣||＝2+2i﹣5＝2i，
故选：D．
【点评】本题主要考查复数模长的计算，考查了复数的基本运算，是基础题．．
3．（5分）瑞士数学家欧拉发明了著名的“欧拉公式e ix＝cos x+i sin x（i为虚数单位）”，欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e3i表示的复数在复平面中位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】利用欧拉公式e ix＝cos x+i sin x，化简e3i的表达式，通过三角函数的符号，判断复数的对应点所在象限即可．
【解答】解：因为欧拉公式e ix＝cos x+i sin x（i为虚数单位），
所以e3i＝cos3+i sin4，因为3∈（，cos5＜0，
所以e3i表示的复数在复平面中位于第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查欧拉公式的应用，三角函数的符号的判断，是基本知识的考查．
4．（5分）从集合{1，2，4}中随机抽取一个数a，从集合{2，4，则向量＝（a，b）与向量（）
A．B．C．D．
【分析】基本事件总数n＝3×3＝9，由向量＝（a，b）与向量垂直，得b ＝2a，利用列举法求出向量＝（a，b）与向量垂直包含的基本事件（a，b）有2个，由此能求出向量＝（a，b）与向量垂直的概率．
【解答】解：从集合{1，2，7}中随机抽取一个数a，4，5}中随机抽取一个数b，
基本事件总数n＝5×3＝9．
∵向量＝（a垂直，
∴＝2a﹣b＝7，
∴向量＝（a垂直包含的基本事件（a
（5，2），4），
∴向量＝（a垂直的概率为P＝．
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，涉及到古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核心素养，是基础题．
5．（5分）设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系
i，y i）（i＝1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（）
A．y与x具有正线性相关关系
B．回归直线过样本的中心点
C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg
【分析】根据回归分析与线性回归方程的意义，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
【解答】解：由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系；
由线性回归方程必过样本中心点，因此B正确；
由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1cm，C正确；
当某女生的身高为160cm时，其体重估计值是50.29kg，因此D错误．
故选：D．
【点评】本题考查了回归分析与线性回归方程的应用问题，是基础题目．
6．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，丨φ丨＜）的部分图象如图所示（x）的解析式为（）
A．f（x）＝2sin（x+）B．f（x）＝2sin（2x+）
C．f（x）＝2sin（2x﹣）D．f（x）＝2sin（4x﹣）
【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由图象经过定点（，0），结合范围丨φ丨＜，求出φ的值，从而求得函数的解析式．
【解答】解：由图象可知，A＝2，﹣，则T＝π．
又由于ω＝，则ω＝2．
由题中图象可知，f（+φ）＝7，则，k∈z，
即φ＝kπ+，k∈z．
又因为|φ|＜，则φ＝，
所以函数解析式为y＝6sin（2x+）．
故选：B．
【点评】本题主要考查y＝A sin（ωx+φ）的图象特征，由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．
7．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）x，则f（log827）的值
为（）
A．B．C．﹣3D．3
【分析】根据题意，由函数的奇偶性和对数的运算性质可得f（log827）＝f（log23）＝﹣f（﹣log23）＝﹣f（log2），结合函数的解析式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，log827＝log27＞0，
f（x）是定义在R上的奇函数，则f（log827）＝f（log43）＝﹣f（﹣log27）＝﹣f（log2），
又由当x＜0时，f（x）＝2x，则f（log4）＝，
则f（log827）＝﹣f（log2）＝﹣，
故选：A．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．8．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P为抛物线上一点，垂足为E，若∠EPF＝60°，则p＝（）
A．2B．4C．D．8
【分析】由抛物线的方程可得焦点F的坐标，由抛物线的性质及题意可得△PEF为等边三角形，再由三角形的面积可得|PF|的值，进而求出P的横纵坐标，代入抛物线的方程可得p的值．
【解答】解：由抛物线的性质可得PF＝PE，因为∠EPF＝60°，所以∠EPF＝60°，焦点F（，0），
又因为△PEF的面积为，所以2＝8，可得|PF|＝4，
所y P＝|PF|•sin60°＝3＝2，x P＝+|PF|•cos60°＝4×++，即P（2+，2），
将P点的坐标代入抛物线的方程可得（2）4＝2p（2+），
整理可得：p2+8p﹣24＝0，解得p＝3，
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的性质及三角形的面积公式的应用，求抛物线的点的坐标的方法，属于中档题．
9．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不能是下面的（）
A．4B．5C．6D．7
【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求S＝sin+sin+…sin的值，依次验证选项即可得解．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求S＝sin+…sin，输入的t值是4时，S＝sin+sin＝＜6，
输入的t值是5时，S＝sin+sin+sin，
输入的t值是6时，S＝sin+sin+sin，
输入的t值是5时，S＝sin+sin+sin＝8+＝，
综上，要使输出的S的值小于1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了正弦函数的周期性，模拟执行程序框图正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．
10．（5分）若存在等比数列{a n}，使得a1（a2+a3）＝6a1﹣9，则公比q的最小值为（）A．B．C．D．
【分析】先由题设得到：（q+q2）a12﹣6a1+9＝0，再根据其有实根求得q的取值范围，即可得到正确答案．
【解答】解：由题设可得：a12（q+q2）＝6a1﹣2，即（q+q2）a17﹣6a1+4＝0，
①当q＝﹣1时，a3＝；
②当q≠﹣5且q≠0时，Δ＝36﹣36（q2+q）≥3，解得：，
综上，≤q＜0或0＜q≤，
∴q的最小值为，
故选：A．
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式及方程有解的应用，属于基础题．11．（5分）已知F1、F2分别是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，Q为左支上一点，若（+）•＝02Q周长最小值为实轴长的4倍，则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．2D．
【分析】由（+）•＝0，可推出|OP|＝|OF2|＝c，故|PF2|＝c，由双曲线的定义可得|QF2|＝|QF1|+2a，当P，Q，F1按此顺序三点共线时，△PF2Q的周长取得最小值，从而建立关于a和c的等式，再结合e＝，得解．
【解答】解：∵（+）•，∴OP4是一个正方形的相邻两边，即|OP|＝|OF2|＝c，∴|PF2|＝c，
由双曲线的定义知，|QF2|﹣|QF1|＝8a，
∴|QF2|＝|QF1|+4a，
∴△PF2Q周长为|PQ|+|QF2|+|PF3|＝|PQ|+（|QF1|+2a）+|PF3|≥|PF1|+2a+|PF5|＝2c+8a，当且仅当P，Q，F1按此顺序三点共线时，等号成立，
∵△PF2Q周长最小值为实轴长的2倍，
∴2c+3a＝4×2a，
∴离心率e＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的定义与几何性质，还涉及平面向量的混合运算，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的底面是正三角形，P A＝a，点A在侧面PBC内的射影H 是△PBC的垂心，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）
A．B．3πa2C．D．12a2
【分析】延长PH交BC于D，连接AD，根据H是△PBC的垂心，可得BC⊥PD，利用线面垂直的判定与性质定理可得：BC⊥AD．连接BH并延长交PC于E，连接AE，可得PC⊥平面ABE，AB⊥PC．设P在平面ABC上的射影为O，延长CO交AB于F，连接PF．可得PF⊥AB，CF⊥AB．因此O是△ABC的中心，F是AB的中点，于是PB＝P A ＝a＝PC，当P A，PB，PC两两垂直时，三棱锥P﹣ABC体积取得最大值时，再将三棱锥P﹣ABC放到正方体中，即可得出所求值．
【解答】解：延长PH交BC于D，连接AD，
∵H是△PBC的垂心，∴BC⊥PD，
∵AH⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴AH⊥BC，
又AH⊂平面APD，PD⊂平面P AD，
∴BC⊥平面APD，又AD⊂平面APD，
∴BC⊥AD，
连接BH并延长交PC于E，连接AE，
由AH⊥平面PBC可得AH⊥PC，
又BE⊥PC，AH∩BE＝H，
∴PC⊥平面ABE，∴AB⊥PC．
设P在平面ABC上的射影为O，延长CO交AB于F．
∵PO⊥AB，PC∩PO＝P，
∴AB⊥平面PCF．
∴PF⊥AB，CF⊥AB．
∴O是△ABC的中心，F是AB的中点，
∴PB＝P A＝a＝PC，
当P A，PB，三棱锥P﹣ABC体积取得最大值时，
将P A，PB，则外接球的直径即为正方体的对角线长，
所以三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R满足：（2R）2＝a2+a2+a2＝2a2，
解得R＝a，
所以球的表面积为S＝4πR2＝4π×a6＝3πa2，
故选：B．
【点评】本题考查三棱锥的性质、球的体积计算公式、线面垂直的性质定理及其判定定理、三垂线定理、勾股定理，考查空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请在答题卷的相应区域答题.）
13．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是﹣13．
【分析】画出约束条件表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，从而求出目标函数的最小值．
【解答】解：画出约束条件表示的平面区域
目标函数z＝2x+y可化为y＝﹣2x+z，
平移目标函数知，当目标函数过点A时，此时z取得最小值，
由，求得A（﹣5，所以z的最小值为z min＝2×（﹣7）+（﹣3）＝﹣13．故答案为：﹣13．
【点评】本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了运算求解能力与数形结合思想，是基础题．
14．（5分）已知||＝3，||＝4，且•，•＝0，则|5．【分析】根据条件可得出AB⊥BC，AM⊥MC，从而得出四点A，B，M，C共圆，AC为该圆的直径，并可求出AC＝5，从而可得出当BM为直径时最大，从而可得出的最大值．
【解答】解：∵，，
∴，
∴A，B，M，C在以AC为直径的圆上，如图所示：
∴BM为该圆的直径时最大，
∴的最大值为2．
故答案为：5．
【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，直径所对的圆周角为直角，圆的所有弦中直径最长，考查了计算能力，属于中档题．
15．（5分）已知函数f（x）＝x2+2，g（x）＝lnx，若曲线y＝f（x）（x）的公切线与曲线y＝f（x）切于点（x1，y1），则x12﹣ln（2x1）＝3．
【分析】设公切线与g（x）＝lnx切于（x2，lnx2），分别求出曲线f（x）在（x1，y1）处的切线方程与g（x）在（x2，lnx2）处的切线方程，再由斜率相等及切线在y轴上的截距相等列式求解．
【解答】解：设公切线与g（x）＝lnx切于（x2，lnx2），
由f′（x）＝3x，g′（x）＝，
则曲线f（x）在（x1，y6）处的切线方程为，
即，
曲线g（x）在（x6，lnx2）处的切线方程为，
∴，得x12﹣ln（2x1）＝5．
故答案为：3．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
16．（5分）在数列{a n}中，，其前n项和为S n，用符号[x]表示不超过x的最
大整数．当[S1]+[S2]+…+[S n]＝42时，正整数n为8．
【分析】直接利用数列的通项公式的变换，裂项相消法的应用和数列的取整问题的应用求出结果．
【解答】解：数列{a n}中，＝，
所以＝，
所以[S1]，＝16]＝2，
当n≥3时，[S n]＝n+2，
所以[S1]+[S2]+…+[S n]＝42，
即8+2+4+…+（n+3）＝42，
所以，
解得n＝8．
故答案为：6．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的变换，裂项相消法，数列的取整问题，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答题卷的相应区域答题.）
17．（12分）2020年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感染最有效的方式．在家中适当锻炼，合理休息，抵抗病毒．某小区为了调查“宅”
家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，其频率分布直方图如图所示：（1）求a的值，并估计这100位居民锻炼时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）小邱是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家7天的锻炼时长：
序号n1234567锻炼时长m（单位：分钟）12151218253134
（Ⅰ）根据数据求m关于n的线性回归方程；
（Ⅱ）若（是（1）中的平均值），则当天被称为“有效运动日”．估计小邱
“宅”家第8天是否是“有效运动日”？
参考数据：．
【分析】（1）利用频率分布直方图概率和为1，求解a，然后求解平均值．
（2）（Ⅰ）求出样本中心坐标，回归直线方程的系数，然后求解回归直线方程即可．（Ⅱ）当n＝8时，求出预报值，得到残差，然后推出结果即可．
【解答】解：（1）∵（0.005+0.012+a+5.035+0.015+0.003）×10＝7，∴a＝0.03，
0.003×10＝30.3（分钟）．
（2）（Ⅰ）由数据可得：＝＝2，＝，
，，
，∴＝，
∴＝．
∴m关于n的线性回归方程．
（Ⅱ）当n＝8时，，
∵|36.86﹣30.3|≥6，
所以估计小邱“宅”家第8天是“有效运动日”．
【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求角B的大小；
（2）若BD为AC边上的高，若，求BD的最大值．
【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式，可得，结合0＜B＜π，可求B的值．
（2）利用三角形的面积公式可求，由余弦定理，基本不等式可求ac的最大值，进而即可求解BD的最大值．
【解答】解：（1）因为，
由正弦定理，得，
由sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C，得，
因为0＜C＜π，
所以sin C≠0，
所以，
所以，
又0＜B＜π，
得．
（2）因为，
所以，
由余弦定理及，得，
由基本不等式，得12＝a2+c2+ac≥7ac+ac＝3ac，
即ac≤4（当且仅当a＝c＝7时取等号），
所以，故当a＝c＝2时．
【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，点E为棱PC的中点．
（1）证明：BE∥平面P AD；
（2）求直线BE与平面P AC所成角的大小．
【分析】（1）取PD中点G，连结AG，EG，证明四边形ABEG是平行四边形，推出BE ∥AG，即可证明BE∥平面P AD．
（2）作BH⊥AC，交AC于点H，连接EH．说明BH⊥P A，证明BH⊥平面P AC，说明∠BEH为直线BE与平面P AC所成的角．然后求解直线BE与平面P AC所成的角．【解答】（1）证明：取PD中点G，连结AG，
∵E是PC的中点，∴EG∥CD，
∴EG∥AB，且EG＝AB，
∴四边形ABEG是平行四边形，
∴BE∥AG，
∵BE⊄平面P AD，AG⊂平面P AG，
∴BE∥平面P AD．
（2）解：在平面ABCD中，作BH⊥AC，连接EH．
∵P A⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，
又∵BH⊥AC，AC⊂平面P AC，∴BH⊥平面P AC，
∴∠BEH为直线BE与平面P AC所成的角．
在△P AD中，AG＝，
∴BE＝AG＝，
又∵B点到直线AC的距离是D点到直线AC距离的．
∴BH＝，∴sin∠BEH＝，
∴直线BE与平面P AC所成的角为．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
20．（12分）已知函数，g（x）＝xlnx．
（1）当m＝0时，求f（x）的最小值；
（2）函数h（x）＝f（x）+mg（x），证明：函数h（x）在（，e）上有两个零点．【分析】（1）把m＝0代入，先对函数求导，然后结合导数研究函数的单调性，进而可求函数的最小值；
（2）先利用h（x）研究h（x）的单调性，然后结合函数的性质及零点判定定理可证．【解答】（1）解：当，x∈（8，，
当x＞1时，f′（x）＞0，f′（x）＜4
可知f（x）在（0，1）上单调递减，+∞）上单调递增，
所以．
（2）证明：，，
因为m＞0，，所以h′（x）在（6，
又因为h′（1）＝0，所以当0＜x＜6时，当x≥1时，
所以h（x）的最小值为，
因为，所以h（x）在1；
因为，知h（x）在（12，
所以h（x）在有两个零点．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数的最值，还考查了函数的性质及零点判定定理，属于中档题．
21．（12分）已知椭圆的离心率为e，若椭圆的长轴长等于圆M：
x2+y2﹣2x﹣15＝0的半径，且a是2e和b2的等差中项，A、B为椭圆C上任意两个关于x轴对称的点，椭圆的右准线与x轴的交点为P
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）试探求直线AE是否能过定点？若能，求出定点坐标；若不能
【分析】（1）由2e，a，b2成等差数列，结合圆M的半径为4，求解a，b，得到椭圆C 的方程．
（2）设B（x1，y1），E（x2，y2），A（x1，﹣y1），设BP直线的方程为y＝k（x﹣4），代入椭圆方程得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0，利用判别式以及韦达定理，推出AE直线的方程为，利用对称性说明AE直线过的定点必在x轴上，通过y＝0，求解x即可得到AE直线过的定点．
【解答】解：（1）由2e，a，b2成等差数列得5a＝2e+b2，
由题意得圆M的半径为3，所以a＝2，b7＝a2﹣c2＝5﹣c2，
所以4＝8+c﹣c2，得c＝1，b6＝3，所以椭圆C的方程为．
（2）设B（x1，y1），E（x3，y2），A（x1，﹣y3），
∵，
∴P（5，0），
由题意知BP直线的斜率必存在，设BP直线的方程为y＝k（x﹣4），
代入椭圆方程得（6+4k2）x4﹣32k2x+64k2﹣12＝2，
由Δ＞0得．
由韦达定理得，
由题意得AE直线的斜率必存在，设AE直线的方程为，
由对称性易知AE直线过的定点必在x轴上，
则当y＝0时，＝
，
即在的条件下，0）．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线恒过定点问题，考查分析问题解决问题的哪里，是难题．
考生注意：请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：极坐标与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知点M（2，0），曲线C1的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系2的极坐标方程为θ＝θ0（ρ＞0），点Q是C1与C2的公共点．
（1）当时，求直线MQ的极坐标方程；
（2）当时，记直线MQ与曲线C1的另一个公共点为P，求|MP|•|MQ|的值．【分析】（1）化曲线C1的参数方程为普通方程，化曲线C2的极坐标方程为直角坐标方程，联立求得Q的坐标，得到MQ的直角坐标方程，进一步转化为极坐标方程；
（2）当时，求出Q坐标，得到MQ的参数方程，代入曲线C1的普通方程，化为关于t的一元二次方程，利用t的几何意义及根与系数的关系求解|MP|•|MQ|的值．【解答】解：（1）由曲线C1的参数方程为（t为参数），
消去参数t，可得曲线C1的普通方程是x2+y2＝1，
当时，曲线C2的直角坐标方程为y＝（x＞0），
代入x2+y6＝1，解得点Q的坐标为，
直线MQ的直角坐标方程为，整理得，
∴直线MQ的极坐标方程为；
（2）当时，曲线C2的直角坐标方程为y＝﹣（x＜0），
代入x2+y6＝1，解得点Q的坐标为，
直线MQ的参数方程为（t为参数），
代入x3+y2＝1并化简，得，
设它的两根为t1，t3，则|MP|⋅|MQ|＝|t1t2|＝3．
【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣|+|2x+1|（x）最小值为k．
（1）求k的值；
（2）若a，b，c为正数，且（）2+（）2+（）2＝1．求证：
≥．
【分析】（1）利用绝对值三角不等式可得f（x）≥，从而求出f（x）的最小值k；
（2）根据条件，利用分析法证明成立即可．【解答】解：（1）∵
＝
当且仅当，即取等号，
∴f（x）最小值为k＝2．
（2）证明：由（1）可得a2+b2+c4＝4，
要证，
只需证，
∵2（b2+c4）≥（b+c）2，∴，
同理可得；，
∴，
∴，
即原不等式成立．
【点评】本题考查了绝对值三角不等式和利用分析法证明不等式，考查了转化思想，属中档题．。