2021-2022学年通州区九年级第一学期数学期末测试参考答案

通州区2021-2022学年第一学期九年级期末质量检测
数学试卷参考示例及评分标准
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9. 50︒ 10. 5 11. 6 12. 4 13. 12 14. 2 15. 2 16.①②④
三、解答题（本题共68分，第17～18题，每小题5分，第19～23题，每小题6分，第24～27题，每小题7
分）
17. 解：∵二次函数2
y x mx n =++的图象经过点A （0，1），B （3，4）； ∴1
934
n m n =⎧⎨
++=⎩ ………………… 2分
解得：2
1
m n =-⎧⎨
=⎩. ………………… 3分
∴2
21y x x =-+ 当 2
121
x -=-
=⨯ ， ………………… 4分
∴2
12110y =-⨯+= ………………… 5分 ∴顶点的坐标为（1，0）.
18．解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5， ∴13AB ===， ………………… 2分
∴5
sin 13BC A AB =
=， ………………… 3分 12
cos 13AC A AB ==， ………………… 4分
5
tan 12
BC A AC ==． ………………… 5分
19．解：（1）作图痕迹正确：
………………… 2分
（2） ∵40ABC ∠=︒，
∴140MBC ∠=︒，
N
M
D C B
A
∵BD 平分∠MBC ， ∴1
702
MBD MBC ∠=
⨯∠=︒ ， ………………… 3分 ∵MBD ∠是△ADB 的一个外角，
∴703040ADB MBD A ∠=∠-∠=︒-︒=︒， ………………… 4分 ∴ABC ADB ∠=∠. ………………… 5分 ∵A A ∠=∠，
∴△ABC ∽△ADB ． ………………… 6分 20．解：（1）二次函数图象的对称轴为直线4
221
x -=-
=⨯， ………………… 1分 ∵A ，B 两点在x 轴上（点A 在点B 的左侧），且AB =2，
∴A （1，0），B （3，0） ………………… 2分 把点（1，0）代入2
4y x x m =-+中， ∴2
1410m -⨯+=，
∴3m =. ………………… 3分 （2）∵对称轴为直线2x =，
∴ 2
2424y m m =-⨯+=-，
∴ 二次函数2
4y x x m =-+图象顶点坐标为（2，4m -）， ………………… 4分 ∵二次函数图象的开口方向向上，
∴二次函数2
4y x x m =-+图象有最低点，
∵若对于每一个x 值，它所对应的函数值都不小于1，
∴41m -≥， ………………… 5分
∴5m ≥. ………………… 6分 21 . （1）作图正确；
………………… 4分
（2）∴∠ACB ＝
1
2
∠AOB （同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）． …………… 5分
∴AC =BC （线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）． …………… 6分 22. 证明：∵AB 为⊙O 的直径，点E 是弦CD 的中点，
∴AB ⊥CD ， ………………… 1分
∴AD AC =， ………………… 2分 ∴B F ∠=∠， ………………… 3分 ∵CF ∥BD ，
∴AGF B ∠=∠， ………………… 4分 ∴AGF F ∠=∠， ………………… 5分 ∴AG AF =. ………………… 6分 23. 解：（1）当3a =时，
二次函数表达式为()()2
3143y x x x x =--=-+，
∴对称轴为直线4
221
x -=-
=⨯， ………………… 1分 ∵ P （1-，b ），Q （m ，b ）两点在该二次函数图象上，
∴()221m -=--； ………………… 2分 ∴5m =. ………………… 3分 （2）a 的取值范围是1a <-，或2a >或1a =. ………………… 6分 24．（1）证明：连接OC ， ∵CE 是⊙O 的切线，
∴∠OCE ＝90︒， ………………… 1分 ∵AC AC =，∠ABC ＝45︒，
∴∠AOC ＝2∠ABC ＝90︒， ………………… 2分 ∵∠AOC +∠OCE ＝180︒，
∴AD ∥EC ； ………………… 3分 （2）解：过点A 作AF ⊥EC 交EC 于点F ， ∵∠AOC ＝90︒，OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝45︒， ∵∠BAC ＝75︒，
∴∠BAD ＝754530BAC OAC ∠-∠=︒-︒=︒， ………………… 4分 ∵AD ∥EC ，
∴30E BAD ∠=∠=︒，
∵∠OCE ＝90︒，∠AOC ＝90︒，OA ＝OC ，
∴四边形OAFC 是正方形，
………………… 5分 ∴AF OA = ∵6AD =，
∴1
32
AF AD ==， ………………… 6分
在Rt △AFE 中，
∴sin AF
E AE
=，
∴3
6sin sin 30AF AE E ===︒
. ………………… 7分
25. 解：（1）∵令0x =，
∴2
00y a b a a =⋅+⋅+=， ∴点A 的坐标为（0，a ）， ………………… 1分 ∵将点A 向右平移4个单位长度，得到点B ，
∴点B 的坐标为（4，a ）. ………………… 2分 （2）2x = ………………… 3分 （3）∵对称轴是直线2x =，01m <<，
∴点（1m -，1y ），（m ，2y ）在对称轴2x =的左侧，
点（2m +，3y ）在对称轴2x =的右侧， ………………… 4分 ∵01m <<， ∴10m -<-<，
∴()2213m <--<， ………………… 5分 122m <-<， ………………… 6分 0221m <+-< ∵0a <，
∴321y y y >>. ………………… 7分 26．（1）解： ∵∠BOE ＝∠BAO ，OBE ABO ∠=∠，
∴△OBE ∽△ABO ， ………………… 1分
∴
BE OB
OB AB
=， ………………… 2分 ∵AB ＝，E 为AB 的中点， ∴BE =
=， ∴2OB =（舍负）. ………………… 3分 （2）线段OE 和CD 的数量关系是1
2
OE CD =
. 证明：延长OE 到点F ，使得EF OE =，连接AF ，FB . ………………… 4分 ∵AE BE =
∴四边形AFBO 是平行四边形，
…………………
5分 ∴AF
∥OB ，AF OB =， ∴180FAO AOB ∠+∠=︒， ∵∠AOB +∠COD ＝180︒， ∴FAO COD ∠=∠， ∵OB ＝OC ， ∴AF OC =， 在△AOF 和△DOC 中，
OA OD FAO COD AF OC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AOF ≌△DOC ， ………………… 6分 ∴OF CD = ∴1
2
OE CD =
. ………………… 7分 证法二：延长AO 到点H ，使得OH OA =，连接BH . 或延长BO 到点G ，使得OG OB =，连接AG .
27. 解：（1）d （A ，⊙O ）＝，d （B ，⊙O ）＝2- ………………… 2分
（2） 过点O 作OD ⊥AB 于点D .
在Rt △AOB 中， ∵tan 2
OB BAO OA ∠=
==， ∴60BAO ∠=︒； ………………… 3分
在Rt △ADO 中，
sin DO
BAO OA
∠=
2
DO =
∴DO =
4分
∵d （⊙O ，线段AB ）=0，
∴ r r ≤ ………………… 5分 （3）42m -<<- ………………… 7分。