2015届北京市昌平区高三上学期期末质量抽测理科数学试卷(带解析)

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2015届北京市昌平区高三上学期期末质量抽测理科数学试卷
（带解析）
试卷副标题
考试范围：xxx ；考试时间：157分钟；命题人：xxx
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项．
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题（题型注释）
1、已知双曲线的离心率是2，则以该双曲线的右
焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是 ．
2、设复数
，则
．
3、某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
4、在 中，角对应的边分别为．若则“”
是“
”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5、在2014年APEC 会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是
A ．32人
B ．35人
C ．40人
D ．45 人
6、某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主)视图是等腰直角三角形,侧（左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是
A ．
B ．
C ．
D ．
7、执行如图所示的程序框图，输出的值是
A ．
B ．
C ．
D ．
8、已知
，则下列不等式成立的是
A ．
B ．
C ．
D ．
9、已知集合，，则等于
A ．
B ．
C ．
D ．
10、已知直线m 和平面α，β，则下列四个命题中正确的是 A ．若，，则 B ．若，，则 C ．若，，则
D ．若
，
，则
第II 卷（非选择题）
二、填空题（题型注释）
11、已知函数，有如下结论：
①
，有
；②
，有
；
③，有；
④，有．
其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）
12、平面向量与的夹角为
，
，
，则
= ．
13、若，满足约束条件 则
的最大值是 ．
14、
的展开式中，
的系数是 ．（用数字作答)
三、解答题（题型注释）
15、（本小题满分13分）已知数列满足，，
数列
的前n 项和为,
，其中
．
（1）求
的值；
（2）证明：数列
为等比数列；
（3）是否存在，使得 若存在，求出所有的n 的值；若不
存在，请说明理由．
16、（本小题满分14分）已知椭圆C : , 经过点P ，离
心率是．
（1）求椭圆C 的方程； （2）设直线与椭圆交于
两点，且以
为直径的圆过椭圆右顶点
，求证：
直线l 恒过定点．
17、（本小题满分13分）已知函数f （x ）＝ln x －a 2x 2＋ax （a ∈)．
（1）当a ＝1时，求函数f （x)的单调区间；
（2）若函数f （x)在区间（1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围．
18、（本小题满分14分）如图，
垂直于梯形
所在的平面，
．
为中点，， 四边形
为矩形，线段
交
于点N ．
（1）求证：// 平面
； （2）求二面角
的大小；
（3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存
在，请求出
的长;若不存在，请说明理由．
19、（本小题满分13分）从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取5名同学的成绩，得到如下茎叶图．已知甲班样本成绩的中位数为13, 乙班样本成绩的平均数为16．
（1）求
的值；
（2）试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低（只需写出结论)； （3）从两组样本成绩中分别去掉一个最低分和一个最高分，再从两组
剩余成绩中分别随机选取一个成绩，求这两个成绩的和的分布列及数学期望．
（注：方差，其中为，， ,的
平均数．）
20、（本小题满分13分）已知函数．
（1）求函数
的最小正周期；
（2）当时，求函数
的最大值及取得最大值时的值．
参考答案1、；
2、
3、A
4、A
5、B
6、D
7、B
8、D
9、C
10、C
11、②③④
12、2
13、2
14、40
15、（1）；（2）详见解析；（3）存在唯一的，使得成立．
16、（1）；（2）详见解析；
17、（1）函数的单调递增区间是，单调递减区间是;
（2）实数a的取值范围是．
18、（1）详见解析；（2）（3）在线段上存在一点，且
19、（1），；（2）乙班的水平高；（3）详见解析．
20、（1）; （2）当时，即时，所以有最大值．【解析】
1、试题分析：由题设知：，所以，，双曲线的标准方程为：
其右焦点坐标为，渐近线方程为：
所以焦点到渐近线的距离为：
以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是．
所以答案应填：；．
考点：1、双曲线的标准方程与简单几何性质；2、圆的标准方程．
2、试题分析：因为，所以，所以答案应填：．考点：复数的概念．
3、试题分析：若甲说的是真话，则乙、丙、丁都是说假话，所以丁偷了珠宝，所以，丁说的也是真话，与只有一个人说真话相矛盾，所以甲说的假话，偷珠宝的人是甲．考点：推理与证明．
4、试题分析：由，所以，，所以
为直角三角形，且，所以“”是
“”的充分条件；
另一方面：由，根据正弦定理得：
所以，或，所以“”不是“”的必要条件．
考点：1、解三角形；2、充要条件．
5、试题分析：设旅行团的人数是，旅行社获得的机票利润为，根据题意：
当时，的最大值为：
当时，，所以当
时，有最大值12500．
综上，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是35．故选B．
考点：函数应用题．
6、试题分析：由三视图知：该几何体是一个底面边长为的正方形，高为2的四棱锥，所以
几何体的体积为：．故选D．
考点：1、三视图；2、空间几何体的体积．
7、试题分析：运行第一次：不成立；
运行第二次：不成立；
运行第三次：成立，输出的值8．故选B．
考点：循环结构．
8、试题分析：由，得：，所以，选项A,B,C均不正确；
因为函数为增函数，所以，故选D．
考点：1、不等式的性质；2、指数函数．
9、试题分析：因为，
所以，，故选C．
考点：集合的运算．
10、试题分析：
若，，则直线与平面相交，或直线在平面内，或直线与平面平行，所以选项A不正确；
若，，则直线与平面相交，或直线在平面内，所以选项B不正确．
若，，则或与相交，所以选项D不正确；
故选C．
考点：空间直线与平面的位置关系．
11、试题分析：因为：，
所以，所以①不正确，②正确；
因为，所以函数在上为增函数，所以③正确；
又因为，所以在是增函数且函数图象上升的越来
越快，呈下凸状态，所以，有，所以④正确．所
以答案应填：②③④．
考点：1、函数的单调性与奇偶性；2、导数在研究函数性质中的应用．3、导数的几何意义与数形结合的思想．
12、试题分析：因为，所以，所以
所以
，所以答案应填：2．
考点：平面向量的数量积．
13、试题分析：不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，
由得，当变化时，它表示一组经过该区域的平行直线，直线
的斜率为-2，在轴上的截距为，且直线在轴上的截距越大越大，由图可知，当直线经过点是，直线在轴上的截距最大，所以，所以答案应填：
2．
考点：简单的线性规划．
14、试题分析：因为，所以，，所以答案应填：40．
考点：二项式定理．
15、试题分析：（1）由，根据递推公式可求得，所以有．（2）由题设知：，由此可证数列为等比数列；
（3）由（2）知，所以．
由于，则令
由题设中的递推公式易得：由此求出求出的表达式，将原问题转化为函数方程问题．
试题解析：解：（1）因为，所以．
（或者根据已知，可得．）3分
（2）证明：,
，故数列是首项为1，公比为－2的等比数列． 7分（3）由（2）知，
所以．
设，
又
．
则由，得，
设，
则，
，所以在上单调递增，
，即，所以在上单调递增
又因为，
所以仅存在唯一的，使得成立．13分
考点：1、数列的递推公式；2、等差数列与等比数列；3、用函数方程的思想解决数列问题．
16、试题分析：（1）由椭圆过点P得，由离心率是得,另外结合列方程组即可确定的值从而得到椭圆C的方程；
（2）设，，直线的方程为，或，将直线方程与椭圆方程联立消去一个变量，得到关于或的一元二次方程，结合一元二次方程根的判别式与韦达定理以及平面向量的数量积确定的关系，从而找出定点坐标．注意不论直线的方程设为哪一种形式都要先考察它与坐标轴平行的特殊情况．
试题解析：解：（1）由，解得，
所以椭圆C的方程是．．5分
（2）方法一
（1）由题意可知，直线的斜率为0时，不合题意．
（2)不妨设直线的方程为．
由消去得． 7分
设，，则有①, ② 8分
因为以为直径的圆过点，所以．
由，得．
将代入上式，
得．③ 12分
将①②代入③，得，
解得或（舍）．
综上，直线经过定点 14分
方法二
证明：
（1）当不存在时，易得此直线恒过点． 7分
（2）当存在时．设直线，，，．由，可得．
①
．② 9分
由题意可知
,
可得． 10分
整理得③
把①②代入③整理得
由题意可知
解得
（1）当，直线过定点（2,0）不符合题意，舍掉．12分（2），即，直线过定点，经检验符合题意．
综上所述，直线过定点 14分
考点：1、椭圆的标准方程与简单几何性质；2、直线与圆锥曲线的位置关系综合问题．17、试题分析：（1）当时，，定义域是．首先求得：
，再利用导数的符号判断函数的单调性并求单调区间；
（2）首先求出函数的导数，因为函数f （x)在区间（1，＋
∞)上是减函数，所以所以在上恒成立；转化为二次函数、二次方程与二次不等式问题．
试题解析：解：（Ⅰ）当时，，定义域是．
，
由，解得；由，解得；
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是． 5分
（2）（法一）
因为函数在区间上是减函数，所以在上恒成立，
则，即在上恒成立．7分
当时，，所以不成立． 9分
当时，，，对称轴．
，即，解得
所以实数a的取值范围是． 13分
（法二），定义域是．
①当时，在区间上是增函数，所以不成立．8分
②时，
令，即，则， 9分
（1）当时，由，解得，
所以函数的单调递减区间是．
因为函数在区间上是减函数，+所以，解得． 11分（2）当时，由，解得，
所以函数的单调递减区间是．
因为函数在区间上是减函数，所以，解得．
综上实数a的取值范围是． 13分
考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、二次函数、二次方程与一元二次不等式综合问题；3、等价转化的思想与数形结合的思想．
18、试题分析：（1）连接在中，由题设知分别为中点，所以
由此可证// 平面；
（2）如图以为原点，分别以所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系
利用空间向量的数量积求出平面ABC和平面PBC的法向量的坐标，由法向量的夹角公式求出求二面角的大小；
（3）首先假设存在点Q满足条件．由设
，再利用向量的夹角公式确定的值．
试题解析：解：（Ⅰ)连接在中，分别为中点，所以
因为
所以 4分
（2）如图以为原点，分别以所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系
5分
则
设平面的法向量为则
即解得
令，得所以7分
因为平
所以，
由图可知二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为 9分
（3）设存在点Q满足条件．
由设，
整理得，11分
因为直线与平面所成角的大小为，
所以， 13分
则知，即点与E点重合．
故在线段上存在一点，且 14分
考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、空间向量在解决立体几何问题中的应用．
19、试题分析：（1）利用平均数的公式列方程分别求的值，利用中位数的概念求；
（2）通过比较两组数据的平均值和方差来分析两组整体水平的高低；
（3）根据（1）的结果，从甲、乙两班测试中分别去掉一个最低分和最高分，则甲班：12，13，20，乙班：15，18，18．剩余成绩中分别随机选取一个成绩，共有九个不同结
果，每个结果发生的概率均为，但两个成绩的和有27，28，30，31，35，38六个
可能的取值，利用古典概型求出取每个可能值的概率，从而得到的分布列及数学期望．
试题解析：解：（1）经计算得：甲班数据依次为，所以中位数为
，得；，得．4分（2）乙班整体水平高．
或解：，
，
，
．
因为，所以乙班的水平高． 7分
（3）从甲、乙两班测试中分别去掉一个最低分和最高分，则甲班：12，13，20，
乙班：15，18，18．
这两班测试成绩的和为，则，
所以，，，，，
．
所以的分布列为
所以的期望为
13分
考点：1、茎叶图；2、平均数和中位数的概念；3、离散型随机变量的分布列与数学期望．
20、试题分析：（1）首先利用三角函数二倍角公式及两角和与差的三角函数公式将函
数的解析式化成只含一个角的三角函数，然后利用正弦函数的性质求它的最小正周期;
（2）由（1）得：，利用求出的范围，进
而利用正弦函数的性质求出函数的最大值及取得最大值时的值．
试题解析：解：（Ⅰ）因为
5分
所以，故的最小正周期为． 7分（2）因为，所以．9分当时，即时， 11分
所以有最大值． 13分
考点：1、三角函数的性质；2、三角函数的恒等变形．。