八年级数学上册141整式的乘法1414整式的乘法4教案新人教版

课题：14.1.4整式的乘法（4）
——同底数幂的除法
教学目标：
理解同底数幂的除法法则．并能运用同底数幂的除法法则解决一些实际问题.
重点：
正确理解同底数幂的除法法则．
难点：
确理解和应用同底数幂的除法法则解决实际问题．
教学流程：
一、知识回顾
1.说一说同底数幂的乘法法则？
答案：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
(,m n m n a a a m n +=都是正整数）
2.填空
58712392(1)()22;(2)10()10(3)(4)().m m a a x x +⋅=⋅=⨯=⋅= ；
（）；
答案：23；105；a 6；x 2
二、探究
探究：
587123923562(1)()22;(2)10()10(3)(4210)().m m a a x a x x +⋅=⋅=⨯=⋅=　；
（）；
请根据上面的式子填空：
85()127()93()2()(1)22()2;(2)1010()10;
(3)();(4)().m m a a a x x x +÷==÷==÷==÷==
答案：（1）23；8-5；（2）105；12-7；（3）a 6；9-6；（4）x 2；m+2-m
追问1：你能得出m n a a ÷（a≠0）的结果吗？
答案：m n a -
追问2：为什么强调a≠0呢？
归纳：同底数幂除法法则：
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
m n m n a a a -÷=（a ≠0， m ，n 为正整数，m ＞n ）
想一想：(0)m m a a a ÷≠的结果是多少呢？
答案：01(0)a a =≠
归纳：任何不等于0的数的0次幂都等于1.
练习：
1.计算；8252(1)(2)()().x x ab ab ÷÷；
解：82826(1)x x x x -÷==
5252333(2)()()()()ab ab ab ab a b -÷===
2.下面的计算对不对？若不对，应当怎样改正？
842(1)x x x ÷=； 33(2)a a a ÷=；
523(3)y y y ÷=； 422(4).c c c -÷-=-（）（）　
答案：
（1）；×；84844x x x x -÷==
（2）；×；3312a a a a -÷==
（3）；√；
（4）×；4222()()()c c c c -÷-=-=
3．下列各式的计算中一定正确的是( )
A ．(3x －2)0＝1
B ．π0＝0
C ．(a 2－1)0＝1
D ．(x 2＋2)0＝1 答案：D
三、应用提高
已知5m ＝6，5n ＝3，求5m －n 的值.
解：5m －n
＝5m ÷5n
＝6÷3
＝2.
逆用公式：a m －n ＝a m ÷ a n （a≠0， m ，n 为正整数，m ＞n ）
四、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.说一说同底数幂相除的运算法则？
2.在计算中应注意哪些问题？
五、达标测评
1．下列运算正确的是( )
A ．a ＋2a ＝3a 2
B ．3a 3·2a 2＝6a 6
C ．a 8÷a 2＝a 4
D ．(2a)3＝8a 3
答案：D
2．若a 6m ÷a x ＝a 2m ，则x 的值是( )
A．4m B．3m C．3 D．2m 答案：A
3．若(－5)3m＋9＝1，则m＝_______；当x______时，(x－4)0＝1.
答案：－3；≠4
4．若(x－5)x＝1，则整数x的值可能是____________.
答案：0或4或6
5.计算：
(1)(－a)6÷(－a)2； (2)(－ab)5÷(－ab)3；(3)(x－y)5÷(y－x)2.
解: (1)原式＝(－a)4＝a4.
(2)原式＝(－ab)2＝a2b2.
(3)原式＝(x－y)5÷(x－y)2＝(x－y)3.
六、布置作业
教材104页练习题第1题．
2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．若分式33x x -+的值为0，则x 的值为( ) A ．3
B ．3-
C ．3或3-
D ．0 2．若分式12x +在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ＞﹣2
B ．x ＜﹣2
C ．x=﹣2
D ．x≠﹣2 3．如果关于x 的一次函数y ＝（a+1）x+（a ﹣4）的图象不经过第二象限，且关于x 的分式方程11222ax x x
-+=--有整数解，那么整数a 值不可能是（ ） A ．0 B ．1 C ．3 D ．4
4．若2019个数1a 、2a 、3a 、…、2019a 满足下列条件：12a =，215a a =-+，325a a =-+，…，201920185a a =-+，则1232019...a a a a ++++（ ）
A ．-5047
B ．-5045
C ．-5040
D ．-5051
5．一个正n 边形的每一个外角都是45°，则n ＝（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
6．与5可以合并的二次根式是（ ）
A ．10
B ．15
C ．20
D ．25
7．已知正比例函数()0y kx k =≠的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y x k =+的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 8．下列二次概式中，最简二次根式是（ ）
A 8
B 0.5
C 3
D 12
9．已知点（-2，y 1），（-1，y 2），（1，y 3）都在直线y=－3x ＋b 上，则y 1，y 2，y 3的值的大小关系是（ ）
A ．123y y y <<
B ．123y y y >>
C ．312y y y >>
D ．312y y y <<
10．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm ，则菱形的面积为( )
A ．3cm 2
B ．4 cm 2
C ．cm 2
D ．2cm 2
二、填空题
11．直线y=x+1与y=-x+7分别与x 轴交于A 、B 两点，两直线相交于点C ，则△ABC 的面积为___． 12．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝70°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连接DF ．则∠CDF 等于_____．
13．在平面直角坐标系中，直线l ：1y x =-与x 轴交于点1A ，如图所示依次作正方形111A B C O 、
正方形2221A B C C 、…、正方形1n n n n A B C C -，使得点123A A A 、、、 …在直线l 上，点123C C C 、、、
…在y 轴正半轴上，则点n B 的横坐标是__________________。

14．如图，正方形ABCD 中，点E 在DC 边上，2,1DE EC ==，把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线．．BC 上的F 点，则F C 、两点间的距离为___________．
15．若关于x 的方程232
x a x +=+的解是负数，则a 的取值范围是_______．
16．若1x =，1y =，则22x y -=___________.
17有意义，则自变量x 的取值范围是___．
三、解答题
18．定义：对于给定的两个函数,任取自变量x 的一个值,当x<0时,它们对应的函数值互为相反数;当x ⩾0时,它们对应的函数值相等,我们称这样的两个函数互为相关函数。

例如：一次函数y=x−1,
它们的相关函数为y=()(1010)x x x x -⎧⎪+<-⎪⎨⎩
. (1)已知点A(−5,8)在一次函数y=ax−3的相关函数的图象上，求a 的值；
(2)已知二次函数y=−x 2+4x−
12 . ①当点B(m,32
)在这个函数的相关函数的图象上时，求m 的值； ②当−3⩽x ⩽3时,求函数y=−x 2+4x−12
的相关函数的最大值和最小值. 19．（6分）先化简，再求值：22214()244a a a a a a a a
+--+÷--+，其中 a 满足2410a a --=. 20．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)k y x x
=>的图象与直线2y x =-交于点A(3,m).
（1）求k 、m 的值；
（2）已知点P(n ，n)(n>0)，过点P 作平行于x 轴的直线，交直线y=x-2于点M ，过点P 作平行于
y 轴的直线，交函数(0)k y x x
=> 的图象于点N. ①当n=1时，判断线段PM 与PN 的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM ，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围.
21．（6分）如图，ABC 为锐角三角形，AD 是BC 边上的高，正方形EFGH 的一边FG 在BC 上，顶点E 、H 分别在AB 、AC 上．已知40cm BC =，30cm AD =．
（1）求证：AEH ABC ∽△△；
（2）求这个正方形的面积．
22．（8分）如图，点C 在EF 上，90AEF EFB ACB ∠=∠=∠=︒，2AC =，3BC =，EF BF =，求EF 的长.
23．（8分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =30cm ，BC =40cm ．点P 从点A 出发，以5cm /s 的速度沿AC 向终点C 匀速移动．过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为点Q ，以PQ 为边作正方形PQMN ，点M 在AB 边上，连接CN ．设点P 移动的时间为t （s ）．
（1）PQ=______；（用含t的代数式表示）
（2）当点N分别满足下列条件时，求出相应的t的值；①点C，N，M在同一条直线上；②点N 落在BC边上；
（3）当△PCN为等腰三角形时，求t的值．
24．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交
AB，AC于点M和N，又分别以M、N为圆心，大于1
2
MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连
结AP并延长交BC于点D．
求证：（1）点D在AB的中垂线上．
（2）当CD=2时，求△ABC的面积．
25．（10分）如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F，连接DE、DF．
(1)试判定四边形AEDF的形状，并证明你的结论．
(2)若DE＝13，EF＝10，求AD的长．
(3)△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．A
【解析】
【分析】
根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】
由分式的值为零的条件得x-1=2，且x+1≠2，
解得x=1．
故选A．
【点睛】
本题考查了分式值为2的条件，具备两个条件：（1）分子为2；（2）分母不为2．这两个条件缺一不可．
2．D
【解析】
【分析】
直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
【详解】
∵代数式
1
2
x
在实数范围内有意义，
∴x+2≠0，
解得：x≠﹣2，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分母不为0时分式有意义是解题的关键．
3．B 【解析】【分析】
依据关于x 的一次函数y=（a+2）x+（a-2）的图象不经过第二象限的数，求得a 的取值范围，依据关于x 的分式方程有整数解，即可得到整数a 的取值．
【详解】
解：∵关于x 的一次函数y=（a+2）x+（a-2）的图象不经过第二象限，
∴a+2>0，a-2≤0,
解得-2＜a≤2． ∵
12ax x --+2=12x
-， ∴x=22a
-， ∵关于x 的分式方程12ax x --+2=12x -有整数解， ∴整数a=0，2，3，2，
∵a=2时，x=2是增根，
∴a=0，3，2
综上，可得，满足题意的a 的值有3个：0，3，2，
∴整数a 值不可能是2．
故选B ．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象与系数的关系以及分式方程的解．注意根据题意求得使得关于x 的分式方程有整数解，且关于x 的一次函数y=（a+2）x+（a-2）的图象不经过第二象限的a 的值是关键．
4．A
【解析】
【分析】
通过前面几个数的计算，根据数的变化可得出从第3个数开始，按-2，-3依次循环，按此规律即可得出1232019...a a a a ++++的值，
【详解】
解：依题意，得：12a =，
2257a =-+=-，
3752a =--+=-，
4253a =--+=-，
5352a =--+=-，
6253a =--+=-，
……
由上可知，这2019个数1232019...a a a a ，，
，，从第三个数开始按−2，−3依次循环， 故这2019个数中有1个2，1个−7，1009个−2，1008个−3，
∴1232019...a a a a ++++=2−7−2×1009−3×1008=−5047，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了规律型：数字的变化类，找到规律是解题的关键.
5．B
【解析】
【分析】
根据正多边形的边数=360°÷每一个外角的度数，进行计算即可得解．
【详解】
解：n=360°÷45°=1．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了多边形的外角，熟记正多边形的边数、每一个外角的度数、以及外角和360°三者之间的关系是解题的关键．
6．C
【解析】
【分析】
将各选项中的二次根式化简，被开方数是5的根式即为正确答案．
【详解】
解：A.
B.
C.
D.=5
故选C ．
【点睛】
本题考查了同类二次根式的定义，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
7．B
【解析】
【分析】
根据自正比例函数的性质得到k<0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=x+k 的图象经过第
一、三象限，且与y 轴的负半轴相交．
【详解】 解：正比例函()0y kx k =≠的函数值y 随x 的增大而减小，
0k ∴<，
一次函数y x k =+的一次项系数大于0，常数项小于0，
∴一次函数y x k =+的图象经过第一、三象限，且与y 轴的负半轴相交．
故选：B ．
【点睛】
本题考查正比例函数的性质和一次函数的图象，解题的关键是熟练掌握正比例函数的性质和一次函数的图象.
8．C
【解析】
【分析】
根据最简二次根式的定义即可求解.
【详解】
A. ，故错误；
B.
2根号里含有小数，故错误；
C. 3为最简二次根式，正确；
D. 12=23，故错误；
故选C.
【点睛】
此题主要考查最简二次根式定义，解题的关键是熟知最简二次根式的特点.
9．B
【解析】
【分析】
根据一次函数的增减性进行判断.
【详解】
解：对y=－3x ＋b ，因为k=－3<0，所以y 随x 的增大而减小，因为―2＜―1＜1，所以123y y y >>，故选B.
【点睛】
本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键.
10．D
【解析】
【分析】
由四边形ABCD 是菱形，可得菱形的四条边都相等AB=BC=CD=AD ，菱形的对角线互相平分且
相等即AC ⊥BD ，OA=OC ，OB=OD ，又因为菱形的边长和一条对角线的长均为2，易求得OB=1，
则可得AC 的值，根据菱形的面积等于积的一半，即可求得菱形的面积．
【详解】
解：根据题意画出图形，如图所示：
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=2cm ，AC ⊥BD ，OA=OC ，OB=OD ，
又∵菱形的边长和一条对角线的长均为2，
∴AB=AD=BD=2，
∴OB=1，
∴OA==，
∴AC=2，
∴菱形的面积为2，
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．
二、填空题
11．16
【解析】
【详解】
在y=x+1中，令y=0，得x+1=0，
解得x=−1，
∴点A的坐标为(−1,0)，
在y=−x+7中，令y=0，得−x+7=0，
解得x=7，
∴点B的坐标为(7,0)，
联立两直线解析式得
1
7
y x
y x
=+
⎧
⎨
=-+
⎩
，
解得
3
4 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴点C的坐标为(3,4)；即点C的纵坐标为4 ∵AB=7−(−1)=8，
∴S△ABC =1
2
×8×4=16.
故答案为16.
12．75°
【解析】
【分析】
根据菱形的性质求出∠ADC=110°，再根据垂直平分线的性质得出AF=DF，从而计算出∠CDF的值．【详解】
解：连接BD，BF，
∵∠BAD=70°，
∴∠ADC=110°，
又∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，
∴AF=BF，BF=DF，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA=35°，
∴∠CDF=110°-35°=75°．
故答案为75°．
【点睛】
此题主要考查线段的垂直平分线的性质和菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD，BF，这是解答本题的突破口．
13．1
2n
【解析】
【分析】
根据一次函数图象上点的坐标特征找出A1、A2、A3、A4的坐标，结合图形即可得所求点B n是线段C n A n+1的中点，由此即可得出点B n的坐标．
【详解】
∵观察，发现：A1（1，0），A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7），…，
∴A n（2n-1，2n-1-1）（n为正整数）．
观察图形可知：点B n是线段C n A n+1的中点，
∴点B n的坐标是（2n-1，2n-1）．
故答案为1
2n ．
【点睛】
此题考查一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标的变化，根据点的坐标的变化找出变化规律“A n（2n-1，2n-1-1）（n为正整数）”是解题的关键．
14．1或5
【解析】
【分析】
分两种情况：点F线段BC上时或在CB的延长线上时，根据正方形的性质及旋转的性质证明
△ABF≌△ADE得到BF=DE，即可求出答案.
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=AD=BC=CD=DE+CE=2+1=3，
由旋转得AF=AE,
∴△ABF≌△ADE，
∴BF=DE=2，
如图：当点F线段BC上时，CF=BC-BF=3-2=1，
当点F在CB延长线上时，CF=BC+BF=3+2=5，
故答案为：1或5.
【点睛】
此题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，正确理解题意分情况解题是关键.
15．6a <且4a ≠
【解析】
【分析】 把方程232
x a x +=+进行通分求出方程的解，再根据其解为负数，从而解出a 的范围． 【详解】 把方程232
x a x +=+移项通分得()232x a x +=+， 解得x ＝a−6， ∵方程232
x a x +=+的解是负数， ∴x ＝a−6＜0，
∴a ＜6，
当x ＝−2时，2×（−2）＋a ＝0，
∴a ＝1，
∴a 的取值范围是：a ＜6且a ≠1．
故答案为：a ＜6且a ≠1．
【点睛】
此题主要考查解方程和不等式，把方程和不等式联系起来，是一种常见的题型，比较简单．
16．【解析】
【分析】
首先根据平方差公式进行变换，然后直接代入，即可得解.
【详解】
解：根据平方差公式，可得
22x y -=()()x y x y +-
将1x =
，1y =，代入，得
原式=)
1111+=
故答案为【点睛】
此题主要考查平方差公式的运用，熟练掌握即可解题.
17．4x -
【解析】
【分析】
根据被开方数必须是非负数，可得答案．
【详解】
解：由题意，得
40x +，
解得4x -，
故答案为：4x -．
【点睛】
0)叫二次根式．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
三、解答题
18．（1）1；（2）①或；②最大值为
432 ,最小值为−12
. 【解析】
【分析】
（1）写出y=ax-3的相关函数，代入计算；
（2）①写出二次函数y=−x2+4x−1
2
的相关函数，代入计算；
②根据二次根式的最大值和最小值的求法解答．【详解】
(1)y=ax−3的相关函数y=
()
30
3()0
ax x
ax x
⎧-+<
-
⎪
⎨
⎪⎩
，
将A(−5,8)代入y=−ax+3得：5a+3=8，解得a=1；
(2)二次函数y=−x2+4x−1
2
的相关函数为y=
()
2
2
1
40
2
1
40
()
2
x x x
x x x
-
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
+<
-+-
⎪
⎩
，
①当m<0时,将B(m, 3
2
)代入y=x2-4x+
1
2
得m2-4m+13
=
22
，
解得：
(舍去),或
当m⩾0时,将B(m,3
2
)代入y=−x2+4x−
1
2
得：
−m2+4m−13
=
22
，
解得：
或
.
综上所述：
或
；
②当−3⩽x<0时, y=−x2+4x−1
2
，抛物线的对称轴为x=2，
此时y随x的增大而减小，
∴此时y的最大值为43
2
，
当0⩽x⩽3时,函数y=−x2+4x−1
2
，抛物线的对称轴为x=2，
当x=0有最小值,最小值为−1
2
,当x=2时,有最大值,最大值y=
7
2
，
综上所述,当−3⩽x⩽3时,函数y=−x2+4x−1
2
的相关函数的最大值为
43
2
,最小值为−
1
2
.
【点睛】
此题考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于将已知点
代入解析式.
19．21(2)a -，15
． 【解析】
【分析】
先进行分式混合运算，再由已知得出2(2)5a -=，代入原式进行计算即可．
【详解】
原式=221[](2)(2)4
a a a a a a a +-+⨯--- =2(2)(2)(1)(2)4
a a a a a a a a +-+-⨯-- =24(2)4a a a a a -⨯--=2
1(2)a -， 由a 满足2410a a --=得2(2)5a -=，故原式=
15． 【点睛】
本题考查了分式的混合运算——分式的化简求值，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解题的关键．
20． (1) k 的值为3，m 的值为1；（2）0<n≤1或n≥3.
【解析】
分析：（1）将A 点代入y=x-2中即可求出m 的值，然后将A 的坐标代入反比例函数中即可求出k 的值．
（2）①当n=1时，分别求出M 、N 两点的坐标即可求出PM 与PN 的关系；
②由题意可知：P 的坐标为（n ，n ），由于PN≥PM ，从而可知PN≥2，根据图象可求出n 的范围． 详解：（1）将A （3，m ）代入y=x-2，
∴m=3-2=1，
∴A （3，1），
将A （3，1）代入y=
k x ， ∴k=3×
1=3， m 的值为1.
（2）①当n=1时，P（1，1），令y=1，代入y=x-2，
x-2=1，
∴x=3，
∴M（3，1），
∴PM=2，
令x=1代入y=3
x
，
∴y=3，
∴N（1，3），
∴PN=2
∴PM=PN，
②P（n，n），
点P在直线y=x上，
过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x-2于点M，
M（n+2，n），
∴PM=2，
∵PN≥PM，
即PN≥2，
∴0＜n≤1或n≥3
点睛：本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型．
21．（1）见详解；（1）14400 49
【解析】
（1）根据EH ∥BC 即可证明．
（1）如图设AD 与EH 交于点M ，首先证明四边形EFDM 是矩形，设正方形边长为x ，再利用△AEH ∽△ABC ，得D EH BC AM A =，列出方程即可解决问题． 【详解】
（1）证明：∵四边形EFGH 是正方形，
∴EH ∥BC ，
∴∠AEH ＝∠B ，∠AHE ＝∠C ，
∴△AEH ∽△ABC ．
（1）解：如图设AD 与EH 交于点M ．
∵∠EFD ＝∠FEM ＝∠FDM ＝90°，
∴四边形EFDM 是矩形，
∴EF ＝DM ，设正方形EFGH 的边长为x ，
∵△AEH ∽△ABC ，
∴
D
EH BC AM A =， ∴304030
x x -=， ∴x ＝1207
， ∴x 1＝1440049， ∴正方形EFGH 的面积为
1440049cm 1． 【点睛】
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的相似比对于高的比，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．
2291010
【解析】
首先证明AEC CFB △∽△，得到23
AC EC CB FB ==，设EF BF x ==，于是得到2233EC FB x ==，13
CF x =.在Rt FBC △中，利用勾股定理可得结果. 【详解】
解：∵ 90AEF EFB ACB ∠=∠=∠=︒
∴∴∠ACE+∠BCF=∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠CAE=∠FBC ，
∴AEC CFB △∽△.
设EF BF x ==. ∴
23
AC EC CB FB ==. ∴2233EC FB x ==，13CF x =. 在Rt FBC △中，可得222133x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
.
解得，1x =2x =
所以EF 【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理．利用三角形相似求出相似比是解决问题的关键． 23．（1）4t ；（2）①187t =，②150t 37=；（3）10t 3=秒或185秒或15049秒． 【解析】
【分析】
（1）先求出AB =50，sinA =
BC AB =45
，cosA =AC AB =35，进而求出AQ =3t ，PQ =4t ，即可得出结论；
（2）先判断出PN =QM =PQ =4t ，
①求出CD =24，AD =18，进而判断出AQ +QM =AD =18，建立方程即可得出结论；
②判断出∠APQ =∠PNC ，进而得出△AQP ∽△PCN ，建立方程即可得出结论；
（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质建立方程求解即可得出结论．
【详解】
解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=50，
∴sinA=BC
AB
=
4
5
，cosA=
AC
AB
=
3
5
∵PQ⊥AB，
∴∠AQP=90°，由运动知，AP=5t，
在Rt△AQP中，AQ=AP•cosA=3
5
×5=3t，PQ=AP•sinA=4t，
故答案为：4t；
（2）由（1）知，AQ=3t，PQ=4t，∵四边形PQMN是正方形，
∴PN=QM=PQ=4t，
①如图1，
由（1）知，AB=50，
过点C作CD⊥AB于D，
∴1
2
AB•CD=
1
2
AC•BC，
∴CD=24，
在Rt△ADQ中，AD22
AC CD
18，∵点C，N，M在同一条直线上，
∴点M落在点D，
∴AQ+QM=AD=18，
由（1）知，QM=PQ=4t，AQ=3t，
∴4t+3t=18，
∴t=18
7
；
②点N落在BC上时，∠PCN=∠PCB=90°=∠AQP，
∴∠CPN +∠CNP =90°，
∵∠QPN =90°
∴∠CPN +∠APQ =90°，
∴∠APQ =∠PNC ，
∵∠AQP =∠PCN ，
∴△AQP ∽△PCN ， ∴AQ AP PC PN =，
∴353054t
t
t t =-，
∴t =150
37； （3）当PC =PN 时，30-5t =4t ，
∴t =10
3，
当PC =NC 时，如图2，过点C 作CF ⊥PN 于F ，延长CF 交AB 于D ，
∴PF =1
2PN =2t ，
∴QD =2t ，
根据勾股定理得，AQ 22AP PQ -3t ，
∴AD =AQ +QD =5t =18，
∴t =18
5，
当PN =NC 时，如图3，过点N 作NG ⊥AC 于G ，
∴PG=1
2
PC=
305
2
t
-
，
易知，△PNG∽△APQ，
∴PG PN AQ AP
=，
∴305
4
2
25
t
t
t t
-
=，
∴t=150 49
，
即：当△PCN是等腰三角形时，
10
t
3
=秒或
18
5
秒或
150
49
秒．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
24．（1）见解析；（2）3
【解析】
【分析】
（1）根据作图可知AD是∠CAB平分线，然后由等角对等边和线段垂直平分线的性质可得结论；（2）根据含30度角的直角三角形的性质求出AD和AC，进而求出BC的长即可解决问题.
【详解】
解：（1）根据作图可知AD是∠CAB平分线，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠DAB=∠DAC=∠B=30°，
∴DA=DB，
∴点D在AB的中垂线上；
（2）∵∠DAC=30°，CD=2，
∴AD=2CD=4，
∴2222
4223
AC AD CD，BD=AD=4，∴BC=CD+BD=6，
∴
11
62363 22
ABC
S BC AC.
【点睛】
本题考查了尺规作角平分线、等角对等边、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积计算，灵活运用各性质进行推理计算是解题的关键. 25．（1）四边形AEDF是菱形，证明见解析；（2）24；（3）当△ABC中∠BAC=90°时，四边形AEDF 是正方形；
【解析】
【分析】
（1）由∠BAD=∠CAD，AO=AO，∠AOE=∠AOF=90°证△AEO≌△AFO，推出EO=FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF；（2）由（1）知菱形AEDF对角线互相垂直
平分，故AO=1
2
AD=4，根据勾股定理得EO=3，从而得到EF=6；（3）根据有一个角是直角的菱
形是正方形可得∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形．【详解】
(1)四边形AEDF是菱形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
又∵EF⊥AD，
∴∠AOE=∠AOF=90°
∵在△AEO和△AFO中
∵
12
AO AO
AOE AOF ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO=FO，
∵EF垂直平分AD，
∴EF、AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形
又EF⊥AD，
∴平行四边形AEDF为菱形；
(2)∵EF垂直平分AD，AD=8，
∴∠AOE=90°，AO=4，
在RT△AOE中，∵AE=5，
∴，
由(1)知，EF=2EO=6；
(3)当△ABC中∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和正方形的判定，解题的关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形．
2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．如图，矩形ABCD 中，14AB =，8AD =，点E 是CD 的中点，DG 平分ADC ∠交AB 于点G ，过点A 作AF DG ⊥于点F ，连接EF ，则EF 的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2．下列从左到右的变形，是因式分解的是( )
A ．()()23x 3x 9x -+=-
B ．()()()()y 1y 33y y 1+-=-+
C ．()2
4yz 2y z z 2y 2z zy z -+=-+ D ．228x 8x 22(2x 1)-+-=-- 3．四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是( ) A ．AB=CD B ．AC=BD C ．AC ⊥BD D ．AD=BC
4．已知关于x 的不等式组2401x x a -⎧⎨+<⎩
无解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜3 B ．a≤3 C ．a ＞3 D ．a≥3
5．在ABC ∆中，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，则ADE ∆与ABC ∆的面积之比为( )
A ．12
B ．13
C ．14
D ．16
6．如图，点A 1、B 1、C 1分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，点A 2、B 2、C 2分别为△A 1B 1C 1的边B 1C 1、C 1A 1、A 1B 1的中点，若△ABC 的面积为1，则△A 2B 2C 2的面积为（ ）
A ．13
B ．14
C ．18
D ．116
7．分式运算正确的是（ ）
A ．
112x y x y
+=+ B ．
x a a
x b b
+=+ C ．
22
x y x y x y
-=+- D ．
a c ad
b d bc
⋅=
8．用配方法解方程2640x x --=，下列配方正确的是（ ） A ．()2
313x -=
B ．()2
313x +=
C ．()2
64x -=
D ．()2
35x -=
9．如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的顶点B 、C 的坐标分别为(3，4)、(4，2)，且AB 平行于x 轴，将Rt △ABC 向左平移，得到Rt △A′B′C′．若点B′、C′同时落在函数y=k
x
（x ＞0）的图象上，则k 的值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
10．如图①，正方形ABCD 中，点P 以每秒2cm 的速度从点A 出发，沿AB BC →的路径运动，到点C 停止．过点P 作,PQ BD PQ ∥与边AD （或边CD ）交于点,Q PQ 的长度(cm)y 与点P 的运动时间x （秒）的函数图象如图②所示．当点P 运动3秒时，APQ 的面积为（ ）
A ．24cm
B ．26cm
C ．262cm
D ．242cm
二、填空题
11．如图，在△ABC 中，AB ＝3cm ，BC ＝5cm ，将△ABC 折叠，使点C 与A 重合，得折痕DE ，
则△ABE 的周长等于_______cm ．
12．已知
123
22
kx x x x --=--为分式方程，有增根，则k =_____． 13．下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 9.14 9.15 9.14 9.15 方差
6.6
6.8
6.7
6.6
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择_________． 14．已知命题：全等三角形的对应角相等.这个命题的逆命题是：__________．
15．已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3. 则直角三角形的面积为________. 16．分解因式：5x 3﹣10x 2=_______．
17．将二次根式48化为最简二次根式的结果是________________ 三、解答题
18．如图，在ABC 中，O 为边AC 的中点，过点A 作AD BC ∥，与BO 的延长线相交于点D ，
E 为AD 延长上的任一点，联结CE 、CD ．
（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；
（2）当D 为边AE 的中点，且2CE CO =时，求证：四边形ABCD 为矩形． 19．（6分）如图，在矩形ABCD 中，4,5==AB BC .
(1)请用尺规作图法，在矩形ABCD 中作出以BD 为对角线的菱形EBFD ，且点E F 、分别在
AD BC 、上.(不要求写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，求菱形EBFD 的边长.
20．（6分）函数y ＝mx+n 与y ＝nx 的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
21．（6分）在平面直角坐标系中，ABC ∆三个顶点的坐标分别为A (–2，1)，B (–1，4)，C (–3，2).
(1)写出点C 关于点B 成中心对称点1C 的坐标;
(2)以原点O 为位似中心，位似比为2:1，在y 轴的左侧画出ABC ∆C 放大后的222A B C ∆，并直接写出点2C 的坐标.
22．（8分）如图，在Rt ABC 中，∠C ＝90º，BD 是Rt ABC 的一条角一平分线，点O 、E 、F 分别在BD 、BC 、AC 上，且四边形OECF 是正方形，
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长
23．（8分）解方程：请选择恰当的方法解方程
（1）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）；
（2）3x2+5（2x+1）＝1．
24．（10分）甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A地出发前往B地，甲出发1h后，乙出发，设甲与A地相距y甲(km)，乙与A地相距y乙(km)，甲离开A地的时间为x(h)，y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示．
(1)甲的速度是_____km/h；
(2)当1≤x≤5时，求y乙关于x的函数解析式；
(3)当乙与A地相距240km时，甲与A地相距_____km．
25．（10分）某中学计划购进甲、乙两种学具，已知一件甲种学具的进价与一件乙种学具的进价的和为40元，用90元购进甲种学具的件数与用150元购进乙种学具的件数相同．
()1求每件甲种、乙种学具的进价分别是多少元？
()2该学校计划购进甲、乙两种学县共100件，此次进货的总资金不超过2000元，求最少购进甲种玩具多少？
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．C
【解析】
连接CG，由矩形的性质好已知条件可证明EF是△DGC的中位线，在直角三角形GBC中利用勾股定理可求出CG的长，进而可求出EF的长.
【详解】
连接CG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD,∠B=90∘，AD=BC=8，
∴∠AGD=∠GDC，
∵DG平分∠ADC，
∴∠ADG=∠GDC，
∴∠AGD=∠ADG，
∴AG=AD=8，
∵AF⊥DG于点F，
∴FG=FD，
∵点E是CD的中点，
∴EF是△DGC的中位线，
∴EF=1
2 CG，
∵AB=14，
∴GB=6，
∴CG=22
BC BG
=10，
∴EF=1
2
×10=5，
故选C.
【点睛】
此题主要考查矩形的线段求解，解题的关键是熟知平行线的性质、三角形中位线定理及勾股定理
2．D 【解析】 【分析】
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】
根据因式分解的定义得：从左边到右边的变形，是因式分解的是22
8x 8x 22(2x 1)-+-=--.其
他不是因式分解:A,C 右边不是积的形式，B 左边不是多项式. 故选D. 【点睛】
本题考查了因式分解的意义，注意因式分解后左边和右边是相等的，不能凭空想象右边的式子． 3．C 【解析】 【分析】
由已知条件得出四边形ABCD 是平行四边形，再由对角线互相垂直，即可得出四边形ABCD 是菱形． 【详解】 如图所示：
需要添加的条件是AC ⊥BD ；理由如下： ∵四边形ABCD 的对角线互相平分， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵AC ⊥BD ，
∴平行四边形ABCD 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）； 故选：C ． 【点睛】
考查了平行四边形的判定方法、菱形的判定方法；熟练掌握平行四边形和菱形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键． 4．B 【解析】 【分析】
首先解不等式，然后根据不等式组无解确定a 的范围． 【详解】
2401x x a -⎧⎨
+<⎩
①
②， 解不等式①得x≥2． 解不等式②得x ＜a ﹣2． ∵不等式组无解， ∴a ﹣2≤2． ∴a≤3 故选：B ． 【点睛】
本题考查解一元一次不等式组，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，据此即可逆推出a 的取值范围． 5．C 【解析】 【分析】
由点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，可得出DE 为△ABC 的中位线，则DE ∥BC ，进而得出△ADE ∽△ABC ，再利用相似三角形的性质即可求出△ADE 与△ABC 的面积之比． 【详解】 如图所示，
∵点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点， ∴DE 为△ABC 的中位线，
∴DE∥BC，DE=1
2 BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
21
4 ADE
ABC
S DE
S BC
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
.
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，利用三角形的中位线定理找出DE∥BC 是解题的关键．
6．D
【解析】
【分析】
由于A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，就可以得出△A1B1C1∽△ABC，且
相似比为1
2
，面积比为
1
4
，就可求出△A1B1C1的面积=
1
4
，同样的方法得出△A2B2C2的面积=
1
16
．
【详解】
解：∵A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，∴A1B1、A1C1、B1C1是△ABC的中位线，
∴△A1B1C1∽△ABC，且相似比为1
2
，
∴S△A1B1C1：S△ABC=1：4，且S△ABC=1，
∴S△A1B1C1=1
4
．
∵A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2且相似比为1
2
，
∴△A2B2C2的面积=1
4
×S△A1B1C1=
1
16
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理的运用，相似三角形的判定与性质的运用．根据中位线定理得出三角形相似是解决此题的关键．
7．C
【解析】
【分析】
根据分式的运算法则即可判断. 【详解】
A. 11x y x y xy
++=，故错误；
B.
x a x a
x b x b
++=++，故错误； C.
22
x y x y x y
-=+-，正确 D.
a c ac
b d bd
⋅=，故错误 故选C 【点睛】
此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的性质. 8．A 【解析】 【分析】
按照配方法的步骤和完全平方公式222
)2(a ab b a b ±+=± 即可得出答案．
【详解】
2640x x --= 264x x -= 26949x x -+=+
即()2
313x -= 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查配方法，掌握配方法和完全平方公式是解题的关键． 9．B 【解析】 【分析】
设平移的距离为m ，由点B 、C 的坐标可以表示出B′、C′的坐标，B′、C′都在反比例函数的图象
上，可得方程，求出m 的值，进而确定点B′、C′的坐标，代入可求出k 的值． 【详解】
设Rt △ABC 向左平移m 个单位得到Rt △A′B′C′．
由B （3，4）、C （4，2），得：B′（3-m ，4），C′（4-m ，2） 点B′（3-m ，4），C′（4-m ，2）都在反比例函数的图象上， ∴（3-m ）×4=（4-m ）×2， 解得：m=2，
∴B′（1，4），C′（2，2）代入反比例函数的关系式得：k=4， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征以及平移的性质，表示出平移后对应点的坐标，建立方程是解决问题的关键． 10．B 【解析】 【分析】
由图②知，运动2秒时，y PQ ==，距离最长，再根据运动速度乘以时间求得路程，可得点P 的位置，根据线段的和差，可得CP 的长，最后由APQ
ABP
ADQ
CPQ
ABCD S S S
S
S
=---正方形即可求得答案． 【详解】
由图②知，运动2秒时，y =y 的值最大，
此时，点P 与点B 重合，则PQ BD ==， ∵四边形ABCD 为正方形， 则222AB AD BD +＝， ∴4AB AD ==，
由题可得：点P 运动3秒时，则P 点运动了32⨯=6cm ， 此时，点P 在BC 上，如图：。