2019-2020学年人教A版数学必修第一册培优教程课件：第3章 函数的概念与性质 章末复习

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[典例 4] 设函数 f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)． (1)证明：函数 f(x)是偶函数； (2)画出这个函数的图象； (3)指出函数 f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上 f(x)的单调性； (4)求函数的值域．
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[典例 2] 已知实数 a≠0，函数 f(x)＝2－x＋x－a2，ax，<1x≥，1. 若 f(1－a)＝f(1＋a)，则 a 的值为________．
解析 ①当 1－a<1，即 a>0 时，此时 a＋1>1， 由 f(1－a)＝f(1＋a)，得 2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得 a＝－32(舍去)； ②当 1－a>1，即 a<0 时，此时 a＋1<1，由 f(1－a)＝f(1＋a)，得－(1－a) －2a＝2(1＋a)＋a，解得 a＝－34，符合题意．综上所述，a＝－34. 答案 －34
解析 答案
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பைடு நூலகம்
三、函数的单调性与奇偶性 单调性是函数的一个重要性质，某些数学问题，通过函数的单调性可将 函数值间的关系转化为自变量之间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目 的，特别是在比较大小、证明不等式、求值或求最值、解方程(组)等方面应用 十分广泛． 奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇偶函数图象的对称性可以缩小问 题研究的范围，常能使求解的问题避免复杂的讨论．
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8.函数的应用 解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面要加强对常 见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面， 要不断拓宽知识面，增加间接的生活阅历，诸如了解一些物价、行程、产值、 利润、环保等实际问题，及有关角度、面积、体积、造价的问题，培养实际 问题数学化的意识和能力．
即 y＝125x2－500x＋25000(10≤x≤90)．
答案
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(3)由 y＝125x2－500x＋25000＝125x－13002＋503000(10≤x≤90)，则当 x＝ 1300时，y 最小．
即当垃圾处理厂建在距离 A 城市1030 km 时，才能使每天的垃圾处理费用 最少．
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一、函数的定义域
学科思想培优
函数的定义域是指函数 y＝f(x)中自变量 x 的取值范围．确定函数的定义 域是进一步研究函数其他性质的前提，而研究函数的性质，利用函数的性质 解决数学问题是中学数学的重要组成部分．所以熟悉函数定义域的求法，对 于函数综合问题的解决起着至关重要的作用．
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7.幂函数的图象特征 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内， 图象最多只能同时出现在两个象限内，至于是否在第二、三象限内出现，则 要看幂函数的奇偶性． (2)幂函数的图象在第一象限内的变化规律为：在第一象限内直线 x＝1 的 右侧，图象从下到上，相应的指数由小到大，直线 x＝1 的左侧，图象从下到 上，相应的指数由大到小．
A.a<b<c<d B.a<b<d<c C.b<a<c<d D.b<a<d<c
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解析 由幂函数的图象特征可知，在第一象限内直线 x＝1 的右侧，图象 从下到上，相应的指数由小到大．故选 A.
答案 A
解析
答案
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六、函数模型及其应用 建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤： (1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用 x，y 分 别表示； (2)建立函数模型，将变量 y 表示为 x 的函数，此时要注意函数的定义域； (3)求解函数模型，并还原为实际问题的解．
章末复习
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知识系统整合
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规律方法收藏 1.同一函数的判定方法 (1)定义域相同；
(2)对应关系相同(两点必须同时具备)． 2.函数解析式的求法 (1)定义法； (2)换元法； (3)待定系数法； (4)解方程(组)法；
(5)赋值法．
解 (1)证明：∵函数 f(x)的定义域关于原点对称， 且 f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1 ＝x2－2|x|－1＝f(x)，
即 f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数． (2)当 0≤x≤3 时， f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2. 当－3≤x<0 时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2.
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解 (1)令 x＝y＝0，得 2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0. 再令 y＝－x，得 f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)在(－1,1)上是奇函数． (2)设－1<x1<x2<0，则 x2－x1>0. f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f1x－2－x1xx12. ∵－1<x1<x2<0， ∴1＋x1>0,1＋x2>0，且 0<x1x2<1，
答案
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∴0<1－x1x2<1，∴1x－2－x1xx12>0. ∵x2－x1－1＋x1x2＝(x2－1)＋x1(x2－1) ＝(1＋x1)(x2－1)<0， ∴0<x2－x1<1－x1x2，∴0<1x－2－x1xx12<1. ∵x∈(－1,0)时，f(x)>0，且 f(x)为奇函数， ∴x∈(0,1)时，f(x)<0，
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[典例 3] 定义在(－1,1)上的函数 f(x)满足： ①对任意的 x，y∈(－1,1)，均有 f(x)＋f(y)＝f1x＋＋xyy；②当 x∈(－1,0)时， f(x)>0. (1)判定函数 f(x)的奇偶性； (2)判定函数 f(x)在(－1,0)上的单调性．
答案
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本课结束
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[典例 1]
(1)函数 f(x)＝
3x2 1－x
＋(3x－1)0
的定义域是(
)
A.－∞，13
B.13，1
C.－31，13
D.－∞，13∪13，1
(2)已知函数 y＝f(x＋1)的定义域是[－2,3]，则 y＝f(2x－1)的定义域是
()
A.0，52 C.[－5,5]
B．[－1,4] D．[－3,7]
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解析 (1)由题意，得31x－－x1>≠0，0， 解得 x<1 且 x≠13. (2)设 u＝x＋1，由－2≤x≤3，得－1≤x＋1≤4，所以 y＝f(u)的定义域为 [－1,4]．再由－1≤2x－1≤4，解得 0≤x≤52，即函数 y＝f(2x－1)的定义域是 0，52.
∴f(x2)－f(x1)<0，即 f(x2)<f(x1)． ∴f(x)在(－1,0)上单调递减．
答案
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四、函数图象及应用 函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的 图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的 性质，有助于函数图象正确地画出．函数图象广泛应用于解题过程中，利用 数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点．
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5.判断函数单调性的步骤 (1)设 x1，x2 是所研究区间内任意两个自变量的值，且 x1<x2； (2)判定 f(x1)与 f(x2)的大小：作差比较或作商比较； (3)根据单调性定义下结论．
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6.函数奇偶性的判定方法 首先考查函数的定义域是否关于原点对称，再看函数 f(－x)与 f(x)之间的 关系：①若函数 f(－x)＝f(x)，则 f(x)为偶函数；若函数 f(－x)＝－f(x)，则 f(x) 为奇函数；②若 f(－x)－f(x)＝0，则 f(x)为偶函数；若 f(x)＋f(－x)＝0，则 f(x) 为奇函数；③若ff－xx＝1(f(－x)≠0)，则 f(x)为偶函数；若ff－xx＝－1(f(－ x)≠0)，则 f(x)为奇函数．
(1)求 x 的取值范围； (2)把每天的垃圾处理费用 y 表示成 x 的函数； (3)垃圾处理厂建在距离 A 城市多远处，才能使每天的垃圾处理费用最 少？
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解 (1)由题意可得 x≥10,100－x≥10. 所以 10≤x≤90.
所以 x 的取值范围为[10,90]． (2)由题意，得 y＝0.25[20x2＋10(100－x)2]，
答案 (1)D (2)A
解析
答案
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二、分段函数问题 所谓分段函数是指在定义域的不同子区间上的对应关系不同的函数．分 段函数是一个函数而非几个函数，其定义域是各子区间的并集，值域是各段 上值域的并集．分段函数求值等问题是高考常考的问题．
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即 f(x)＝xx－ ＋1122－ －220－≤3x≤≤x3<0，.
答案
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根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图．
答案
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(3)函数 f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]． f(x)在区间[－3，－1)和[0,1)上单调递减， 在[－1,0)和[1,3]上单调递增． (4)当 0≤x≤3 时，函数 f(x)＝(x－1)2－2 的最小值为－2，最大值为 f(3)＝ 2； 当－3≤x<0 时，函数 f(x)＝(x＋1)2－2 的最小值为－2，最大值为 f(－3) ＝2.故函数 f(x)的值域为[－2,2].
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[典例 6] 已知 A，B 两城市相距 100 km，在两地之间距离 A 城市 x km 的 D 处修建一垃圾处理厂来解决 A，B 两城市的生活垃圾和工业垃圾．为保 证不影响两城市的环境，垃圾处理厂与市区距离不得少于 10 km.已知垃圾处 理费用和距离的平方与垃圾量之积的和成正比，比例系数为 0.25.若 A 城市每 天产生的垃圾量为 20 t，B 城市每天产生的垃圾量为 10 t．
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3.函数的定义域的求法 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值 集合． (2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际 问题有意义． (3)复合函数问题 ①若函数 f(x)的定义域为[a，b]，函数 f[g(x)]的定义域应由 a≤g(x)≤b 解 出； ②若函数 f[g(x)]的定义域为[a，b]，则函数 f(x)的定义域为函数 g(x)在[a， b]上的值域．
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注意：①函数 f(x)中的 x 与函数 f[g(x)]中的 g(x)地位相同． ②定义域所指永远是 x 的范围．
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4.函数值域的求法 (1)配方法(二次或四次)； (2)判别式法； (3)换元法；
(4)函数的单调性法．
答案
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五、幂函数的图象问题 对于给定的幂函数图象，能从函数图象的分布、变化趋势、对称性等方 面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质．注意图象与函数解析 式中指数的关系，能够根据图象比较指数的大小．
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[典例 5] 如图是幂函数 y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd 在第一象限内的图象， 则 a，b，c，d 的大小关系为( )