【市级联考】安徽省芜湖市2019届高三上学期期末考试数学(文)试题-

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【市级联考】安徽省芜湖市2019届高三上学期期末考试数学
（文)试题
试卷副标题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 2．已知复数
是纯虚数，则 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．为评估“脱贫攻坚”成果，某市在一次统计中得到的 样本数据如下：982，684，684，686，686，686，688，688，688，688.若 样本数据恰好是 样本数据每个数都加10后所得数据，则 ， 两样本的数字特征相同的为（ ） A ．众数 B ．平均数 C ．中位数 D ．标准差 4．已知双曲线
的焦点到渐近线的距离为 ，则该双曲线的焦距为（ ）
A ．2
B ．4
C ．
D ． 5． 是
成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
6．设 ， 是两条不重合的直线， ， 是两个不重合的平面，下列说法正确的是（ ） A ．若 ， ， ，则 B ．若 ， ，则
装…………○……………○…………线…………※要※※在※※装※※订※※线※※内题※※
装…………○……………○…………线…………D ．若 ， ， ，则
7．执行下面的程序框图，如果输出的 为
，则判断框中填写的内容可以是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 8．函数
的大致图象为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知 ，则下列不等式不成立．．．的是（ ） A ． B ． C ． D ．
10．锐角三角形 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，则 周长的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．3
D ．4
11．已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 且斜率为-1的直线与抛物线相交于 ， 两点，直线 与抛物线相切且 ， 为 上的动点，则 的最小值是（ ） A ．-12 B ．-14 C ．-16 D ．-18
12．已知函数 ， ，若函数 在区间 内单调递增，且函数 的图象关于直线 对称，则下列命题正确的是（ ） A ． B ．
…
…
…
…
○
…
…
…
※
※
在
※
※
装
※
※
订
※
※
线
…
…
…
…
○
…
…
…
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
13．已知向量，向量，若，则__________．
14．设，满足约束条件，则的最大值为__________．
15．已知直线：，点在直线上，过点引圆的切线，若
切线长的最小值为，则实数的值为__________．
16．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中对几何学的研究比西方早一千多年.在该
书中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一
侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，
在堑堵中，，，鳖臑的体积为2，则阳马
外接球表面积的最小值为__________．
三、解答题
17．已知数列中，，.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18．为了丰富学生的课外文化生活，某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形
式，取得了良好的效果.为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关，学校对
300名学生做了问卷调查，列联表如下：
○…………装……学校:___________姓名：____○…………装……
已知在全部300人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为
. （1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有 的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关？请说明你的理由； （3）若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，再从所选出的5人中随机选取2人，求至少有1人学习积极性不高的概率. 附：
，其中 .
19．如图，已知四棱锥 ，底面 是边长为2的正方形， 是边长为2的正三角形，且平面 与平面 垂直，过棱 作平面 与平面 交于 .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求三棱锥 的体积. 20．已知椭圆
的离心率为
，且过点 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若 ， 为椭圆上不同的两点，且以 为直径的圆过坐标原点.是否存在定圆与动直线 相切？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由. 21．已知函数 ， .
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求的极坐标方程；
(2)若直线的极坐标方程分别为，，设直线与曲线的交点为，，，求的面积.
23．已知.
（1）时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求的取值范围.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得集合中元素的范围，再求两个集合的交集.
【详解】
由，解得，故，所以选C.
【点睛】
本小题主要考查交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
2．A
【解析】
【分析】
利用复数除法运算化简，然后根据为纯虚数列方程，解方程求得的值.
【详解】
依题意，由于为纯虚数，故，解得，故选A.
【点睛】
本小题主要考查复数除法的运算，考查复数为纯虚数的条件，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
由于两个样本稳定程度相同，故两者标准差相同.
【详解】
由于样本数据恰好是样本数据每个数都加10后所得数据，所以众数、平均数和中位数都发生了变化，但是两者波动程度或稳定程度是相同的，即两者的标准差相同，故选D.
【点睛】
本小题主要考查众数、平均数、中位数的概念，考查对于标准差的理解，属于基础题. 4．D
【解析】
【分析】
根据双曲线的焦点到渐近线的距离得到的值，根据双曲线方程得到的值，利用求得的值，进而求得焦距.
【详解】
由于双曲线的焦点到渐近线的距离为，由双曲线方程可知，故
，故焦距为，故选D.
【点睛】
本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线焦点到渐近线的距离，考查双曲线的几何性质，属于基础题.
5．D
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简题目所给两个条件，然后根据两者的包含关系，确定两个条件不能相互推导，由此得出正确选项.
【详解】
由得，由得.前者为第一或者第三象限角，后者为第一或者第四象限角，两者没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件”，故选D.
【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查三角函数诱导公式，考查三角函数值在各个象限的正负，属于基础题.
6．B
【解析】
【分析】
根据线、面的位置关系有关的概念和定理，对四个选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A选项，两个平面平行，则一个平面内的直线，和另一个平面内的直线可能异面，故A 选项错误.对于B选项，如果两个平面平行，则一个平面的的直线和另一个平面平行，故B 选项正确.对于C选项，两个平面垂直，则一个平面内的直线和另一个平面不一定垂直，故C选项错误.对于D选项，根据面面垂直的性质定理可知：如果两个平面垂直，则在一个平
面内，垂直于交线的直线和另一个平面垂直.但是D选项中直线不一定在这两个垂直的平面内，所以D选线错误.综上所述，本小题选B.
【点睛】
本小题主要考查空间线面的位置关系，主要是面面平行和面面垂直的有关性质，属于基础题. 7．D
【解析】
【分析】
运行程序，当时退出程序，由此判断出所填写的内容.
【详解】
运行程序，，判断是，，判断是，，判断是，
，判断否，输出，故选D.
【点睛】
本小题主要考查程序框图，考查已知程序框图的输出结果求判断框填写的内容，属于基础题. 8．A
【解析】
【分析】
利用排除法，由及分别排除与，从而可得结果.
【详解】
当时，,可排除选项；当时，，可排除选项，故选A.
【点睛】
本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及
时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
9．B
【解析】
【分析】
对于取特殊值，代入选项进行验证，由此得出选项.
【详解】
取，对于A选项，，A选项成立.对于B选项，，B选项不成立.对于C选项，，C选项成立.对于D选项，
，D选项成立.综上所述，本小题选B.
【点睛】
本小题主要考查比较指数式和对数式的大小，考查特殊值法解选择题，属于基础题.
10．C
【解析】
【分析】
利用正弦定理化简，求得，再利用正弦定理求得边的表达式，然后利用三角恒等变换化简周长的表达式，并由此求得周长的最大值.
【详解】
依题意，由正弦定理得，即，由于三角形为锐角三角形，故，由正弦定理得，故三角形的周长为
，故当，即三角式为等边三角形时，取得最大值为，故选C.
【点睛】
本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查利用正弦定理求三角形周长的最大值，考查三角恒等变换，属于中档题.
11．B
【解析】
【分析】
利用点斜式求得过焦点且斜率为的直线方程，联立此方程和抛物线方程求得两点的坐标，设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，化简后利用判别式求得直线的方程，设出点的坐标，代入，由此求得数量积的最小值.
【详解】
依题意可知，抛物线的焦点坐标为，由于直线的斜率，故直线方程为，即，由，解得.设直线的方程为，由，化简得，由于直线和抛物线相切，判别式，解得，故直线的方程为.设直线上任意一点的坐标，代入得
，当时取得最小值为，故选B.【点睛】
本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查数量积的坐标运算，考查解二元二次方程组，考查向量的坐标运算，属于中档题.直线方程的点斜式为，对于已知直线上一点和斜率的情况，可直接由点斜式写出直线方程.当直线和抛物线相切时，可联立直线方程和抛物线方程，然后利用判别式求得直线的表达式.
12．C
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简，根据函数的单调性以及对称轴，求得的值，然后对四个选项逐一分析，从而得出正确选项.
【详解】
依题意知，由，解得，由于函数在区间内单调递增，故，即，当时，上式成立，即.由于函数的图象关于直线对称，故，即.故.所以.对于A选项，，所以选项错误.对于B选项，，所以B选项错误.对于C选项，
，故C选项正确.对于D选项，由于
，故D选项错误.综上所述，本小题选C.
【点睛】
本小题主要考查利用辅助角公式进行三角恒等变换，考查三角函数的单调性，考查三角函数
的对称性，考查分析与推理能力，属于中档题.对于三角函数的单调性，当时，可由解出的范围，即可求得三角函数的单调区间. 13．
【解析】
【分析】
先求得的坐标，然后利用两个向量垂直的坐标表示，列方程，解方程求得的值.
【详解】
依题意，由于，故，解得.
【点睛】
本小题主要考查平面向量加法的坐标运算，考查平面向量垂直的坐标表示，属于基础题. 14．5
【解析】
【分析】
画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.
【详解】
画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.
【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.
15．
【解析】
【分析】
将切线长的最小值问题，转化为圆心到直线的距离来求解，列方程求得实数的值.
【详解】
设切点为，根据切线的性质可知，即.当取得最小值时，取得最小值，原点到直线的距离为，依题意可得，解得.
【点睛】
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆的切线长问题，考查圆的切线的几何性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.解决本题的突破口在于将切线长的最小值问题，通过切线的几何性质，利用勾股定理，转化为圆心到直线的距离来求解.
16．
【解析】
【分析】
根据“四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑”可知阳马外接球球心为
的中点，且为外接球的直径.通过鳖臑的体积为2，求得堑堵的体积，设出的长，求得球的直径的表达式，进而求得球的表面积的表达式，再通过基本不等式求得表面积的最小值.
【详解】
由于“四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑”，故可知阳马外接球球心为的中点，且为外接球的直径. 鳖臑的体积为，故堑堵的体积为.设，依题意.而
，故阳马外接球表面积为，由基本不等式得，即阳马外接球表面积的最小值为.
【点睛】
本小题主要考查中国古代数学文化，考查棱柱中的椎体有关问题，考查几何体外接球表面积的最小值的求法，考查利用基本不等式求面积的最小值.解题的关键在于找到阳马外接球球心的位置，这个位置可根据“四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑”，结合球心到球面上各点的距离相等来求得.
17．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）将去倒数后，配凑为等差数列，从而证得是等差数列，进而求得的通项公式.（2）由（1）求得的通项公式，利用裂项求和法求得的前项和.
【详解】
（1）∵，∴，
又，∴，即数列是公差为2的等差数列，
又，∴.
（2）由（1）知，
∴，
∴.
【点睛】
本小题主要考查递推数列求数列的通项公式，考查裂项求和法求数列的通项公式，属于中档题.
18．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）先利用“抽到学习积极性不高的学生的概率”求得学习积极性不高的学生的学生人数，由此填写好联表.（2）通过计算的值，判断出有的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关.（3）抽出的学习积极性高的同学人，学习积极性不高的同学人，利用列举法求得基本事件的总数以及符合“至少有一名同学学习积极性不高”事件数，根据古典概型概率计算公式计算出概率.
【详解】
（1）设学习积极性不高的学生的学生共名，则，解得.
则列联表如下：
（2）有理由：由已知数据可求，
因此有的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关.
（3）根据题意，可设抽出的学习积极性高的同学为、，学习积极性不高的同学为、、
，则选取的两人可以是：，，，，，，，，，.所以至少有一名同学学习积极性不高的概率为.
【点睛】
本小题主要考查列联表独立性检验的知识，考查利用列举法求解古典概型，属于基础题.
19．（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）先征得平面，利用线面平行的性质定理，征得，由此证得平面.（2）中点，利用等边三角形的性质以及面面垂直的性质定理，证得平面，根据椎体的体积计算公式，求得三棱锥的体积.
【详解】
（1）证明：因为底面为正方形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
且平面，平面平面，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）因为是边长为2的正三角形，取中点，则，且.
又因为侧面与面垂直，面面，面，
则面.
因为，
.
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查线面平行的性质定理，考查面面垂直的性质定理以及三棱锥体积的计算.属于中档题.
20．（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据离心率得到的值，将的坐标代入椭圆方程，结合，求得的值，
进而求得椭圆标准方程.（2）当直线的倾斜角是时，求得直线的方程，此时直线和圆：相切. 当直线的倾斜角不是时，设出直线的的方程，联立直线的方程和椭圆方程，消去，写出韦达定理，利用则列方程，利用点到直线的距离公式求得原点到直线的距离为定值，这个定值恰好是圆的半径.由此证得结论成立.
【详解】
（1）∵，∴.
即，∴，则椭圆方程为：.
又椭圆过点，∴，∴，则所求椭圆方程为：.（2）当直线的倾斜角是时，直线的方程是：，
与定圆：相切.
下证任意性，当直线的倾斜角不是时，
设直线：，，，
，
∴，
∵以为直径的圆过坐标原点，∴.
而，
∴，
即，
圆心到直线的距离，
即直线与圆：相切.
【点睛】
本小题主要考查椭圆标准方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和圆的位置关系，考查向量垂直的坐标表示，综合性较强，属于难题.求解椭圆的标准方程，主要思想方法是方程的思想，即根据已知条件列出的两个关系式，结合解方程组可求
得的值.
21．（1）见解析；（2）或
【解析】
【分析】
（1）先求得函数的定义域，然后对函数求导，对分成两类，讨论函数的单调区间，进而求得函数的极值点.（2）先求得函数的导数，对分成三类，讨论函数的单调区间，结合零点的存在性定理，求得的取值范围.
【详解】
（1），
当时，，则在上单调递增，无极值点；
当时，时，在上单调递减，在上单调递增.
有极小值点，无极大值点.
（2），
，则.
当时，，则在上单调递增，，所以无零点，满足条件；
当时，，则在上单调递减，，所以无零点，满足条件；
当时，存在，使得，
即时，，单调递减；时，，单调递增.又，，，
故在上一定存在零点，不符合条件.
综上所述，或.
【点睛】
本小题考查利用导数求函数的极值点，考查利用导数研究函数在给定区间上的零点问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查零点的存在性定理.求函数的极值点，对函数求导后需要根据单调性的情况来求得.对于区间上的函数满足，则函数在
上存在零点，这个是零点的存在性定理.
22．(1)；(2).
【解析】试题分析：
（1）由题意可得C的普通方程，极坐标方程为.
（2）由题意可得，，△OMN为直角三角形，则
.
试题解析：
（1）由参数方程，得普通方程，
所以极坐标方程，即.
（2）直线与曲线的交点为，得，
又直线与曲线的交点为，得，
且，所以.
23．（1）或；（2）
【解析】
【分析】
（1）当时，利用零点分段法去绝对值，将表示成分段函数的形式，再求得不等式的解集.（2）在区间上，将等价转化为，然后利用绝对值不等式的解法求得的取值范围，根据的范围求得的取值范围.
【详解】
（1），，
，则或.不等式的解集为或.
（2）的解集包含，即为在上恒成立.
，.
故即为，即.
所以，，又因为，，
则.
【点睛】
本小题主要考查含有两个绝对值的不等式的求解策略，考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题.。