2019秋人教版数学八年级上册(RJ)教案15.3 第2课时 分式方程的应用1
人教版数学八年级上册15.3分式方程的解法(教案)
1.教学重点
（1）理解分式方程的定义：重点强调分式方程的形式特点，即方程中包含有分母，且分母不为零，让学生充分理解这一核心内容。
举例：如方程2/x = 3/(x+1)，其中x≠0。
（2）掌握分式方程的解法：包括消元法、代入法、加减法等，特别是消元法在求解分式方程中的应用。
举例：消元法求解方程2/x = 3/(x+1)：
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式方程的基本概念。分式方程是指含有分母的方程，它是代数方程的一种特殊形式。分式方程在解决实际问题时具有重要作用，能够帮助我们处理比例、速率、百分比等问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设小明和小红的糖果总数为10个，要平均分给两人，我们可以建立分式方程x/2 = 10，其中x表示每人应得的糖果数。通过解这个方程，我们可以得到答案。
2.提升学生的数学建模素养：使学生能够将实际问题抽象为分式方程模型，并运用所学方法求解，从而提高解决实际问题的能力；
3.增强学生的数学运算能力：让学生熟练掌握分式方程的消元、代入、加减等解法，培养他们准确、迅速地进行数学运算的能力。
这些核心素养目标与新教材的要求相符，旨在帮助学生形成系统的数学知识体系，提高数学思维品质和解决问题的综合能力。
难点解析：代入法中，学生可能会遇到以下困难：
-不清楚应该将哪个表达式代入另一个表达式中；
-在代入过程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，容易忽视方程中的限制条件（如分母不为零）；
-计算过程中可能因粗心导致错误。
（3）分式方程在实际问题中的应用：学生需要学会将实际问题抽象为分式方程，并正确求解。
难点解析：实际问题抽象为分式方程时，学生可能会遇到以下问题：
人教版八年级数学上册课件：15.3 分式方程(第二课时)
3．(2019新疆)两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙 地，甲乙两地相距7500米，第一组的步行速度是第二 组的1．2倍，并且比第二组早15分钟到达乙地．设第 二组的步行速度为x千米/小时，根据题意可列方程是 (D)
4．某学校食堂需采购部分餐桌，现有A、B两个商家，A
商家每张餐桌的售价比B商家的优惠13元．若该校花 费2万元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费1．8 万元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐
(1)这两次各购进这种衬衫多少件？
(2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬 衫售完后的总利润不低于1950元，则第二批衬衫每件 至少要售多少元？ (2)设第二批衬衫每件售价y元．根据题意，得 30×(200-150)+15(y-140)≥1950， 解得y≥170． 答：第二批衬衫每件至少要售170元．
桌的售价为( A )
A．117元
B．118元
C．119元
D．120元
5．某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿 化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小 时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每 小时的绿化面积．设每人每小时的绿化面积为x平方
米，请列出满足题意的方程是
．
6．某校学生捐款支援地震灾区，第一次捐款总额为 6600元，第二次捐款的总额为7260元，第二次捐款的 总人数比第一次多30人，而且两次人均捐款额恰好相 等，则第一次捐款的总人数为 300 人．
人教版数学八上15.3分式方程教学设计
3.设计具有生活气息的练习题，提高学生运用分式方程解决实际问题的能力。
4.针对不同学生的学习需求，提供个性化的辅导，使每位学生都能在课堂上获得成功体验，增强学习信心。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握分式方程的概念，能够正确识别各类分式方程。
在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使每位学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重培养学生的综合素质，将知识、能力、情感态度与价值观有机地结合起来，为学生今后的学习和生活打下坚实的基础。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了方程与不等式的解法，具备了一定的逻辑思维能力和问题解决能力。在此基础上，他们对分式方程这一章节的学习将面临以下挑战：
人教版数学八上15.3分式方程教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握分式方程的概念，能够识别并写出分式方程。
2.学会使用换元法、消元法等方法求解简单的分式方程，并能够灵活运用到实际问题中。
3.能够分析分式方程的解的特点，理解解的存在性和唯一性。
4.学会运用分式方程解决实际生活中的问题，提高解决问题的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.老师通过一个生活中的实际问题引入分式方程的概念，例如：“小明和小华去超市购物，小明花费了50元，小华花费了比小明多1/3的钱。请问小华花费了多少钱？”通过这个问题，让学生感受到分式方程与现实生活的紧密联系。
2.学生在老师的引导下，尝试用代数方法解决这个问题，从而引出分式方程的表达形式。
（五）总结归纳
1.学生在老师的引导下，总结本节课所学的分式方程的概念、求解方法以及解的存在性和唯一性。
八年级数学上册15.3分式方程15.3.2分式方程的应用教案新版新人教
八年级数学上册15.3分式方程15.3.2分式方程的应用教案新版新人教分式方程的应用课题 15．3．2 分式方程的应用授课类型新课能解可化为一元一次方程的分式方程，能根据具体问题中的数量关系列出课标依据方程（分式方程），体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
知识与 1．会分析题意找出等量关系. 技能 2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题. 1．经历列分式方程解实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的教学目标过程与一个有效的数学模型．方法 2．经历“实际问题――分式方程方程模型――求解――解释解的合理性”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识．情感态度与价值观 1．经过本节课的学习，培养学生抽象思维的能力和创新能力． 2．感受数学知识产生于实际生产生活的需求，反之，它又服务于生产和生活，体验数学的广泛应用．教学本节课的重点是列分式方程解决实际问题教学重点难点教学难点是列分式方程表示实际问题中的等量关系．难点教学师生活动设计意图重点 1过程设计 (一)复习回顾 1．解分式方程的步骤 (1)能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根． 2．列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答． 3．由学生讨论，我们现在所学过的应用题有几种类型？每种类型题的基本公式是什么？在学生讨论的基础上，教师归纳总结基本上有五种： (1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题． (2)数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法． (3)工程问题基本公式：工作量=工时×工效． (4)顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v水． (二)新课讲授教师活动：例1．两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。
人教版八年级数学上册(教案)：15.3《分式方程》教案
15．3分式方程一、教学目标：1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.二、重点、难点1．重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.2．难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.三、例、习题的意图分析1．P149思考提出问题，引发学生的思考，从而引出解分式方程的解法以及产生增根的原因.2．P149的归纳明确地总结了解分式方程的基本思路和做法.3．P150思考提出问题，为什么有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就是原方程的解，而有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就不是原方程的解，引出分析产生增根的原因，及P151的归纳出检验增根的方法.4．P151归纳提出检验增的方法的理论根据是什么？5. 教材P154习题第2题是含有字母系数的分式方程，对于学有余力的学生，教师可以点拨一下解题的思路与解数字系数的方程相似，只是在系数化1时，要考虑字母系数不为0,才能除以这个系数. 这种方程的解必须验根.四、课堂引入1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程2．提出本章引言的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v km/h，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程.像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.五、例题讲解（P151）例1.解方程[分析]找对最简公分母x(x-3),方程两边同乘x(x-3),把分式方程转化为整式方程，整式方程的解必须验根这道题还有解法二：利用比例的性质“内项积等于外项积”，这样做也比较简便.（P151）例2.解方程[分析]找对最简公分母(x-1)(x+2),方程两边同乘(x-1)(x+2)时,学生容易把整数1漏乘最简公分母(x-1)(x+2)，整式方程的解必须验根.六、随堂练习解方程（1）（2）（3）（4）七、课后练习1．解方程（1）（2）（3）（4）2．X为何值时，代数式的值等于2？八、答案：六、（1）x=18 （2）原方程无解（3）x=1 （4）x=七、1．（1）x=3（2）x=3 （3）原方程无解（4）x=12. x=课后反思：15．3分式方程(二)一、教学目标：1．会分析题意找出等量关系.2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.二、重点、难点1．重点：利用分式方程组解决实际问题.2．难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系.三、例、习题的意图分析本节的例3不同于旧教材的应用题有两点：（1）是一道工程问题应用题，它的问题是甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快？这与过去直接问甲队单独干多少天完成或乙队单独干多少天完成有所不同，需要学生根据题意，寻找未知数，然后根据题意找出问题中的等量关系列方程.求得方程的解除了要检验外，还要比较甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快，才能完成解题的全过程（2）教材的分析是填空的形式，为学生分析题意、设未知数搭好了平台，有助于学生找出题目中等量关系，列出方程.例4是一道行程问题的应用题也与旧教材的这类题有所不同（1）本题中涉及到的列车平均提速v km/h，提速前行驶的路程为s km.用字母表示已知数（量）在过去的例题里并不多见，题目的难度也增加了；（2）例题中的分析用填空的形式提示学生用已知量v、s和未知数x，表示提速前列车行驶s km所用的时间，提速后列车的平均速度设为未知数x km/h，以及提速后列车行驶（x+50）km所用的时间.这两道例题都设置了带有探究性的分析，应注意鼓励学生积极探究，当学生在探究过程中遇到困难时，教师应启发诱导，让学生经过自己的努力，在克服困难后体会如何探究，教师不要替代他们思考，不要过早给出答案.教材中为学生自己动手、动脑解题搭建了一些提示的平台，给了设未知数、解题思路和解题格式，但教学目标要求学生还是要独立地分析、解决实际问题，所以教师还要给学生一些问题，让学生发挥他们的才能，找到解题的思路，能够独立地完成任务.特别是题目中的数量关系清晰，教师就放手让学生做，以提高学生分析问解决问题的能力.四、例题讲解例3 分析：本题是一道工程问题应用题，基本关系是：工作量=工作效率×工作时间.这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作的时间单位为“月”.等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1例4 分析：是一道行程问题的应用题, 基本关系是：速度=.这题用字母表示已知数（量）.等量关系是：提速前所用的时间=提速后所用的时间五、随堂练习1. 学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个；又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个.2. 一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?3. 甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.六、课后练习1．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。
2019秋人教版八年级数学上册习题课件：第15章 15.3 第2课时 分式方程的应用
解：在不耽误工期的情况下只能选择方案(1)或(3)．设工期为 x 天，则甲队 单独完成需 x 天，乙队单独完成需(x＋5)天，由题意得：4x＋x＋x 5＝1，解得 x＝20，经检验 x＝20 是原方程的解，且符合题意，则方案(1)需工程款 1.5×20 ＝30(万元)，方案(3)需工程款 1.5×4＋1.1×20＝28(万元)，∵28＜30，∴在 不耽误工期的情况下，方案(3)最省工程款．
知识点三：百分率问题
3．(舟山中考)甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测 20 个，甲 检测 300 个比乙检测 200 个所用的时间少 10%，若设甲每小时检测 x 个， 则根据题意，可列出方程： 3x00＝x2－0020×(1－10%) ．
知识点四：商品销售问题 4．(广东中考)某公司购买了一批 A、B 型芯片，其中 A 型芯片的单价比 B 型芯片的单价少 9 元，已知该公司用 3120 元购买 A 型芯片的条数与用 4200 元购买 B 型芯片的条数相等． (1)求该公司购买的 A、B 型芯片的单价各是多少元？ (2)若两种芯片共购买了 200 条，且购买的总费用为 6280 元，求购买了多少 条 A 型芯片？
【规范解答】(1)设 B 型机器人每小时搬运 x 千克材料，则 A 型机器人每小 时搬运(x＋30)千克材料．根据题意，得x1＋00300＝8x00.解得 x＝120.经检验，x ＝120 是原方程的解，且符合题意．当 x＝120 时，x＋30＝150.答：A 型机 器人每小时搬运 150 千克材料，B 型机器人每小时搬运 120 千克材料； (2)设购进 A 型机器人 a 台，则购进 B 型机器人(20－a)台．根据题意，得 150a ＋120(20－a)≥2800.解得 a≥430.∵a 是整数，∴a≥14.答：至少购进 A 型机 器人 14 台.
人教版八年级数学上册：15.3分式方程(教案)
-鼓励学生在日常生活中发现并解决分式方程问题，提高数学素养
7.课后作业（课后自主完成）
-针对本节课所学内容，布置课后习题，巩固所学知识
-鼓励学生自主探索、拓展学习，提高解题能力
五、教学反思
在本次分式方程的教学中，我发现学生们对于分式方程的概念和求解方法的理解总体上是不错的。他们能够跟随我的讲解，逐步掌握去分母、移项等基本操作。然而，我也注意到，部分学生在面对高次分式方程或者分式方程组时，会感到困惑，这成为了他们学习的难点。
举例：重点讲解分式方程2/(x-3) = 1/(x+2)，突出求解过程中每一步的关键操作，如交叉相乘去分母，合并同类项等。
2.教学难点
-分式方程去分母的技巧：对于复杂的分式方程，如何选择合适的去分母方法，避免出现计算错误。
-高次分式方程的求解：涉及高次方程的求解，如何运用降次或其他数学方法简化问题。
人教版八年级数学上册：15.3分式方程（教案）
一、教学内容
人教版八年级数学上册：15.3分式方程
1.分式方程的定义与特点
2.分式方程的求解方法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
3.应用题：利用分式方程解决实际生活中的问题
4.分式方程的常见类型及解题技巧
a.简单分式方程
b.复杂分式方程
c.高次分式方程
三、教学难点与重点
1.教学重点
-分式方程的定义及其基本性质：理解分式方程中分子、分母的关系，掌握分式方程的基本形式。
-分式方程的求解方法：重点讲解去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，强调每一步的运算规则。
-分式方程的验根方法：教会学生如何检验求得的解是否满足原方程，确保解的正确性。
八年级上册数学15.3第2课时列分式方程解决实际问题
课堂练习
7．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以 体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球 ，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价 格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买 足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍． （1）足球和篮球的单价各是多少元？
.
甲队 乙队
工作时间（月） 工作效率
1 1
1
2
3
1
1
2
x
工作总量（1）
(1 1 ) 1 23
11 2x
探索新知
知识点 列分式方程解决实际问题
等量关系： 甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”
(1 1 ) 1
11
23
2x
列得分式方程：1 1 1 1 1 1.
2 3 2 x
探索新知
解得 x sv
.
50
检验：由v，s都是正数，得 x sv
时，x(x+v)≠0.
50
所以，原分式方程的解为 x sv
.
50
答：提速前列车的平均速度为 sv
50
km/h.
探索新知
知识点 列分式方程解决实际问题
列分式方程解决实际问题的一般步骤 1.审：审清题意，分清题中的已知量、未知量； 2.找：找出题中的相等关系， 3.设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性； 4.列：根据题中的相等关系，正确列出分式方程； 5.解：解所列分式方程；
．
﹣
＝30
课堂练习
6．某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元 在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每 件多少元？
人教版八年级数学上册教案：15.3.2 列分式方程解决实际问题
在数字问题中要掌握十进制数的表示法.
(3)工程问题
基本公式：________________；
(4)顺水逆水问题
顺水速度＝____________；逆水速度＝____________．
温故知新，唤醒学生的已有知识体系，为本节课作知识的铺垫.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】问题：一艘轮船顺水航行40千米所用的时间与逆水航行30千米所用的时间相同，若水流速度为3千米/时，求轮船在静水中的速度.分析：设轮船在静水中的速度为x千米/时，则顺水航行的速度为________千米/时，逆水航行的速度为________千米/时，顺水航行的时间为________时，逆水航行的时间为________时，根据题意，可得方程________________________________.1.利用课件提出实际应用问题：求出车速.
解得x＝1.
检验：当x＝1时，6x≠0.所以，原分式方程的解为x＝1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的 ，可知乙队的施工速度快.
1.通过例题教学使学生掌握基础知识、基本的运算方法，掌握解决数学问题的基本技能，增强学生解决问题的能力.2.通过例题教学使学生掌握基本的数学语言、规范其解题书写格式.3.通过例题教学提高学生分析问题解决问题的能力.
(4)列车提速前行驶skm所用的时间与列车提速后行驶(s＋50)km所用的时间相同；(5) ， ；(6) ＝
解：设提速前这次列车的平均速度为xkm/h，则提速前它行驶skm所用时间为 h；提速后列车的平均速度为(x＋v)km/h，提速后它行驶(s＋50)km所用时间为 h.根据行驶时间的等量关系，得 ＝ .
新人教版初中数学8年级上册15.3分式方程第2课时
15.3分式方程(2)学教目标：1．进一步了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的根.学教重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的根. 学教难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的根. 学教过程：一、温故知新：1、前面我们已经学习了哪些方程2、整式方程与分式方程的区别在哪里？3、解分式方程的步骤是什么？4、解分式方程 ⑴11122x x =-- ⑵ 263x x x x -=--二、学教互动：1、解方程214111x x x +-=--2、()()31112x x x x -=--+ [分析]找对最简公分母,去分母时别忘漏乘12、当x = 时代数式2234x x x +-与22449x x x -+-的值互为倒数。
三、随堂练习： ⑴3222x x x =--- （2）311236x x -+-=（3）2127111x x x +=+-- （4） 2536111x x x-=+--四、反馈检测 （1）方程2332x x =--的解是 ， （2）若x =2是关于x 的分式方程2372a x x +=的解，则a 的值为 （3）下列分式方程中，一定有解的是（ ）A ．103x =- B 1=- C ．2111x x x =-- D ．2211x x =+-⑷解方程①2373226x x +=++ ②2512552x x x +=+-③3233x x x =--- ④ 2211566x x x x =+-++五、小结与反思：。
人教版八年级数学上册15.3.2《列分式方程解决实际问题》教学设计
人教版八年级数学上册15.3.2《列分式方程解决实际问题》教学设计一. 教材分析人教版八年级数学上册15.3.2《列分式方程解决实际问题》这一节主要讲述了如何利用分式方程来解决实际问题。
学生在学习了分式方程的知识后，需要运用这些知识解决一些实际问题，从而加深对分式方程的理解和应用。
本节内容是分式方程应用的一个例子，通过解决实际问题，让学生掌握分式方程在实际问题中的应用。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经掌握了分式方程的基本知识，能够熟练地列出分式方程。
但是对于如何选择合适的等量关系，以及如何将实际问题转化为分式方程，可能还存在一些困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生正确地选择等量关系，并将实际问题转化为分式方程。
三. 教学目标1.理解分式方程在解决实际问题中的应用。
2.能够正确选择等量关系，并将实际问题转化为分式方程。
3.通过解决实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：分式方程在解决实际问题中的应用。
2.教学难点：如何选择合适的等量关系，并将实际问题转化为分式方程。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过解决实际问题，引导学生运用分式方程的知识。
在教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动思考，提高学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生运用分式方程。
2.准备多媒体教学设备，用于展示问题和解答过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何利用分式方程来解决问题。
例如：甲、乙两地相距100公里，甲地有一批货物需要运往乙地，如果每小时运60公里，则4小时可以运完。
如果每小时运80公里，则需要多少时间才能运完？2.呈现（10分钟）呈现更多的实际问题，让学生独立思考如何列出分式方程。
例如：一个长方形的周长是36厘米，长是10厘米，求宽是多少厘米？3.操练（15分钟）让学生分组讨论，尝试解决呈现的问题。
人教版八年级数学上册15.3.2《分式方程(第2课时)》
人教版义务教育教科书八年级数学上册
15.3 《分式方程（二）》第2课时教学设计
一、教材分析
1、地位作用：
本节“分式方程”是继一元一次方程，二元一次方程组之后，初中阶段所讲授的又能一种方程的解法。
本节课是在继分式的内容及分式的四则混合运算之后所讲述的一个内容，其实际上就是分式与方程的综合。
因此本节课可以看作是一个综合课，同时分式方程的解法也是初中阶段的一个重点内容，要求学生必须掌握。
2、教学目标：
(1)、了解解分式方程的基本思路和解法；理解解分式方程产生增根的原因，并掌握分式方程的验根方法。
（2）、经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展学生分析问题，解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识。
3、教学重、难点
重点：解分式方程的基本思路和解法。
难点：理解解分式方程产生增根的原因。
突破难点的方法：以典型例子为范,说明通过去分母得到的解必须经过验根.,当这个解使得分式方程分母不为0时,才是分式方程的解。
二、教学准备：多媒体课件、导学案
三、教学过程
- 4 -。
人教版八年级数学上册15.3分式方程(教案)
1.对于分母处理这个难点，我将设计更多有针对性的练习题，让学生多加练习，熟练掌握通分和约分的技巧。
2.在实践活动和小组讨论环节，我会尽量选择与生活密切相关的问题，激发学生的兴趣，引导他们积极参与。
3.加强课堂互动，鼓励学生提问和发表观点，及时解答他们的疑惑，提高课堂效果。
4.注重培养学生的细心和严谨，提醒他们在解题过程中关注细节，避免出错。
人教版八年级数学上册15.3分式方程（教案）
一、教学内容
人教版八年级数学上册15.3分式方程：
1.分式方程的定义与特点；
2.分式方程的求解方法，包括去分母、去括号、移项、合并同类项等；
3.应用问题：根据实际情境列出分式方程，并解决相关问题；
4.分式方程在实际生活中的应用实例。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学语言表达现实问题的能力，提高抽象概括和建模素养；
此外，在小组讨论环节，有的小组讨论不够深入，可能是因为我对主题的引导不够明确。在今后的教学中，我将加强对学生的引导，鼓励他们提出更多有见地的观点，提高讨论质量。
还有一个值得注意的问题是，部分学生在解题过程中容易忽视细节，导致最终答案出错。我需要在教学中强调细心和严谨的重要性，提醒学生注意审题和检查，培养他们良好的解题习惯。
-分式方程求解过程中的移项和合并同类项，尤其是对于含有多个变量的分式方程；
例：演示如何将含有多个变量的分式方程3/(2x-1) - 5/(x+3) = 2/(x-2)进行移项和合并同类项。
-将实际情境转化为分式方程的能力，尤其是对于复杂问题的抽象和建模；
例：针对实际问题（如两个不同速度的人同时出发，问多长时间后两人相距一定距离），指导学生如何建立分式方程。
人教版八年级数学上册15.3 第2课时 分式方程的应用
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想一想：本题的等量关系还可以怎么找？ 甲队单独完成的工作总量+两队合作完成的工作总量=“1”
知识要点
行程问题 1.注意关键词“提速”与“提速到”的区别； 2.明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来； 3.行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程。 列分式方程解应用题的一般步骤 1.审:清题意，并设未知数; 2.找:相等关系，3.列:出方程；4. 解:这个分式方程;5.验:根（包括两方面 :(1)是否是分式方程
方程两边同乘以x（x+3），得： 2（x＋3）＋x2=x（x＋3）
解得： x=6 检验：x＝6时x（x+3）≠0，x＝6是原方程的解.
答：规定日期是6天.
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2.一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达.已知 A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/小时，求轮船在静水
中的速度. 解：设船在静水中的速度为x千米/小时,根据题意得
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第十五章 分 式
15.3 分式方程
第2课时 分式方程的应用
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
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学习目标
1.在不同的实际问题中审明题意设未知数，列分式方程解决 实际问题.（重点）
2.在不同的实际问题中，设未知数列分式方程.（难点）
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导入新课
问题引入
1.解分式方程的基本思路是？ 分式方程 转化 去分母 整式方程
2.解分式方程有哪几个步骤？
人教版数学八年级上册15.3.2分式方程的应用(教案)
2.教学难点
（1）理解实际问题的等量关系，将问题转化为分式方程。
-难点举例：在商场打折问题中，学生需要理解原价、折数与现价之间的关系，并能够将其转化为分式方程。
（2）在解决分式方程时，对分母的处理，避免出现除以零的情况。
-难点举例：在工资问题中，学生需注意分母不能为零的情况，确保方程有意义。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式方程的基本概念。分式方程是含有未知数的分式等式，它在表示比例关系、解决实际问题时具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设某人以固定速度行驶，我们需要计算他在不同时间内能行驶多远。这个案例将展示分式方程在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
在教学过程中，教师应针对上述重点和难点内容，采用生动的实例、图示和实际操作等方式，帮助学生形象理解，并逐步引导他们通过自主探究、合作交流等方法，突破难点，掌握分式方程的应用和解题技巧。同时，教师应注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，提高他们对数学学科的兴趣和认识。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
人教版数学八年级上册15.3.2分式方程的应用（教案）
一、教学内容
人教版数学八年级上册15.3.2分式方程的应用。本节课我们将围绕以下内容展开：
1.掌握分式方程在实际问题中的应用。
2.学会列分式方程解决实际问题，理解等量关系。
3.能够解决涉及分数、比例、百分比等实际问题的分式方程。
具体内容包括：
（1）行程问题：如甲、乙两地相距x公里，某人从甲地出发，以v1公里/小时的速度行驶，另一个人从乙地出发，以v2公里/小时的速度行驶，问多少小时后两人相遇？
人教版八年级数学上册 教案：15.3 第2课时 分式方程的应用1【精品】
第2课时 分式方程的应用1．使学生能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学生分析问题和解决问题的能力．(重点)2．用分式方程解决现实情境中的问题，通过分式方程的应用教学，培养学生的数学应用意识．(难点)一、情境导入1．引导学生回顾列方程解应用题的一般步骤．学生积极思考，并交流、讨论总结出： 第一步，审清题意；第二步，根据题意设未知数；第三步，列式子并找出等量关系，建立方程；第四步，列方程，并解出答案；第五步，检查方程的解是否符合题意；最后作答．2．提问：分式方程的应用题应该怎么解呢？二、合作探究探究点：分式方程的应用【类型一】 由实际问题抽象出分式方程几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原少分摊3元车费，若设原参加旅游的学生有人，则所列方程为( )A.180x －180x ＋2＝3B.180x ＋2－180x＝3 C.180x －180x －2＝3 D.180x －2－180x＝3解析：本题的等量关系为：原每人分摊的钱数－实际每人分摊的钱数＝3.原参加旅游的学生有人，则增加两人后人数是(＋2)人，由题意得180x－180x＋2＝3，故选A.方法总结：解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系．【类型二】工程问题抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？解析：设甲队单独完成需要小时，则乙队需要(＋3)小时，根据等量关系“甲工效×2＋乙工效×甲队单独完成需要时间＝1”列方程．解：设甲队单独完成需要小时，则乙队需要(＋3)小时．由题意得：2x＋xx＋3＝1.解得＝6.经检验＝6是方程的解．∴＋3＝9.答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时．方法总结：解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．【类型三】行程问题从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．(1)求普通列车的行驶路程；(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．解析：(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可；(2)设普通列车的平均速度是千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可．解：(1)根据题意得400×1.3＝520(千米)．答：普通列车的行驶路程是520千米；(2)设普通列车的平均速度是千米/时，则高铁的平均速度是2.5千米/时，根据题意得520x －4002.5x＝3，解得＝120，经检验＝120是原方程的解，则高铁的平均速度是120×2.5＝300(千米/时)．答：高铁的平均速度是300千米/时．方法总结：解决问题的关键是分析题意，找到关键描述语和合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式是：路程＝速度×时间．【类型四】 图表信息类问题某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？解析：设排球的单价为元，则篮球的单价为(＋60)元，根据“总价÷单价＝数量”的关系建立方程．解：设排球的单价为元，则篮球的单价为(＋60)元，根据题意，列方程得：2000x ＝3200x ＋60.解得＝100.经检验，＝100是原方程的根，当＝100时，＋60＝160.答：排球的单价为100元，篮球的单价为160元．方法总结：解答此类问题要结合图表提供的信息，找出相等关系列方程．【类型五】 销售盈亏问题佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．(1)求第一次水果的进价是每千克多少元？(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？解析：(1)根据第二次购买水果数多20千克，可得出方程，解出即可得出答案；(2)先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量×(实际售价－当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了．解：(1)设第一次购买的单价为元，则第二次的单价为1.1元，根据题意得14521.1x－错误!＝20，解得＝6.经检验，＝6是原方程的解．(2)第一次购买水果1200÷6＝200(千克)．第二次购买水果200＋20＝220(千克)．第一次赚钱为200×(8－6)＝400(元)，第二次赚钱为100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6)＝－12(元)．所以两次共赚钱400－12＝388(元)．答：第一次水果的进价为每千克6元；该老板两次卖水果总体上是赚钱了，共赚了388元．方法总结：本题具有一定的综合性，应该把问题分解成购买水果和卖水果两部分分别考虑，掌握这次活动的流程．三、板书设计分式方程的应用列分式方程解应用题的一般步骤是：第一步，审清题意；第二步，根据题意设未知数；第三步，根据题目中的数量关系列出式子，并找准等量关系，列出方程；第四步，解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；最后作答．在教学方法上，为了充分调动学生学习的积极性，使学生主动愉快地学习，采用启发讲授、合作探究、讲练相结合的教学方式．在课堂教学过程中努力贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生列表分析、找重点语句、探寻等量关系等，使学生充分地动口、动脑，参与教学全过程．。
人教版八年级数学上册 教案：15.3 第2课时 分式方程的应用2【精品】
第2课时 分式方程的应用学教目标：1、能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结。
2、通过日常生活中的情境创设，经历探索分式方程应用的过程，提高学生运用方程思想解决问题的能力,和思维水平。
3、在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，引导学生努力寻找解决问题的方法，体会数学的应用价值。
学教重点：实际生活中分式方程应用题数量关系的分析。
学教难点：将复杂实际问题中的等量关系用分式方程表示, 并进行归纳总结 学教过程：一、温故知新1.解方程2.列方程（组）解应用题的一般步骤是什么？（1） ；（2） （3）解所列方程；（4）检验所列方程的解是否符合题意；（5）写出完整的答案。
3.列方程（组）解应用题的关键是什么？4、轮船在顺水中航行20千米与逆水中航行10千米所用时间相同，水流速度为2.5千米/小时，求轮船的静水速度。
5. 甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度. 3152422236x x x -+-+=-二、学教互动：（自主探究）例4分析：这是一道行程问题的应用题，本题中涉及到的列车平均提速v千米/时，提速前行驶的路程为s千米，基本关系是：速度=路程/时间。
等量关系是：提速前所用的时间=提速后所用的时间。
设未知数、列方程是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，正确地理解问题情境，分析其中的等量关系是设未知数、列方程的基础. 可以多角度思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻找等量关系，解分式方程应用题必须双检验：（1）检验方程的解是否是原方程的解；（2）检验方程的解是否符合题意.认真审题，然后回答下列问题：1、速度之间有什么关系？时间之间有什么关系？2、怎样设未知数，根据哪个关系？3、题中有哪些相等关系？怎样列方程？三、拓展延伸：1．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后由于把速度加快1/5，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。
人教版2019年中学数学八年级上册15.3 分式方程(第2课时)教学详案
15.3 分式方程(第2课时)教学目标1.会分析题意，找出等量关系，会列出分式方程解简单应用题.2.知道检验时既要检验整式方程的根是不是所列分式方程的根，还要检验分式方程的根是不是符合实际问题与题意.3.通过列分式方程解应用题，渗透方程思想，同时培养学生分析问题和解决问题的能力. 教学重点难点重点：列分式方程解应用题.难点：根据题意找出等量关系，正确列出方程.课前准备多媒体课件教学过程导入新课教师提出问题，引入课题(出示多媒体课件).活动一：1.教师提问：解分式方程的一般步骤是什么？请学生代表回答：(1)去分母(方程两边都乘最简公分母，化为整式方程).(2)解这个整式方程.(3)检验.把整式方程的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使最简公分母为零的值是原方程的增根，必须舍去.2.教师出示问题：解方程：(1)2x +x x+3=1；(2)15x =2×15x+12.教师请两名学生板演，其余学生独立完成，教师巡回指导.解：(1)方程两边都乘x(x+3)，得2(x +3)+x 2=x 2+3x ，即2x －3x=－6，所以x=6.检验：当x=6时，x(x+3)=6(6+3)≠0，所以x=6是原分式方程的根.(2)方程两边都乘x(x+12)，得15(x+12)=30x.解这个整式方程，得x=12.检验：当x=12时，x(x+12)=12(12+12)≠0，所以x=12是原分式方程的根.这节课我们就来学习利用分式方程解实际问题.探究新知活动二：教师出示例题.两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？师生共同分析：甲队1个月完成总工程的13，设乙队单独施工1个月能完成总工程的1x ，那么甲队半个月完成总工程的 ，乙队半个月完成总工程的 ，两队半个月完成总工程的 .题目中的等量关系为： .列方程的关键是 .教师和学生分析的同时，让学生回答题目中的问题.答案为：16，12x ，16+12x ，甲队施工1个月的工作量+甲、乙两队共同施工半个月的工作量=总工作量.列方程的关键是找出等量关系. 教师请两名学生板演，其余学生做在练习本上，教师巡视指导，对学习有困难的学生加以点拨，做完后教师和学生一起评判黑板上做题的情况.解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的1x .由题意得13+16+12x =1， 2x+x+3=6x ，x=1.经检验x=1是原分式方程的解，且符合题意.∵ 1>13，∴ 乙队施工速度快.教师强调：这是一个分式方程，在学习了分式方程之后，我们可以解决的应用题范围扩大了，除了在所列的方程中出现了分式和分式方程要验根外，它和我们曾经见过的应用题没有什么区别.师：刚才老师和大家一起学习了列分式方程解应用题，请同学们归纳一下解应用题的一般步骤.学生先自己思考，然后小组一起讨论，得出结论后请学生代表回答，教师点拨归纳：(1)审：分析题意，找出数量关系和相等关系.(2)设：选择恰当的未知数，注意单位和语言完整.(3)列：根据数量和相等关系，正确列出方程.(4)解：认真仔细解这个分式方程.(5)验：检验.(6)答：注意单位和语言完整.新知应用例 某列车平均提速v km/h ，用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50 km ，求提速前列车的平均速度.师生共同分析：这里的字母v ，s 表示已知数据，设提速前这次列车的平均速度为x km/h ，那么提速前列车行驶s km 所用时间为 h ，提速后列车的平均速度为 km/h ，提速后列车运行(s+50)km 所用时间为 h.根据“用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50 km ”可列方程求解.教师和学生分析的同时，让学生回答题目中的问题.答案为：s x ，(x+v)，s+50x+v .师生活动教师尝试让学生自主探索，独立完成例题，并请两名学生进行板演，教师巡视，了解学生解题的情况，对学习有困难的学生给予个别指导.最后，在互动中得出正确的解题步骤，以及解题中应注意的问题.解：设提速前该列车的平均速度为x km/h ，依题意得s x =s+50x+v .方程两边同时乘x(x+v)，整理得50x=sv.解这个方程，得x=sv 50. 检验：由于v ，s 都是正数，x=sv 50时，x(x+v)≠0，所以x=sv 50是原分式方程的解.教师强调：上面的例题中，出现了用一些字母表示已知数据的形式，这在分析问题寻找规律时经常出现.例题中的方程是以x 为未知数的分式方程，其中v ，s 是已知数，根据它们所表示的实际意义可知，它们是正数.课堂练习(见导学案“当堂达标”)参考答案1.B2.B3.64.解：设这条城际铁路的现行速度是x km/h.由题意,得120x ×25=114x+110.解这个方程,得x=80.经检验x=80是原方程的根,且符合题意.且120x ×25=12080×25=0.6(h). 答：建成后的城际铁路的运行时间是0.6 h.5.解：(1)设这个工程队原计划每天修建道路x 米.由题意,得1 200x = 1 200(1+50%)x +4,解得x=100.经检验x=100是原方程的解.答：这个工程队原计划每天修建100米.(2)1 200100=12(天),12-2=10(天),1 20010=120(m),120−100100×100%=20%.答：实际平均每天修建道路的工效比原计划增加20%.6.解：设此商品的进价为每件x 元.根据题意，得6 00025%x =6 000+40010%x -80.解得x=500.经检验可知，x=500是原分式方程的解，并符合题意.6 000+40010%x = 6 40010%×500=128.答：此商品的进价是每件500元，商场第二个月共销售128件商品.7.解：(1)设乙单独整理需要x 分钟.根据题意，得2040+20+20x =1.解得x=80.经检验，x=80是原方程的解且符合题意.答：乙单独整理需要80分钟.(2)设甲整理y 分钟才能完工.根据题意，得3080+y 40≥1.解得y ≥25.答：甲至少整理25分钟才能完工.课堂小结今天我们学习了：1.列分式方程解应用题，应该注意解题的六个步骤.2.列方程的关键是在准确设元(可直接设，也可间接设)的前提下找出等量关系.3.可通过画图或列表来帮助分析题意、找等量关系.4.注意不要忘记检验和写答案.布置作业教材154页第3、4、5、6题.板书设计教学反思本节课的教学重点是让学生建立分式方程的思维模型,会根据题中的条件找出等量关系,列出分式方程并解答.教学中让学生回忆所学过的应用题的类型及数量关系,有利于学生对本节课的学习.学习例题时,可让学生在小组内讨论、交流思路和想法,同时教师指导学生运用表格寻找等量关系;例题的步骤可由师生共同板演给出,这样可以使学生加深对应用题的审、设、列、解、验、答这“六步”的认识,特别是“验”,教师可重点强调.。
15.3 分式方程【教案】八年级上册数学
第1课时分式方程课时目标1.让学生经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识.2.通过探究分式方程解法的过程,让学生感受增根产生的合理性及验根的必要性,提升学生思维的深度认知.3.通过使学生经历运用所学知识解分式方程的过程,让学生体会化归的数学思想和数学知识之间的内在联系,进一步提高学生的运算能力.学习重点分式方程的解法.学习难点理解解分式方程时可能无解的原因.课时活动设计新知引入一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它以最大航速沿江顺流航行90千米所用的时间,与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等,江水的流速为多少?分析:设江水的流速为v千米/时,(1)轮船顺流航行速度为30+v千米/时,逆流航行速度为30-v千米/时;(2)顺流航行90千米的时间为9030+v 小时,逆流航行60千米的时间为6030−v小时;(3)根据题意可列方程为9030+v =6030−v.想一想,像这样的方程属于什么方程,应该怎样解呢?设计意图:通过经历实际问题→列分式方程,让学生体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型,发展学生分析问题和解决问题的能力,培养应用意识,激发学生的探究欲与学习热情,为探索分式方程的解法做准备.探究新知探究1 分式方程的概念问题1:什么是方程?我们学习过哪些方程?它们都是怎么定义的? 学生代表发言,教师总结.教师引导学生通过类比的方法得到分式方程的概念.分式方程的概念:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 分式方程的特征:①是等式;②分母中含有未知数. 问题2:下列关于x 的方程中哪些是分式方程? (1)1x =5;(2)x5=1;(3)x 2-x +13=0; (4)2x+2-1x ;(5)4x +3y =7;(6)12x 2-2a =1. 学生独立完成.探究2 分式方程的解法 1.解方程:2x -13-3x -12=116.请两名学生上台板演,教师给出正确的解答过程. 解:去分母,得2(2x -1)-3(3x -1)=11. 去括号,得4x -2-9x +3=11. 移项,得4x -9x =11+2-3. 合并同类项,得-5x =10. 系数化为1,得x =-2. 2.解分式方程:9030+v =6030−v .分析:先将分式方程转化为整式方程.解:9030+v =6030−v去分母,两边同乘(30+v )(30-v )90(30-v )=60(30+v )去括号2 700-90v =1 800+60v移项-90v -60v =1 800-2 700合并同类项-150v =-900系数化为1v =6思考:v =6是原分式方程的解吗?将v =6代入原方程中,左边=52=右边,因此v =6是原分式方程的解.总结:解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母.探究3 增根 解方程:1x -5=10x 2-25.解:方程两边同乘最简公分母(x -5)(x +5),得整式方程x +5=10. 解得x =5.将x =5代入原分式方程检验,分母x -5和x 2-25的值都为0,相应的分式无意义. 所以这个分式方程无解.思考:上面两个分式方程中,为什么9030+v =6030−v ①去分母后所得整式方程的解就是①的解,而1x -5=10x 2-25②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢?学生分小组进行交流,学生代表发言,教师总结.总结:一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此应做如下检验:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解.设计意图:引导学生观察、反思、对比方程①②的解法,得出解分式方程时检验的必要性和具体检验方法.让学生经历这样的探究过程,促使学生深刻地领悟数学知识、数学方法产生的合理性,有利于提升学生的思维能力.典例精讲 例 解方程:(1)2x -3=3x ; (2)xx -1-1=3(x -1)(x+2).解:(1)方程两边同乘x (x -3),得2x =3x -9.解得x =9. 检验:当x =9时,x (x -3)≠0. 所以,原分式方程的解为x =9.(2)方程两边同乘(x -1)(x +2),得x (x +2)-(x -1)(x +2)=3.解得x =1. 检验:当x =1时,(x -1)(x +2)=0,因此x =1不是原分式方程的解. 所以,原分式方程无解.设计意图:通过例题,使学生熟悉解分式方程的步骤以及检验方法,规范解题步骤及书写格式,加深学生对分式方程解法的认识.课堂小结1.分式方程的概念是什么?2.怎样解分式方程?设计意图:让学生自己总结本节课的内容,帮助学生巩固所学知识,培养学生的总结概括能力.课堂8分钟.1.教材第150页,152页练习,第154页习题15.3第1题.2.作业.第1课时分式方程一、分式方程的概念.二、解分式方程的基本思想——化归.三、解分式方程的一般步骤:1.化——化分式方程为整式方程(去分母);2.解——解整式方程;3.检验——检验所得整式方程的解是否为原分式方程的解.四、例题讲解.教学反思第2课时分式方程的实际应用——工程、行程问题课时目标1.让学生经历用分式方程解决实际问题的过程,体会分式方程是刻画现实世界问题的有效数学模型,培养学生的建模思想.2.通过让学生列分式方程解决具体实际问题,培养学生的数学应用意识,提高学生分析问题和解决实际问题的能力.3.通过列分式方程解应用题,使学生进一步掌握列方程解应用题的方法和步骤,体会检验的必要性,渗透方程思想.学习重点会列分式方程解决实际问题. 学习难点实际问题中相等关系的提炼及转化为方程的过程. 课时活动设计回顾旧知1.解分式方程:1x -2+1=x+12x -4.2.列方程解决实际问题的一般步骤: 审、设、列、解、验、答 .3.常见等量关系式:路程=时间×速度;工作总量=工作效率×工作时间;顺水速度=静水速度+水流速度,逆水速度=静水速度-水流速度;利润=售价-进价.设计意图:复习解方程的步骤、列方程解决实际问题的步骤和常见等量关系式,唤醒学生已有的知识体系,为本节课的学习作铺垫.探究新知问题:一艘轮船顺水航行40千米所用的时间与逆水航行30千米所用的时间相同,若水流速度为3千米/时,求轮船在静水中的速度.分析:设轮船在静水中的速度为x 千米/时,则顺水航行的速度为 x +3 千米/时,逆水航行的速度为 x -3 千米/时,顺水航行的时间为 40x+3 小时,逆水航行的时间为 30x -3 小时,根据题意,可得方程 40x+3=30x -3 .解:设轮船在静水中的速度为x 千米/时,则40x+3=30x -3,解得x =21. 检验:当x =21时,(x +3)(x -3)≠0, 所以,x =21是原分式方程的解. 答:轮船在静水中的速度为21千米/时.对比列整式方程解应用题的步骤,学生交流讨论、教师归纳总结出列分式方程解实际问题的步骤:审、设、列、解、验、答.设计意图:用同学们熟悉的实际问题引入分式方程的模型,激发学生对本节课学习的兴趣.通过这道实际问题的解决,加深学生对解分式方程的步骤及解应用题的步骤的认识.典例精讲例1 两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的13,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成.哪个队的施工速度快?解:设乙队单独施工1个月能完成总工程的1x .记总工程量为1,根据工程的实际进度,得13+16+12x =1.方程两边乘6x ,得2x +x +3=6x.解得x =1. 检验:当x =1时,6x ≠0. 所以,原分式方程的解为x =1.由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,对比甲队1个月完成任务的13,可知乙队的施工速度快.例2 某次列车平均提速v km/h .用相同的时间,列车提速前行驶s km,提速后比提速前多行驶50 km,提速前列车的平均速度是多少?解:设提速前这次列车的平均速度为x km/h,则提速前它行驶s km 所用时间为s xh;提速后列车的平均速度为(x +v )km/h,提速后它行驶(s +50)km 所用时间为s+50x+vh .根据行驶时间的等量关系,得s x =s+50x+v .方程两边乘x (x +v ),得s (x +v )=x (s +50).解得x =sv50. 检验:由v ,s 都是正数,得x =sv50时,x (x +v )≠0. 所以,原分式方程的解为x =sv 50. 答:提速前列车的平均速度为sv 50 km/h .设计意图:通过例题让学生巩固解题步骤,规范书写格式,亲身体验建立分式方程解决实际问题的过程,提高学生分析问题和解决问题的能力.课堂小结1.列分式方程解决实际问题的一般步骤是什么?2.工程、行程问题中都存在哪些等量关系式?设计意图:通过小结,让学生回顾本节课所学内容,提高学生的归纳总结能力.课堂8分钟.1.教材第154页练习第1,2题,第154页习题15.3第3题.2.作业.第2课时分式方程的实际应用——工程、行程问题一、列分式方程解决实际问题的一般步骤:审、设、列、解、验、答.二、例题讲解.教学反思第3课时 分式方程的实际应用——销售及其他问题课时目标1.通过使学生经历用分式方程解决销售问题的过程,体会分式方程是刻画现实世界问题的有效数学模型,培养学生的建模思想.2.通过让学生列分式方程解决销售问题,培养学生的数学应用意识,提高学生分析问题和解决实际问题的能力. 学习重点会列分式方程解决销售问题. 学习难点销售问题中相等关系的寻找及转化为方程的过程. 课时活动设计回顾旧知1.列分式方程解决实际问题的一般步骤: 审、设、列、解、验、答 ;2.销售问题中基本量之间有什么关系? 利润= 售价-进价 ;利润率= 利润进价;总价= 单价×数量 ;打折后的销售价= 单价×折扣 ;……设计意图:通过复习列分式方程解决实际问题的步骤和销售问题中常见的基本量之间的关系,唤起学生已有的知识体系,为本节课的学习做好准备.探究新知问题:在某“爱心义卖”活动中,商家购进甲、乙两种文具,甲每个进货价比乙高10元,90元购买乙的数量与150元购买甲的数量相同.求甲、乙的进货价.分析:设甲的进货价为x 元,则乙的进货价为 x -10 元,150元可以购买甲的数量为 150x 个,90元可以购买乙的数量为 90x -10 个,根据题意,可得方程150x=90x -10 .解:设甲的进货价为x 元/个,则150x=90x -10,解得x =25.经检验,当x =25时,x (x -10)≠0,所以x =25是原分式方程的解. x -10=25-10=15.答:甲的进货价为25元/个,乙的进货价为15元/个.设计意图:用同学们熟悉的实际问题题引入分式方程的模型,激发学生们对本节课学习的兴趣,加深学生对解分式方程的步骤和解应用题步骤的认识.典例精讲例 某超市用5 000元购进一批新品种的苹果进行试销,由于销售状况良好,超市又用11 000元购进该品种的苹果,但这次的进货价比试销时的进货价每千克多了0.5元,购进苹果的数量是试销时的2倍.(1)试销时该品种的苹果的进货价是每千克多少元?(2)如果超市将该品种的苹果每次都按每千克7元的定价出售,当大部分苹果售出后,余下的400千克按定价的七折(“七折”即定价的70%)售完,那么超市两次销售该品种苹果共赢利多少元?解:(1)设试销时该品种的苹果的进货价是每千克x 元. 根据题意,得2×5000x=11000x+0.5,解得x =5.经检验,x =5是原分式方程的解.答:试销时该品种的苹果的进货价是每千克5元. (2)试销时购进苹果的数量为50005=1 000(千克),第二次购进苹果的数量为2×1000=2 000(千克).赢利为(1 000+2 000-400)×7+400×7×0.7-5 000-11 000=4 160(元). 答:超市两次销售该品种苹果共赢利4 160元.设计意图:通过例题引导学生再次体会建立分式方程解决销售问题的过程,增强学生对销售问题中基本量之间关系的深刻理解,培养学生的应用意识.教学中,教师应注意鼓励学生积极探究,充分发挥学生的主观能动性,让学生经过自己的努力,最终解决实际问题,体验到获得成功后的喜悦.巩固训练某商城销售一种商品,第一个月将此商品的进价提高25%作为销售价,共获利6 000元.第二个月商场搞促销活动,将商品的进价提高10%作为销售价,第二个月的销售量比第一个月增加了80件,并且商场第二个月比第一个月多获利400元.此商品的进价是每件多少元?商场第二个月共销售此商品多少件?解:设此商品的进价为每件x 元.根据题意,得6000+40025%x =600025%x +80,解得x =500.经检验,x =500是原分式方程的解.6000+40010%×500=128(件).答:此商品的进价是每件500元,商场第二个月共销售此商品128件.设计意图:通过练习巩固所学,提高学生分析和解决问题的能力.课堂小结1.列分式方程解决实际问题的步骤是什么?2.销售问题中常见量之间有什么关系?设计意图:通过小结,让学生回顾本节课所学内容,提高学生的归纳总结能力.课堂8分钟.1.教材第155页习题15.3第7,8题.2.作业.第3课时 分式方程的实际应用——销售及其他问题一、列分式方程解决实际问题的一般步骤:审、设、列、解、验、答.二、销售问题中常见量之间的关系.三、例题讲解教学反思。
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第2课时 分式方程的应用
1．使学生能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学生分析问题和解决问题的能力．(重点)
2．用分式方程来解决现实情境中的问题，通过分式方程的应用教学，培养学生的数学应用意识．(难点)
一、情境导入
1．引导学生回顾列方程解应用题的一般步骤．学生积极思考，并交流、讨论总结出： 第一步，审清题意；
第二步，根据题意设未知数；
第三步，列式子并找出等量关系，建立方程；
第四步，列方程，并解出答案；
第五步，检查方程的解是否符合题意；
最后作答．
2．提问：分式方程的应用题应该怎么解呢？
二、合作探究
探究点：分式方程的应用 【类型一】 由实际问题抽象出分式方程 几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊3元车费，若设原来参加旅游的学生有x 人，则所列方程为( )
A.
180x －180x ＋2＝3 B.180x ＋2－180x ＝3 C.180x －180x －2＝3 D.180x －2－180x
＝3 解析：本题的等量关系为：原来每人分摊的钱数－实际每人分摊的钱数＝3.原来参加旅
游的学生有x 人，则增加两人后人数是(x ＋2)人，由题意得180x －180x ＋2
＝3，故选A. 方法总结：解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系．
【类型二】 工程问题
抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新
任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？
解析：设甲队单独完成需要x 小时，则乙队需要(x ＋3)小时，根据等量关系“甲工效×2＋乙工效×甲队单独完成需要时间＝1”列方程．
解：设甲队单独完成需要x 小时，则乙队需要(x ＋3)小时．由题意得：2x ＋x x ＋3
＝1.解得x ＝6.经检验x ＝6是方程的解．∴x ＋3＝9.
答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时．
方法总结：解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．
【类型三】 行程问题
从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
(1)求普通列车的行驶路程；
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．
解析：(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的
1.3倍，两数相乘即可；(2)设普通列车的平均速度是x 千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可．
解：(1)根据题意得400×1.3＝520(千米)．
答：普通列车的行驶路程是520千米；
(2)设普通列车的平均速度是x 千米/时，则高铁的平均速度是2.5x 千米/时，根据题意得520x －4002.5x
＝3，解得x ＝120，经检验x ＝120是原方程的解，则高铁的平均速度是120×2.5＝300(千米/时)．
答：高铁的平均速度是300千米/时．
方法总结：解决问题的关键是分析题意，找到关键描述语和合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式是：路程＝速度×时间．
【类型四】 图表信息类问题
某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：
同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？
解析：设排球的单价为x 元，则篮球的单价为(x ＋60)元，根据“总价÷单价＝数量”的关系建立方程．
解：设排球的单价为x 元，则篮球的单价为(x ＋60)元，根据题意，列方程得：2000x ＝3200x ＋60
.解得x ＝100.经检验，x ＝100是原方程的根，当x ＝100时，x ＋60＝160.
答：排球的单价为100元，篮球的单价为160元．
方法总结：解答此类问题要结合图表提供的信息，找出相等关系列方程．
【类型五】 销售盈亏问题
佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
(1)求第一次水果的进价是每千克多少元？
(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
解析：(1)根据第二次购买水果数多20千克，可得出方程，解出即可得出答案；(2)先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量×(实际售价－当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了．
解：(1)设第一次购买的单价为x 元，则第二次的单价为1.1x 元，根据题意得14521.1x
－错误!＝20，解得x ＝6.经检验，x ＝6是原方程的解．
(2)第一次购买水果1200÷6＝200(千克)．第二次购买水果200＋20＝220(千克)．第一次赚钱为200×(8－6)＝400(元)，第二次赚钱为100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6)＝－12(元)．所以两次共赚钱400－12＝388(元)．
答：第一次水果的进价为每千克6元；该老板两次卖水果总体上是赚钱了，共赚了388元．
方法总结：本题具有一定的综合性，应该把问题分解成购买水果和卖水果两部分分别考虑，掌握这次活动的流程．
三、板书设计
分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤是：
第一步，审清题意；
第二步，根据题意设未知数；
第三步，根据题目中的数量关系列出式子，并找准等量关系，列出方程；
第四步，解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；最后作答．
在教学方法上，为了充分调动学生学习的积极性，使学生主动愉快地学习，采用启发讲授、合作探究、讲练相结合的教学方式．在课堂教学过程中努力贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生列表分析、找重点语句、探寻等量关系等，使学生充分地动口、动脑，参与教学全过程．。