西经-消费者均衡练习题

5、某人的效用函数 为：
这里x 和y 是他消费商品的数量，L 是闲暇小时数。

（1）他将每周工作多少小时？
（2）他将收入的多少用于购买x ？
（3）计算他对x 的需求价格弹性和y 的需求收入弹性。

（4）如果y 的价格降低50%，工资率下降30%，他的
境况是否会得到改善?
解：
（1）设每小时的工资为W, P x ,P y 分别为X, Y 的价格
根 建立拉格朗日方程 Z （x,y ）=— —λ[P X ×X + P Y ×Y —W(168-L)]=0
对X,Y ,α分别求偏导，得如下方程：
得如下等式：
09.006.057.0y x L U =09
.006.057.0y x L U =09.006
.057.0y x L ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+==-==-==-=---0)168(009.0006.0057.0'06.057.091.0'09.057.094.0'09.006.043.0'L Y P X P Z P X L Y Z P Y L X Z W Y X L Z Y X Y Y X X l λλλλ
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=∙=∙WL Y P WL X P Y X 193192
解得L=133
∴168-133=35
答：一周工作35小时。

（2）根据上式，有如下结果：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=∙=∙WL Y P WL X P Y X 193192 ∴W W WL X P X 19
266133192192=⨯==∙ 而消费者每周收入35W ∴5
235=∙W X P X ∴该消费者每周有
52的钱用于购买X 。

(3)d e =—Q P DP dQ ∙ ∵X WL P X 192=∴dp=dP X =2192x -WL
∵dQ=dx
∵ew=y w dw dy ∙
∵y=119
3-∙∙Y P WL ∴ew=Yy WLP W dw ydw LP 1119
3193--∙=1 答：X 的需求价格弹性为1，Y 的需求收入弹性为1。

（4）∵P y = 12y p W=17
10W ∴y y P WL
P wl y 95212
11931== 同理X X P WL P WL X 9571071921=∙ ∴09.006.057.01)9521()957(Py WL P WL L U X ∙=
09.006.057.0)193()192(y
P WL Px WL L U ∙= ∴01.11
=U U >1
答：他的情况会改善。

2、某消费者月收入为640元，用于消费X 与Y 两种商品，已知Px=2元，Py=4元，效用函数为2
1)(xy U =，m 与p 分别代表该消费者的收入与商品x 的价格。

试求
(1) 消费者购买多少单位X 和Y 时实现最大效用； (2) 试求该消费者对商品X 的需求函数；
当商品X 的价格上升至4元时，求价格变动所引起商品X 购买量的变动，并求相应的斯勒茨基收入效应与替代效应.
解：
(1)建立拉格朗日函数： ∵)64042()(21-+-=Y X XY Z λ
∴得如下等式： ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=-+-==-==-=0)64042(0412102121''''Y X Z Y X Z X Y Z Y X λλλ
∴⎩
⎨⎧==80160Y X 答：购买160单位的X ，80单位的Y 。

（2）设：消费者对X 的需求量为Q ，由（1）得，消费者每
月花在X 上的钱是收入的21
6402160=⨯。

∴P m P m Q 221==
答：对X 的需求量为P m
2。

（4）新的预算线：'221'1m X P X P
=+ 则替代效应：),(),(11''111M P X m P X X s
-=∆
收入效应：),(),(''1
1'111m P X m P X X n -=∆ ∴替代效应：4022''1-=-=∆X
X s P m P m X ∴收入效应：4022''
'1-=-=∆x X n P m P m X 当价格上升至4元时：
804
2640=⨯=Q ∴8016080-=-=∆Q
答：X 的购买量下降了80单位。