13矢量微分算子

( A Bc ) ( Bc ) A ( A)Bc (B ) A B( A)
代入（＊）式后可求得
( A B) A( B) ( A)B (B ) A B( A)
5
三、二重算子
在电磁场理论中，除了上面所介绍的一重算子的算式外， 还经常碰到 f , , A, A 等二重算子的算式
ex

f y
ey

f z
ez）
x
f y
ez

x
f z
ey

2 f xy
ez

2 f xz
ey
y
ey
（ x
fex

y
fey

z
fez）

2 f xy
ez

2 f yz
ex
z
3
例1：
( f A) ?
( f A) ( fc A) ( f Ac )
(
fc
A)

x
(ex

fc
A)

y
(e y

fc
A)

z
(ez

fc
A)
f (ex A) f (ey A) f (ez A)
x
y
z
f Ax f Ay f Az f A
x y z y z x z x y ( A) 0 (f ) 0
9
四、包含 算子的恒等式
(1)( f g) f g
(2)( fg) f g gf
(3)( f g
)

gf
f g g2
(g 0)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(4) ( A B) A B
ez
（
x
fex
y
fey
z
fez）
2 f xz
ey

2 f yz
ex
(f ) 0
8
证明 ( A) 0


A

( x
ex

y
ey

z
ez
)

( Axex

Ay e y

2 f 2 f 2 f x2 y2 z 2
6
2 f 2 f 2 f
例2：求 A 在直角坐标系中的展开式。 f x2 y2 z2
A

x
Aex

y
Aey

z
Aez

A
A
(5) ( f A) f A f A (6) ( A B) B ( A) A ( B) (7) f 2 f
(8) ( A) 0
10
(9) ( A B) A B (10) ( f A) f A f A (11) ( A B) (B ) A B( A) ( A)B A( B) (12)f 0 (13) ( A) ( A) 2 A (14)( A B) (B ) A ( A)B B ( A) A ( B) (15)(f g) 0
作业
P8 (5) (10) P26 1-5 1-13
11
1.3 矢量微分算子
一、微分算子▽的定义
x ex y ey z ez
在电磁场理论中,为简化运算，引入了微分算子▽，它 已成为场论分析中不可缺少的工具。微分算子▽是一个运算 符号，在运算中具有矢量和微分的双重性质，其优点在于可 以把对矢量函数的微分运算转变为矢量代数运算，从而明显 地简化运算过程，并且推导简明扼要，易于掌握。
微分算子▽的三种基本运算为
f gradf A div A A rot A
1
二、 一重▽算子
f

( x
ex

y
ey

z
ez
)
f
f f f x ex y ey z ez



A

( x
例1：求 f 在直角坐标系中的展开式。
f

x
ex
f

y
ey
f

z
ez
f

f x
ex

f y
ey

f z
ez
f

(
x
ex

y ey

z
ez
)

(
f x
ex
f y
ey
f z
ez )
Az ez
)

( Ay x
ez

Az x
ey )

(
Ax y
ez

Az y
ex )

( Ax z
ey

Ay z
ex )

( Az y

Ay z
)ex
( Ax z

Az x
)ey
( Ay x

Ax y
)ez
(
A)

( x
ex

y
ey

z
ez
)

(
Az y

Ay z
)ex
(Ax z

Az x
)ey
(Ay x

Ax y
)ez


( Az Ay ) ( Ax Az ) ( Ay Ax ) 0
1）对于任何▽，可以将▽看作普通矢量进行矢量代数的恒等变 换，所得结果不变。但是在变换中不能将▽后面的函数移到▽ 的前面（除非此函数视为常数），而若把▽前面的函数移到▽ 的后面时应在此函数上加注下标c，以表示它被视为常数。 2）如果在▽的后面有两个函数相乘（包括数乘、点乘和叉乘）， 那么▽可表示为两项之和。在其中一项中，前一函数视为常数， 不受微分影响，而在另一项中，后一函数视为常数，不受微分 影响。
x y z
( f Ac ) (ex f Ac ) (ey f Ac ) (ez f Ac )
x
y
z
所以
A f ex A f ey A f ez Af
x
y
z
( f A) f A Af

2 Az y2

2 Az z 2
)ez

2
Axex

2
Ayey

2
Azez
7
证明： (f ) 0

（f）（ x
ex

y
ey

z
ez）（
f x
ex

f y
ey

f z
ez）
x
ex
（ f x
Azez
2
2A x 2

2 Ax x 2
ex

2 Ay x 2
ey

2 Az x 2
ez


A

(
2 Ax x2

2 Ax y2

2 Ax z 2
)ex

(
2 Ay x2

2 Ay y 2

2 Ay z 2
)ey

(
2 Az x2
ex

y
ey

z
ez
)

A

x
(ex

A)

y
(ey

A)

z
(ez

A)

Ax x

Ay y

Az z


A

x
(ex

A)

y
(ey

A)

z
(ez

A)

x
(
Ay ez

Az e y
4
例2： (A B) ?
( A B) ( Ac B) ( A Bc )(*)
由矢量代数恒等式
A (B C) ( AC)B ( A B)C B( AC) C( A B)
可得 (Ac B) A( B) ( Ac)B A( B) (A)B
2 f
A
A ( x
2A x 2
ex y ey z 2A 2A
y2 z 2
ez ) ( x
2A
ex

y
ey

z
ez )

A Axex
2 2 x2 y2
Ayey
2 z 2
)

y
(
Axez

Az ex
)

z
(
Axey

Ay ex
)

ex
(
Az y

Ay z
)

ey
(
Ax z

Az x
)

ez
(
Ay x

Ax y
)
如果有某些函数位于算子 的前面，那么在运算中这些函
数应视为常数，不受微分影响。
2
含有▽算子的算式的性质