高三国庆假期作业1.docx

高三国庆假期作业(1)
1. 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2
－x －6≤0}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，那么集合A ∩(C U B )＝___________.
2. 设g (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
e x
，x ≤0ln x ，x ＞0，
则g [g (1
2
)]＝___________.
3. 若y ＝f (x )是幂函数, 且满足
f (4)f (2)＝2
2
, 则f (3)＝___________. 4. 若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0, 1]，则a ＝___________.
5. 函数y ＝log 0.5(4x 2
－3x )的定义域为___________.
6. 已知函数f (x )＝x ＋1－a a －x (a ∈R 且x ≠a )的定义域为[a －1，a －1
2
]时，则f (x )的值域为
___________.
7. 函数f (x )＝log 2x ·
)x 的最小值为___________. 8. 函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝
1
f (x )
，若f (1)＝－5，则f [f (5)]＝___________. 9. 已知f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
a x
， x ＜0，
(a －3)x ＋4a ， x ≥0.满足对任意x 1≠x 2，都有
f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
＜0成立，则a 的取
值范围是________.
10. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝2，则f (－3)等于___________.
11. 设a 为实常数, y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数, 当x ＜0时, f (x )＝9x ＋a 2
x
＋7, 若f (x )≥a
＋1对一切x ≥0成立,则a 的取值范围为___________.
12. 已知函数f (x )＝x 2－|x |, 若f (－m 2
－1)＜f (2), 则实数m 的取值范围是___________. 13. 函数f (x )＝2x
·|log 0.5x |－1的零点个数为___________.
14. 已知f (x )＝32x －(k ＋1)·3x
＋2, 当x ∈R 时, f (x )恒为正值, 则k 的取值范围是___________. 15. 函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝f (x ). 当x ∈[0, 1]时，f (x )＝2x ., 若在区间[－2, 3]上
方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是___________. 16. 若f (x )＝x 2
－2, g (x )＝－x ，则max{f (x ), g (x )}的最小值为___________.
17. 若函数f (x )＝log a (2x 2
＋x )(a ＞0, a ≠1)在区间(0, 12
)内恒有f (x )＞0，则f (x )的单调递增
区间是_____________.
18. 已知函数f (x )＝|lg x |, a ＞b ＞0, f (a )＝f (b ) , 则a 2＋b 2
a －b
的最小值等于_________.
19. 设二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c 满足下列条件：①当x ∈R 时，f (x )的最小值为0, 且f (x －1)＝f (－x －1)恒成立；
②当x ∈(0, 5)时, 2x ≤f (x )≤4|x －1|＋2恒成立. (1)求f (1)的值； (2)求f (x )的解析式；
(3)求最大的实数m (m ＞1), 使得存在实数t , 只要当x ∈[1, m ]时, 就有f (x ＋t )≤2x 成立.
20. 已知函数f (x )＝(x 2
＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )．
(1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围． 21. 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3
，其中a ＞0.
(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．
22. 设函数f (x )＝e x x
2－k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋ln x (k 为常数)．
(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点，求k 的
取值范围．
23. 已知函数f (x )＝ae 2x －be －2x
－cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线
的斜率为4－c . (1)确定a ，b 的值； (2)若c ＝3，判断f (x )的单调性；(3)若f (x )有极值，求c 的取值范围．
24. 设函数f (x )＝13
x 3－ax (a ＞0)，g (x )＝bx 2
＋2b －1.
(1)若曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处有相同的切线，求实数a ，b 的值；
(2)当b ＝1－a
2
时，若函数h (x )＝f (x )＋g (x )在区间(－2，0)内恰有两个零点，求实数a 的取值
范围；
(3)当a ＝1，b ＝0时，求函数h (x )＝f (x )＋g (x )在区间[t ，t ＋3]内的最小值．
高三国庆假期作业(1)答案
1、{x |－1≤x ≤3}；
2、12；
3、33；
4、2；
5、[－14，0)∪(34，1]；
6、[0, 1]；
7、－14；
8、－1
5
；9、
(0，1
4
]；10、6；
11、a ≤－87；12、(−1, 1)；13、2；14、k ＜22－1；15、(25, 23)；16、－1；17、(－∞, －1
2)；
18、22；
19、解：⑴ 在②中，令x ＝1得f (1)＝2，
⑵ 由f (x －1)=f (－x －1)，知f (x )关于x ＝－1对称且开口向上．故设f (x )＝a (x ＋1)2
(a ＞0)
∵f (1)＝2，∴ a ＝12，f (x )＝12
(x ＋1)2
．
⑶假设存在t ∈R ，对于∨
−x ∈[1，m ]，都有f (x ＋t )≤2x ，即x 2＋(2t －2)x ＋t 2＋2t ＋1≤0 令g (x )＝x 2＋(2t －2)x ＋t 2
＋2t ＋1，则只需要g (1)≤0且g (m )≤0，由g (1)≤0⇒－4≤t ≤0． 由g (m )≤0 ⇒1－t －2－t ≤m ≤1－t ＋2－t ．∴m ≤1－t ＋2－t ≤1－(－4)＋2－(－4)＝9．
而当t ＝－4时，f (x －4)－2x ＝12(x 2－10x ＋9)＝1
2
(x －1)(x －9)在x ∈[1，9]时，恒有f (x －
4)≤2x 成立．
∴ m 的最大值为9．
⑶ 另解：假设存在t ∈R ，对于∨
−x ∈[1，m ]，都有f (x ＋t )≤2x ，即x 2＋(2t －2)x ＋t 2＋2t ＋1≤0 ……①
令g (x )＝x 2＋(2t －2)x ＋t 2
＋2t ＋1，则只需要g (1)≤0且g (m )≤0，由g (1)≤0⇒－4≤t ≤
0 …………②
由g (m )≤0 ⇒ t 2＋(2m ＋2)t ＋m 2
－2m ＋1≤0，即－1－m －2m ≤t ≤－1－m ＋2m ．
∵①②关于t 有解，∴－1－m ＋2m ≥－4 ⇒(m －1)2
≤4 ⇒1＜m ≤9，∴ m 的最大值为9． 注：若本题是填空题，还可以数形结合画图来做 (大题不行!).
20、解：(1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x (x ＋2)
1－2x
，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝0.
所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(－2，0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；
当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2处取得极小值f (－2)＝0， 在x ＝0处取得极大值f (0)＝4.
(2)f ′(x )＝－x [5x ＋（3b －2）]1－2x ，易知当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，－x 1－2x ＜0，
依题意当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，得b ≤19. 所以b 的取值范围为⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，19. 21、解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2
.
令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3， x 2＝－1＋4＋3a
3
，x 1＜x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x
－x 2)．
当x ＜x 1或x ＞x 2时，f ′(x )＜0；当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＞0.
故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3
内单调递增．
(2)因为a ＞0，所以x 1＜0，x 2＞0，
①当a ≥4时，x 2≥1. 由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增， 所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．
②当0＜a ＜4时，x 2＜1. 由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，
所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a
3
处取得最大值．
又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0＜a ＜1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；
当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值；当1＜a ＜4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．
22、解：(1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝x 2e x －2x e x x
4－k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2x 2＋1x ＝x e x －2e x x 3－k (x －2)x 2＝(x －2)(e x －kx )x
3
. 由k ≤0可得e x
－kx ＞0，
所以当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，函数y ＝f (x )单调递减；x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数y ＝f (x )单调递增．
所以f (x )的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．
(2)由(1)知，当k ≤0时，函数f (x )在(0，2)内单调递减，故f (x )在(0，2)内不存在极值点；
当k ＞0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈(0，＋∞)．因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k
，
当0＜k ≤1时，当x ∈(0，2)时，g ′(x )＝e x
－k ＞0，y ＝g (x )单调递增，故f (x )在(0，2)内不存在两个极值点．
当k ＞1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )＜0，函数y ＝g (x )单调递减；x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )＞0，
函数y ＝g (x )单调递增．所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )．
函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点．当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＞0，
g (ln k )＜0，g (2)＞0，
0＜ln k ＜2，
解得e ＜k ＜e
2
2.
综上所述，函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫e ，e 2
2.
23、解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝2ae 2x
＋2be －2x
－c ，由f ′(x )为偶函数，知f ′(－x )＝f ′(x )，
即2(a －b )(e 2x －e －2x
)＝0.
因为上式总成立，所以a ＝b . 又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，所以a ＝1，b ＝1.
(2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x －e －2x －3x ，∴f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －3≥22e 2x ·2e －2x
－3＝1＞0，故f (x )在R 上为增函数．
(3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －c ，而2e 2x ＋2e －2x ≥22e 2x ·2e －2x
＝4，当且仅当x ＝0时等号成立．
下面分三种情况进行讨论：
当c ＜4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x
－c ＞0，此时f (x )无极值．
当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x
－4＞0，此时f (x )无极值．
当c ＞4时，令e 2x
＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1，2＝c ±c 2－164
＞0，
则f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1，x 2＝1
2
ln t 2. 当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＜0；当x ＞x 2时，f
′(x )＞0.
从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值．综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．
24、解：(1)因为f (x )＝13
x 3－ax (a ＞0)，g (x )＝bx 2＋2b －1，所以f ′(x )＝x 2
－a ，g ′(x )＝2bx .
因为曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处有相同的切线，所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)，
即13－a ＝b ＋2b －1，且1－a ＝2b ，解得a ＝13，b ＝13
. (2)当b ＝1－a 2时，h (x )＝13x 3＋1－a 2
x 2－ax －a (a ＞0)，所以h ′(x )＝x 2
＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x
－a )．
故h (x )在区间(－2，－1)上单调递增，在区间(－1，0)上单调递减． 又函数h (x )在区间(－2，0)内恰有两个零点，所以有
⎩⎪⎨⎪⎧h (－2)＜0，h (－1)＞0，h (0)＜0，
即
⎩
⎪⎨⎪⎧－8
3＋2(1－a )＋2a －a ＜0，－13＋1－a 2＋a －a ＞0，
－a ＜0，
解得0＜a ＜13，所以实数a 的取值范围是(0，13). (3)当a ＝1，b ＝0时，h (x )＝13x 3－x －1，b ＝1－a
2
，
则由(2)可知，函数h (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1，1)．
因为h (－2)＝－53，h (1)＝－5
3
，所以h (－2)＝h (1)．
①当t ＋3＜1，即t ＜－2时，[h (x )]min ＝h (t )＝13t 3
－t －1.
②当－2≤t ＜1时，[h (x )]min ＝h (－2)＝－5
3
.
③当t ≥1时，h (x )在区间[t ，t ＋3]上单调递增，[h (x )]min ＝h (t )＝13
t 3
－t －1.
综上可知，函数h (x )在区间[t ，t ＋3]上的最小值[h (x )]min ＝⎩⎪⎨⎪
⎧13
t 3
－t －1，t ∈(－∞，－2)∪[1，＋∞），－53，t ∈[－2，1）.。