高二数学数系的扩充与复数的概念正式版

高二数学数系的扩充与复数的
概念正式版
文档资料可直接使用，可编辑，欢迎下载
数系的扩充与复数的概念
【教学目标】
（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念
（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件
（3）了解复数的代数表示方法
【教学重难点】
重点：引进虚数单位i的必要性、对i的规定、复数的有关概念
难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数概念的理解
【教学过程】
一、创设情景、提出问题
问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？
问题2：类比引进，就可以解决方程在有理数集中无解的问题，怎么解决在实数集中无解的问题呢？
问题3：把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？
二、学生活动
1.复数的概念：
⑴虚数单位：数＿＿叫做虚数单位，具有下面的性质：
①＿＿＿＿＿＿＿＿＿
②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
⑵复数：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做复数，常用字母＿＿＿表示，全体复数构成的集合叫做＿＿＿＿＿＿，常用字母＿＿＿表示．
⑶复数的代数形式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其中＿＿＿＿叫做复数的实部，＿＿＿叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都是＿＿＿数．
(4)对于复数a+bi(a,b∈R),
当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数;
当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数0;
当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做虚数;
当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做纯虚数;
2.学生分组讨论
⑴复数集C和实数集R之间有什么关系?
⑵如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?
⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以用韦恩图表示出来吗？
3.练
习：
(1).下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？
2+ 2i , 0.618, 2i/7 , 0,
5 i +8, 3-9 i
(2)、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数
三、归纳总结、提升拓展
例1 实数m分别取什么值时，复数
z＝m+1＋(m-1)i
是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解：
归纳总结：
确定复数z＝a＋bi是实数、虚数、纯虚数的条件是：
练习：实数m分别取什么值时，复数
z＝m2+m-2＋(m2-1)i
是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
两个复数相等，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是
a+bi=c+di _______________________（a、b、c、d为实数）
由此容易出：a+bi=0 _______________________
例2已知x +2y +(2x+6)i=3x-2 ,其中，x,y为实数，求x与y．
四、反馈训练、巩固落实
1、若x,y 为实数，且 2x -2y+(x+ y)i=x-2 i
求x 与y.
2、若x 为实数，且(2x 2-3x-2)+(x 2-5x+6)i=0，求x 的值.
高二数学复数的扩充与复数的概念
【教学目标】
1．在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．
2．了解数学内部解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表；
3．理解复数的有关概念以及符号表示；
4．掌握复数的代数表示形式及其有关概念；
【教学重点】引进虚数单位i 的必要性、对i 的规定以及复数的有关概念．
【教学难点】复数概念的理解．
【教学过程】
1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结） 自然数 整数 有理数 无理数 实数
2．提出问题
我们知道，对于实系数一元二次方程012=+x ，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？
3．组织讨论，研究问题
我们说，实系数一元二次方程012=+x 没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？
组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题就是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1．
4．引入新数i ，并给出它的两条性质
根据前面讨论的结果，我们引入一个新数i ，i 叫做虚数单位，并规定：
（1）12-=i ；
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．
有了前面的讨论，引入新数i ，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是i ±）．
5．提出复数的概念
根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成bi a +这样，数的范围又扩充了，出现了形如 )R ,(∈+b a bi a 的数，我们把它们叫做复数．
全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，显然有： N*N Z Q R C ．
巩固练习：1.下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？ 2+7,0.618,72,0,2i ,)31(-i ,5i +8,3-9i 2 2、判断下列命题是否正确：
（1）若a 、b 为实数，则Z=a+bi 为虚数
（2）若b 为实数，则Z=bi 必为纯虚数
（3）若a 为实数，则Z= a 一定不是虚
例1 实数m 分别取什么值时，复数
z ＝m+1＋(m-1)i
是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
分析：因为m ∈R ，所以m+1，m-1都是实数，由复数z ＝a ＋bi 是实、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数x 的值．
练习：实数m 分别取什么值时，复数
z ＝m 2+m-2＋(m 2-1)i
是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
6．提出两个复数相等的定义，即两个复数相等的充要条件是它们的
实部与虚部分别对应相等．也就是
由此容易得出：
例2 已知i y y i x )3()12(--=+-,其中，x,y ∈R ，求x 与y ．
分析：因为x ，y ∈R ，所以由两个复数相等的定义，可列出关于x ，y 的方程组，解这个方程组，可求出x ，y 的值．
练习：（1）若x,y 为实数，且i yi x y x 42)(22+=+++，求x 与y.
（2）若(2x 2-3x-2)+(x 2-5x+6)i=0，求x 的值.
7．归纳总结
（1）、虚数单位i 的引入；
（2）、复数的代数形式：R b R a bi a z ∈∈+=,,其中；
（2）、复数的有关概念：虚数，纯虚数，实部、虚部、复数相等。

8．布置作业：习题3.1A 组 第1、2题
复数复习学案
一． 知识结构
二． 重点、难点、热点剖析
由于复数在整个高中数学所处的地位的改变，今后高考时复数不会有太多太高的要求，试题数量稳定在一道试题，难度不会太大，复数的概念及复数的运算是复数应用的基础，是高考考查的重点，复数的运算是复数的中心内容，是高考命题的热点。

而复数的乘、除更是考查的重点，主要考查基本运算能力，另外复数的有关概念众多，涉及知识面广，易与三角、几何、向量知识、不等式等结合起来考查。

三． 技巧方法
1、 设z ＝a ＋bi(a,b R ∈),利用复数相等转化为实数问题是解决复数问题常用的方法，同时要学会以整体的角度出发去分析和求解，如果遇到复数就设z ＝a ＋bi(a,b R ∈),有时带来不必要的运算上的困难，若能把握住复数的整体性质，充分运用整体思想求解，则能事半功倍。

2、 在简化运算中，如能合理运用i 和复数的模等有关的性质，常
能出奇制胜，事半功倍，所以在学习中注意积累并灵活运用。

3、性质：2
2|
z z=
=是复数运算与实数运算相互转化的重要依
z
|
|
|z
据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐领会。

4、学习本章时，应注意联系全面学过的实数的性质，实数的运算
内容，以便对复数的知识有较完整的认识。

四、注意点析
1、要注意实数、虚数。

纯虚数、复数之间的联系与区别，实数集
和虚数集都是复数集的真子集，它们的并集是复数集，它们的交集是空集，纯虚数集是虚数集的真子集，
2、当概念扩展到复数后，实数集R中的一些运算性质、概念、关
系就不一定适用了，如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等。

3、熟练掌握复数乘法、除法的运算法则，特别是除法法则，更为
重要，是考试的重点。

五、思想方法
1、数形结合这是本章的主要数学思想，例如复数本身的几何意义
及四则运算的几何意义等。

图形要画得合乎题意，充分利用图形的直观性，简捷巧妙的解题。

2、方程的思想，主要体现在复数相等的充要条件和复数方程。

3、转化思想，转化思想是复数的重要思想方法，既然在实数的基础上扩展到复数，自然复数中的许多问题都可以转化到实数集内解决，如求模运算，复数相等的充要条件及22||||z z z z ==等，进行复数与实数间的转化。

4、分类讨论思想：它是一种比较重要的解题策略和方法，在复数中它能够使复杂问题简单化，从而化整为零，各个击破。

5、主要方法有：待定系数法、整体法；待定系数法是利用复数的代数形式，设复数z ＝a ＋bi 的形式代入，再利用复数相等或其它途径，转化为与a ，b 相关的等式，求出a ，b 即可得到复数z 。

在复数学习中有必要根据条件与待求结论的特点，通过研究问题的整体形式、整体结构或作某些整体处理，这样往往可以避繁就简，化难为易，顺速解决问题。

六、 典例分析
1、基本概念计算类
例1．若,43,221i z i a z -=+=且
21z z 为纯虚数，则实数a 的值为_________ 解：因为，
21z z ＝25)46(83258463)43)(43()43)(2(432i a a ia i a i i i i a i i a ++-=-++=+-++=-+， 又21z z 为纯虚数，所以，3a －8＝0，且6＋4a ≠0。

3
8=∴a 2、复数方程问题
例2．证明：在复数范围内，方程i
i z i z +-=
-+255)1(||2（i 为虚数单位）无解。

证明：原方程化简为,31)1()1(||i z i z i z -=+--+设z ＝x ＋yi(x 、y R ∈)，
代入上述方程得⎩⎨⎧=+=+-=--+3221.3122222
2y x y x i yi xi y x 整理得051282=+-x x
∴<-=∆.016 方程无实数解，所以原方程在复数范围内无解。

点评：本题主要考查复数方程等知识，一般是设Z 的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为代数方程。

3、综合类
例3．设z 是虚数，z
z 1+=ω是实数，且－1<ω<2
（1） 求|z|的值及z 的实部的取值范围；
（2） 设z z M +-=11，求证：M 为纯虚数； （3） 求2M -ω的最小值。

分析：本题考查复数的概念、复数的模、复数的运算及不等式的知识，以及运算能力和推理能力。

解：（1）设z ＝a ＋bi （a ，b 0,≠∈b R ）
,)()(12222i b
a b b b a a a bi a bi a +-+++=++
+=ω 因为，ω是实数，0≠b 所以，122=+b a ，即|z|＝1， 因为ω＝2a ，－1<ω<2，12
1<<-a 所以，z 的实部的取值范围（－1,21）。

（2）z z M +-=11＝1)1(21)1)(1()1)(1(112
222+-=++---=-+++-+--=++--a bi b a bi b a bi a bi a bi a bi a bi a bi a （这里利用了（1）中122=+b a ）。

因为a ∈（－1,21），0≠b ，所以M 为纯虚数。

（3）2M -ω112)1(12)1(22222+--=+-+=++=a a a a a a a b a
3]1
1)1[(21212-+++=++
-=a a a a 因为，a ∈（－1,2
1），所以，a ＋1>0， 所以2M -ω≥2×2－3＝1， 当a ＋1＝11+a ，即a ＝0时上式取等号， 所以，2M -ω的最小值是1。

点评：本题以复数的有关概念为载体，考查学生的化归能力，考查了均值不等式的应用，综合考查学生运用所学知识解决问题的能力。

正是高考的重点。

4、创新类
例4．对于任意两个复数R y y x x i y x z i y x z ∈+=+=2121222111,,,(,)定义运算“⊙”为
1z ⊙2z ＝2121y y x x +，设非零复数21,ωω在复平面内对应的点分别为21,P P ,点O 为坐标原点，若1ω⊙2ω＝0，则在21OP P ∆中，21OP P ∠的大小为
_________.
分析：本题立意新颖，解题入口宽，是一道不可多得的好题。

解法一：（解析法）设)0,(,21222111≠+=+=a a i b a i b a ωω，故得点),(111b a P ，),(222b a P ，且2121b b a a +＝0，即12
211-=⋅a b a b 从而有2121OP OP k k ⋅＝12
211-=⋅a b a b 故21OP OP ⊥,也即02190=∠OP P 解法二：（用复数的模）同法一的假设，知
21212121||||b a OP +==ω
22222222||||b a OP +==ω
22121221221|)()(|||||i b b a a P P -+-=-=ωω
＝2121b a +＋2222b a +－2（2121b b a a +）＝2121b a +＋2222b a +－2×0
＝2121b a +＋2222b a +＝21||OP ＋22||OP
由勾股定理的逆定理知02190=∠OP P
解法三：（用向量数量积的知识）同法一的假设，知),(),,(222111b a OP b a ==，则有
0cos 22
2221212
12121=+⋅++=⋅∠b a b a b b a a OP
故02190=∠OP P。