江苏省盐城市大丰区南阳中学2025届高考数学四模试卷含解析

江苏省盐城市大丰区南阳中学2025届高考数学四模试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． “2b =”是“函数()()2231f x b b x α
=--（α为常数）为幂函数”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
2．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13 B ．23 C ．33 D ．23
3．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．6 4．已知(),A A A
x y 是圆心为坐标原点O ，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转23π到OB 交圆于点(),B B B
x y ，则2A B y y +的最大值为（ ） A ．3 B ．2
C ．3
D ．5 5．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）
A ．1233BA BC +
B ．5799BA B
C + C ．11099BA BC +
D ．2799
BA BC + 6．关于函数()sin |||cos |f x x x =+有下述四个结论：（ ）
①()f x 是偶函数； ②()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是单调递增函数；
③()f x 在R 上的最大值为2； ④()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A ．①②④
B ．①③
C ．①④
D ．②④ 7．两圆()224x a y ++=和()221x y b +-=相外切，且0ab ≠，则22
22a b a b +的最大值为（ ）
A ．9
4 B ．9 C ．13 D ．1
8．函数()1cos f x x x x ⎛
⎫
=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．二项式7
32x x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭展开式中，1
x 项的系数为（ ）
A ．945
16- B ．189
32- C ．21
64- D ．2835
8
10．在平行四边形ABCD 中，1
1
3,2,,D,32AB AD AP AB AQ A ====若CP C 12,Q ⋅=则ADC ∠=(
) A ．56π B ．34π
C ．23π
D ．2π
11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）
A ．163
B ．6
C ．203
D ．223 12．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且2AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交
于C ，ACF ∆的面积为2AB =（ ）
A ．6
B ．9
C ．92
D ．62二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设f （x ）＝e tx （t ＞0），过点P （t ，0）且平行于y 轴的直线与曲线C ：y ＝f （x ）的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，若S （1，f （1）），则△PRS 的面积的最小值是_____．
14．已知单位向量,a b 的夹角为2π3
,则|2|a b -=_________. 15．设x ，y 满足约束条件2633x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
，若3z x y a =++的最大值是10，则a =________.
16．若函数()sin 232f x x x =-的图像向左平移
8π个单位得到函数()g x 的图像.则()g x 在区间3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的最小值为________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）一张边长为2m 的正方形薄铝板ABCD （图甲），点E ，F 分别在AB ，BC 上，且AE CF x ==（单位：m ）.现将该薄铝板沿EF 裁开，再将DAE ∆沿DE 折叠，DCF ∆沿DF 折叠，使DA ，DC 重合，且,A C 重合于点M ，制作成一个无盖的三棱锥形容器D MEF -（图乙），记该容器的容积为V （单位：3m ），（注：薄铝板的厚度忽略不计）
（1）若裁开的三角形薄铝板EFB 恰好是该容器的盖，求x ，V 的值；
（2）试确定x 的值，使得无盖三棱锥容器D MEF -的容积V 最大.
18．（12分）已知在中，角的对边分别为,且.
（1）求的值；
（2）若,求的取值范围. 19．（12分）已知六面体ABCDEF 如图所示，BE ⊥平面ABCD ，//BE AF ，//AD BC ，1BC =，5CD =，2AB AF AD ===，M 是棱FD 上的点，且满足12
FM MD =.
（1）求证：直线//BF 平面MAC ；
（2）求二面角A MC D --的正弦值.
20．（12分）已知矩阵010A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵1020A b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
.若曲线1C ：2214x y +=在矩阵A 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求曲线2C 的方程.
21．（12分）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知3cos 24
C =-
. （1）求sin C 的值；
（2）当2c a =，且b =ABC 的面积.
22．（10分）已知函数()2
11f x x a x =---，a R ∈. （1）当4a =时，求函数()f x 的值域；
（2）[]00,2x ∃∈，()001f x a x ≥+，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A
【解析】
根据幂函数定义，求得b 的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断.
【详解】
∵当函数()()
2231a f x b b x =--为幂函数时，22311b b --=， 解得2b =或12
-， ∴“2b =”是“函数()()
2231a f x b b x =--为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A.
【点睛】
本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.
2、C
【解析】
试题分析：设AC BD 、的交点为O ，连接EO ，则AEO ∠为,AE SD 所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为a ，
则1,,222
AE a EO a OA a ===，所以222cos 2AE OA EO AEO AE OA +-∠=⋅
222
1
)())
3
a
+-
==，故C为正确答案．
考点：异面直线所成的角．
3、B
【解析】
利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出5a．
【详解】
∵{a n}为等差数列，2343
a2a1,a2a7
=+=+,
∴
()
()
11
11
a d2a2d1
a3d2a2d7
⎧+=++
⎪
⎨
+=++
⎪⎩
，
解得1a＝﹣10，d＝3，
∴
5
a＝
1
a+4d＝﹣10+11＝1．
故选：B．
【点睛】
本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4、C
【解析】
设射线OA与x轴正向所成的角为α，由三角函数的定义得sin
A
yα
=，
2
sin()
3
B
y
π
α
=+，
2
A B
y y
+
=3sin
2
αα
+，利用辅助角公式计算即可.
【详解】
设射线OA与x轴正向所成的角为α，由已知，cos,sin
A A
x y
αα
==，
22
cos(),sin()
33
B B
x y
ππ
αα
=+=+，所以2
A B
y y
+=2sinα+
2
sin()
3
π
α+=
1
2sin sin
2
ααα
-
=
3
sin)
26
π
ααα
+=+≤，
当
3
π
α=时，取得等号.
故选：C.
【点睛】
本题考查正弦型函数的最值问题，涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识，是一道容易题.
5、B
【解析】
23
PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-，将13BQ BA AQ BA AC =+=+,AC BC BA =-代入化简即可.
【详解】
23
PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+- 2()3
BA BC BA AQ =+-+ 1233BA BC =+-⨯13AC 1257()3999
BA BC BC BA BA BC =+--=+. 故选：B.
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题. 6、C
【解析】
根据函数()f x 的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号.
【详解】
()f x 的定义域为R .
由于()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，故①正确.
由于1sin cos ,sin cos 66624442f f ππππππ⎛⎫⎛⎫-=+=-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，64f f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭
上不是单调递增函数，所以②错误.
当0x ≥时，()sin cos sin cos 4f x x x x x x π⎛⎫=+=±=±≤ ⎪⎝
⎭，
且存在4x π
=
，使sin cos 444f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
所以当0x ≥时，(
)f x ≤；
由于()f x 为偶函数，所以x ∈R 时(
)f x ≤，
所以()f x
，所以③错误. 依题意，(0)sin 0cos01f =+=，当02x π<≤时，
()3sin cos ,0,2223sin cos ,22x x x x f x x x x πππππ⎧+<≤≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩
或， 所以令sin cos 0x x +=，解得74x π=，令sin cos 0x x -=，解得54
=x π.所以在区间(]0,2π，()f x 有两个零点.由于()f x 为偶函数，所以()f x 在区间[)2,0π-有两个零点.故()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点.所以④正确. 综上所述，正确的结论序号为①④.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 7、A
【解析】
由两圆相外切，得出229a b +=，结合二次函数的性质，即可得出答案.
【详解】
因为两圆()224x a y ++=和()2
21x y b +-=相外切
3=，即229a b += ()222222
229819249
9a a a a b a b ⎛⎫--+ ⎪-⎝⎭==+ 当292a =时，22
22
a b a b +取最大值8119494⨯= 故选：A
【点睛】
本题主要考查了由圆与圆的位置关系求参数，属于中档题.
8、D
【解析】 因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x
-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ
=-=--<，故选D. 考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.
9、D
【解析】
写出二项式的通项公式,再分析x 的系数求解即可.
【详解】
二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为777217731(3)22r r r r r r r r x T C C x x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭,令721r -=-,得4r =,故1x 项的系数为7444712835(3)28
C -⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故选：D
【点睛】
本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题.
10、C
【解析】
由23CP CB BP AD AB =+=--，12CQ CD DQ AB AD =+=--,利用平面向量的数量积运算,先求得,3BAD π∠=利用平行四边形的性质可得结果.
【详解】
如图所示,
平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,
11,32
AP AB AQ AD ==，
23CP CB BP AD AB ∴=+=--， 12CQ CD DQ AB AD =+=--
, 因为12CP CQ ⋅=,
所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛
⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22214323
AB AD AB AD =++⋅
222143232cos 12323
BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1cos 2BAD ∠=，,3
BAD π∴∠= 所以233
ADC πππ∠=-
=，故选C. 【点睛】 本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.
11、D
【解析】
根据几何体的三视图，该几何体是由正方体去掉三棱锥得到，根据正方体和三棱锥的体积公式可求解.
【详解】
如图,该几何体为正方体去掉三棱锥111B A C E -,
所以该几何体的体积为：11111111122222221323B A C E ABCD A B C D V V V --=-=⨯⨯-⨯
⨯⨯⨯=, 故选：D
【点睛】
本题主要考查了空间几何体的三视图以及体积的求法，考查了空间想象力，属于中档题.
12、B
【解析】
设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为2
p x my =+，由2AF FB =得122y y =-，将直线AB 的方程代入韦达定理，求得1y ，结合ACF ∆的面积求得p 的值，结合焦点弦长公式可求得AB .
【详解】
设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为x my p =+，
将直线AB 的方程与抛物线方程联立222p x my y px
⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y pmy p --=，
由韦达定理得122y y pm +=，212y y p =-，
11,2p AF x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，22,2p FB x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，2AF FB =，122y y ∴-=，122y y ∴=-， 221222y y y p ∴=-=-
，可得22
y p =
，122y y ==， 抛物线的准线l 与x 轴交于,02p C ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
， ACF ∆
的面积为2122
p p ⨯==4p =，则抛物线的方程为28y x =， 所以，22212
12524988p y y AB x x p p +=++=+=+=. 故选：B.
【点睛】
本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2
e 【解析】
计算R （t 1t -，0），PR ＝t ﹣（t 1t -）1t =，△PRS 的面积为S 2t
e t =，导数S ′()212t e t t
-=，由S ′＝0得t ＝1，根据函数
的单调性得到最值.
【详解】
∵PQ ∥y 轴，P （t ，0），∴Q （t ，f （t ））即Q （t ，2
t e ），
又f （x ）＝e tx （t ＞0）的导数f ′（x ）＝te tx ，∴过Q 的切线斜率k ＝t 2t e ， 设R （r ，0），则k 220t t e te t r -==-，∴r ＝t 1t -， 即R （t 1
t -，0），PR ＝t ﹣（t 1t -）1t
=， 又S （1，f （1））即S （1，e t
），∴△PRS 的面积为S 2t e t =， 导数S ′()
212t e t t -=，由S ′＝0得t ＝1，
当t ＞1时，S ′＞0，当0＜t ＜1时，S ′＜0，∴t ＝1为极小值点，也为最小值点，
∴△PRS 的面积的最小值为
2e ． 故答案为：2
e ． 【点睛】
本题考查了利用导数求面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.
147
【解析】
因为单位向量,a b 的夹角为2π3
，所以2π1||||cos 32⋅=⋅=-a b a b ，所以|2|a b -221
4414()42-⋅+=-⨯-+a a b b 7.
15、72
- 【解析】
画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可容易求得结果.
【详解】
画出不等式组表示的平面区域如下所示：
目标函数3z x y a =++可转化为133z a y x -=-+与直线13
y x =-平行， 数形结合可知当且仅当目标函数过点9,32A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，取得最大值， 故可得91092a =
++，解得72
a =-. 故答案为：72-. 【点睛】
本题考查由目标函数的最值求参数值，属基础题.
16、3【解析】
注意平移是针对自变量x ，所以()()8g x f x π=+=2sin(2)12x π-，再利用整体换元法求值域（最值）即可. 【详解】 由已知，()sin 232sin(2)3f x x x x π==-，()()8g x f x π
=+= 2sin[2()]2sin(2)8312x x πππ+-=-，又3,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故22[,]1233x πππ-∈-， 2sin(2)[3,2]12x π
-∈-，所以()g x 的最小值为3.
故答案为：【点睛】
本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题，涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用，是一道基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）1x =，13
V =
；（2）当x 1时，无盖三棱锥容器D MEF -的容积V 最大. 【解析】
（1）由已知求得1x =，求得三角形EBF 的面积，再由已知得到MD ⊥平面EMF ，代入三棱锥体积公式求V 的值；
（2）由题意知，在等腰三角形MEF 中，ME MF x ==，则)EF x =-，24(1)cos x EMF x -∠=
，写出三角形面积，求其平方导数的最值，则答案可求．
【详解】
解：（1）由题意，EFB ∆为等腰直角三角形，又AE CF x ==，
2(02)BE BF x x ∴==-<<， EFB ∆恰好是该零件的盖，1x ∴=，则12EBF S ∆=
， 由图甲知，AD AE ⊥，CD AF ⊥，
则在图乙中，MD ME ⊥，MD MF ⊥，ME MF M =，
又ME ，MF ⊂平面EMF ，MD ∴⊥平面EMF ，
11111233323
EMF EBF V S MD S MD ∆∴===⨯⨯=； （2）由题意知，在等腰三角形MEF 中，ME MF x ==，
则)EF x =-，24(1)cos x EMF x -∠=
， ∴22
1116(sin 122EMF
x S x EMF x x ∆=∠=- 令2421()()[16(1)]4
EMF f x S x x ∆==--， 32()8(1)(2)(24)f x x x x x x ∴'=--=-+-， 02x <<
，1x ∴．
可得：当1)x ∈时，()0f x '>，当1x ∈，2)时，()0f x '<，
∴
当1x =时，EMF S ∆有最大值．
由（1）知，MD ⊥平面EMF ，
∴该三棱锥容积的最大值为13EMF V S MD ∆=，且2MD =．
∴当51x =-时，()f x 取得最大值，无盖三棱锥容器D MEF -的容积V 最大．
答：当x 值为51-时，无盖三棱锥容器D MEF -的容积V 最大．
【点睛】 本题考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，属于中档题． 18、（1）（2） 【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求的值，所以可以考虑到根据余弦定理将分别用边表示，再根据正弦定理可以将转化为，于是可以求出的值；（2）首先根据
求出角的值，根据第（1）问得到的值，可以运用正弦定理求出
外接圆半径，于是可以将转化为，又因为角的值已经得到，所以将转化为关于的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外本问也
可以在求出角的值后，应用余弦定理及重要不等式，求出的最大值，当然，此时还要注意到三角形两边之和大于第三边这一条件. 试题解析：（1）由
， 应用余弦定理，可得
化简得
则 （2）
即
所以
法一. ,
则
=
=
=
又
法二
因为
由余弦定理 得
， 又因为，当且仅当时“”成立. 所以 又由三边关系定理可知
综上
考点：1.正、余弦定理；2.正弦型函数求值域；3.重要不等式的应用.
19、（1）证明见解析（2）31818 【解析】 （1）连接BD ，设BD AC O ⋂=，连接MO .通过证明//MO BF ，证得直线//BF 平面MAC .
（2）建立空间直角坐标系，利用平面MAC 和平面MCD 的法向量，计算出二面角A MC D --的正弦值.
【详解】
（1）连接BD ，设BD AC O ⋂=，连接MO ，
因为AD BC ∥，所以BOC DOA △∽△，所以
21DO AD OB BC ==， 在FBD 中，因为
21MD DO MF OB ==， 所以MO BF ，且MO ⊂平面MAC ，
故BF ∥平面MAC .
（2）因为AD BC ∥，2AB =，1BC =，2AD =，5CD =AB AD ⊥，
因为BE AF ，BE ⊥平面ABCD ，所以AF ⊥平面ABCD ，
所以AF AB ⊥，AF AD ⊥，
取AB 所在直线为x 轴，取AD 所在直线为y 轴，取AF 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知可得(2,0,0)B ，(2,1,0)C ，(0,2,0)D ，(2,0,3)E ，(0,0,2)F
所以(0,2,2)DF =-，因为12FM MD =， 所以2440,,333DM DF ⎛⎫==- ⎪⎝
⎭， 所以点M 的坐标为240,,33⎛
⎫ ⎪⎝⎭
， 所以(2,1,0)AC =，240,,33AM ⎛
⎫= ⎪⎝⎭，设(,,)m x y z =为平面MAC 的法向量，
则200240033x y m AM y z m AC ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩
，令1x =，解得2y =-，1z =， 所以(1,2,1)m =-，即(1,2,1)m =-为平面MAC 的一个法向量.
142,,33CM ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭，(2,1,0)CD =- 同理可求得平面MCD 的一个法向量为,,(1)22n =
所以1421cos ,6336
m n -+〈〉==-⨯ 所以二面角A MC D --的正弦值为31818
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
20、22
1x y +=
【解析】
根据1AA E -=，可解得,a b ，设()
,P x y ''为曲线1C 任一点，在矩阵A 对应的变换作用下得到点(),Q x y ，则点Q 在曲线2C 上，根据变换的定义写出相应的矩阵等式，再用,x y 表示出,x y ''，代入曲线1C 的方程中，即得.
【详解】
1AA E -=，010*******a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即0100201b a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
. 121b a =⎧∴⎨=⎩，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，01102A ⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥⎣⎦
. 设(),P x y ''
为曲线1C 任一点，则2
214x y ''+=， 又设()
,P x y ''在矩阵A 变换作用得到点(),Q x y ， 则0
1102x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2y x x y '⎡⎤⎡⎤⎢⎥='⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以2
y x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩即2x y y x =''⎧⎨=⎩ 代入2
214
x y ''+=，得221y x +=， 所以曲线2C 的方程为221x y +=.
【点睛】
本题考查逆矩阵，矩阵与变换等，是基础题.
21、（1
）
4
；（2
）4 【解析】
（1）利用二倍角公式2cos 212sin C C =-求解即可，注意隐含条件sin 0C >.
（2）利用（1）中的结论，结合正弦定理和同角三角函数的关系易得sin ,cos ,cos A A C 的值，又由()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+求出sin B 的值，最后由正弦定理求出a 的值，根据三角形的面积公式即可计算得出.
【详解】
（1）由已知可得2cos 212s 34
in C C =-=-，
所以27sin 8
C =， 因为在锐角ABC 中，sin 0C >，
所以sin 4
C = （2）因为2c a =，
所以1sin sin 28
A C ==， 因为ABC 是锐角三角形，
所以cos 48
C A ==， 所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+
84848
=+=.
sin a A =，所以a =，
所以11sin 224ABC S ab C === 【点睛】
此类问题是高考的常考题型，主要考查了正弦定理、三角函数以及三角恒等变换等知识，同时考查了学生的基本运算能力和利用三角公式进行恒等变换的技能，属于中档题.
22、（1）[)9,-+∞；（2）3,4⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
. 【解析】
（1）将4a =代入函数()y f x =的解析式，将函数()y f x =的及解析式变形为分段函数，利用二次函数的基本性质可求得函数()y f x =的值域；
（2）由参变量分离法得出2111
x a x x -≤-++在区间[]0,2内有解，分[]0,1x ∈和(]1,2x ∈讨论，求得函数2111
x y x x -=-++的最大值，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】
（1）当4a =时，()22
243,141145,1x x x f x x x x x x ⎧-+≥=---=⎨+-<⎩. 当1x ≥时，()()[)2
211,f x x =--∈-+∞；
当1x <时，()()[)2299,f x x =+-∈-+∞. ∴函数()y f x =的值域为[)9,-+∞；
（2）不等式()1f x a x ≥+等价于2
111x a x a x ---≥+， 即2111
x a x x -≤-++在区间[]0,2内有解 当[]0,1x ∈时，2211112x x a x x --≤=-++，此时，211,022x -⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，则0a ≤； 当(]1,2x ∈时，2211111122x x a x x x x x --⎛⎫≤==- ⎪-++⎝⎭
， 函数112y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(]1,2上单调递增，当(]1,2x ∈时，1130,24x x ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则34
a ≤. 综上，实数a 的取值范围是3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦. 【点睛】
本题主要考查含绝对值函数的值域与含绝对值不等式有解的问题，利用绝对值的应用将函数转化为二次函数，结合二次函数的性质是解决本题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.。