课件6：4.3.1 空间直角坐标系～4.3.2 空间两点间的距离公式
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空间直角坐标系中，三条坐标轴( )
A．两两垂直且相交于一点 B．两两平行
C．仅有两条不垂直
D．仅有两条垂直
答案：A
2.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，以AB，AD，AA1分别为x， y，z轴建立空间直角坐标系(如图所示)，则点C1的坐标是 ________．
答案：(1,1,1)
应填(3，－2，－1)；设 P 关于 M(1,2,1)对称后的点为(x，y，z)，则 由中点坐标公式得－32＋x＝1，2＋2 y＝2，－12＋z＝1，解得，x＝5，
y＝2，z＝3.因此第三个空应填(5,2,3)． 答案：(－3，－2，－1) (3，－2，－1) (5,2,3)
题型三 空间两点间的距离公式及应用 例3 如图所示，在河的一侧有一塔CD＝50 m，河宽BC＝30 m， 另一侧有一点A，AB＝40 m，求点A与塔顶D的距离． 解：如图所示，以塔底 C 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 D(0,0,50)，A(30，－40,0)， 所以|AD|＝ 302＋402＋502＝50 2(m)， 即点 A 与塔顶 D 的距离为 50 2 m.
为________． 答案： 6
想一想 2.在空间直角坐标系中，到两定点距离相等的点 的轨迹是直线吗？ 提示：不是．是两点间连线的中垂面．
典题例证技法归纳 题型一 求空间点的坐标
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1， D1B1的中点，棱长为1，建立适当的空间直角坐标系，求 E，F的坐标．
4.3.1 空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式
新知初探思维启动
1．空间直角坐标系
以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数 空间 轴__x_轴___，__y_轴___，__z_轴___，这时我们说建立 直角 了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐 坐标 标原点，x轴、y轴、z轴叫做_坐__标__轴___．通过每 系 两个坐标轴的平面叫做_坐__标__平__面____，分别称
题型二 空间中点的对称问题
例2 求点P(a，b，c)关于xOy平面和z轴的对称点的坐标． 解:设点P(a，b，c)关于xOy平面的对称点是P′，则P与P′在xOy平 面上的射影是同一点，所以其横、纵坐标不变，竖坐标互为相反 数，故P′(a，b，－c)．设点P(a，b，c)关于z轴的对称点是P″，则 P与P″在z轴上的射影是同一点，所以其竖坐标不变，横、纵坐标 互为相反数，故P″(－a，－b，c)．
跟踪训练 2．点P(－3,2，－1)关于平面xOz的对称点是______，关于 z轴的对称点是_____，关于M(1,2,1)的对称点是____．
解析：从图形上看，点 P 关于平面 xOz 对称后，它的纵坐标变为相 反数，其他不变，因此第一个空应填(－3，－2，－1)；P 关于 z 轴 对称后，它的竖坐标没变，横、纵坐标变为相反数，因此第二个空
做一做 3.已知 A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C 是 AB 的中点，则 C 点的坐标
为( )
A．(3，－2,2)
B．(3,2,1)
C．(52，－72，32)
D．(27，－12，52)
解析：设 C(x，y，z)，则 x＝3，y＝－2，z＝2.
答案：A 4．在空间直角坐标系中，点 A(1,0,1)和点 B(2,1，－1)间的距离
跟踪训练
3．在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别是 D1D、 BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝14CD，H 为 C1G 的中点，试建 立适当的坐标系，写出 E、F、G、H 的坐标．
解：建立如图所示的空间直角坐标系．点 E 在 z 轴上，它的 x 坐标、y 坐标均为 0，而 E 为 DD1 的中点，故其坐标为(0,0，12)．
跟踪训练 1.如图所示，V－ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F 分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间 直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标． 解：∵底面是边长为2的正方形，∴|CE|＝|CF|＝1. ∵O点是坐标原点， ∴C(1,1,0)，同样的方法可以确定 B(1，－1,0)，A(－1，－1,0)，D(－1,1,0)． ∵V在z轴上，∴V(0,0,3)．
解：法一：建立如图所示的空间直角坐标系，E 点在 xDy 面上的 射影为 B，B(1,1,0)， 因为竖坐标为12，所以 E(1,1，12)． F 在 xDy 面上的射影为 BD 的中点 G，竖坐标为 1， 所以 F(12，12，1)．
法二：B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，B(1,1,0)， E 为 B1B 的中点，F 为 B1D1 的中点， 故 E 的坐标为(1＋2 1，1＋2 1，1＋2 0)＝(1,1，12)， F 的坐标为(1＋2 0，1＋2 0，1＋2 1)＝(12，12，1)．
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易错警示 因空间几何图形中建系不当致误 例4 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长都为2，侧棱AA1⊥底 面ABC，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．
【常见错误】 本题易错以AB、AC、AA1所在直线建系，导致各点 坐标求错．
解：取 AC 的中点 O 和 A1C1 的中点 O1，可得 BO⊥AC，分别以 OB、OC、OO1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 因为三棱柱各棱长均为 2，所以 OA＝OC＝1，OB＝ 3， 可得 A(0，－1,0)，B( 3，0,0)，C(0,1,0)， A1(0，－1,2)，B1( 3，0,2)，C1(0,1,2)． 【失误防范】 求空间点的坐标的关键是建立正确的空间直角 坐标系，建立空间直角坐标系时要注意坐标轴必须是共点且两 两垂直，且符合右手法则．
2．空间两点间的距离公式 空间中的两点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)之间的距离 |P1P2|＝______x1_－__x_2_2＋__y_1_－_y_2_2_＋__z_1－__z_2_2 ________. 3．空间中的中点坐标公式 在则空线间段直AB角的坐中标点系坐中标，是若__A(_x(1_x＋2_1，_x_2，y_1_y，1_＋2_z_y1)_2，、__zB1_＋(2_x_z22_，)__y2_，_．z2)，
谢 谢!
空间 一点 的坐 标
空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z) 来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空 间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其 中x叫做点M的__横__坐__标____，y叫做点M的 __纵__坐__标___，z叫做点M的__竖__坐__标____.
想一想 1.空间中一点的坐标其表示唯一吗？ 提示：空间中一点的坐标因建系不同而不同，其表示不唯 一，但其形式一定是(x，y，z)的形式，即由三个实数唯一 确定．
为_x_O__y平__面____、_y_O__z_平__面___、__z_O__x平__面_____．
右手 直角 坐标 系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向__x_轴___ 的正方向，食指指向__y_轴____的正方向，如果
中指指向__z_轴____的正方向，则称这个坐标系 为右手直角坐标系．其中∠xOy＝__1_3_5_°__， ∠yOz＝__9_0_°___.
由 F 作 FM⊥AD、FN⊥DC，由平面几何知 FM＝12、FN＝12， 故 F 点坐标为(12，12，0)．点 G 在 y 轴上，其 x、z 坐标均为 0， 又 GD＝34，故 G 点坐标为(0，34，0)． 由 H 作 HK⊥CG 于 K，由于 H 为 C1G 的中点， 故 HK＝12、CK＝18.∴DK＝78. 故 H 点坐标为(0，78，12)．
A．两两垂直且相交于一点 B．两两平行
C．仅有两条不垂直
D．仅有两条垂直
答案：A
2.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，以AB，AD，AA1分别为x， y，z轴建立空间直角坐标系(如图所示)，则点C1的坐标是 ________．
答案：(1,1,1)
应填(3，－2，－1)；设 P 关于 M(1,2,1)对称后的点为(x，y，z)，则 由中点坐标公式得－32＋x＝1，2＋2 y＝2，－12＋z＝1，解得，x＝5，
y＝2，z＝3.因此第三个空应填(5,2,3)． 答案：(－3，－2，－1) (3，－2，－1) (5,2,3)
题型三 空间两点间的距离公式及应用 例3 如图所示，在河的一侧有一塔CD＝50 m，河宽BC＝30 m， 另一侧有一点A，AB＝40 m，求点A与塔顶D的距离． 解：如图所示，以塔底 C 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 D(0,0,50)，A(30，－40,0)， 所以|AD|＝ 302＋402＋502＝50 2(m)， 即点 A 与塔顶 D 的距离为 50 2 m.
为________． 答案： 6
想一想 2.在空间直角坐标系中，到两定点距离相等的点 的轨迹是直线吗？ 提示：不是．是两点间连线的中垂面．
典题例证技法归纳 题型一 求空间点的坐标
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1， D1B1的中点，棱长为1，建立适当的空间直角坐标系，求 E，F的坐标．
4.3.1 空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式
新知初探思维启动
1．空间直角坐标系
以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数 空间 轴__x_轴___，__y_轴___，__z_轴___，这时我们说建立 直角 了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐 坐标 标原点，x轴、y轴、z轴叫做_坐__标__轴___．通过每 系 两个坐标轴的平面叫做_坐__标__平__面____，分别称
题型二 空间中点的对称问题
例2 求点P(a，b，c)关于xOy平面和z轴的对称点的坐标． 解:设点P(a，b，c)关于xOy平面的对称点是P′，则P与P′在xOy平 面上的射影是同一点，所以其横、纵坐标不变，竖坐标互为相反 数，故P′(a，b，－c)．设点P(a，b，c)关于z轴的对称点是P″，则 P与P″在z轴上的射影是同一点，所以其竖坐标不变，横、纵坐标 互为相反数，故P″(－a，－b，c)．
跟踪训练 2．点P(－3,2，－1)关于平面xOz的对称点是______，关于 z轴的对称点是_____，关于M(1,2,1)的对称点是____．
解析：从图形上看，点 P 关于平面 xOz 对称后，它的纵坐标变为相 反数，其他不变，因此第一个空应填(－3，－2，－1)；P 关于 z 轴 对称后，它的竖坐标没变，横、纵坐标变为相反数，因此第二个空
做一做 3.已知 A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C 是 AB 的中点，则 C 点的坐标
为( )
A．(3，－2,2)
B．(3,2,1)
C．(52，－72，32)
D．(27，－12，52)
解析：设 C(x，y，z)，则 x＝3，y＝－2，z＝2.
答案：A 4．在空间直角坐标系中，点 A(1,0,1)和点 B(2,1，－1)间的距离
跟踪训练
3．在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别是 D1D、 BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝14CD，H 为 C1G 的中点，试建 立适当的坐标系，写出 E、F、G、H 的坐标．
解：建立如图所示的空间直角坐标系．点 E 在 z 轴上，它的 x 坐标、y 坐标均为 0，而 E 为 DD1 的中点，故其坐标为(0,0，12)．
跟踪训练 1.如图所示，V－ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F 分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间 直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标． 解：∵底面是边长为2的正方形，∴|CE|＝|CF|＝1. ∵O点是坐标原点， ∴C(1,1,0)，同样的方法可以确定 B(1，－1,0)，A(－1，－1,0)，D(－1,1,0)． ∵V在z轴上，∴V(0,0,3)．
解：法一：建立如图所示的空间直角坐标系，E 点在 xDy 面上的 射影为 B，B(1,1,0)， 因为竖坐标为12，所以 E(1,1，12)． F 在 xDy 面上的射影为 BD 的中点 G，竖坐标为 1， 所以 F(12，12，1)．
法二：B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，B(1,1,0)， E 为 B1B 的中点，F 为 B1D1 的中点， 故 E 的坐标为(1＋2 1，1＋2 1，1＋2 0)＝(1,1，12)， F 的坐标为(1＋2 0，1＋2 0，1＋2 1)＝(12，12，1)．
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易错警示 因空间几何图形中建系不当致误 例4 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长都为2，侧棱AA1⊥底 面ABC，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．
【常见错误】 本题易错以AB、AC、AA1所在直线建系，导致各点 坐标求错．
解：取 AC 的中点 O 和 A1C1 的中点 O1，可得 BO⊥AC，分别以 OB、OC、OO1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 因为三棱柱各棱长均为 2，所以 OA＝OC＝1，OB＝ 3， 可得 A(0，－1,0)，B( 3，0,0)，C(0,1,0)， A1(0，－1,2)，B1( 3，0,2)，C1(0,1,2)． 【失误防范】 求空间点的坐标的关键是建立正确的空间直角 坐标系，建立空间直角坐标系时要注意坐标轴必须是共点且两 两垂直，且符合右手法则．
2．空间两点间的距离公式 空间中的两点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)之间的距离 |P1P2|＝______x1_－__x_2_2＋__y_1_－_y_2_2_＋__z_1－__z_2_2 ________. 3．空间中的中点坐标公式 在则空线间段直AB角的坐中标点系坐中标，是若__A(_x(1_x＋2_1，_x_2，y_1_y，1_＋2_z_y1)_2，、__zB1_＋(2_x_z22_，)__y2_，_．z2)，
谢 谢!
空间 一点 的坐 标
空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z) 来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空 间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其 中x叫做点M的__横__坐__标____，y叫做点M的 __纵__坐__标___，z叫做点M的__竖__坐__标____.
想一想 1.空间中一点的坐标其表示唯一吗？ 提示：空间中一点的坐标因建系不同而不同，其表示不唯 一，但其形式一定是(x，y，z)的形式，即由三个实数唯一 确定．
为_x_O__y平__面____、_y_O__z_平__面___、__z_O__x平__面_____．
右手 直角 坐标 系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向__x_轴___ 的正方向，食指指向__y_轴____的正方向，如果
中指指向__z_轴____的正方向，则称这个坐标系 为右手直角坐标系．其中∠xOy＝__1_3_5_°__， ∠yOz＝__9_0_°___.
由 F 作 FM⊥AD、FN⊥DC，由平面几何知 FM＝12、FN＝12， 故 F 点坐标为(12，12，0)．点 G 在 y 轴上，其 x、z 坐标均为 0， 又 GD＝34，故 G 点坐标为(0，34，0)． 由 H 作 HK⊥CG 于 K，由于 H 为 C1G 的中点， 故 HK＝12、CK＝18.∴DK＝78. 故 H 点坐标为(0，78，12)．