高中数学第三章不等式3.5绝对值不等式第二课时绝对值不等式(2)aa高二数学

求解.
(2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零点分段法”求解,体现分类讨 论的思想.确定各个绝对值符号内多项式取值的正、负性,进而去掉绝对值符号是解题关 键.
(3)通过构造函数,利用函数的图象求解,体现函数与方程的思想,正确求出函数的零点并画 出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键.
a 1
a 1
a 1
a 1
综上所述, 2 ≤x≤0.故不等式的解集为[ 2 ,0].
a 1
a 1
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方法技巧(jìqiǎo)
|ax+b|≥c和|ax+b|≤c型不等式的解法:①当c>0
时,|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c,|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c.②当c=0
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题型三 含绝对值不等式的综合(zōnghé)问题 【例3】已知函数(hánshù)f(x)=|2x-1|+|2x+a|,函数g(x)=x+3.
(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
解:(1)法一 当 a=-2 时,不等式 f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|<x+3, 当 x≥1 时,4x-3<x+3,得 x<2,所以 1≤x<2;当 x≤ 1 时,-4x+3<x+3,得 x>0,
第二(dì èr)课时 绝对值不等式(2)
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课标要求(yāoqiú):会解|x+b|≤c,|x+b|≥c,|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c型不等式.
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自主 学习 (zìzhǔ)
知识(zhī shi)探 1.形如|x|<a型与|x|>a型不等式的解法(究jiě fǎ)
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4.若存在实数(shìshù)x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是
.
解析:若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立, 只需|x-a|+|x-1|的最小值满足不大于3.在数轴上,|x-a|表示横坐标为x的点P到横坐 标 为 a 的 点 A 的 距 离 ,|x-1| 就 表 示 点 P 到 横 坐 标 为 1 的 点 B 的 距 离 , 所 以 (suǒyǐ)(|PA|+|PB|)min=|a-1|,从而|a-1|≤3,解得-2≤a≤4. 答案:-2≤a≤4
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(3)ax+|x+1|≤1(-1<a<1).
解:(3)若 x≥-1,则 ax+x+1≤1,即(a+1)x≤0.因为-1<a<1,所以 x≤0. 又 x≥-1,所以-1≤x≤0. 若 x<-1,则 ax-x-1≤1,即(a-1)x≤2.
因为-1<a<1,所以 x≥ 2 .所以 2 -(-1)= a 1 <0.所以 2 ≤x<-1.
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题型二 |x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法(jiě fǎ)
【例2】 解不等式:
(1)|2x+1|-2|x-1|>0;
解:(1)法一 原不等式可化为|2x+1|>2|x-1|, 两边平方得 4x2+4x+1>4(x2-2x+1), 解得 x> 1 ,
5x,
x
1 2
,
则
y=
x
2,
1 2
x
1,
3x 6, x 1,
其图象如图所示,从图象可知,
当且仅当 x∈(0,2)时,y<0.
所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.
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(2)设 a>-1,且当 x∈[- a , 1 ]时,恒有 f(x)≤g(x),求实数 a 的取值范围. 22
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课堂 探究 (kètáng)
题型一 |ax+b|≤c与|ax+b|≥c(c>0)型的不等式的解法(jiě fǎ) 【例1】 解下列(xiàliè)关于x的不等式: (1)|5x-2|≥8;
解:(1)|5x-2|≥8⇔5x-2≥8 或 5x-2≤-8⇔x≥2 或 x≤- 6 , 5
解:(2)因为 a>-1,当 x∈[- a , 1 ]时,f(x)=1+a,不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a 22
≤x+3.
所以 x≥a-2 对 x∈[- a , 1 ]都成立, 22
故- a ≥a-2,即 a≤ 4 .
2
3
所以实数 a 的取值范围为(-1, 4 ]. 3
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方法技巧 对于不等式恒成立求参数范围问题,常见类型及其解法(jiě fǎ)如下:
(1)分离参数法:运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a,f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中 的参数范围问题. (2)更换主元法:不少含参不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不 可能解决时,可转换思维角度,将主元与参数互换,常可得到简便的解法. (3)数形结合法:在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合,揭示问题所蕴
2
2
当- 2 ≤x≤ 1 时,原不等式等价于 1-2x+3x+2<11,即- 2 ≤x≤ 1 ;
3
2
3
2
当 x<- 2 时,原不等式等价于 1-2x-3x-2<11,即- 12 <x<- 2 .
3
5
3
所以原不等式的解集为{x|- 12 <x<2}. 5
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(2)已知函数(hánshù)f(x)=|x-2|-|x-5|.
(2)解绝对值不等式的关键是去绝对值符号,零点分段法操作程序是:找零点,分 区间,分段讨论.此外还常利用绝对值的几何意义求解.
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即时(jíshí)训练2-1:(1)解关于x的不等式:|2x-1|+|3x+2|<11.
(1)解:当 x> 1 时,原不等式等价于 2x-1+3x+2<11,即 1 <x<2;
2 所以 0<x≤ 1 ;当 1 <x<1 时,1<x+3,得 x>-2,
22
所以 1 <x<1. 2
综上不等式 f(x)<g(x)的解集为{x|0<x<2}.
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法二 当 a=-2 时,不等式 f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,
①证明:-3≤f(x)≤3;
3, x 2, (2)①证明:f(x)=|x-2|-|x-5|= 2x 7,2 x 5,
3, x 5. 当 2<x<5 时,-3<2x-7<3, 所以-3≤f(x)≤3.
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②求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.
②解:由①可知,当 x≤2 时,f(x)≥x2-8x+15, 即为 x2-8x+18≤0,解集为空集; 当 2<x<5 时,f(x)≥x2-8x+15 即为 x2-10x+22≤0, 解集为{x|5- 3 ≤x<5}; 当 x≥5 时,f(x)≥x2-8x+15 即为 x2-8x+12≤0, 解集为{x|5≤x≤6}. 综上,不等式 f(x)≥x2-8x+15 的解集为{x|5- 3 ≤x≤6}.
3.不等式|x+1|+|x-4|≥7的解集是( (A)(-∞,-3]∪[4,+∞) (B)[-3,4] (C)(-∞,-2]∪[5,+∞) (D)[-2,5]
)
C
解析(jiě xī):当x<-1时,-x-1-x+4≥7,得x≤-2,当-1≤x<4时,x+1-x+4≥7,不成立, 当x≥4时,x+1+x-4≥7,得x≥5,综上:不等式的解集为{x|x≤-2或x≥5}.故选C.
4 所以原不等式的解集为{x|x> 1 }.
4
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法二
原不等式等价于
x
1 2
,
(2x 1) 2(x 1) 0
或
1 2
x
1,
(2x 1) 2(x 1) 0
或
x 1, (2x
1)
2(
x
1)
0.
解得 x> 1 ,所以原不等式的解集为{x|x> 1 }.
即-6<2x<12. 所以-3<x<6.
所以原不等式的解集为{x|-3<x<6}.
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(2)|x-x2-2|>x2-3x-4;
解:(2)因为|x-x2-2|=|x2-x+2|, 而 x2-x+2=(x- 1 )2+ 7 >0,
24 所以|x-x2-2|=|x2-x+2|=x2-x+2. 故原不等式等价于 x2-x+2>x2-3x-4⇔x>-3. 所以原不等式的解集为{x|x>-3}.
不等式
a>0
a=0
a<0
|x|<a
{x|-a<x<a}
|x|>a
{x|x>a或x<-a}
{x∈R|x≠0}
R
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2.形如|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
只需将ax+b看成一个整体,即化成(huà chénɡ)|x|≤a,|x|≥a(a>0)型不等式求解.
5
5
③当 x≥ 1 时,原不等式化为(x+3)+(1-2x)< x +1,
2
2
解得 x>2,所以 x>2.综上可知,原不等式的解集为{x|x<- 2 或 x>2}. 5
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方法(fāngfǎ)技巧 (1)用零点分段法画出分段函数的图象,结合图象的直观性求
出不等式的解集,体现数形结合思想的应用.
时,|ax+b|≥c的解集为R,|ax+b|<c的解集为 R,|ax+b|≤c的解集为 .
.③ 当c<0时,|ax+b|≥c的解集为
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即时(jíshí)训练1-1:解下列不等式:
(1)|3-2x|<9;
解:(1)因为(yīn wèi)|3-2x|<9,所以|2x-3|<9. 所以-9<2x-3<9.
所以原不等式的解集为{x|x≥2 或 x≤- 6 }. 5
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(2)2≤|x-2|≤4;
解:(2)原不等式等价于
| |
x x
2 2
| |
2, ① 4.②
由①得 x-2≤-2,或 x-2≥2,所以 x≤0 或 x≥4.
由②得-4≤x-2≤4,所以-2≤x≤6.
所以原不等式的解集为{x|-2≤x≤0 或 4≤x≤6}.
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2.不等式| x |> x 的解集是( B ) 1 x 1 x
(A){x|0<x<1} (B){x|x<0 或 x>1} (C){x|0<x} (D){x|x<1}
解析:由 0> x 得 x<0 或 x>1,故选 B. 1 x
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(3)|x2-3x-4|>x+1.
解:(3)不等式可转化(zhuǎnhuà)为x2-3x-4>x+1或x2-3x-4<-x-1,所以x2-4x5>0或x2-2x-3<0.
解得x>5或x<-1或-1<x<3,
所以不等式的解集是(5,+∞)∪(-∞,-1)∪(-1,3).
|ax+b|≤c(c>0)型不等式的解法:先化为
-c≤a,再x+b由≤c不等式的性质求出原不等
式的解集,
不等式|ax+b|≥c(c>0)的解法:先化为
ax+或b≥c
,再ax进+b一≤-步c 利用不等式
性质求出原不等式的解集.
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3.形如|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义求解,体现(tǐxiàn)了数形结合思想,理解绝对值的几何意 义,给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键.|x|的几何意义是数轴上表示数x的点 到原点的距离;|x-a|±|x-b|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a,b的点的距离之 和(差).形如|x-a|<|x-b|、|x-a|>|x-b|(a≠b)型的不等式可通过两边平方去绝对值符号的方法
4
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(2)|x+3|-|2x-1|< +1. x 2
解:(2)①当 x<-3 时,原不等式化为-(x+3)-(1-2x)< x +1, 2
解得 x<10,所以 x<-3.
②当-3≤x< 1 时,原不等式化为(x+3)-(1-2x)< x +1,2 Nhomakorabea2
解得 x<- 2 ,所以-3≤x<- 2 .
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第五页，共三十一页。
1.不等式|x2-x|<2的解集为(
(A)(-1,2)
(B)(-1,1)
(C)(-2,1)
(D)(-2,2)
自我(zìwǒ)检测 )A
解析:因为|x2-x|<2,所以-2<x2-x<2,
即
x2
x2
x x
2 2
0, R, 0，1
x
2,
所以 x∈(-1,2).故选 A.