2018-2019学年上海市金山中学高二下学期3月月考数学试题(解析版)
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每盒至少 个球，则分组必为： ，共有： 种分法
放入 个盒子中，则有 种放法
故答案为：
【点睛】
本题考查排列组合中的分组分配问题，易错点是在分组过程中忽略了存在平均分组的情况，造成重复.
12．若 、 为双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线 上， ，则 到 轴的距离为________
【答案】
【解析】根据双曲线方程可求得 ，根据双曲线焦点三角形面积公式可求得 ，利用面积桥可求得结果.
三、解答题
17．（1）在 的二项展开式中 的系数为 ，求实数 的值；
（2）若 ，求 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）根据二项式定理可得展开式通项，令 的幂指数等于 ，求得 ，代入可求得 的系数为 ，从而构造方程可求得结果；
（2）采用赋值法，令 和 ，得到的两个式子作差可求得 ，进而求得结果.
本题考查空间几何体的结构特征，属于基础题.
9．抛物线的焦点为椭圆 的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为________
【答案】
【解析】由椭圆方程可求得右焦点坐标，从而得到 ，求得 后即可得到抛物线方程.
【详解】
由椭圆方程知，椭圆右焦点为
设抛物线方程为： ，则 抛物线方程为：
故答案为：
【点睛】
本题考查抛物线方程的求解，关键是能够根据椭圆标准方程求得焦点坐标，属于基础题.
【详解】
（1）取 中点 ，连接
三棱柱 为正三棱柱 ，
为 中点 ，
二面角 的平面角为
底面 ， 平面
又 ，
，即二面角 的大小为
（2）设过 且与底面成 角的平面与 交于点
， 为 中点
又 二面角 的平面角为
即截面的面积为
【点睛】
本题考查立体几何中二面角大小、截面面积的求解问题；求解二面角相关问题的关键是能够通过二面角平面角的定义在图形中找到二面角的平面角.
7．如图，正方形 的边长为1 ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________
【答案】8
【解析】由斜二测画法还原得到原图形为平行四边形 ，其中 ，求得各边长后即可得到原图形的周长.
【详解】
由斜二测画法还原可得正方形 的原图形为下图中的
其中 ，
原图形周长为：
故答案为：
【点睛】
本题考查斜二测画法的基本原则，属于基础题.
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由 平面 可知 到直线 的距离即为 到点 的距离，从而可得其轨迹为抛物线的一部分且过点 ，依次判断各个选项即可.
【详解】
平面 ， 平面
到直线 的距离为 ，即 点到点 的距离
点轨迹是以 为焦点， 所在直线为准线的抛物线的一部分
又 在平面 上， 点轨迹过点
中轨迹不是抛物线，则 错误； 中轨迹不过 ，则 错误.
【详解】
正三棱柱 的侧面展开图如下图所示：
则 ，
则质点绕行一周的最短距离为 的长度，则
所求最短距离为
故答案为：
【点睛】
本题考查最短距离的求解问题，关键是明确此类问题是通过侧面展开图，利用两点之间线段最短来求得结果.
16．在正四棱锥 中， ，侧面 与侧面 所成的二面角的大小为 ，若 （其中 ），则 ________
6．正方体 中，直线 与平面 所成的角的大小为________（结果用反三角函数值表示）
【答案】
【解析】根据线面角的定义可知所求角为 ，根据长度关系可求得 ，从而得到结果.
【详解】
由正方体特点知： 平面
直线 与平面 所成角为
设正方体棱长为 ，则
，即直线 与平面 所成角大小为
故答案为：
【点睛】
本题考查直线与平面所成角的求解，关键是能够根据线面垂直关系确定线面角的位置，属于基础题.
【答案】5
【解析】作 ，由正四棱锥性质知 ，由二面角平面角定义可知 ；设 ，可求得 ，由余弦定理可求得 ，进而得到 ；利用余弦定理可表示出 ，进而得到 ，加和即可得到结果.
【详解】
作 ，垂足为 ，连接
四棱锥 为正四棱锥
侧面 与侧面 所成角为
设
在 中，由余弦定理可得：
即
又 ，
故答案为：
【点睛】
本题考查二面角的求解问题，涉及到正四棱锥的结构特征、余弦定理在立体几何中的应用等知识；关键是能够通过二面角平面角的定义得到平面角.
20．已知椭圆 的左、右两个顶点分别为 、 ，曲线 是以 、 两点为顶点，焦距为 的双曲线，设点 在第一象限且在曲线 上，直线 与椭圆相交于另一点 .
（1）求曲线 的方程；
（2）设 、 两点的横坐标分别为 、 ，求证 为一定值；
（3）设△ 与△ （其中 为坐标原点）的面积分别为 与 ，且 ，求 的取值范围.
本题考查圆锥曲线综合应用问题，涉及到双曲线方程的求解、定值问题的求解、与三角形面积有关的取值范围的求解；求解取值范围的关键是能够将所求量表示为关于某一变量的函数，通过函数最值的求解方法求得结果.
10．正四棱柱 的底面边长 ，若直线 与底面 所成的角的大小为 ，则正四棱柱 的侧面积为________
【答案】32
【解析】根据线面垂直关系、线面角的定义可知 ，从而得到 ，根据底面边长可求得侧棱长，进而得到所求的侧面积.
【详解】
四棱柱 为正四棱柱
四边形 为正方形， 平面
直线 与底面 所成角为
正四棱柱 的侧面积：
【详解】
①若上下顶面两点连线不垂直于底面，则两点连线长度不是母线的长度，①错误；
②由圆锥的特点可知，圆锥顶点到底面圆周上任意一点长度相等，均为母线长度，②正确；
③圆柱的母线均垂直于底面，所以任意两条母线所在直线互相平行，③正确；
④若两点连线为球的直径，则过两点有两个大圆，④错误.
故答案为：②③
【点睛】
【答案】
【解析】将异面直线平移到 点，可确定 和 的角平分线与 所成角的大小，当直线在平面 内的射影为 的角平分线时，需 能使得题意成立，从而得到结果.
【详解】
将异面直线 平行移动到点 处，记为直线
，
的角平分线与 所成角为 ； 的角平分线与 所成角为
当 时，过 点的有且仅有 条直线与 所成角相等且等于 ，此时直线在面 内的射影为 的角平分线
【详解】
（1）由椭圆方程可得： ， ，即双曲线 中，
又双曲线焦距为
曲线 的方程为：
（2）由题意可知，直线 斜率存在，则可设
联立 得：
，
椭圆与直线联立得： 可得：
，即 为定值
（3）由（2）可设 ，
则 ，
又点 在双曲线 上 ，解得：
又 位于第一象限
，
令
在 上单调递减，在 上单调递增
，
的取值范围为
【点睛】
【详解】
由双曲线方程可知： ，
由双曲线焦点三角形面积公式得：
又 ，即 到 轴距离为
故答案为：
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质的应用，关键是能够熟练掌握双曲线焦点三角形面积公式： ，从而利用面积桥来解决问题.
13．三棱锥 中，有一个平行于底面的平面截得一个△ 截面，圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点连线的长度是母线的长度；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点连线的长度是母线的长度；③圆柱的任意两条母线所在直线互相平行；④过球上任意两点有且只有一个大圆；其中正确命题的序号是_____
【答案】②③
【解析】根据圆柱母线垂直于底面的特点可知①错误，③正确；由圆锥的特点可知②正确；当两点连线为球的直径时，可知④错误.
【解析】根据面积比可求出两三棱锥的高之比，根据三棱锥体积公式可求得体积之比.
【详解】
三棱锥 与 的高之比：
故答案为：
【点睛】
本题考查棱锥体积的相关计算，关键是能够利用面积比得到三棱锥的高之比，属于基础题.
14．异面直线 、 成80°角，点 是 、 外的一个定点，若过 点有且仅有2条直线与 、 所成的角相等且等于 ，则 的范围为________
【考点】点、线、面的位置关系．
2．如图，在四面体 中， ， 、 分别是 、 的中点，若 与 所成的角的大小为30°，则 和 所成的角的大小为（）
A.15°B.75°C.30°或60°D.15°或75°
【答案】D
【解析】取 中点 ，根据三角形中位线的平行关系可知异面直线 与 所成角为 或其补角；根据等腰三角形特点可求得 ，根据异面直线所成角定义可知 即为所求角.
故选：
【点睛】
本题考查立体几何中点的轨迹的求解，关键是能够通过线面垂直关系确定动点轨迹为抛物线的一部分.
4．如图在正方体 中，点 为线段 的中点.设点 在线段 上，直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【详解】
设正方体的棱长为 ，则 ，所以 ， .
又直线与平面所成的角小于等于 ，而 为钝角，所以 的范围为 ，选B.
【答案】（1） ；（2）证明见解析， ；（3） .
【解析】（1）由椭圆方程可得 ，由焦距得到 ，根据 求得 ，进而得到双曲线方程；
（2）设 ，与双曲线方程联立，结合韦达定理可求得 ；同理可求得 ，相乘可求得定值；
（3）设 ， ，利用向量数量积可求得 ；利用点 在双曲线上且位于第一象限可求得 的范围；将 表示为 ，根据对号函数的性质可求得最值，进而得到取值范围.
故答案为：
【点睛】
本题考查异面直线所成角的相关问题的求解，关键是能够通过平行移动将直线变为相交直线再进行求解.
15．已知正三棱柱 的底面边长为1，高为8，一质点自 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达 点的最短路线的长为________
【答案】
【解析】利用正棱柱的侧面展开图可知所求最短距离为 ，利用勾股定理可求得结果.
2018-2019学年上海市金山中学高二下学期3月月考数学试题
一、单选题
1．若直线 和 是异面直线， 在平面 内， 在平面 内，l是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是
A. 与 ， 都相交B. 与 ， 都不相交
C. 至少与 ， 中的一条相交D. 至多与 ， 中的一条相交
【答案】C
【解析】试题分析：若直线 和 是异面直线， 在平面 ， 在平面 内， 是平面 与平面 的交线，则 至少与 ， 的一条相交.故选A．
异面直线 与 所成角即为
平面 ， 平面
又 ，
，即异面直线 与 所成角大小为
（2） 为 中点，
平面 ， 平面
平面 ， 平面
即三棱锥 的高为
，
【点睛】
本题考查立体几何中异面直线所成角、三棱锥体积的求解问题；求解异面直线所成角的关键是能够通过平移将异面直线变为相交直线，通过求解相交直线所成角求得结果.
19．如图，正三棱柱 的底面边长为4，侧棱长为1.
【详解】
（1） 的二项展开式通项为：
当 ，即 时，
又 的系数为 ，解得：
（2）令 得： ……①
令 得： ……②
① ②得：
【点睛】
本题考查根据指定项的系数求解参数值、求解系数和的相关问题；求解系数和问题的常用方法是赋值法，通过赋值法可构造方程组求得结果.
18．如图所示，在棱长为2的正方体 中， 、 分别为线段 、 的中点.
【考点定位】
空间直线与平面所成的角.
二、填空题
5．一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是________
【答案】相交或异面
【解析】分为 共面和不共面，可确定两种位置关系.
【详解】
若 为异面直线，
当 共面时， 相交；当 不共面时， 异面
故答案为：相交或异面
【点睛】
本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，属于基础题.
（1）求二面角 的大小；
（2）若过 的截面与底面成30°的二面角，求此截面的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）取 中点 ，根据等腰三角形三线合一可知 ， ，由二面角平面角定义知 的平面角为 ，根据线面垂直可得 ，从而求得 ，进而得到结果；
（2）设截面与 交于 ，由二面角平面角定义可知 ，从而得到 的长度，进而得到截面面积.
【详解】
取 中点 ，连接
分别为 中点 ，
异面直线 与 所成角为 或
或
和 所成角为
和 所成角的大小为 或
故选：
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过平移将两直线变为相交关系，从而得到异面直线所成角；易错点是忽略异面直线所成角的范围为 ，造成丢根的情况出现.
3．在正方体 的侧面 内有一动点 到直线 与直线 的距离相等，则动点 所在的曲线的形状为（）
故答案为：
【点睛】
本题考查棱柱侧面积的求解，关键是能够根据线面角的定义确定线面角的具体位置，从而得到长度关系，属于基础题.
11．4个不同的球放入3个不同的盒子中，每盒至少1个球，则共有________种不同的放法
【答案】36
【解析】首先将小球分组，接着放入盒子中，根据分步乘法计数原理可得结果.
【详解】
（1）求异面直线 与 所成的角；
（2）求三棱锥 的体积.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）连接 ，由三角形中位线可得 ，可知所求角为 ；由 可求得 ，从而得到结果；
（2）利用线面垂直判定定理可确定 平面 ，可知三棱锥高为 ；根据三棱锥体积公式可求得结果.
【详解】
（1）连接
分别为 中点 为 的中位线
放入 个盒子中，则有 种放法
故答案为：
【点睛】
本题考查排列组合中的分组分配问题，易错点是在分组过程中忽略了存在平均分组的情况，造成重复.
12．若 、 为双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线 上， ，则 到 轴的距离为________
【答案】
【解析】根据双曲线方程可求得 ，根据双曲线焦点三角形面积公式可求得 ，利用面积桥可求得结果.
三、解答题
17．（1）在 的二项展开式中 的系数为 ，求实数 的值；
（2）若 ，求 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）根据二项式定理可得展开式通项，令 的幂指数等于 ，求得 ，代入可求得 的系数为 ，从而构造方程可求得结果；
（2）采用赋值法，令 和 ，得到的两个式子作差可求得 ，进而求得结果.
本题考查空间几何体的结构特征，属于基础题.
9．抛物线的焦点为椭圆 的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为________
【答案】
【解析】由椭圆方程可求得右焦点坐标，从而得到 ，求得 后即可得到抛物线方程.
【详解】
由椭圆方程知，椭圆右焦点为
设抛物线方程为： ，则 抛物线方程为：
故答案为：
【点睛】
本题考查抛物线方程的求解，关键是能够根据椭圆标准方程求得焦点坐标，属于基础题.
【详解】
（1）取 中点 ，连接
三棱柱 为正三棱柱 ，
为 中点 ，
二面角 的平面角为
底面 ， 平面
又 ，
，即二面角 的大小为
（2）设过 且与底面成 角的平面与 交于点
， 为 中点
又 二面角 的平面角为
即截面的面积为
【点睛】
本题考查立体几何中二面角大小、截面面积的求解问题；求解二面角相关问题的关键是能够通过二面角平面角的定义在图形中找到二面角的平面角.
7．如图，正方形 的边长为1 ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________
【答案】8
【解析】由斜二测画法还原得到原图形为平行四边形 ，其中 ，求得各边长后即可得到原图形的周长.
【详解】
由斜二测画法还原可得正方形 的原图形为下图中的
其中 ，
原图形周长为：
故答案为：
【点睛】
本题考查斜二测画法的基本原则，属于基础题.
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由 平面 可知 到直线 的距离即为 到点 的距离，从而可得其轨迹为抛物线的一部分且过点 ，依次判断各个选项即可.
【详解】
平面 ， 平面
到直线 的距离为 ，即 点到点 的距离
点轨迹是以 为焦点， 所在直线为准线的抛物线的一部分
又 在平面 上， 点轨迹过点
中轨迹不是抛物线，则 错误； 中轨迹不过 ，则 错误.
【详解】
正三棱柱 的侧面展开图如下图所示：
则 ，
则质点绕行一周的最短距离为 的长度，则
所求最短距离为
故答案为：
【点睛】
本题考查最短距离的求解问题，关键是明确此类问题是通过侧面展开图，利用两点之间线段最短来求得结果.
16．在正四棱锥 中， ，侧面 与侧面 所成的二面角的大小为 ，若 （其中 ），则 ________
6．正方体 中，直线 与平面 所成的角的大小为________（结果用反三角函数值表示）
【答案】
【解析】根据线面角的定义可知所求角为 ，根据长度关系可求得 ，从而得到结果.
【详解】
由正方体特点知： 平面
直线 与平面 所成角为
设正方体棱长为 ，则
，即直线 与平面 所成角大小为
故答案为：
【点睛】
本题考查直线与平面所成角的求解，关键是能够根据线面垂直关系确定线面角的位置，属于基础题.
【答案】5
【解析】作 ，由正四棱锥性质知 ，由二面角平面角定义可知 ；设 ，可求得 ，由余弦定理可求得 ，进而得到 ；利用余弦定理可表示出 ，进而得到 ，加和即可得到结果.
【详解】
作 ，垂足为 ，连接
四棱锥 为正四棱锥
侧面 与侧面 所成角为
设
在 中，由余弦定理可得：
即
又 ，
故答案为：
【点睛】
本题考查二面角的求解问题，涉及到正四棱锥的结构特征、余弦定理在立体几何中的应用等知识；关键是能够通过二面角平面角的定义得到平面角.
20．已知椭圆 的左、右两个顶点分别为 、 ，曲线 是以 、 两点为顶点，焦距为 的双曲线，设点 在第一象限且在曲线 上，直线 与椭圆相交于另一点 .
（1）求曲线 的方程；
（2）设 、 两点的横坐标分别为 、 ，求证 为一定值；
（3）设△ 与△ （其中 为坐标原点）的面积分别为 与 ，且 ，求 的取值范围.
本题考查圆锥曲线综合应用问题，涉及到双曲线方程的求解、定值问题的求解、与三角形面积有关的取值范围的求解；求解取值范围的关键是能够将所求量表示为关于某一变量的函数，通过函数最值的求解方法求得结果.
10．正四棱柱 的底面边长 ，若直线 与底面 所成的角的大小为 ，则正四棱柱 的侧面积为________
【答案】32
【解析】根据线面垂直关系、线面角的定义可知 ，从而得到 ，根据底面边长可求得侧棱长，进而得到所求的侧面积.
【详解】
四棱柱 为正四棱柱
四边形 为正方形， 平面
直线 与底面 所成角为
正四棱柱 的侧面积：
【详解】
①若上下顶面两点连线不垂直于底面，则两点连线长度不是母线的长度，①错误；
②由圆锥的特点可知，圆锥顶点到底面圆周上任意一点长度相等，均为母线长度，②正确；
③圆柱的母线均垂直于底面，所以任意两条母线所在直线互相平行，③正确；
④若两点连线为球的直径，则过两点有两个大圆，④错误.
故答案为：②③
【点睛】
【答案】
【解析】将异面直线平移到 点，可确定 和 的角平分线与 所成角的大小，当直线在平面 内的射影为 的角平分线时，需 能使得题意成立，从而得到结果.
【详解】
将异面直线 平行移动到点 处，记为直线
，
的角平分线与 所成角为 ； 的角平分线与 所成角为
当 时，过 点的有且仅有 条直线与 所成角相等且等于 ，此时直线在面 内的射影为 的角平分线
【详解】
（1）由椭圆方程可得： ， ，即双曲线 中，
又双曲线焦距为
曲线 的方程为：
（2）由题意可知，直线 斜率存在，则可设
联立 得：
，
椭圆与直线联立得： 可得：
，即 为定值
（3）由（2）可设 ，
则 ，
又点 在双曲线 上 ，解得：
又 位于第一象限
，
令
在 上单调递减，在 上单调递增
，
的取值范围为
【点睛】
【详解】
由双曲线方程可知： ，
由双曲线焦点三角形面积公式得：
又 ，即 到 轴距离为
故答案为：
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质的应用，关键是能够熟练掌握双曲线焦点三角形面积公式： ，从而利用面积桥来解决问题.
13．三棱锥 中，有一个平行于底面的平面截得一个△ 截面，圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点连线的长度是母线的长度；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点连线的长度是母线的长度；③圆柱的任意两条母线所在直线互相平行；④过球上任意两点有且只有一个大圆；其中正确命题的序号是_____
【答案】②③
【解析】根据圆柱母线垂直于底面的特点可知①错误，③正确；由圆锥的特点可知②正确；当两点连线为球的直径时，可知④错误.
【解析】根据面积比可求出两三棱锥的高之比，根据三棱锥体积公式可求得体积之比.
【详解】
三棱锥 与 的高之比：
故答案为：
【点睛】
本题考查棱锥体积的相关计算，关键是能够利用面积比得到三棱锥的高之比，属于基础题.
14．异面直线 、 成80°角，点 是 、 外的一个定点，若过 点有且仅有2条直线与 、 所成的角相等且等于 ，则 的范围为________
【考点】点、线、面的位置关系．
2．如图，在四面体 中， ， 、 分别是 、 的中点，若 与 所成的角的大小为30°，则 和 所成的角的大小为（）
A.15°B.75°C.30°或60°D.15°或75°
【答案】D
【解析】取 中点 ，根据三角形中位线的平行关系可知异面直线 与 所成角为 或其补角；根据等腰三角形特点可求得 ，根据异面直线所成角定义可知 即为所求角.
故选：
【点睛】
本题考查立体几何中点的轨迹的求解，关键是能够通过线面垂直关系确定动点轨迹为抛物线的一部分.
4．如图在正方体 中，点 为线段 的中点.设点 在线段 上，直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【详解】
设正方体的棱长为 ，则 ，所以 ， .
又直线与平面所成的角小于等于 ，而 为钝角，所以 的范围为 ，选B.
【答案】（1） ；（2）证明见解析， ；（3） .
【解析】（1）由椭圆方程可得 ，由焦距得到 ，根据 求得 ，进而得到双曲线方程；
（2）设 ，与双曲线方程联立，结合韦达定理可求得 ；同理可求得 ，相乘可求得定值；
（3）设 ， ，利用向量数量积可求得 ；利用点 在双曲线上且位于第一象限可求得 的范围；将 表示为 ，根据对号函数的性质可求得最值，进而得到取值范围.
故答案为：
【点睛】
本题考查异面直线所成角的相关问题的求解，关键是能够通过平行移动将直线变为相交直线再进行求解.
15．已知正三棱柱 的底面边长为1，高为8，一质点自 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达 点的最短路线的长为________
【答案】
【解析】利用正棱柱的侧面展开图可知所求最短距离为 ，利用勾股定理可求得结果.
2018-2019学年上海市金山中学高二下学期3月月考数学试题
一、单选题
1．若直线 和 是异面直线， 在平面 内， 在平面 内，l是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是
A. 与 ， 都相交B. 与 ， 都不相交
C. 至少与 ， 中的一条相交D. 至多与 ， 中的一条相交
【答案】C
【解析】试题分析：若直线 和 是异面直线， 在平面 ， 在平面 内， 是平面 与平面 的交线，则 至少与 ， 的一条相交.故选A．
异面直线 与 所成角即为
平面 ， 平面
又 ，
，即异面直线 与 所成角大小为
（2） 为 中点，
平面 ， 平面
平面 ， 平面
即三棱锥 的高为
，
【点睛】
本题考查立体几何中异面直线所成角、三棱锥体积的求解问题；求解异面直线所成角的关键是能够通过平移将异面直线变为相交直线，通过求解相交直线所成角求得结果.
19．如图，正三棱柱 的底面边长为4，侧棱长为1.
【详解】
（1） 的二项展开式通项为：
当 ，即 时，
又 的系数为 ，解得：
（2）令 得： ……①
令 得： ……②
① ②得：
【点睛】
本题考查根据指定项的系数求解参数值、求解系数和的相关问题；求解系数和问题的常用方法是赋值法，通过赋值法可构造方程组求得结果.
18．如图所示，在棱长为2的正方体 中， 、 分别为线段 、 的中点.
【考点定位】
空间直线与平面所成的角.
二、填空题
5．一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是________
【答案】相交或异面
【解析】分为 共面和不共面，可确定两种位置关系.
【详解】
若 为异面直线，
当 共面时， 相交；当 不共面时， 异面
故答案为：相交或异面
【点睛】
本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，属于基础题.
（1）求二面角 的大小；
（2）若过 的截面与底面成30°的二面角，求此截面的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）取 中点 ，根据等腰三角形三线合一可知 ， ，由二面角平面角定义知 的平面角为 ，根据线面垂直可得 ，从而求得 ，进而得到结果；
（2）设截面与 交于 ，由二面角平面角定义可知 ，从而得到 的长度，进而得到截面面积.
【详解】
取 中点 ，连接
分别为 中点 ，
异面直线 与 所成角为 或
或
和 所成角为
和 所成角的大小为 或
故选：
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过平移将两直线变为相交关系，从而得到异面直线所成角；易错点是忽略异面直线所成角的范围为 ，造成丢根的情况出现.
3．在正方体 的侧面 内有一动点 到直线 与直线 的距离相等，则动点 所在的曲线的形状为（）
故答案为：
【点睛】
本题考查棱柱侧面积的求解，关键是能够根据线面角的定义确定线面角的具体位置，从而得到长度关系，属于基础题.
11．4个不同的球放入3个不同的盒子中，每盒至少1个球，则共有________种不同的放法
【答案】36
【解析】首先将小球分组，接着放入盒子中，根据分步乘法计数原理可得结果.
【详解】
（1）求异面直线 与 所成的角；
（2）求三棱锥 的体积.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）连接 ，由三角形中位线可得 ，可知所求角为 ；由 可求得 ，从而得到结果；
（2）利用线面垂直判定定理可确定 平面 ，可知三棱锥高为 ；根据三棱锥体积公式可求得结果.
【详解】
（1）连接
分别为 中点 为 的中位线