【精品】人教版八年级数学上册第13章轴对称单元练习试题卷(2)【3套】试题

人教版八年级数学上册第13章轴对称单元练习试题卷(2)
一、单选题
1．以下四个标志中，是轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
2．下列汽车标志中，不是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
3．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）
A.在AC，BC两边高线的交点处
B.在AC，BC两边中线的交点处
C.在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D.在∠A，∠B两内角平分线的交点处
4．如图，在△ABC中，点E，F分别是边BC上两点，ED垂直平分AB，FG垂直平分AC，连接AE，AF，若∠BAC＝115°，则∠EAF的大小为（）
A.45°
B.50°
C.60°
D.65°
5．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（）
A．5 B．10 C．12 D．13
6．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，AD＝5cm，交边AC于点E，△BCE 的周长等于18cm，则△ABC的周长等于（）
A．23cm B．25cm C．28cm D．30cm
7．如果点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值是（）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
8．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（）
A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1
9．点A（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（）
A．（3，－2 ）B．（－3，2）C．（－3，－2 ）D．（3，2）
10．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）
A．35°B．40°C．45°D．50°
11．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（）A．25°B．40°或30°C．25°或40°D．50°
12．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，BE和CE交于点E，过点E作MN∥BC 交AB于点M，交AC于点N．若MN＝8，则BM+CN的长为（）
A．6.5 B．7.2 C．8 D．9.5
二、填空题
13．若等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，则它的周长是。

14．若等腰三角形的顶角为80°，则这个等腰三角形的底角为____度；
15．若A（x，3）关于y轴的对称点是B（－2，y），则x＝____ ，y＝______ ．
16．如图，△ABC中，AB+BC=8，直线DE垂直平分线段AC，则△BCD的周长是_____．
三、解答题
17．如图，ΔABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为（3，1），如果要使ΔABD与ΔABC全等，求点D的坐标．
18．如图，已知：△ABC中，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，△BCE的周长为16cm，△ABC的周长为24cm，求AD的长度.
19．如图，△ABC的三个顶点坐标为A（－4，4），B（－3，1），C(－1，2)。

（1）将△ABC 向右平移5个单位，得到△A 1B 1C 1，画出图形，并直接写出A 1的坐标； （2）作出△A 1B 1C 1关于x 轴对称的图形△A 2B 2C 2，并直接写出C 2点的坐标。

20．如图，点E 在△ABC 外部，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ，若∠C=∠E ，DE=BC ，AC=AE ，求证：AD 平分∠BDE ．
21．已知：如图，在平面直角坐标系中．
（1）作出△ABC 关于y 轴对称的111A B C △，并写出111A B C △三个顶点的坐标：1A （ ），
1B （ ），1C （ ）；
（2）直接写出△ABC 的面积为 ； （3）在x 轴上画点P ，使PA +PC 最小．
答案
1．A
2．C
3．C
4．B
5．D
6．C
7．D
8．D
9．A
10．A
11．C
12．C
13．12cm
14．50
15．2 3
16．8
17．解：∵△ABD与△ABC有一条公共边AB，
∴当点D在AB的下边时，点D有两种情况：
①点D1和点C关于直线AB对称时，此时点D1坐标是（4，−1）；
②点D2和点D1关于直线x=1.5对称时，此时点D2坐标为（−1，−1）；
当点D在AB的上边时，点D3和点C关于直线x=1.5对称，此时点D3坐标为（−1，3），综上，满足条件的点D的坐标有3个：（4，−1），（−1，−1），（−1，3）.
18.解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△BCE的周长＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC＝16cm，
∵△ABC的周长＝AC+BC+AB＝24cm，
∴AB＝24－16＝8cm，
∴AD ＝
1
2
AB ＝4cm. 19．（1）如图，△A 1B 1C 1为所求，点A 1的坐标是（1,4） （2）如图，△A 2B 2C 2为所求，点C 2的坐标是（4,-2）
20．证明：在△ABC 和△ADE 中，
{AC AE C E CB ED
=∠=∠=， ∴△ABC ≌△ADE ， ∴AB=AD ，∠ADE=∠B ， ∴∠B=∠ADB ， ∴∠ADB=∠ADE ， ∴AD 平分∠BDE ． 21．（1）如图所示：
A1(0，−2)，B1(−2，−4)，C1(−4，−1)；
故答案为：(0，−2)，(−2，−4)，(−4，−1)；
（2）△ABC的面积为：12−1
2
×1×4−
1
2
×2×2−
1
2
×2×3=5；
故答案为：5；
（3）如图所示：点P即为所求
人教版八年级上数学第十三章轴对称单元测试（解析）
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.在一些汉字的美术字中,有的是轴对称图形.下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是( )
2.将点A(2,3)向左平移2个单位长度得到点A',点A'关于x轴的对称点是A″,则点A″的坐标为( )
A.(0,-3)
B.(4,-3)
C.(4,3)
D.(0,3)
3.下列能确定△ABC为等腰三角形的是( )
A.∠A=50°,∠B=80°
B.∠A=42°,∠B=48°
C.∠A=2∠B=70°
D.AB=4,BC=5,周长为15
4.如图13-5-1,在△ABC中,AB=20 cm,AC=12 cm,点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动,点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动,其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,当△APQ是以PQ为底边的等腰三角形时,运动的时间是( )
图13-5-1
A.2.5秒
B.3秒
C.3.5秒
D.4秒
5.如图13-5-2,C、E是直线l两侧的点,以C为圆心,CE长为半径画弧交l于A、B两点,分别以点A、B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交于点D,连接CA、CB、CD,下列结论不一定正确的是( )
图13-5-2
A.CD⊥l
B.点A、B关于直线CD对称
C.点C、D关于直线l对称
D.CD平分∠ACB
6.如图13-5-3,把一张长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为B',AB'与DC 相交于点E,则下列结论一定正确的是( )
图13-5-3
A.∠DAB'=∠CAB'
B.∠ACD=∠B'CD
C.AD=AE
D.AE=CE
7.如图13-5-4,△ABC中,∠ACB=90°,分别以点A和点C为圆心,以相同的长
为半径作弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN交AB于点D,交AC于点E,连接CD,下列结论错误的是( )
图13-5-4
A.AD=CD
B.∠A=∠DCE
C.∠ADE=∠DCB
D.∠A=2∠DCB
8.已知△ABC的周长是l,BC=l-2AB,则下列直线一定为△ABC的对称轴的是( )
A.△ABC的边AB的垂直平分线
B.∠ACB的平分线所在的直线
C.△ABC的边BC上的中线所在的直线
D.△ABC的边AC上的高所在的直线
二、填空题(每小题3分,共24分)
9.有一个英语单词,其四个字母都关于直线l对称,图13-5-5是该单词各字母的一部分,请写出补全后的单词所指的物品: .
图13-5-5
10.在坐标平面内,点A和点B关于x轴对称,若A点到x轴的距离是 cm,则点B到x 轴的距离为.
11.将一张长方形纸片折叠成如图13-5-6所示的图形,若AB=6 cm,则AC= cm.
图13-5-6
12.如图13-5-7,在等边△ABC中,AC=9,点O在AC上,且AO=3,点P是AB上一动点,连接OP,以O为圆心,OP长为半径画弧交BC于点D,连接PD,如果PO=PD,那么AP的长是.
图13-5-7
13.如图13-5-8,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB边的垂直平分线ED交AB于点E,交BC于点D,若CD=3,则BD的长为.
14.如图13-5-9所示,一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向,距离灯塔4海里的A处,该海轮沿南偏东30°方向航行海里后,到达位于灯塔P的正东方向的B处.
图13-5-9
15.如果等腰三角形的两个角的比是2∶5,那么底角的度数为.
16.如图13-5-10,在三角形纸片ABC中,∠C=90°,∠B=30°,点D(不与B,C重合)是BC 上任意一点.将此三角形纸片按下列方式折叠.若EF的长度为a,则△DEF的周长为
(用含a的式子表示).
图13-5-10
三、解答题(共52分)
17.(5分)如图13-5-11,已知:△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,D、E分别是AB、AC上的点,且BD=CE,求证:MD=ME.
图13-5-11
18.(5分)如图13-5-12,已知△ABC和△A'B'C'关于直线m对称.
(1)结合图形指出对称点;
(2)若连接AA',直线m与线段AA'有什么关系?
(3)BC与B'C'的交点,AB与A'B'的交点分别与直线m有怎样的关系?若延长AC与A'C',其交点与直线m有怎样的关系?你发现了什么规律?
图13-5-12
19.(6分)△ABC在平面直角坐标系中的位置如图13-5-13所示.
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出△A1B1C1各顶点的坐标;
(2)将△ABC向右平移6个单位可得△A2B2C2,作出△A2B2C2,并写出△A2B2C2各顶点的坐标;
(3)观察所作的△A1B1C1和△A2B2C2,它们是否关于某条直线对称?若是,请在图上画出这条直线.
图13-5-13
20.(6分)认真观察图13-5-14中4个图的黑色部分构成的图案,回答下列问题:
图13-5-14
(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征;
(2)请在图13-5-15中设计出你心中最美丽的图案,使它也具备你所写出的上述特征.
图13-5-15
21.(7分)如图13-5-16,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=72°.
图13-5-16
(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD,交AC于点D(保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)求∠BD C的度数.
22.(7分)
(1)如图13-5-17①,在△ABC中,已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC 交AB、AC于E、F.请写出图中的等腰三角形,并找出EF与BE、CF间的关系;
(2)图13-5-17②中∠ABC的平分线与三角形ABC的外角∠ACG的平分线CO交于O,过O 点作OE∥BC交AB于E,交AC于F.图中有等腰三角形吗?如果有,请写出来.EF与BE、CF间的关系如何?请说明理由.
图13-5-17
23.(8分)如图13-5-18,已知△ABC是边长为3 cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B 两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1 cm/s,当点P到达点B时,P、Q 两点停止运动.设点P的运动时间为t s,则当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
图13-5-18
24.(8分)如图13-5-19所示,以△ABC的两边AB、AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE,DC、BE相交于点O.
(1)求证:DC=BE;
(2)求∠BOC的度数;
(3)当∠BAC的度数发生变化时,∠BOC的度数是否变化?若不变化,请求出∠BOC的度数;若发生变化,请说明理由.
图13-5-19
第十三章轴对称答案解析
满分：100分；限时：60分钟
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.在一些汉字的美术字中,有的是轴对称图形.下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是( )
答案 D 根据轴对称图形的定义可知D正确.
2.将点A(2,3)向左平移2个单位长度得到点A',点A'关于x轴的对称点是A″,则点A″的坐标为( )
A.(0,-3)
B.(4,-3)
C.(4,3)
D.(0,3)
答案 A 将点A(2,3)向左平移2个单位长度得到点A',则点A'的坐标是(0,3),因为关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数,所以点A″的坐标是(0,-3),故选A.
3.下列能确定△ABC为等腰三角形的是( )
A.∠A=50°,∠B=80°
B.∠A=42°,∠B=48°
C.∠A=2∠B=70°
D.AB=4,BC=5,周长为15
答案A对于A,∵∠A=50°,∠B=80°,∴∠C=180°-∠A-∠B=50°,∴∠A=∠C,∴△ABC为等腰三角形,故本选项能确定△ABC为等腰三角形.
4.如图13-5-1,在△ABC中,AB=20 cm,AC=12 cm,点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动,点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动,其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,当△APQ是以PQ为底边的等腰三角形时,运动的时间是( )
图13-5-1
A.2.5秒
B.3秒
C.3.5秒
D.4秒
答案 D 设运动的时间为x秒,
当△APQ是以PQ为底边的等腰三角形时,
AP=AQ,即20-3x=2x,解得x=4.
当运动时间为4秒时,BP=3×4=12(cm)<AB,
AQ=2×4=8(cm)<AC,符合题意.故运动时间为4秒.
5.如图13-5-2,C、E是直线l两侧的点,以C为圆心,CE长为半径画弧交l于A、B两点,分别以点A、B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交于点D,连接CA、CB、CD,下列结论不一定正确的是( )
图13-5-2
A.CD⊥l
B.点A、B关于直线CD对称
C.点C、D关于直线l对称
D.CD平分∠ACB
答案C如图,连接AD、BD,由作图方法可知CA=CB,AD=BD.又∵CD=CD,∴△ACD≌△BCD.
∴∠ACD=∠BCD.∴CD平分∠ACB.
又∵CA=CB,∴CD垂直平分线段AB,从而CD⊥l.
∴点A、B关于直线CD对称.由图易知点C、D关于直线l对称不一定正确,故选C.
6.如图13-5-3,把一张长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为B',AB'与DC 相交于点E,则下列结论一定正确的是( )
图13-5-3
A.∠DAB'=∠CAB'
B.∠ACD=∠B'CD
C.AD=AE
D.AE=CE
答案 D 由折叠知,∠EAC=∠BAC,∵AB∥CD,∴∠ECA=∠BAC,∴∠EAC=∠ECA,∴AE=CE.故选D.
7.如图13-5-4,△ABC中,∠ACB=90°,分别以点A和点C为圆心,以相同的长
为半径作弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN交AB于点D,交AC于点E,连接CD,下列结论错误的是( )
图13-5-4
A.AD=CD
B.∠A=∠DCE
C.∠ADE=∠DC B
D.∠A=2∠DCB
答案 D 根据作图方法可知DE垂直平分AC,∴AD=CD,故A正确;∵AD=CD,∴∠A=∠DCE,故B正确;∵AD=CD,DE⊥AC,∴∠ADE=∠CDE,∠DEC=90°,又∠ACB=90°,∴∠DEC+∠ACB=180°,∴DE∥BC,∴∠CDE=∠DCB,∴∠ADE=∠DCB,故C正确.故选D.
8.已知△ABC的周长是l,BC=l-2AB,则下列直线一定为△ABC的对称轴的是( )
A.△ABC的边AB的垂直平分线
B.∠ACB的平分线所在的直线
C.△AB C的边BC上的中线所在的直线
D.△ABC的边AC上的高所在的直线
答案 C ∵l=AB+BC+AC,∴BC=l-2AB=AB+BC+AC-2AB,∴AB=AC,∴△ABC中BC边上的中线所在的直线是△ABC的对称轴,故选C.
二、填空题(每小题3分,共24分)
9.有一个英语单词,其四个字母都关于直线l对称,图13-5-5是该单词各字母的一部分,
请写出补全后的单词所指的物品: .
图13-5-5
答案书
解析如图:
这个单词所指的物品是书.
10.在坐标平面内,点A和点B关于x轴对称,若A点到x轴的距离是 cm,则点B到x 轴的距离为.
答案 cm
解析在坐标平面内,点A和点B关于x轴对称,若A点到x轴的距离是 cm,则点B 到x轴的距离为 cm.
11.将一张长方形纸片折叠成如图13-5-6所示的图形,若AB=6 cm,则AC= cm.
图13-5-6
答案 6
解析由折叠得∠1=∠2,再由长方形纸片对边平行得到∠1=∠3,从而得到∠2=∠3,所以△ABC是等腰三角形且AB=AC=6 cm,故答案为6.
12.如图13-5-7,在等边△ABC中,AC=9,点O在AC上,且AO=3,点P是AB上一动点,连接OP,以O为圆心,OP长为半径画弧交BC于点D,连接PD,如果PO=PD,那么AP的长是.
图13-5-7
答案 6
解析连接OD,∵PO=PD,OP=OD,∴OP=DP=OD,∴∠DPO=60°,∵△ABC为等边三角形,∴∠A=∠B=60°,∵∠OPA=∠DPA-60°,∠PDB=∠DPA-∠B=∠DPA-60°,∴∠OPA=∠PDB,∴△OPA≌△PDB,∵AO=3,∴PB=AO=3,∴AP=6.
13.如图13-5-8,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB边的垂直平分线ED交AB于点E,交BC于点D,若CD=3,则BD的长为.
图13-5-8
答案 6
解析∵DE垂直平分AB,
∴AD=BD,
∴∠DAE=∠B=30°,
∴∠ADC=60°,又∠C=90°,
∴∠CAD=30°,∴AD=2CD=6,∴BD=AD=6,故答案为6.
14.如图13-5-9所示,一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向,距离灯塔4海里的A处,该海轮沿南偏东30°方向航行海里后,到达位于灯塔P的正东方向的B处.
图13-5-9
答案 4
解析如图.由题意得∠MPA=30°,∠MPB=90°,所以∠APB=90°-30°=60°.因为MP∥AN,所以∠PAN=∠MPA=30°.又由题意得∠NAB=30°,所以∠PAB=30°+30°=60°,所以
∠PAB=∠APB=60°,所以△PAB是等边三角形,于是AB=AP=4,故答案为4.
15.如果等腰三角形的两个角的比是2∶5,那么底角的度数为.
答案40°或75°
解析在△ABC中,设∠A=2x,∠B=5x,分情况讨论:当∠A=∠C时,2x+2x+5x=180°,解得x=20°,则2x=40°;当∠B=∠C时,2x+5x+5x=180°,解得x=15°,则5x=75°.故这个等腰三角形的底角度数为40°或75°.
16.如图13-5-10,在三角形纸片ABC中,∠C=90°,∠B=30°,点D(不与B,C重合)是BC 上任意一点.将此三角形纸片按下列方式折叠.若EF的长度为a,则△DEF的周长为(用含a的式子表示).
图13-5-10
答案3a
解析易知∠FDC=∠C=90°,
∴∠FDB=90°.
∵∠B=30°,∴在Rt△BDF中,∠BFD=60°.
∵∠EDB=∠B=30°,
∴∠DEF=60°.
∴△DEF是等边三角形.
∴△DEF的周长是3a.
三、解答题(共52分)
17.(5分)如图13-5-11,已知:△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,D、E分别是AB、AC上的点,且BD=CE,求证:MD=ME.
图13-5-11
证明∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵M是BC的中点,
∴BM=CM.
在△BDM和△CEM中,
∴△BDM≌△CEM(SAS).
∴MD=ME.
18.(5分)如图13-5-12,已知△ABC和△A'B'C'关于直线m对称.
(1)结合图形指出对称点;
(2)若连接AA',直线m与线段AA'有什么关系?
(3)BC与B'C'的交点,AB与A'B'的交点分别与直线m有怎样的关系?若延长AC与A'C',其交点与直线m有怎样的关系?你发现了什么规律?
图13-5-12
解析(1)A点的对称点是A',B点的对称点是B',C点的对称点是C'.
(2)直线m垂直平分线段AA'.
(3)BC与B'C'的交点、AB与A'B'的交点、AC与A'C'的延长线的交点都在直线m上.规律:成轴对称的两个三角形的对应线段(或其延长线)的交点在对称轴上.
19.(6分)△ABC在平面直角坐标系中的位置如图13-5-13所示.
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出△A1B1C1各顶点的坐标;
(2)将△ABC向右平移6个单位可得△A2B2C2,作出△A2B2C2,并写出△A2B2C2各顶点的坐标;
(3)观察所作的△A1B1C1和△A2B2C2,它们是否关于某条直线对称?若是,请在图上画出这条直线.
图13-5-13
解析(1)如图,A1(0,4),B1(2,2),C1(1,1).
(2)如图,A2(6,4),B2(4,2),C2(5,1).
(3)是,如图,△A1B1C1与△A2B2C2关于直线x=3对称.
20.(6分)认真观察图13-5-14中4个图的黑色部分构成的图案,回答下列问题:
图13-5-14
(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征;
(2)请在图13-5-15中设计出你心中最美丽的图案,使它也具备你所写出的上述特征.
图13-5-15
解析(1)特征1:题图中四个图案都是轴对称图形;
特征2:题图中四个图案的面积都等于4个小正方形的面积之和.
(2)满足上述特征的图形有很多,这里画三个.
21.(7分)如图13-5-16,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=72°.
图13-5-16
(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD,交AC于点D(保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)求∠BDC的度数.
解析(1)作图如下:
(2)∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=72°,
∴∠BAC=36°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠ABC=×72°=36°.
∴∠BDC=∠ABD+∠BAC=36°+36°=72°.
22.(7分)
(1)如图13-5-17①,在△ABC中,已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC 交AB、AC于E、F.请写出图中的等腰三角形,并找出EF与BE、CF间的关系;
(2)图13-5-17②中∠ABC的平分线与三角形ABC的外角∠ACG的平分线CO交于O,过O 点作OE∥BC交AB于E,交AC于F.图中有等腰三角形吗?如果有,请写出来.EF与BE、CF间的关系如何?请说明理由.
图13-5-17
解析(1)等腰三角形有△EBO和△CFO,EF=BE+CF.
(2)有等腰三角形,它们分别是△EBO和△CFO.
EF=BE-CF.
理由:∵BO平分∠ABC,
∴∠ABO=∠OBC.
∵OE∥BC,
∴∠EOB=∠OBC,
∴∠EOB=∠EBO,
∴BE=EO.
同理,CF=OF,
∵EO=EF+OF,
∴EF=EO-OF=BE-CF.
23.(8分)如图13-5-18,已知△ABC是边长为3 cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B 两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1 cm/s,当点P到达点B时,P、Q 两点停止运动.设点P的运动时间为t s,则当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
图13-5-18
解析根据题意知AP=t cm,BQ=t cm.
∵AB=3 cm,∴BP=(3-t)cm.
在△PBQ中,∠B=60°,BP=(3-t)cm,BQ=t cm,
若△PBQ是直角三角形,则∠BQP=90°或∠BPQ=90°.
当∠BQP=90°时,BQ=BP(直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半),
则t=(3-t),解得t=1.
当∠BPQ=90°时,BP=BQ(直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半),
则3-t=t,解得t=2.
∴当t=1或t=2时,△PBQ是直角三角形.
24.(8分)如图13-5-19所示,以△ABC的两边AB、AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE,DC、BE相交于点O.
(1)求证:DC=BE;
(2)求∠BOC的度数;
(3)当∠BAC的度数发生变化时,∠BOC的度数是否变化?若不变化,请求出∠BOC的度数;若发生变化,请说明理由.
图13-5-19
解析(1)证明:因为△ABD和△ACE是等边三角形,所以AD=AB,AE=AC,∠DAB=∠EAC=60°,所以∠DAC=∠EAB,所以△ADC≌△ABE,所以DC=BE.
(2)因为△ADC≌△ABE,所以∠ACD=∠AEB,所以∠BOC=∠OCE+∠CEO=∠ACD+∠ACE+∠CEO=∠AEB+∠ACE+∠CEO=∠ACE+∠AEC=120°.
(3)当∠BAC的度数发生变化时,∠BOC的度数不变.因为∠BAC的度数发生变化时,△ADC≌△ABE是不改变的,由(2)知∠BOC=120°.
人教版八年级（上）数学第十三章轴对称单元质量检测试卷
一、选择题（共10小题；共30分）
1. 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形的交点．
A. 三个内角平分线
B. 三边垂直平分线
C. 三条中线
D. 三条高
2. 如图，，是直线两侧的点，以为圆心，长为半径画弧交于，两
点，又分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接，
，，下列结论不一定正确的是
A. B. 点，关于直线对称
C. 点，关于直线对称
D. 平分
3. 下列作图语句正确的是
A. 作线段，使
B. 延长线段到点，使
C. 作，使
D. 以点为圆心作弧
4. 下列说法正确的是
A. 一个直角三角形一定不是等腰三角形
B. 一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C. 一个钝角三角形一定不是等腰三角形
D. —个等边三角形一定不是钝角三角形
5. 如图所示，在矩形纸片中，，为边上两点，且；，
为边上两点，且．沿虚线折叠，使点落在点上，点
落在点上；然后再沿虚线折叠，使落在点上，点落在点上．叠
完后，剪一个直径在上的半圆，再展开，则展开后的图形为
A. B.
C. D.
6. 如图，在中，，，是的角平分线．若在边
上截取，连接，则图中等腰三角形共有
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
7. 如图，在中，，，是上一点，将沿
折叠，使点落在边上的处，则等于
A. B. C. D.
8. 平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为
A. B. C. D.
9. 已知等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长为
A. B. C. D. 或
10. 如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和
射线上的动点，周长的最小值是，则的度数是
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题；共24分）
11. 等边三角形性质
（1）等边三角形的三条边，每个角都等于．
（2）等边三角形是轴对称图形，有条对称轴．
12. 等腰三角形：有相等的三角形是等腰三角形．
13. 等边三角形判定
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角等于的是等边三角形．
（4）有两个角等于的三角形是等边三角形．
14. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，
交轴于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在
第二象限内交于点，则与的数量关系是．
15. 如图，中，，，的垂直平分线交于点，交边
于点，则的周长为．
16. 如图，在中，，，，是的平分线．若
，分别是和上的动点，则的最小值是．
三、解答题（共9小题；共66分）
17. （1）已知：如图1，线段，和．求作：，使，，
．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
（2）如图2，由个相同的小正方形拼成的正方形网格，先将其中两个小正方
形涂黑（如图2）．请你用两种不同的方法分别在图中再将两个空白的小正方形涂黑，使正方形网格成为轴对称图形．
18. 如图，在中，，，是的平分线，求的
度数．
19. 如图所示，在中，，，，点从点开始
沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以
的速度移动．如果，分别从，同时出发，经过多长时间为
等腰三角形?
20. 以给出的图形“，，”（两个圆、两个三角形、两条平行线）为构件，设计
一个构思独特且有意义的轴对称图形．举例：如图①是符合要求的一个图形，你还能
构思出其他的图形吗?请在图②中画出与之不同的一个图形，并写出一两名贴切的解说词．
21. 如图，中，，，是腰的垂直平分线，求的
度数．
22. 如图，，，均为等边三角形，，与交于点
，与交于点．
（1）求证：；
（2）猜测的形状，并证明你的结论；
（3）请直接指出当点在何处时，．
23. 如图，于点，于点，与相交于点．
（1）求证；
（2）连接，，试判断直线，的关系并说明理由．
24. 同学们，届中考试的时候我们考了一个关于轴对称的图案设计问题，大家答得
不错，开动脑筋，挑战一下下面这个题吧！相信你会做得更好！
（1）下面图均为的网格，每个小正方形的边长为，观察阴影部分组成的图
案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征：
（2）借助下面的网格，请设计三个新的图案，使该图案同时具有你在解答（）中所写出的两个共同特征．（注意：新图案与①～④的图案不能重合）
25. （1）发现
如图1，点为线段外一动点，且，．
填空：当点位于时，线段的长取得最大值，且最大值
为（用含，的式子表示）．
（2）应用
点为线段外一动点，且，．如图2所示，分别以，
为边，作等边三角形和等边三角形，连接，．
①请找出图中与相等的线段，并说明理由；②直接写出线段长的最大值．
（3）拓展
如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点
为线段外一动点，且，，．请直接写出线
段长的最大值及此时点的坐标．
答案
第一部分
1. B 【解析】到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
2. C
3. C
4. D
5. B
6. D
7. C
8. A
9. D
10. B
第二部分
11. 都相等，，
12. 两边
13. （3）等腰三角形，（4）
14.
15.
【解析】垂直平分，
．
的周长．
16.
【解析】如图，过点作交于点，交于点，过点作
于点．
是的平分线．
，这时有最小值，即的长度，
，，，
．
，
．
第三部分
17. （1）如图1所示：
（2）如图2所示：（答案不唯一）
18. ，，
，
是的平分线，
，
．
19. 设经过，为等腰三角形，则．
，，，
，解得，即出发后为等腰三角形．
20. 答案不唯一，如图所示．
21. ，，
，
又垂直平分，
，
，
．
22. （1），，均为等边三角形，（已知）
，．（等边三角形的性质）
，（等式的性质）
即，在与中
．
（2）为等边三角形．
，
，（全等三角形的对应边相等）
为等边三角形，
．（等边三角形的性质）
为等边三角形（有一个角为的等腰三角形是等边三角形）
（3）当点为中点，
23. （1）因为于点，于点，
所以．
在和中，
所以．
所以．
（2）直线垂直平分．
理由：
因为，
所以．
因为，，
所以，
所以．
在和中，
所以．
所以，
所以点在的垂直平分线上，
因为，
所以点在的垂直平分线上，
所以直线垂直平分．
24. （1）这四个图案都具有的两个共同特征是：①都是轴对称图形．②面积都是．
（2）如图：
25. （1）延长线上；．
（2）①，理由如下：
和为等边三角形，
，，．
，即．
．
．
②长的最大值是．
（3）的最大值为，点的坐标为．
如图1，
构造，则．
由（1）知，当点在的延长线上时，有最大值（如图2）．
易得，
．
过点作轴于点，
，
．。