龙贝格积分法及其应用编程
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
２ 集成龙贝格积分法的抽象类设计
这个类的设计非常简单。其类的声明和实现代 码如下：
ｃｌａｓｓ ＣＲｏｍｂｅｒｇ ｛ ｐｕｂｌｉｃ：
ＣＲｏｍｂｅｒｇ（）；
·９８·
ｖｉｒｔｕａｌ ￣ＣＲｏｍｂｅｒｇ（）； ｄｏｕｂｌｅ ＧｅｔＲｏｍｂｅｒｇｉｎｔｅｇｒａｌ （ｄｏｕｂｌｅ ａ， ｄｏｕｂｌｅ ｂ， ｄｏｕｂｌｅ ｅｐｓ＝１．０ｅ－ ６）； ｖｉｒｔｕａｌ ｄｏｕｂｌｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ＿ｆｕｎｃａｔｉｏｎ（ｄｏｕｂｌｅ ｘ） ＝ ０；／／纯虚函数 ｝； 在 类 ＣＲｏｍｂｅｒｇ 中 ， 被 积 函 数 ｉｎｔｅｇｒａｌ＿ｆｕｎｃａｔｉｏｎ （ｄｏｕｂｌｅ ｘ）设置为一个纯虚函数 ， 因 此 ， 类 ＣＲｏｍｂｅｒｇ 是一个抽象类。使用时必须根据被积函数派生新的 求积分类。这个类没有数据成员， 成员函数 ｄｏｕｂｌｅ ＧｅｔＲｏｍｂｅｒｇｉｎｔｅｇｒａｌ （ｄｏｕｂｌｅ ａ， ｄｏｕｂｌｅ ｂ， ｄｏｕｂｌｅ ｅｐｓ＝ １．０ｅ － ６） 的 实 现 代 码 见 前 面 函 数 ｄｏｕｂｌｅ Ｒｏｍｂｅｒｇ （ｄｏｕｂｌｅ ａ， ｄｏｕｂｌｅ ｂ， ｄｏｕｂｌｅ ｅｐｓ）。 尽管从类的定义中看非常简单， 但具体使用中 仍然麻烦， 因为需要根据不同的被积函数， 重载函数 ｖｉｒｔｕａｌ ｄｏｕｂｌｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ＿ｆｕｎｃａｔｉｏｎ （ｄｏｕｂｌｅ ｘ）； 否 则 这 个 类是不能用于声明对象。我们建议， 根据强调积分过 程或强调积分结果决定类的派生方法。
参考文献 ［１］沈 剑 华 ．数 值 计 算 基 础 ［Ｍ］．上 海 ：同 济 大 学 出 版 社 ，１９９９． ［２］徐 士 良 ．常 用 算 法 程 序 集 ［Ｍ］．北 京 ：清 华 大 学 出 版 社 ，２００４．
Ｏｎ Ｒ ｏｍ ｂ ｅ ｒ ｇ Ｉ ｎ ｔ ｅ ｇｒ ａ ｌ Ｍ ｅ ｔ ｈ ｏｄ ａ ｎ ｄ Ｉ ｔ ｓ Ａｐ ｐ ｌｉｃａ ｔ ｉｏｎ
龙贝格积分函数， 函数的形式参数 ｄｏｕｂｌｅ ａ 为积分
的下限， ｄｏｕｂｌｅ ｂ 为积分上限， ｄｏｕｂｌｅ ｅｐｓ 为积分的
精度要求， 返回积分值。
ｄｏｕｂｌｅ Ｒｏｍｂｅｒｇ（ｄｏｕｂｌｅ ａ， ｄｏｕｂｌｅ ｂ， ｄｏｕｂｌｅ ｅｐｓ）
｛
ｉｎｔ ｍ， ｎ， ｉ， ｋ；
ｄｏｕｂｌｅ ｙ［１１］， ｈ， ｅｐ， ｐ， ｘ， ｓ， ｑ；
以
ｑ＝ １ ２
取序列
Ｔｍ＋１（ｈ）＝
４ｍ·Ｔｍ（
ｈ ２
４ｍ－
）－ １
Ｔｎ（ｈ）
，
（
ｍ＝１，
２，
…）
（４）
用 Ｔｍ＋１（ｈ）来逼近 Ｉ 的误差为 Ｏ（ｈ２（ｍ＋１））， 这种算法就是 龙贝格算法。
１．２ 龙贝格积分算法 Ｃ 语言代码分析
下 面 的 实 型 函 数 Ｒｏｍｂｅｒｇ 是 用 Ｃ 语 言 编 写 的
的截断误差是
Ｉ－ Ｔ１（ｈ）＝ａ１ｈ２＋ａ２ｈ４＋…＋ａｋｈ２ｋ＋…
（２）
其中 ａｋ 是与 ｈ 无关的常数。
按李查逊外推法
$&&Ｆ１（ｈ）＝Ｆ（ｈ）
&
& %
&&Ｆｍ＋１（ｈ）＝
& & ’
Ｆｍ（ｑｈ）－ １－
ｑｐｍ
ｐｍ
ｑ
Ｆｍ（ｈ）
， ｍ＝１， ２， …
（３）
其中， ｑ 为满足 １－ ｑｐｍ≠０（ｍ＝１， ２， …）的适当正数。
ＬＩＵ ＹＵ－ ｊｕａｎ ＣＨＥＮ Ｙｉｎｇ－ ｚｕ ＬＵ Ｋｅ－ ｇｏｎｇ （Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ ４０００４２） Ａｂｓｔｒ ａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ａｎａｌｙｚｅｓ ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｒｏｍｂｅｒｇ Ｉｎｔｅｇｒａｌ，ａｎｄ ｄｅｓｉｇｎｓ ａｎ ａｄｓｔｒａｃｔ ｃｌａｓｓ ｔｏ ａｃｃｏｍｐｌｉｓｈ ｉｔ． Ａｔ ｌａｓｔ ｉｔ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ｈｏｗ ｔｏ ｕｓｅ ｔｈｅ ａｄｓｔｒａｃｔ ｃｌａｓｓ ｗｉｔｈ ２ ｉｎｓｔａｎｃｅｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄｓ：Ｒｉｃｈａｒｄｓｏｎ Ｅｘｔｒａｐｏｌａｔｉｏｎ；Ｒｏｍｂｅｒｇ Ｉｎｔｅｇｒａｌ；ａｂｓｔｒａｃｔ ｃｌａｓｓ
参考文献 ［ １］ 弗雷德里克·Ｓ·希利尔等著．数据、模型与决策［Ｍ］．北京：
中国财政经济出版社， ２００４．
Ａｎ Ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ Ａｕｘｉｌｉａｒｙ Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ ｗｉｔｈ Ｓｏｆｔｗａｒｅ ＥＸＣＥＬ
ＳＵＮ Ｊｉａｎ－ ｈｕａ （ Ｈｕａｉｙｉｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｈｕａｉａｎ ２２３００１） Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ｃｏｍｂｉｎｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｃａｍｐｕｓ ｒｅｌｏｃａｔｉｏｎ， ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｂｕｉｌｄｓ ｄａｔａ ｍｏｄｅｌ ｗｉｔｈ ｓａｆｔｗａｒｅ ＥＸＣＥＬ ａｎｄ ｏｐｔｉｍｉｚｅｓ ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ ｏｎ ｃａｍｐｕｓ ｒｅｌｏｃａｔｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄｓ： ＥＸＣＥＬ； ａｕｘｉｌｉａｒｙ ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ； ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ
３ 应用举例
!１
求 ｆ（ｘ）＝ ｘ２ｄｘ 的积分。 ０
方法一： 强调积分过程的派生类的声明。 ／／根据被积函数派生一个积分类 Ｃｙｚ１ ｃｌａｓｓ Ｃｙｚ１： ｐｕｂｌｉｃ ＣＲｏｍｂｅｒｇ ｛ ｐｕｂｌｉｃ：
ｖｉｒｔｕａｌ ｄｏｕｂｌｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ＿ｆｕｎｃａｔｉｏｎ（ｄｏｕｂｌｅ ｘ） ｛
·９７·
刘玉娟， 陈应祖， 卢克功： 龙贝格积分法及其应用编程
｛ ｐ＝０．０；
ｆｏｒ （ｉ＝０； ｉ＜＝ｎ－ １； ｉ＋＋） ｛
ｘ＝ａ＋（ｉ＋０．５）＊ｈ； ｐ＝ｐ＋ｉｎｔｅｇｒａｌ ｆｕｎｃａｔｉｏｎ（ｘ）； ｝ ｐ＝（ｙ［０］＋ｈ＊ｐ）／２．０； ｓ＝１．０； ｆｏｒ （ｋ＝１； ｋ＜＝ｍ； ｋ＋＋） ｛
刘玉娟， 陈应祖， 卢克功： 龙贝格积分法及其应用编程
／／根据被积函数派生一个积分类 Ｃｙｚ２ ｃｌａｓｓ Ｃｙｚ２： ｐｕｂｌｉｃ ＣＲｏｍｂｅｒｇ ｛
ｖｉｒｔｕａｌ ｄｏｕｂｌｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ＿ｆｕｎｃａｔｉｏｎ（ｄｏｕｂｌｅ ｘ） ｛
ｒｅｔｕｒｎ ｘ＊ｘ； ｝ ｝； Ｃｙｚ２ Ｏｂｊ； ｄｏｕｂｌｅ ｙ＝Ｏｂｊ．ＧｅｔＲｏｍｂｅｒｇｉｎｔｅｇｒａｌ（１， ３）； ｃｏｕｔ＜＜ｙ＜＜ｅｎｄｌ； ｒｅｔｕｒｎ ０； ｝
积分必须针对具体的被积函数。面向工程问题， 被积函数的形式是复杂多样的， 数值积分程序代码 只能针对已知的被积函数一一进行编写。就龙贝格 积分法而言， 除了被积函数不同， 积分过程是相同 的。用面向对象程序设计方法， 能够把龙贝格数值积 分过程封装在一个类中， 应用时针对不同的被积函 数进行类的派生， 重载被积函数， 提高龙贝格积分过 程的代码重用。我们在东部 — 凝析气井数据分析 课题中进行了这种尝试， 效果良好。
摘 要：分析龙贝格数值积分算法， 设计实现龙贝格数值积分的抽象类， 并用 ２ 个实例介绍了抽象类的使用。
关键词： 李查逊外推法； 龙贝格积分法； 抽象类
中图分类号： Ｏ２４１
文献标识码： Ａ
文章编号： １６７３－ １９８０（ ２００７） ０１－ ００９７－ ０３
典型的数值积分方法有牛顿－ 柯 斯 特 （Ｎｅｗｔｏ－ Ｃｏｔｅｓ）、龙贝格（ Ｒｏｍｂｅｒｇ） 和高斯（ Ｇａｕｓｓ） 法。非周期 函数的积分， 一般使用牛顿－ 柯斯特法或龙贝格法。 龙贝格积分法精度比牛顿－ 柯斯特法高， 收敛速度 快， 且易于编程。工程上一般首选龙贝格积分法。
结语通过对管理工作的分析并建立数学模型运用excel的规划求解工具管理部门清楚地观察到搬迁工作的计划运营情况找出了搬迁工作的关键所在使本来难以预见的问题变得清晰明了从而给管理工作提供了强大支持
第９卷 第１期
重庆科技学院学报（ 自然科学版）
２００７ 年 ３ 月
龙贝格积分法及其应用编程
刘玉娟 陈应祖 卢克功 （重庆科技学院， 重庆 ４０００４２）
ｈ＝ｂ－ ａ；
ｙ［０］＝ｈ＊（ｉｎｔｅｇｒａｌ ｆｕｎｃａｔｉｏｎ（ａ）＋ｉｎｔｅｇｒａｌ ｆｕｎｃａｔｉｏｎ（ｂ））／
２．０；
ｍ＝１；
ｎ＝１；
ｅｐ＝ｅｐｓ＋１．０；
ｗｈｉｌｅ （（ｅｐ＞＝ｅｐｓ）＆＆（ｍ＜＝１０））
收稿日期： ２００５－ １１－ ０４ 作者简介： 刘玉娟（ １９６２－ ） ， 女， 四川荣县人， 重庆科技学院石油工程学院实验师。
（ 上接第 ９６ 页）
束。点击选项， 确认“采用线性模型”和假定非负， 确 定即可点击求解， 得出在计划日期范围内各搬迁日 安排的车次数。从表 ３ 可以看出， 为了在规定的时 间内搬迁完毕， 在未安排搬迁的时间设置了一个很 大 的 值 （ ９ ９９９） ； 但 经 求 解 ， 搬 迁 总 费 用 为 １２７ １９８ 元， 在搬迁模型 １ 中法律系在 ７ 月 １５ 日安排了搬 迁， 超出了计划日期， 这说明在目前的时间和资源条 件下， 无法完成搬迁任务。
１ 龙贝格积分法及程序代码分析
１．１ 龙贝格积分算法
!ｂ
设用复合梯形计算积分 Ｉ＝ ｆ （ｘ）ｄｘ 的近似值， ａ
取步长 ｈ＝ ｂ－ ａ ｎ
， 并记 Ｔ１（ｈ）＝Ｔｎ， 则有
ｎ－ １
# Ｉ≈Ｔ１（ｈ）＝
ｈ ２
［ｆ（ａ）＋２ ｆ（ｘｉ）＋ｆ（ｂ）］
ｉ＝１
（１）
当 ｆ（ｘ）在［ａ， ｂ］上充分光滑时， 可证用 Ｔ１（ｈ）逼近 Ｉ
ｓ＝４．０＊ｓ； ｑ＝（ｓ＊ｐ－ ｙ［ｋ－ １］）／（ｓ－ １．０）； ｙ［ｋ－ １］＝ｐ； ｐ＝ｑ； ｝ ｅｐ＝ｆａｂｓ（ｑ－ ｙ［ｍ－ １］）； ｍ＝ｍ＋１； ｙ［ｍ－ １］＝ｑ； ｎ＝ｎ＋ｎ； ｈ＝ｈ／２．０； ｝ ｒｅｔｕｒｎ（ｑ）； ｝ 在 函 数 Ｒｏｍｂｅｒｇ 中 三 处 调 用 了 被 函 数 ｉｎｔｅ－ ｇｒａｌ＿ｆｕｎｃａｔｉｏｎ（ｘ）。被函数 ｉｎｔｅｇｒａｌ＿ｆｕｎｃａｔｉｏｎ 的定义格 式 为 ｄｏｕｂｌｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ＿ｆｕｎｃａｔｉｏｎ（ｄｏｕｂｌｅ ｘ），实 现 代 码 根 据具体的被函数编写。 针对不同的被积函数， 要提高上述代码的重用 率， 需要向函数 Ｒｏｍｂｅｒｇ 引入被函数 ｉｎｔｅｇｒａｌ＿ｆｕｎｃａ－ ｔｉｏｎ（ｘ）， 方法有两种： 一是修改函数 Ｒｏｍｂｅｒｇ 的定义 格式为 ｄｏｕｂｌｅ Ｒｏｍｂｅｒｇ （ｄｏｕｂｌｅ （ ＊ｐＦ＿ｉｎｔｅｇｒａｌ＿ｆｕｎｃａ－ ｔｉｏｎ） （ｄｏｕｂｌｅ ｘ），ｄｏｕｂｌｅ ａ， ｄｏｕｂｌｅ ｂ， ｄｏｕｂｌｅ ｅｐｓ）， 其 中 ｄｏｕｂｌｅ （ ＊ ｐＦ＿ｉｎｔｅｇｒａｌ＿ｆｕｎｃａｔｉｏｎ） （ｄｏｕｂｌｅ ｘ） 中 的 ｐＦ＿ｉｎｔｅｇｒａｌ＿ｆｕｎｃａｔｉｏｎ 为被积函数指针； 二是使用面 向对象的程序设计方法， 把龙贝格积分算法封装在 类中， 并把 ｄｏｕｂｌｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ＿ｆｕｎｃａｔｉｏｎ（ｄｏｕｂｌｅ ｘ）被积函 数声明为一个纯虚函数， 构成一个抽象类， 根据具体 的被积函数， 重载被积函数。
ｒｅｔｕｒｎ ｘ＊ｘ； ／／被积函数 ｙ＝ｘ＊ｘ； ｝ ｝； ｉｎｔ ｍａｉｎ（） ｛ Ｃｙｚ１ Ｏｂｊ； ｄｏｕｂｌｅ ｙ＝Ｏｂｊ．ＧｅｔＲｏｍｂｅｒｇｉｎｔｅｇｒａｌ（０， １）； ｃｏｕｔ＜＜ｙ＜＜ｅｎｄｌ； ｒｅｔｕｒｎ ０； ｝ 方法二： 强调积分结果的派生类 （ 临时类的声 明） 。 出使用简单， 且灵活。
４ 结论
龙贝格数值积分法收剑速度快， 积分精度高， 编 程实现容易；使用面向对象程序设计方法， 回避了函 数指针的使用， 降低了编程调试的难度， 增加了使用 龙贝格积分法的灵活性。值得一提的是应用实例 ２ 的方法， 类 Ｃｙｚ２ 的生存期在函数 ｍａｉｎ 中， 仅仅函数 ｍａｉｎ 执行时类 Ｃｙｚ２ 存在， 其它函数执行时类 Ｃｙｚ２ 不存在， 这样减少了应用程序对内存的占用时间。
·９９·
４ 结语
通过对管理工作的分析并建立数学模型， 运用
ＥＸＣＥＬ 的规划求解工具， 管理部门清楚地观察到搬 迁工作的计划运营情况， 找出了搬迁工作的关键所 在， 使本来难以预见的问题变得清晰明了， 从而给管 理工作提供了强大支持。这正是 ＥＸＣＥＬ 软件在辅 助管理工作的魅力所在， 随着管理学对 ＥＸＣＥＬ 软 件认识的不断深入， 它也必将在各行各业的管理工 作中得到越来越广泛的应用。
这个类的设计非常简单。其类的声明和实现代 码如下：
ｃｌａｓｓ ＣＲｏｍｂｅｒｇ ｛ ｐｕｂｌｉｃ：
ＣＲｏｍｂｅｒｇ（）；
·９８·
ｖｉｒｔｕａｌ ￣ＣＲｏｍｂｅｒｇ（）； ｄｏｕｂｌｅ ＧｅｔＲｏｍｂｅｒｇｉｎｔｅｇｒａｌ （ｄｏｕｂｌｅ ａ， ｄｏｕｂｌｅ ｂ， ｄｏｕｂｌｅ ｅｐｓ＝１．０ｅ－ ６）； ｖｉｒｔｕａｌ ｄｏｕｂｌｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ＿ｆｕｎｃａｔｉｏｎ（ｄｏｕｂｌｅ ｘ） ＝ ０；／／纯虚函数 ｝； 在 类 ＣＲｏｍｂｅｒｇ 中 ， 被 积 函 数 ｉｎｔｅｇｒａｌ＿ｆｕｎｃａｔｉｏｎ （ｄｏｕｂｌｅ ｘ）设置为一个纯虚函数 ， 因 此 ， 类 ＣＲｏｍｂｅｒｇ 是一个抽象类。使用时必须根据被积函数派生新的 求积分类。这个类没有数据成员， 成员函数 ｄｏｕｂｌｅ ＧｅｔＲｏｍｂｅｒｇｉｎｔｅｇｒａｌ （ｄｏｕｂｌｅ ａ， ｄｏｕｂｌｅ ｂ， ｄｏｕｂｌｅ ｅｐｓ＝ １．０ｅ － ６） 的 实 现 代 码 见 前 面 函 数 ｄｏｕｂｌｅ Ｒｏｍｂｅｒｇ （ｄｏｕｂｌｅ ａ， ｄｏｕｂｌｅ ｂ， ｄｏｕｂｌｅ ｅｐｓ）。 尽管从类的定义中看非常简单， 但具体使用中 仍然麻烦， 因为需要根据不同的被积函数， 重载函数 ｖｉｒｔｕａｌ ｄｏｕｂｌｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ＿ｆｕｎｃａｔｉｏｎ （ｄｏｕｂｌｅ ｘ）； 否 则 这 个 类是不能用于声明对象。我们建议， 根据强调积分过 程或强调积分结果决定类的派生方法。
参考文献 ［１］沈 剑 华 ．数 值 计 算 基 础 ［Ｍ］．上 海 ：同 济 大 学 出 版 社 ，１９９９． ［２］徐 士 良 ．常 用 算 法 程 序 集 ［Ｍ］．北 京 ：清 华 大 学 出 版 社 ，２００４．
Ｏｎ Ｒ ｏｍ ｂ ｅ ｒ ｇ Ｉ ｎ ｔ ｅ ｇｒ ａ ｌ Ｍ ｅ ｔ ｈ ｏｄ ａ ｎ ｄ Ｉ ｔ ｓ Ａｐ ｐ ｌｉｃａ ｔ ｉｏｎ
龙贝格积分函数， 函数的形式参数 ｄｏｕｂｌｅ ａ 为积分
的下限， ｄｏｕｂｌｅ ｂ 为积分上限， ｄｏｕｂｌｅ ｅｐｓ 为积分的
精度要求， 返回积分值。
ｄｏｕｂｌｅ Ｒｏｍｂｅｒｇ（ｄｏｕｂｌｅ ａ， ｄｏｕｂｌｅ ｂ， ｄｏｕｂｌｅ ｅｐｓ）
｛
ｉｎｔ ｍ， ｎ， ｉ， ｋ；
ｄｏｕｂｌｅ ｙ［１１］， ｈ， ｅｐ， ｐ， ｘ， ｓ， ｑ；
以
ｑ＝ １ ２
取序列
Ｔｍ＋１（ｈ）＝
４ｍ·Ｔｍ（
ｈ ２
４ｍ－
）－ １
Ｔｎ（ｈ）
，
（
ｍ＝１，
２，
…）
（４）
用 Ｔｍ＋１（ｈ）来逼近 Ｉ 的误差为 Ｏ（ｈ２（ｍ＋１））， 这种算法就是 龙贝格算法。
１．２ 龙贝格积分算法 Ｃ 语言代码分析
下 面 的 实 型 函 数 Ｒｏｍｂｅｒｇ 是 用 Ｃ 语 言 编 写 的
的截断误差是
Ｉ－ Ｔ１（ｈ）＝ａ１ｈ２＋ａ２ｈ４＋…＋ａｋｈ２ｋ＋…
（２）
其中 ａｋ 是与 ｈ 无关的常数。
按李查逊外推法
$&&Ｆ１（ｈ）＝Ｆ（ｈ）
&
& %
&&Ｆｍ＋１（ｈ）＝
& & ’
Ｆｍ（ｑｈ）－ １－
ｑｐｍ
ｐｍ
ｑ
Ｆｍ（ｈ）
， ｍ＝１， ２， …
（３）
其中， ｑ 为满足 １－ ｑｐｍ≠０（ｍ＝１， ２， …）的适当正数。
ＬＩＵ ＹＵ－ ｊｕａｎ ＣＨＥＮ Ｙｉｎｇ－ ｚｕ ＬＵ Ｋｅ－ ｇｏｎｇ （Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ ４０００４２） Ａｂｓｔｒ ａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ａｎａｌｙｚｅｓ ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｒｏｍｂｅｒｇ Ｉｎｔｅｇｒａｌ，ａｎｄ ｄｅｓｉｇｎｓ ａｎ ａｄｓｔｒａｃｔ ｃｌａｓｓ ｔｏ ａｃｃｏｍｐｌｉｓｈ ｉｔ． Ａｔ ｌａｓｔ ｉｔ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ｈｏｗ ｔｏ ｕｓｅ ｔｈｅ ａｄｓｔｒａｃｔ ｃｌａｓｓ ｗｉｔｈ ２ ｉｎｓｔａｎｃｅｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄｓ：Ｒｉｃｈａｒｄｓｏｎ Ｅｘｔｒａｐｏｌａｔｉｏｎ；Ｒｏｍｂｅｒｇ Ｉｎｔｅｇｒａｌ；ａｂｓｔｒａｃｔ ｃｌａｓｓ
参考文献 ［ １］ 弗雷德里克·Ｓ·希利尔等著．数据、模型与决策［Ｍ］．北京：
中国财政经济出版社， ２００４．
Ａｎ Ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ Ａｕｘｉｌｉａｒｙ Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ ｗｉｔｈ Ｓｏｆｔｗａｒｅ ＥＸＣＥＬ
ＳＵＮ Ｊｉａｎ－ ｈｕａ （ Ｈｕａｉｙｉｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｈｕａｉａｎ ２２３００１） Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ｃｏｍｂｉｎｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｃａｍｐｕｓ ｒｅｌｏｃａｔｉｏｎ， ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｂｕｉｌｄｓ ｄａｔａ ｍｏｄｅｌ ｗｉｔｈ ｓａｆｔｗａｒｅ ＥＸＣＥＬ ａｎｄ ｏｐｔｉｍｉｚｅｓ ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ ｏｎ ｃａｍｐｕｓ ｒｅｌｏｃａｔｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄｓ： ＥＸＣＥＬ； ａｕｘｉｌｉａｒｙ ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ； ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ
３ 应用举例
!１
求 ｆ（ｘ）＝ ｘ２ｄｘ 的积分。 ０
方法一： 强调积分过程的派生类的声明。 ／／根据被积函数派生一个积分类 Ｃｙｚ１ ｃｌａｓｓ Ｃｙｚ１： ｐｕｂｌｉｃ ＣＲｏｍｂｅｒｇ ｛ ｐｕｂｌｉｃ：
ｖｉｒｔｕａｌ ｄｏｕｂｌｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ＿ｆｕｎｃａｔｉｏｎ（ｄｏｕｂｌｅ ｘ） ｛
·９７·
刘玉娟， 陈应祖， 卢克功： 龙贝格积分法及其应用编程
｛ ｐ＝０．０；
ｆｏｒ （ｉ＝０； ｉ＜＝ｎ－ １； ｉ＋＋） ｛
ｘ＝ａ＋（ｉ＋０．５）＊ｈ； ｐ＝ｐ＋ｉｎｔｅｇｒａｌ ｆｕｎｃａｔｉｏｎ（ｘ）； ｝ ｐ＝（ｙ［０］＋ｈ＊ｐ）／２．０； ｓ＝１．０； ｆｏｒ （ｋ＝１； ｋ＜＝ｍ； ｋ＋＋） ｛
刘玉娟， 陈应祖， 卢克功： 龙贝格积分法及其应用编程
／／根据被积函数派生一个积分类 Ｃｙｚ２ ｃｌａｓｓ Ｃｙｚ２： ｐｕｂｌｉｃ ＣＲｏｍｂｅｒｇ ｛
ｖｉｒｔｕａｌ ｄｏｕｂｌｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ＿ｆｕｎｃａｔｉｏｎ（ｄｏｕｂｌｅ ｘ） ｛
ｒｅｔｕｒｎ ｘ＊ｘ； ｝ ｝； Ｃｙｚ２ Ｏｂｊ； ｄｏｕｂｌｅ ｙ＝Ｏｂｊ．ＧｅｔＲｏｍｂｅｒｇｉｎｔｅｇｒａｌ（１， ３）； ｃｏｕｔ＜＜ｙ＜＜ｅｎｄｌ； ｒｅｔｕｒｎ ０； ｝
积分必须针对具体的被积函数。面向工程问题， 被积函数的形式是复杂多样的， 数值积分程序代码 只能针对已知的被积函数一一进行编写。就龙贝格 积分法而言， 除了被积函数不同， 积分过程是相同 的。用面向对象程序设计方法， 能够把龙贝格数值积 分过程封装在一个类中， 应用时针对不同的被积函 数进行类的派生， 重载被积函数， 提高龙贝格积分过 程的代码重用。我们在东部 — 凝析气井数据分析 课题中进行了这种尝试， 效果良好。
摘 要：分析龙贝格数值积分算法， 设计实现龙贝格数值积分的抽象类， 并用 ２ 个实例介绍了抽象类的使用。
关键词： 李查逊外推法； 龙贝格积分法； 抽象类
中图分类号： Ｏ２４１
文献标识码： Ａ
文章编号： １６７３－ １９８０（ ２００７） ０１－ ００９７－ ０３
典型的数值积分方法有牛顿－ 柯 斯 特 （Ｎｅｗｔｏ－ Ｃｏｔｅｓ）、龙贝格（ Ｒｏｍｂｅｒｇ） 和高斯（ Ｇａｕｓｓ） 法。非周期 函数的积分， 一般使用牛顿－ 柯斯特法或龙贝格法。 龙贝格积分法精度比牛顿－ 柯斯特法高， 收敛速度 快， 且易于编程。工程上一般首选龙贝格积分法。
结语通过对管理工作的分析并建立数学模型运用excel的规划求解工具管理部门清楚地观察到搬迁工作的计划运营情况找出了搬迁工作的关键所在使本来难以预见的问题变得清晰明了从而给管理工作提供了强大支持
第９卷 第１期
重庆科技学院学报（ 自然科学版）
２００７ 年 ３ 月
龙贝格积分法及其应用编程
刘玉娟 陈应祖 卢克功 （重庆科技学院， 重庆 ４０００４２）
ｈ＝ｂ－ ａ；
ｙ［０］＝ｈ＊（ｉｎｔｅｇｒａｌ ｆｕｎｃａｔｉｏｎ（ａ）＋ｉｎｔｅｇｒａｌ ｆｕｎｃａｔｉｏｎ（ｂ））／
２．０；
ｍ＝１；
ｎ＝１；
ｅｐ＝ｅｐｓ＋１．０；
ｗｈｉｌｅ （（ｅｐ＞＝ｅｐｓ）＆＆（ｍ＜＝１０））
收稿日期： ２００５－ １１－ ０４ 作者简介： 刘玉娟（ １９６２－ ） ， 女， 四川荣县人， 重庆科技学院石油工程学院实验师。
（ 上接第 ９６ 页）
束。点击选项， 确认“采用线性模型”和假定非负， 确 定即可点击求解， 得出在计划日期范围内各搬迁日 安排的车次数。从表 ３ 可以看出， 为了在规定的时 间内搬迁完毕， 在未安排搬迁的时间设置了一个很 大 的 值 （ ９ ９９９） ； 但 经 求 解 ， 搬 迁 总 费 用 为 １２７ １９８ 元， 在搬迁模型 １ 中法律系在 ７ 月 １５ 日安排了搬 迁， 超出了计划日期， 这说明在目前的时间和资源条 件下， 无法完成搬迁任务。
１ 龙贝格积分法及程序代码分析
１．１ 龙贝格积分算法
!ｂ
设用复合梯形计算积分 Ｉ＝ ｆ （ｘ）ｄｘ 的近似值， ａ
取步长 ｈ＝ ｂ－ ａ ｎ
， 并记 Ｔ１（ｈ）＝Ｔｎ， 则有
ｎ－ １
# Ｉ≈Ｔ１（ｈ）＝
ｈ ２
［ｆ（ａ）＋２ ｆ（ｘｉ）＋ｆ（ｂ）］
ｉ＝１
（１）
当 ｆ（ｘ）在［ａ， ｂ］上充分光滑时， 可证用 Ｔ１（ｈ）逼近 Ｉ
ｓ＝４．０＊ｓ； ｑ＝（ｓ＊ｐ－ ｙ［ｋ－ １］）／（ｓ－ １．０）； ｙ［ｋ－ １］＝ｐ； ｐ＝ｑ； ｝ ｅｐ＝ｆａｂｓ（ｑ－ ｙ［ｍ－ １］）； ｍ＝ｍ＋１； ｙ［ｍ－ １］＝ｑ； ｎ＝ｎ＋ｎ； ｈ＝ｈ／２．０； ｝ ｒｅｔｕｒｎ（ｑ）； ｝ 在 函 数 Ｒｏｍｂｅｒｇ 中 三 处 调 用 了 被 函 数 ｉｎｔｅ－ ｇｒａｌ＿ｆｕｎｃａｔｉｏｎ（ｘ）。被函数 ｉｎｔｅｇｒａｌ＿ｆｕｎｃａｔｉｏｎ 的定义格 式 为 ｄｏｕｂｌｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ＿ｆｕｎｃａｔｉｏｎ（ｄｏｕｂｌｅ ｘ），实 现 代 码 根 据具体的被函数编写。 针对不同的被积函数， 要提高上述代码的重用 率， 需要向函数 Ｒｏｍｂｅｒｇ 引入被函数 ｉｎｔｅｇｒａｌ＿ｆｕｎｃａ－ ｔｉｏｎ（ｘ）， 方法有两种： 一是修改函数 Ｒｏｍｂｅｒｇ 的定义 格式为 ｄｏｕｂｌｅ Ｒｏｍｂｅｒｇ （ｄｏｕｂｌｅ （ ＊ｐＦ＿ｉｎｔｅｇｒａｌ＿ｆｕｎｃａ－ ｔｉｏｎ） （ｄｏｕｂｌｅ ｘ），ｄｏｕｂｌｅ ａ， ｄｏｕｂｌｅ ｂ， ｄｏｕｂｌｅ ｅｐｓ）， 其 中 ｄｏｕｂｌｅ （ ＊ ｐＦ＿ｉｎｔｅｇｒａｌ＿ｆｕｎｃａｔｉｏｎ） （ｄｏｕｂｌｅ ｘ） 中 的 ｐＦ＿ｉｎｔｅｇｒａｌ＿ｆｕｎｃａｔｉｏｎ 为被积函数指针； 二是使用面 向对象的程序设计方法， 把龙贝格积分算法封装在 类中， 并把 ｄｏｕｂｌｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ＿ｆｕｎｃａｔｉｏｎ（ｄｏｕｂｌｅ ｘ）被积函 数声明为一个纯虚函数， 构成一个抽象类， 根据具体 的被积函数， 重载被积函数。
ｒｅｔｕｒｎ ｘ＊ｘ； ／／被积函数 ｙ＝ｘ＊ｘ； ｝ ｝； ｉｎｔ ｍａｉｎ（） ｛ Ｃｙｚ１ Ｏｂｊ； ｄｏｕｂｌｅ ｙ＝Ｏｂｊ．ＧｅｔＲｏｍｂｅｒｇｉｎｔｅｇｒａｌ（０， １）； ｃｏｕｔ＜＜ｙ＜＜ｅｎｄｌ； ｒｅｔｕｒｎ ０； ｝ 方法二： 强调积分结果的派生类 （ 临时类的声 明） 。 出使用简单， 且灵活。
４ 结论
龙贝格数值积分法收剑速度快， 积分精度高， 编 程实现容易；使用面向对象程序设计方法， 回避了函 数指针的使用， 降低了编程调试的难度， 增加了使用 龙贝格积分法的灵活性。值得一提的是应用实例 ２ 的方法， 类 Ｃｙｚ２ 的生存期在函数 ｍａｉｎ 中， 仅仅函数 ｍａｉｎ 执行时类 Ｃｙｚ２ 存在， 其它函数执行时类 Ｃｙｚ２ 不存在， 这样减少了应用程序对内存的占用时间。
·９９·
４ 结语
通过对管理工作的分析并建立数学模型， 运用
ＥＸＣＥＬ 的规划求解工具， 管理部门清楚地观察到搬 迁工作的计划运营情况， 找出了搬迁工作的关键所 在， 使本来难以预见的问题变得清晰明了， 从而给管 理工作提供了强大支持。这正是 ＥＸＣＥＬ 软件在辅 助管理工作的魅力所在， 随着管理学对 ＥＸＣＥＬ 软 件认识的不断深入， 它也必将在各行各业的管理工 作中得到越来越广泛的应用。