2020年辽宁省鞍山市英才中学高三数学理联考试题含解析

2020年辽宁省鞍山市英才中学高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知数列{a n}为等差数列，且a1≥1，a2≤5，a5≥8，设数列{a n}的前n项和为S n，S15的最大值为M，最小值为m，则M+m=（）
A．500 B．600 C．700 D．800
参考答案：
B
【考点】数列的应用．
【分析】利用已知条件求出公差的最大值以及公差的最小值，即可求解S15的最大值为M，最小值为m推出结果．
【解答】解：数列{a n}为等差数列，且a1≥1，a2≤5，a5≥8，设数列{a n}的前n项和为S n，S15的最大值为M，最小值为m，
可知公差最大值时，M最大，公差最小时，m最小，
可得a1=1，a2=5，此时公差d=4是最大值，
M=S15=1×15+=435，a2=5，a5=8，此时d=1，
m=S15=4×15=165．
M+m=435+165=600．
故选：B．
2. 已知递增等比数列{a n}满足a3?a7=6，a2+a8=5，则=( )
A．B．C．D．
参考答案：
D
考点：等比数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的性质及其通项公式即可得出．
解答：解：递增等比数列{a n}满足a3?a7=6，a2+a8=5，
∴a2a8=6，a2+a8=5，
解得a2=2，a8=3．
∴==．
故选：D．
点评：本题考查了等比数列的性质及其通项公式，属于基础题．
3. 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为上的增函数”是“f（x）为上的减函数”的（）
A．既不充分也不必要的条件 B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件D．充要条件
参考答案：
D
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；3N：奇偶性与单调性的综合．
【分析】由题意，可由函数的性质得出f（x）为上是减函数，再由函数的周期性即可得出f（x）为上的减函数，由此证明充分性，再由f（x）为上的减函数结合周期性即可得出f（x）为上是减函数，再由函数是偶函数即可得出f（x）为上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴若f（x）为上的增函数，则f（x）为上是减函数，
又∵f（x）是定义在R上的以2为周期的函数，且与相差两个周期，
∴两区间上的单调性一致，所以可以得出f（x）为上的减函数，故充分性成立．
若f（x）为上的减函数，同样由函数周期性可得出f（x）为上是减函数，再由函数是偶函数可得出f （x）为上的增函数，故必要性成立．
综上，“f（x）为上的增函数”是“f（x）为上的减函数”的充要条件．
故选D．
4. 已知函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，且f（x）在（﹣1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）
A．﹣200 B．﹣100 C．﹣50 D．0
参考答案：
B
【考点】84：等差数列的通项公式．
【分析】由函数图象关于x=﹣1对称，由题意可得a50+a51=﹣2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．
【解答】解：函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f （a51），
可得a50+a51=﹣2，又{a n}是等差数列，
所以a1+a100=a50+a51=﹣2，
则{a n}的前100项的和为=﹣100
故选：B．
【点评】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题．
5. 若，则下列不等式中，正确的不等式
有 ( )
①②③④
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
参考答案：
B
6. 若满足条件AB＝，C＝的三角形ABC有两个，则边长BC的取值范围是( )
A．(1，) B．(，) C．(，2) D．(，2)
参考答案：
C
7. 等比数列中，，则数列的前8项和等
于（）
A．6 B．5 C．4 D．3参考答案：
C
略
8. 函数的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是（）
A. (1,3)
B. (1,2)
C. (0,3)
D. (0,2)
参考答案：
C
【分析】
显然函数在区间(1,2)内连续,由f(x)的一个零点在区间(1,2)内,则,即可求解.
【详解】由题,显然函数在区间(1,2)内连续,因为f(x)的一个零点在区间(1,2)内,所以
,即,解得,
故选:C
【点睛】本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.
9. （5分）（2015?嘉兴一模）已知直线ax+y﹣1=0与直线x+ay﹣1=0互相垂直，则a=（）
A． 1或﹣1 B． 1 C．﹣1 D． 0
参考答案：
D
【考点】：直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】：直线与圆．
【分析】：直接由两直线垂直得到两直线系数间的关系，然后求解关于a的方程得答案．
解：∵直线ax+y﹣1=0与直线x+ay﹣1=0互相垂直，
∴1×a+1×a=0，即2a=0，解得：a=0．
故选：D．
【点评】：本题考查了直线的一般式方程与直线垂直的关系，关键是对条件的记忆与运用，是基础题．
10. 已知是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，
A．B．C．D．参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则______
参考答案：
12. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是
，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是_______.
参考答案：
【分析】
记事件为“一天的空气质量为优良”,事件为“第二天的空气质量也为优良”,
根据条件概率公式可求出答案.
【详解】记事件为“一天的空气质量为优良”,事件为“第二天的空气质量也为优良”,
则,, 根据条件概率公式可得:.
故答案为:.
【点睛】本题考查了条件概率的计算,考查了条件概率公式的应用,属于基础题.
13. 若，则
参考答案：
14. （5分）如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．
给出下列四个命题：
①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个．
②若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有2个．
③若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个．
④若p=q，则点M的轨迹是一条过O点的直线．
其中所有正确命题的序号为．
参考答案：
①②③
【考点】：命题的真假判断与应用．
【专题】：简易逻辑．
【分析】：根据点M的“距离坐标”的定义即可判断出正误．
解：①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点是两条直线的交点O，因此有且仅有1个，正确．
②若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（0，q）（q≠0）或（p，0）（p≠0），因此满足条件的点有且仅有2个，
正确．
③若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个，如图所示，正确．
④若p=q，则点M的轨迹是两条过O点的直线，分别为交角的平分线所在直线，因此不正确．
综上可得：只有①②③正确．
故答案为：①②③．
【点评】：本题考查了新定义“距离坐标”，考查了理解能力与推理能力、数形结合的思想方法，属于中档题．
15. 如图所示的流程图，若输入的值为2，则输出的值为 .参考答案：
7
【知识点】程序框图．L1
解析：模拟执行程序框图，可得x=2
不满足条件x＞6，x=1，x=3
不满足条件x＞6，x=5，x=7
满足条件x＞6，退出循环，输出x的值为7．故答案为：7．
【思路点拨】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，x=7时，满足条件x＞6，退出循环，输出x的值为7．
16. 已知函数f(x)，g(x)分别如下表，则满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是________．
参考答案：
2
17. 函数（e
为自然对数的底数）的极大值为．参考答案：
e
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分12分）海岛B上有一座高为10米的塔，塔顶的一个观测站A，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角45°的D处。

（假设游船匀速行驶）
（1）求CD的长
（2）又经过一段时间后，游船到达海岛B的正西
方向E处，问此时游船距离海岛B多远。

参考答案：
（6分）
（6分）
19. 已知直线l的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=4，直线l过曲线C的左焦点F．
（1）直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|；
（2）设曲线C的内接矩形的周长为c，求c的最大值．
参考答案：
【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）曲线C与直线联立，利用参数的几何意义，求|AB|；
（2）设矩形的第一象限的顶点为，所以
，即可求c的最大值．
【解答】解：（1）曲线，∴，曲线C与直线联立得，方程两根为t1，t2，则．
（2）设矩形的第一象限的顶点为，所以
，
所以当sin（θ+φ）=1时，c最大值为．
20. (本题满分14分)函数。

（1）若，求值及曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数在区间上的最小值。

参考答案：
21. 已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为1+，求△ABC外接圆的面积．
参考答案：
【考点】与圆有关的比例线段．
【专题】选作题；推理和证明．
【分析】（1）要证明AD的延长线平分∠CDE，即证明∠EDF=∠CDF，转化为证明∠ADB=∠CDF，再根据A，B，C，D四点共圆的性质，和等腰三角形角之间的关系即可得到．
（2）求△ABC外接圆的面积．只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连
接OC，根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆面积．
【解答】（1）证明：如图，设F为AD延长线上一点，A?B?C?D四点共圆．
∴∠CDF=∠ABC，
又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠C DF
对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，
即AD的延长线平分∠CDE，…（4分）
（2）解：设O为外接圆圆心，连接AO比延长交BC于H，交⊙O于点M，连接OC，
∵AB=AC，
∴=，
∴AH⊥BC．
∴∠OAC=∠OAB=∠BAC=×30°=15°，
∴∠COH=2∠OAC=30°，
设圆半径为r，
则OH=OC?cos30°=r，
∵△ABC中BC边上的高为1+，
∴AH=OA+OH=r+r=1+，
解得：r=1，
∴△ABC的外接圆的面积为：π（10分）
【点评】此题主要考查圆内接多边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形的外接圆的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
22. （本小题满分14分）已知锐角中的三个内角分别为．
⑴设，求证是等腰三角形；
⑵设向量,，且∥,若，求的值．参考答案：。