2009年高考试题分析(一)----函数与导数
15导数的概念及计算
导数的概念及计算一、知识概述导数的概念及其基本运算是本周学习的重点内容，导数有着丰富的实际背景和广泛应用，通过对平均变化率的分析入手，层层深入,展现了从平均变化率到瞬时变化率的过程,指明了瞬时变化率就是导数，介绍了导数的一般定义．并借助函数图象,运用观察与直观分析阐明了曲线的切线斜率和导数间的关系．导数的计算主要包括两个方面，首先是几个常见函数的导数，然后是基本初等函数的导数公式和导数的运算法则,关键在于使用这些公式与法则求简单函数的导数．二、重难点知识归纳1．变化率与导数(1）平均变化率通常把式子称为函数f(x）从x1到x2的平均变化率．令，,则平均变化率可表示为(2）导数的概念一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是则称它为函数y=f(x）在x=x0处的导数（derivative)，记作或,即当x变化时，便是x的一个函数,则称它为f(x)的导函数(derivative funtion）（简称导数），记作或,则．（3)注意事项：弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系，可以从以下几个方面来认识．①函数在一点处的导数，就是在该点的函数改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数．②导函数（导数）是一个特殊的函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想，对于每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数，根据函数的定义，在某一区间内就构成了一个新函数,即导数．③函数y=f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值，即＝．这也是求函数在x=x0处的导数的方法之一．(4)导数的几何意义函数y=f（x）在点x0处的导数就是曲线y=f（x）在点处的切线的斜率k，即．2．导数的计算(1)基本初等函数的导数公式①若f(x)=c，则；②若，则;③若f（x）sinx，则；④若f（x)=cosx，则；⑤若f（x）,则(a>0）;⑥若f（x），则；⑦若f（x），则(a〉0，且a1）;⑧若f（x），则.（2)导数运算法则①；②；③(3)复合函数的求导法则(难点）设函数在点x处有导数，函数y=f（u）在点x的对应点u处有导数或写作．复合函数求导法则:复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数,即．三、典型例题剖析例1．利用导数的定义，求出函数y=x＋的导数,并据此求函数在x=1处的导数．［解析］例2．求等边双曲线在点处的切线斜率，并写出切线方程.[解析］例3．设f(x）是定义在R上的函数，且对任何x1，x2R都有f(x1＋x2）=f(x1)·f（x2）.若f(0）0，。
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)(含解析版)
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=05．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．257．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行乘法运算，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：原式=，故选：A．【点评】本题考查复数的乘除运算，是一个基础题，在近几年的高考题目中，复数的简单的运算题目是一个必考的问题，通常出现在试卷的前几个题目中．2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】先化简集合A和B，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x||x|＞3}⇒{x|x＞3或x＜﹣3}，B={x |＜0}={x|1＜x＜4}，∴A∩B=（3，4），故选：B．【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA的关系式，进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值．【解答】解：∵cotA=∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，故选：D．【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=，因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选：B．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，设AA1=2AB=2，则A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．25【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．7．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用对数函数y=log a x的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，如果底a不相同时可利用1做为中介值．【解答】解：∵∵，故选A【点评】本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用1做为中介值．8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，比较系数，求出ω=6k +（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx +），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x ﹣）+]=tan（ωx +）∴﹣ω+kπ=∴ω=k +（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin =．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB ，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B 的坐标为，故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种【考点】D5：组合及组合数公式．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故选：C．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】I3：直线的斜率；KA：双曲线的定义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设双曲线的有准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB的斜率可知直线AB的倾斜角，进而推，由双曲线的第二定义|AM|﹣|BN|=|AD|，进而根据，求得离心率．【解答】解：设双曲线的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB 的斜率为，知直线AB的倾斜角为60°∴∠BAD=60°，由双曲线的第二定义有：=∴，∴故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的定义．解题的关键是利用了双曲线的第二定义，找到了已知条件与离心率之间的联系．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下【考点】LC：空间几何体的直观图．【专题】16：压轴题．【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．【解答】解：如图所示．故选B【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为6．【考点】DA：二项式定理．【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x，y的指数都为1求出x3y3的系数【解答】解：，只需求展开式中的含xy项的系数．∵的展开式的通项为令得r=2∴展开式中x3y3的系数为C42=6故答案为6．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=9．【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵{a n}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为9【点评】本题主要考查了等差数列中等差中项的性质．属基础题．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C 的面积等于，则球O 的表面积等于8π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．【解答】解：设球半径为R，圆C的半径为r，．因为．由得R2=2故球O的表面积等于8π故答案为：8π，【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，菱形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，根据菱形的性质得到AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB，得到M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．【解答】已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴OM=ON=OP=OQ=AB，∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【点评】本题考查了四点共圆的判定方法．也考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=（负值舍掉），从而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A +C）得cos （A﹣C）﹣cos（A+C）=，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴sinAsinC=．又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，∴或（舍去），于是B=或B=．又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=．【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC中求出GC即可．【解答】解：如图（I）连接BE，∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E为B1C的中点，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．（II）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．作AG⊥BD于G，连GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨设，则AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG ，易得设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C与平面BCD所成的角为30°．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】15：综合题．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2，①则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②①﹣②得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1（b n≠0），所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】B3：分层抽样方法；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；48：分析法．【分析】（Ⅰ）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可．另外要注意此分层抽样与性别无关．（Ⅱ）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难．直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在总的里面抽取2人的种数即可得到答案．（Ⅲ）求ξ的数学期望．因为ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出每个取值的概率，然后根据期望公式求得结果即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）因为甲组有10名工人，乙组有5名工人，从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名．（Ⅱ）因为由上问求得；在甲中抽取2名工人，故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，，，ξ01 2 3P故Eξ==．【点评】本题较常规，比08年的概率统计题要容易．在计算P（ξ=2）时，采用求反面的方法，用直接法也可，但较繁琐．考生应增强灵活变通的能力．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l 的距离为则，解得c=1又，∴（II）由（I ）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P 在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即当；当【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．【解答】解：（I ）令g（x）=2x2+2x+a ，其对称轴为．由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，其充要条件为，得（1）当x∈（﹣1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）内为增函数；（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x22+2x2）∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22﹣（2x22+2x2）ln（1+x2）设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x），（﹣＜x＜0）则h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）当时，h'（x）＞0，∴h（x ）在单调递增，故．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．。
高考数学真题——函数压轴题(含答案)
2018年数学全国1卷 已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-.（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，x =或x =.当2()2a a x+∈+∞时，()0f x '<； 当(22a a x -+∈时，()0fx '>.所以()f x 在(0,),(,)22a a -++∞单调递减，在(22a a +单调递增.（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >.由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--. 2017年数学全国1卷已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2(2)1(1)(21)x x x xf x ae a e ae e '=+--=-+， （ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a -=-+.①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点；②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a -+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点；③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a -+<，即(ln )0f a -<.又422(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点. 设正整数0n 满足03ln(1)n a >-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln(1)ln a a ->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.综上，a 的取值范围为(0,1)2016年数学全国1卷已知函数2()(2)e (1)xf x x a x =-+-有两个零点. （I ）求a 的取值范围；（II ）设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x +<. 【答案】(I)(0,)+∞；（II ）见解析 【解析】试题分析：(I)求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；(II)借助(I)的结论来证明，由单调性可知122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<．设2()e (2)e x x g x x x -=---，则2'()(1)(e e )x xg x x -=--．则当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <．从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<．试题解析：（Ⅰ）'()(1)e 2(1)(1)(e 2)xxf x x a x x a =-+-=-+．（i ）设0a =，则()(2)e xf x x =-，()f x 只有一个零点．时()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．若e 2a <-，则ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点． 综上，a 的取值范围为(0,)+∞．（Ⅱ）不妨设12x x <，由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1)-∞单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<． 由于222222(2)e (1)x f x x a x --=-+-，而22222()(2)e (1)0x f x x a x =-+-=，所以222222(2)e (2)e x x f x x x --=---．设2()e(2)e xx g x x x -=---，则2'()(1)(e e )x x g x x -=--．所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <． 从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<． 2013年数学全国1卷设函数()f x ＝2x ax b ++，()g x ＝()xe cx d +，若曲线()yf x =和曲线()yg x =都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）当x ≥－2时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围。
2009年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析
2009年广东省高考数学试卷（文科)参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分,满分50分）1．(5分)（2009•广东)已知全集U=R，则正确表示集合M=｛﹣1，0,1}和N=｛x｜x2+x=0}关系的韦恩（Venn）图是（）A．B．C．D．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】集合．【分析】先化简集合N,得N={﹣1，0｝，再看集合M，可发现集合N是M的真子集，对照韦恩（Venn）图即可选出答案．【解答】解：．由N={x|x2+x=0}，得N=｛﹣1，0}．∵M=｛﹣1,0，1｝，∴N⊂M，故选B．【点评】本小题主要考查V enn图表达集合的关系及运算、一元二次方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．2．(5分）（2009•广东）下列n的取值中，使i n=1（i是虚数单位）的是(）A．n=2 B．n=3 C．n=4 D．n=5【考点】虚数单位i及其性质．【专题】数系的扩充和复数．【分析】要使的虚数单位的n次方等于1，则n只能是4的整数倍,在本题所给的选项中，只有数字4符合题意，得到结果．【解答】解：∵要使i n；=1，则n必须是4的整数倍,在下列的选项中只有C符合题意，故选C【点评】本题考查虚数单位及性质,是一个基础题,题目若出现一定是一个必得分题目，不要忽视对这种简单问题的解答．3．（5分）（2009•广东）已知平面向量=（x，1），=(﹣x，x2)，则向量+（)A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线【考点】平面向量的坐标运算．【专题】平面向量及应用．【分析】先做出两个向量的和，横标和纵标都用含x的代数式表示，结果和的横标为零,得到和向量与纵轴平行，要熟悉几种特殊的向量坐标特点,比如：与横轴平行的向量、与纵轴平行的向量．【解答】解:+=（0，1+x2)，1+x2≠0,故+平行于y轴．故选C【点评】本题要求从坐标判断向量的特点，即用到向量的方向又用到向量的大小,大小和方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．4．（5分）（2009•广东）若函数y=f（x）是函数y=a x﹣a（a＞0,且a≠1）的反函数，且f（)=1,则函数y=()A．log2x B．C．D．2x﹣2【考点】反函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（）=1可得f﹣1（1)=，即a1﹣a =，解出a的值,即得函数y的解析式．【解答】解：∵f（）=1,∴f﹣1(1）=，由题意知a1﹣a =，∴a=2，y=a x﹣a(a＞0，且a≠1）y=2x﹣2，故选D．【点评】本题考查反函数的定义和反函数的求法,函数与反函数的关系．5．(5分）（2009•广东）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=() A．B．C．D．2【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把a3•a9=2a25化简得到关于q的方程,由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和a2=1即可求出a1的值．【解答】解：设公比为q，由已知得a1q2•a1q8=2（a1q4）2,即q2=2,又因为等比数列{a n}的公比为正数，所以q=,故a1=．故选B．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值,是一道中档题．6．(5分）（2009•广东）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④【考点】平面与平面垂直的判定;平面与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】从直线与平面平行与垂直,平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．【解答】解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．故选：D．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定,是基础题．7．（5分）（2009•广东）已知△ABC中，∠A，∠B,∠C的对边分别为a，b，c．若a=c=+，且∠A=75°，则b=（)A．2 B．4+2C．4﹣2D．﹣【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】先根据三角形内角和求得B的值，进而利用正弦定理和a的值以及sin75°的值，求得b．【解答】解：如图所示．在△ABC中，由正弦定理得：=4，∴b=2．故选A【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理常用与已知三角形的两角与一边，解三角形；已知三角形的两边和其中一边所对的角,解三角形；运用a:b：c=sinA：sinB:sinC解决角之间的转换关系．8．(5分)（2009•广东）函数f（x）=（x﹣3)e x的单调递增区间是（）A．（﹣∞,2） B．（0,3）C．（1，4）D．（2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】若求解函数f（x）的单调递增区间,利用导数研究函数的单调性的性质，对f（x）求导，令f′（x）＞0，解出x的取值区间，要考虑f（x）的定义域．【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′e x+（x﹣3）（e x)′=（x﹣2）e x,求f（x)的单调递增区间，令f′(x）＞0,解得x＞2，故选D．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性的这一性质，值得注意的是，要在定义域内求解单调区间．9．(5分）(2009•广东）函数y=2cos2(x﹣）﹣1是（)A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【考点】三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式,求出周期，判定奇偶性．【解答】解：由y=2cos2(x﹣)﹣1=cos（2x﹣）=sin2x，∴T=π，且y=sin2x奇函数,即函数y=2cos2(x﹣）﹣1是奇函数．故选A．【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，函数奇偶性的判断，是基础题．10．（5分）（2009•广东）广州2010年亚运会火炬传递在A，B,C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的距离（单位：百公里）见表．若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次,那么火炬传递的最短路线距离是（)A B C D EA 0 5 4 5 6B 5 0 7 6 2C 4 7 0 9 8.6D 5 6 9 0 5E 6 2 8.6 5 0A．20。
高考数学试题主观题分类剖析
2009年高考数学试题主观题分类剖析马兴奎 （云南省文山州砚山一中，663100）在高考数学试卷中，主观题包括计算题、证明题、应用题等。
其基本架构是：给出一定的题设(即已知条件)，然后提出一定的要求(即要达到的目标)，让考生解答。
考生解答时，应把已知条件作为出发点，运用有关的数学知识和方法，进行推理、演绎或计算，最后达到所要求的目标，同时要将整个解答过程的主要步骤和经过，有条理、合逻辑、完整地陈述清楚。
纵观近几年高考命题情况，可以发现，主观题在高考卷中的考查呈现以下特点：(1)对基础知识的考查，要求全面又突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合。
(2)对数学思想和方法的考查，数学思想与方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，在高考中，常将它们与数学知识的考查结合进行考查时，从学科整体意义和思想含义上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧。
(3) 对能力的考查，以逻辑思维能力为核心，全面考查各种能力，强调探究性、综合性、应用性，突出数学试题的能力立意，强化对素质教育的正确导向。
(4) 在强调综合性的同时，注重试题的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查。
(5)出现一些背景新颖的创新题、开放题、富有时代特色的应用题，并有越演越烈的趋势.一、三角与三角函数的综合问题【例1】已知函数.32sin sin 32)(2++-=x x x f（Ⅰ）求函数f (x )的最小正周期和最小值；（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数],0[)(π在区间x f y =上的图象.命题意图：三角与三角函数的综合问题主要考点是三角变换、图像、解析式、向量或三角应用题，重点是三角、向量基本知识的综合应用能力。
数形结合、函数与方程思想、化归转化的思想是解决三角函数问题时经常使用的基本思想方法。
属于基础题或中档题的层面，高考中一定要尽量拿满分。
【分析及解】（Ⅰ）)32sin(22cos 32sin 2sin )sin 21(3)(2π+=+=+-=x x x x x x f 所以，)(x f 的最小正周期ππ==22T ，最小值为2-（Ⅱ）列表：故画出函数],0[)(π在区间x f y =上的图象为评注：三角函数的训练应当立足课本，紧扣高考真题，不需要加深加宽．解答三角函数考题的关键是进行必要的三角恒等变形，其解题通法是：发现差异（角度，函数，运算），寻找联系（套用、变用、活用公式，技巧，方法），合理转化（由因导果，由果探因）．其解题技巧有：常值代换：特别是用“1”的代换；项的分拆与角的配凑；化弦（切）法；降次与升次；引入辅助角：asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan b aϕ=确定．此类题目的特点是主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性、“五点法”作图，以及求三角函数的最大(最小)值等.二、概率与统计的综合问题【例2】如图所示，质点P 在正方形ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进. 现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字. 质点P 从A 点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P 前进一步（如由A 到B ）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P 前两步（如由A 到C ），当正方体上底面出现的数字是3，质点P 前进三步（如由A 到D ）. 在质点P 转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止. （I ）求点P 恰好返回到A 点的概率；（II ）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P 恰能返回到A 点的投掷次数，求ξ的数学期望.命题意图：概率与统计的综合问题主要考点是概率、分布列、期望，文科重点是概率，理科重点是概率、分布列、期望，考查从摸球、掷骰子、体育活动、射击及生产生活中抽象出的数学模型的能力，分类讨论的思想。
高中数学“分类与整合思想”专题及专项训练
“分类与整合思想”专题及专项训练一、大纲解读分类与整合思想是数学中的一种重要思想,是历年高考考查的重点之一,此类试题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点,在考试中的难度属中高档.高考对分类与整合思想的考查,主要有四个方面:一是考查有没有分类意识,遇到应该分类的情况,是否想到要分类,什么样的问题需要分类;二是如何分类,即要科学地分类,分类标准要统一,不重不漏;三是分类之后解题如何展开;四是如何整合.纵观近几年高考试题,通常是由参数的变化及变化过程需要一些条件限制而引起的分类讨论.归纳起来引起分类讨论的原因大致有五种:一是涉及的数学概念是分类定义的;二是运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的;三是求解的数学问题的结论有多种可能性;四是数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值会导致不同的结果;五是对较复杂或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解决.二、高考预测预计2009年高考对分类与整合思想的考查可能会呈现以下趋势:试题将会在求解函数、数列、不等式、解析几何、立体几何、排列组合、概率等数学问题中出现,在解决含参数问题、绝对值问题、导数问题、最值问题上运用较多,在高考中所占的比重较大,且对理科要求较高,而对文科在这方面的要求可能相对较低.三、重点剖析重点1 对等比数列公比q 的分类讨论；对n 奇偶性的讨论；解分式不等式时分类讨论各因式的符号；运用比较法时对式子符号的讨论等等．例1 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和),2,1( 0 =>n S n ．(Ⅰ)求q 的取值范围；(Ⅱ)设1223++-=n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小． 分析：由于涉及等比数列的前n 项和公式的应用，须分1q =和1q ≠讨论．欲比较n S 与n T 的大小，只须求出n S 与n T 后，再用作差法比较．解：(Ⅰ)因为}{n a 是等比数列，.0,0,011≠>=>q S a S n 可得 当;0,11>==na S q n 时1(1)11,0,0,(1,2,)11n nn a q q q S n q q--≠=>>=--当时即上式等价于不等式组：),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧<-<-n q q n① 或),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧>->-n q q n② 解①式得q >1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1<q <1． 综上，q 的取值范围是).,0()0,1(+∞⋃-(Ⅱ)由2132n a n b a a ++=-得.)23(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-=于是)123(2--=-q q S S T n n n ).2)(21(-+=q q S n又∵n S >0且－1<q <0或q >0．①当112q -<<-或2q >时0n n T S ->即n n T S >； ②当122q -<<且q ≠0时，0n n T S -<即n n T S <； ③当12q =-或q =2时，0n n T S -=即n n T S =．点评：该例中在使用等比数列的前n 项和公式n S ，须分1q =和1q ≠讨论，不要忽视1q =的情况．在第二小问中，抓住2132n a n b a a ++=-，利用等比数列的通项公式，巧妙的把n b 转化成.)23(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-=最后，作差比较n S 与n T ，即)123(2--=-q q S S T n n n ).2)(21(-+=q q S n ，为确定差的符号，故对q 进行分类讨论．重点2 指数函数(01)xy a a a =>≠且和对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且的单调性研究时对底数进行分类讨论例2如果函数22()(31)(01)x x f x a a a a a =-+>≠且在区间[)0+，∞上是增函数，那么实数a 的取值范围是( )Ａ．203⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｂ．1⎫⎪⎪⎣⎭Ｃ．(Ｄ．32⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，∞ 分析：本题在用复合函数单调性判断时，需要对底数a 进行分类讨论． 解：令xu a =，则外层函数为22(31)y u a u =-+．①若a >1，则内层函数xu a =在[)0+，∞上是增函数，其值域是{|1}u u ≥，要使函数22()(31)x x f x a a a =-+在区间[)0+，∞上是增函数，所以需要外层函数22(31)y u a u =-+在[1,)u ∈+∞上是增函数，所以对称轴23112a u +=≤，213a ∴≤，这与a >1矛盾；②若0<a <1，则xu a =在[)0+，∞上是减函数，其值域是{|01}u u <≤．要使函数22()(31)x x f x a a a =-+在区间[)0+，∞上是增函数，所以需要外层函数22(31)y u a u =-+在(0,1]u ∈上是减函数，所以对称轴23112a u +=≥，∴213a ≥，∴实数a 的取值范围是，选B ． 点拔：复合函数单调性判断要注意四点：①内层函数xu a =的值域是外层函数22(31)y u a u =-+的定义域．②内层函数xu a =与复合函数22()(31)x x f x a a a =-+定义域相同，都是[)0+，∞；③分类与整合的思想方法的运用；④一元二次函数单调性要依其图象对称轴的位置来判断．重点3 对于含有参数函数问题，在研究导函数时往往要运用分类与整合的思想例3求函数323()(1)3(1)2f x ax a x x a x R =+-->-∈，取极小值时x 的值． 分析：首先确定2'()33(1)3f x ax a x =+--是否为二次函数，故分0a =和0a ≠讨论，若0a ≠时，求f ′(x )=0的实根，进而划分其单调区间，确定极小值．解：2'()33(1)3f x ax a x =+--.(1)当0a =时，'()f x = 33x --.令'()f x =0，得1x =-，下面列出x ，'()f x ，()f x 的对应值表如下：(2)当0a ≠时，'()f x = 13(1)(1)3()(1)ax x a x x a-+=-+， 令'()f x =0，得1x a=或1x =-，则 ①当a >0时，11>-，下面列出x ，'()f x ，f (x )的对应值表如下： 所以，函数f (x )在x a =处取得极小值()f a ． ②当1-<a <0时，因11(1)0a a a+--=>，所以1< —1，则下面列出x ，'()f x ，f (x )的对应值表如下：此时，函数f (x )在x a =处取得极小值()f a． 综上所述：当a >0或1-<a <0时，函数f (x )在1x a=处取得极小值． 点拔：结合函数、导数内容考查分类与整合思想是近几年高考热点．本题首先弄清导函数是否为二次函数，分0a =与0a ≠讨论，做第一层面讨论；当0a ≠时，f ′(x )为二次函数，其图象为抛物线，但开口方向不确定，所以做第二层面的讨论；为了划分单调区间，应该比较'()f x =0的两根的大小．重点4 整体观察，化繁为简例4 (08年高考四川卷理11)设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( )（Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213解析：∵函数()f x 满()()213f x f x ⋅+=， ∴ ()()1342=+⋅+x f x f ， ∴()()()()1313242=+⋅+⋅+x f x f x f x f ，∴()()x f x f =+4， ∴函数()x f 为周期是4的周期函数.∴()()()21244197==⨯+=f f f ， ∴()()139799=⋅f f ,故()21399=f . 点评：该题主要考察学生的整体观察能力，即不要()()213f x f x ⋅+=将割裂来求，否则加大了运算难度.如: ∵()()213f x f x ⋅+=且()12f =，∴()12f =，()()1313312f f ==，()()13523f f ==，()()1313752f f ==，()()13925f f ==，，∴()221132n f n n ⎧⎪-=⎨⎪⎩为奇数为偶数 ，∴()()1399210012f f =⨯-= ，故选C. 重点5 整体构造（式或形），化难为易例5(07年高考陕西卷理5)已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，且14,23==n n S S ，则n S 4=( ).A.80B.30C.26D.16解析：此题若考虑用求和公式，不仅计算量较大，而且对公比q 还要考虑1,1≠=q q 进行分类讨论，若注意到n S ，n S 2，n S 3,n S 4依次相差n 项，以此构造四个整体：n n n n n S S S S S 232,,--，n n S S 34-通过分析可知这三个数构成等比数列。
完整word版2009年江苏省高考数学试卷答案与解析
2009年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）（2009?江苏）若复数z=4+29i，z=6+9i，其中i是虚数单位，则复数（z﹣z）i2112的实部为﹣20．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】把复数z=4+29i，z=6+9i，代入复数（z﹣z）i，化简，按多项式乘法法则，展2112开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可得到实部．【解答】解：∵z=4+29i，z=6+9i，21∴（z﹣z）i=（﹣2+20i）i=﹣20﹣2i，21∴复数（z﹣z）i 的实部为﹣20．21故答案为：﹣20【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．0，则向量，江苏）已知向量和和向量的夹角为2．（5分）（2009?30．3向量的数量积=【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】向量数量积公式的应用，条件中给出两个向量的模和向量的夹角，代入公式进行计算即可．×=3，【解答】解：由题意知：=2故答案为：3．【点评】本题是向量数量积的运算，条件中给出两个向量的模和两向量的夹角，代入数量积的公式运算即可，两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积．32）．的单调减区间为（﹣1，11=x（5分）2009?江苏）函数f（x）﹣15x﹣33x+6．3（【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．的不等式求出解，并令其小于零得到关于x′（x）f【分析】要求函数的单调减区间可先求出集即可．22﹣11）（30x﹣33=3x﹣10x﹣（【解答】解：f′x）=3x ，）＜x﹣110（=3（x+1））．，＜1＜x11，故减区间为（﹣111解得﹣，111）（﹣故答案为：此题考查学生利用导数研究函数的单调性的能力．【点评】14．（5分）（2009?江苏）函数y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）在闭区间[﹣π，0]的图象如图所示，则ω=3．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数图象求出函数的周期T，然后求出ω．【解答】解：由图中可以看出：=，T=πT=π，∴∴ω=3．故答案为：3【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查逻辑思维能力，是基础题．5．（5分）（2009?江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为0.2．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】由题目中共有5根竹竿，我们先计算从中一次随机抽取2根竹竿的基本事件总数，及满足条件的基本事件个数，然后代入古典概型计算公式，即可求出满足条件的概率．【解答】解：从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数有2.5和2.8，2.6和2.9，共2个∴所求概率为0.2．故答案为：0.2．【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，计算出满足条件的基本事件总数及其满足条件的基本事件个数是解答此类题型的关键．6．（5分）（2009?江苏）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表：学7 7 8 7 6甲班7 6 7 9 6乙班2．0.4则以上两组数据的方差中较小的一个为S=【考点】极差、方差与标准差．【专题】概率与统计．先写出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，把根据表中所给的两组数据，【分析】方差进行比较，方差小的一个是甲班，得到结果．，8，7，，，解：由题意知甲班的投中次数是【解答】677 ，这组数据的平均数是72，甲班投中次数的方差是，6，7，9乙班的投中次数是6，7，，这组数据的平均数是7这组数据的方差是，∴两组数据的方差中较小的一个为0.40.4故答案为：这种问题一旦出现是比较两组数据的方差的大小，是一个基础题，【点评】本题考查方差，一个必得分题目，注意运算过程中不要出错．．江苏）如图是一个算法的流程图，最后输出的W=227．（5分）（2009?【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．，不满足则循环，直到满足就跳10，判定是否满足S≥S【分析】根据流程图可知，计算出值即可．出循环，最后求出W10≥S=1；不满足S【解答】解：由流程图知，第一次循环：T=1，210≥；不满足ST=3，S=3﹣1=8第二次循环：210 S≥S=5﹣8=17，满足T=5第三次循环：，W=5+17=22．此时跳出循环，∴22故答案为当型循环结构和直到型循循环结构有两种形式：本题主要考查了直到型循环结构，【点评】环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．，则它们的面积比为：21分）（2009?江苏）在平面上，若两个正三角形的边长的比为．8（5 则它们的体积比8，：若两个正四面体的棱长的比为类似地，41：，在空间内，12【考点】类比推理．立体几何．【专题】3【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即可．【解答】解：平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为1：8故答案为：1：8．【点评】本题主要考查类比推理．类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．3上，且在10x+3y=x﹣P在曲线C：（5分）（2009?江苏）在平面直角坐标系xOy中，点9．．2，15）P处的切线斜率为2，则点P的坐标为（﹣C第二象限内，已知曲线在点【考点】导数的几何意义．【专题】导数的概念及应用．处的）在x=xf（x）y（x＜0），根据导数的几何意义求出函数【分析】先设切点P（x，0000导数，从而求出切线的斜率，建立方程，解之即可．2，=3x﹣10=20），由题意知：y′|x=x＜【解答】解：设P（x，y）（x000002．∴x=40，=﹣2∴x0．∴y=150．15）∴P点的坐标为（﹣2，），15故答案为：（﹣2本题考查了导数的几何意义，以及导数的运算法则和已知切线斜率求出切点坐标，【点评】本题属于基础题．x）（m，n满足f，函数f（x）=log，若正实数200910．（5分）（?m江苏）已知a＞f（n），则m，n的大小关系为m＜n．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．x在=logx）＜1，故函数f（【分析】，即因为已知条件中对数函数的底数0＜a a（0，+∞）上为减函数，根据函数的单调性，结合足f（m）＞f（n），不难判断出m，n的大小关系．解：∵【解答】∴0＜a＜1x∴f（x）=log在（0，+∞）上为减函数a若f（m）＞f（n）则m＜n故答案为：m＜n4x时，指数函数和对数函数在其定义域上均1，在底数a＞【点评】函数y=a和函数y=logx a）x 时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，而f（﹣0＜a＜1为增函数，当底数x﹣，在底x）轴对称，其单调性相反，故函数y=a和函数y=log（﹣与f（x）的图象关于Y a时，指数函数1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，当底数0＜a＜a数＞1 和对数函数在其定义域上均为增函数．的取aA?B则实数，≤2}，B=（﹣∞a），若（11．5分）（2009?江苏）已知集合A={x|logx2．c= 4值范围是（c，+∞），其中集合的包含关系判断及应用．【考点】集合．【专题】A 先化简集合，然后根据子集的定义求出集合B的取值范围，总而求出所求．【分析】【解答】解：A={x|logx≤2}={x|0＜x≤4} 2而B=（﹣∞，a），∵A?B∴a＞4即实数a的取值范围是（4，+∞），故答案为：4【点评】本题属于以对数不等式为依托，考查集合子集的基础题，也是高考常会考的题型．12．（5分）（2009?江苏）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题，真命题的序号是（1）（2）（写出所有真命题的序号）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离．【分析】从线面平行、垂直的判定定理，判断选项即可．【解答】解：由面面平行的判定定理可知，（1）正确．由线面平行的判定定理可知，（2）正确．对于（3）来说，α内直线只垂直于α和β的交线l，得不到其是β的垂线，故也得不出α⊥β．对于（4）来说，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到l⊥α．也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话，l不一定垂直于α．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，理解定理是判断的前提，是中档题．13．（5分）（2009?江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A，A，B，B为椭圆2112的四个顶点，F为其右焦点，直线AB与直线BF相交于点T，112．OTMOT线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 5【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．，联立的方程为，直线B【分析】解法一：可先直线ABF的方程为112的坐标，代入椭圆的方程即可解出离的坐标，进而表示出中点M两直线的方程，解出点T 心率的值；'2'2根），F'．（解法二：，对椭圆进行压缩变换，0，，椭圆变为单位圆：x+y=1 轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．T与x据题设条件求出直线BT方程，直线直线B11的方程为，的方程为直线BF【解答】解法一：由题意，可得直线AB112（M）T（，则），由于此点在椭圆两直线联立则点上，故有22=0﹣c10ac，整理得3a﹣2 +10e﹣，解得3=0即e故答案为解法二：对椭圆进行压缩变换，，，'2'2．，0+y=1，F'）（椭圆变为单位圆：x ，TM=MO=ON=1，AB斜率为1，交圆延长TOO于N，易知直线21′+1，′），则，y′=x，T设（x′y，×TN由割线定理：TB×TA ，=TM12，（负值舍去）方程：T1（B0，﹣），直线B易知：11=0令y′F，即横坐标6e=．即原椭圆的离心率故答案：．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．14．（5分）（2009?江苏）设{a}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b=a+1（n=1，2，…），nnn若数列{b}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q=﹣9．n【考点】等比数列的性质；数列的应用．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据B=A+1可知A=B﹣1，依据{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}nnnn中，则可推知则{A}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中，按绝对值的顺序排列上述n数值，相邻相邻两项相除发现﹣24，36，﹣54，81是{A}中连续的四项，求得q，进而求n得6q．【解答】解：{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中B=A+1 A=B﹣1nnnn则{A}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中n{A}是等比数列，等比数列中有负数项则q＜0，且负数项为相隔两项n等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值18，﹣24，36，﹣54，81相邻两项相除﹣=﹣=﹣=﹣=很明显，﹣24，36，﹣54，81是{A}中连续的四项n﹣（|q|＞1，∴此种情况应舍）q= ﹣或q=﹣q= ∴∴6q=﹣9故答案为：﹣9【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2009?江苏）设向量与垂直，求tan（α+β）的值；1（）若的最大值；2（）求7∥．，求证：）若tanαtanβ=16（3【考点】平面向量数量积坐标表示的应用；平行向量与共线向量；两向量的和或差的模的最值．【专题】平面向量及应用．与与先根据向量的线性运算求出，的再由【分析】（1）垂直等价于数量积等于0可求出α+β的正余弦之间的关系，最后可求正切值．||，然后根据向量的求模运算得到的关系，最后根据正（2）先根据线性运算求出弦函数的性质可确定答案．∥β，正是α）?（4cosβ）=sinαsin（3）将tanαtanβ=16化成弦的关系整理即可得到（4cos 的充要条件，从而得证．垂直，β，4cosβ+8sinβ）与（【解答】解：1，）∵=（sinβ﹣2cos∴4cosα（sinβ﹣2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，即sinαcosβ+cosαsinβ=2（cosαcosβ﹣sinαsinβ），∴sin（α+β）=2cos（α+β），cos（α+β）=0，显然等式不成立∴tan（α+β）=2．）∵=（sinβ+cosβ，4cosβ﹣（24sinβ），||=∴，=．||1β=﹣时，取最大值，且最大值为sin2∴当，即sinαsin β=16，∴β=16cosαcosβ，α（3）∵tantan 4cosα∴（4cos）?（β）=sin，sinβα）共线，，sinsin，α=）与（β4cosβα（即=4cos∥．∴求模运算、向量垂直和数量积之间的关系．向量和【点评】本题主要考查向量的线性运算、三角函数的综合题是高考的热点，要强化复习．的分别是ABA，CFE中，CB﹣江苏）如图，在直三棱柱2009分）（16．14（?ABCA，11111在中点，点DB⊥．求证：BCDA上，C1111（∥平面EF1）；ABC 2（）平面CBB⊥平面FD．AC1118直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【考点】立体几何．【专题】即可；∥BCEF ∥平面ABC，证明EF【分析】（1）要证明即可，利用平面与平面CBBC，通过证明AD⊥面）要证明平面（2AFD⊥平面BBCC111111垂直的判定定理证明即可．C的中点，A分别是B，A 【解答】证明：（1）因为E，F11 ABC；ABC，所以EF∥平面EF?面ABC，BC?面所以EF∥BC，又D，BB⊥A，所以BB⊥面ABC，ABC（2）因为直三棱柱﹣ABC111111111⊥FD所以平面A，D?面AFD⊥面BC=B，所以ADBBCC，又AB又AD⊥C，BB∩11111111111．CC平面BB11本题考查直线与平面平行和垂直的判断，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，【点评】是中档题．项和，满足为其前nS?江苏）设a是公差不为零的等差数列，17．（14分）（2009nn2222=7，Sa+a=a+a72435 S；的通项公式及前n项和（1）求数列a nn中的项．，使得为数列（2）试求所有的正整数ma n数列的求和；等差数列的性质．【考点】等差数列与等比数列．【专题】代入等差数列的通项da，）先把已知条件用a及d表示，然后联立方程求出【分析】（111 n项和公式可求．公式及前ma2的通项公式可寻求）先把已知化简可得，然后结合数列（n满足的条件．）由题意可得【解答】解：（1d=2 ﹣5，=联立可得a1，×）2=2n﹣71n5+=a∴﹣（﹣n（2中的项a=1）由（）知若使其为数列n9为正整数必需为整数，且m则；，m=1m=2 是最小值）故舍去．﹣5时不满足题意，（a=m=11．所以m=2解题的重点是要熟练掌握项和的公式，本题主要考查了等差数列的通项公式及前n【点评】基本公式，并能运用公式，还要具备一定的运算能力．22和﹣1）=4C：（x+3）+（y18．（16分）（2009?江苏）在平面直角坐标系xoy中，已知圆122=4 ﹣5）x﹣4）+（yC圆：（2，求直线l0），且被圆C的方程；截得的弦长为I（）若直线l过点A（4，1的斜，l）为平面上的点，满足：存在过点P的两条互相垂的直线l与l（II）设P（a，b112截得C被圆C截得的弦长与直线l被圆相交，率为2，它们分别与圆C和圆C且直线l212121的关系式．的弦长相等，试求满足条件的a，b直线的一般式方程；直线和圆的方程的应用．【考点】直线与圆．【专题】的点斜式方程，又由直线被圆，故可以设出直线l4，0）I 【分析】（）因为直线l过点A（，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，截得的弦长为C1lk值，代入即得直线即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出的方程．的圆心到直C与ll的点斜式方程，分析可得圆（II）根据题意，可以设出过P点的直线112的方程，整理ba、的距离相等，即可以得到一个关于l的距离和圆C的圆心到直线l线212变形可得答案．不相交，与圆C （Ⅰ）若直线l的斜率不存在，则直线x=4【解答】解：1），x﹣4l故直线l的斜率存在，不妨设为k，则直线的方程为y=k（）到直线的距离，C圆心（﹣3，1圆﹣即kxy﹣4k=01=1，则，l直线被圆C截得的弦长为1k=0联立以上两式可得，或故所求直线．y=0方程为l或10：，l x﹣a），（Ⅱ）依题意直线的方程可设为l：y﹣b=2（21因为两圆半径相等，且分别被两直线截得的弦长相等，l的距离相等，l的距离和圆C的圆心到直线的圆心到直线故圆C2112即，解得：a﹣3b+21=0或3a+b﹣7=0．【点评】在解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后得到一个关于x的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法．19．（16分）（2009?江苏）照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n他卖出该产品的单价为m元，则．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h和他的满意度为h，则他21．对这两种交易的综合满意度为现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为m元和m元，甲买进A与卖出B BA的综合满意度为h，乙卖出A与买进B的综合满意度为h．乙甲=m时，求证：h的表达式；当m=h；（1）求h和h关于m、m BAAB乙甲甲乙=m，当mm、m分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综（2）设BBAA合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为h，试问能否适当选取m、m的值，使得h≥h和00AB甲h≥h 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．0乙【考点】函数模型的选择与应用．【专题】函数的性质及应用．=mm时，表示出要证【分析】（1）表示出甲和乙的满意度，整理出最简形式，在条件BA明的相等的两个式子，得到两个式子相等．（2）在上一问表示出的结果中，整理出关于变量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出两个人满意度最大时的结果，并且写出等号成立的条件．≤，不能取到m，m=h）知hh=．因为h的值，使）先写出结论：不能由（（32B0A0乙甲同时成立，但等号不同时成立．h 和≥hh≥h得00乙甲=；hB=的满意度为）甲：买进（【解答】解：1Ah，卖出的满意度为B1A111=；h= 所以，甲买进A与卖出B的综合满意度为甲=；=，买进B的满意度为：乙：卖出A的满意度为：hh B2A2=；= A与买进B的综合满意度h所以，乙卖出乙=，所以hh，=h当m=m时，BA甲甲乙=h乙=m时，0），当mm（2）设=x（其中x＞BAB≤；= =h=h乙甲=×10=6m时，=10时，上式“=”成立，即m当且仅当，x=，即x=10AB甲、乙两人的综合满意度均最大，最大综合满意度为；≤h =．因为（3）不能由（2）知hh0乙甲同时成立，但等号不同时成立．h≥hm的值，使得h≥h和因此，不能取到m，0BA0乙甲【点评】本题考查函数模型的选择和应用，本题解题的关键是理解题意，这是最主要的一点，题目中所用的知识点不复杂，只要注意运算就可以．2．﹣a|x﹣a）|x江苏）设a为实数，函数f（x）=2x+（1620．（分）（2009? a的取值范围；10）≥，求（1）若f（x）的最小值；2）求f（（的解集．）≥1）+∞，求不等式h（x，h3）设函数（x）=f（x）x∈（a，（二次函数的性质；一元二次不等式的解法．【考点】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【专题】a再去绝对值求的取值范围，﹣a|a|≥1≥【分析】（1）f（0）1?借助二次函数的a两种情况来讨论去绝对值，再对每一段分别求最小值，和x＜≥（2）分xa 对称轴及单调性．最后综合即可．22，因为不等式的解集由对应方程的根决定，所以再0﹣﹣2ax+a1≥转化为x3（）h（）≥13x 对其对应的判别式分三种情况讨论求得对应解集即可． 1 ≤?≥，则﹣≥0f1解：【解答】（）若（）1a|a|1?a﹣1222，∴，﹣2ax+a xx≥a时，f（）=3x2（）当如图所示：22﹣af（x）=x，+2ax≤当xa时，∴．综上所述：．1，h（x）≥a（3）x∈（，+∞）时，22222﹣8a（a﹣1）=12△得3x﹣2ax+a1﹣≥0，=4a12﹣）；∞（0≤，x∈a，+△a≤当a﹣或≥时，＞时，＜当﹣a＜△0，得：13即2类讨论：进而分＜时，a，当﹣＜a＜﹣；+，∞，]∪）[a此时不等式组的解集为（a；≤＜时，＜x当﹣≤）．此时不等式组的解集为，[+∞综上可得，）；，+∞+，∞当a∈（﹣∞，﹣）∪（）时，不等式组的解集为（a）；[，+∈当a∞（﹣，﹣）时，不等式组的解集为（a，]∪．+，∞）时，不等式组的解集为[a当∈﹣，][分段函数的最值的求法是先对每一段分别求最值，【点评】本题考查了分段函数的最值问题．最后综合最大的为整个函数的最大值，最小的为整个函数的最小值．14。
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第5课时 指数与指数函数精品课件 理 北师大
• 3．指数函数的图象和性质
函数
y＝ax(a＞0，且a≠1)
0＜a＜1
a＞1
图象
图象特征
在x轴 上方，过定点 (0,1)
当x逐渐增大时， 图象逐渐下降
当x逐渐增大时， 图象逐渐上升
函数
定义域
值域
性 单调性 质
函数 值变 化规律
y＝ax(a＞0，且a≠1)
D．f(－2)＞f(2)
解析： 由a－2＝4，a＞0，得a＝12， ∴f(x)＝21－|x|＝2|x|. 又∵|－2|＞|－1|，∴2|－2|＞2|－1|，即f(－2)＞f(－1)． 答案： A
4．方程3x－1＝19的解是________． • 答案： －1
5．函数y＝121－x的值域是________． 解析： 函数的定义域为R，令u＝1－x∈R， ∴y＝21u＞0. 答案： (0，＋∞)
• (2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函 数．
• 1．与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法
• (1)函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同； • (2)先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，可确定y＝
af(x)的值域． • 2．与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 • (1)求复合函数的定义域； • (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； • (3)分层逐一求解函数的单调性； • (4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．
【变式训练】 1.计算下列各式：
• 1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的 图象，通过平移、对称变换得到其图象．
2009年辽宁省高考数学试卷(理科)含答案
2009年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）（2009•辽宁）已知集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|﹣5＜x＜5}，则M∩N=（）A．{x|﹣5＜x＜5} B．{x|﹣3＜x＜5} C．{x|﹣5＜x≤5} D．{x|﹣3＜x≤5}【考点】交集及其运算．【分析】由题意已知集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|﹣5＜x＜5}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|﹣5＜x＜5}，∴M∩N={x|﹣3＜x＜5}，故选B．【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．2．（5分）（2009•辽宁）已知复数z=1﹣2i，那么=（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数的分母实数化，然后化简即可．【解答】解：=故选D．【点评】复数代数形式的运算，是基础题．3．（5分）（2009•辽宁）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B． C．4 D．12【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．【解答】解：由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4a•b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，∴|a+2b|=．故选：B．【点评】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．4．（5分）（2009•辽宁）已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=2【考点】圆的标准方程．【分析】圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．【解答】解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是；圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是．故A错误．故选B．【点评】一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．5．（5分）（2009•辽宁）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A．70种B．80种C．100种D．140种【考点】分步乘法计数原理．【分析】不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．【解答】解：直接法：一男两女，有C51C42=5×6=30种，两男一女，有C52C41=10×4=40种，共计70种间接法：任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种，都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84﹣10﹣4=70种．故选A【点评】直接法：先分类后分步；间接法：总数中剔除不合要求的方法．6．（5分）（2009•辽宁）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（）A．2 B．C．D．3【考点】等比数列的前n项和．【分析】首先由等比数列前n项和公式列方程，并解得q3，然后再次利用等比数列前n项和公式则求得答案．【解答】解：设公比为q，则===1+q3=3，所以q3=2，所以===．【点评】本题考查等比数列前n项和公式．7．（5分）（2009•辽宁）曲线y=在点（1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=x﹣2 B．y=﹣3x+2 C．y=2x﹣3 D．y=﹣2x+1【考点】导数的几何意义．【专题】计算题．【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．【解答】解：y′=（）′=，∴k=y′|x=1=﹣2．l：y+1=﹣2（x﹣1），则y=﹣2x+1．故选：D【点评】本题考查了导数的几何意义，以及导数的运算法则，本题属于基础题．8．（5分）（2009•辽宁）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（）=﹣，则f（0）=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】求出函数的周期，确定ω的值，利用f（）=﹣，得Asinφ=﹣，利用f（）=0，求出（Acosφ+Asinφ）=0，然后求f（0）．【解答】解：由题意可知，此函数的周期T=2（π﹣π）=，故=，∴ω=3，f（x）=Acos（3x+φ）．f（）=Acos（+φ）=Asinφ=﹣．又由题图可知f（）=Acos（3×+φ）=Acos（φ﹣π）=（Acosφ+Asinφ）=0，∴f（0）=Acosφ=．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的周期性及其求法，考查视图能力，计算能力，是基础题．9．（5分）（2009•辽宁）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是（）A．（，） B．[，）C．（，）D．[，）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】分析法；函数的性质及应用．【分析】由题设条件偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加可得出此函数先减后增，以y 轴为对称轴，由此位置关系转化不等式求解即可【解答】解析：∵f（x）是偶函数，故f（x）=f（|x|）∴f（2x﹣1）=f（|2x﹣1|），即f（|2x﹣1|）＜f（||）又∵f（x）在区间[0，+∞）单调增加得|2x﹣1|＜，解得＜x＜．故选A．【点评】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，在这里要注意本题与下面这道题的区别：已知函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜的x取值范围是（）10．（5分）（2009•辽宁）某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…a N，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）A．A＞0，V=S﹣T B．A＜0，V=S﹣T C．A＞0，V=S+T D．A＜0，V=S+T【考点】设计程序框图解决实际问题．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知S表示月收入，T表示月支出，V表示月盈利，根据收入记为正数，支出记为负数，故条件语句的判断框中的条件为判断累加量A的符号，由分支结构的“是”与“否”分支不难给出答案，累加完毕退出循环后，要输出月收入S，和月盈利V，故在输出前要计算月盈利V，根据收入、支出与盈利的关系，不难得到答案．【解答】解析：月总收入为S，支出T为负数，因此A＞0时应累加到月收入S，故判断框内填：A＞0又∵月盈利V=月收入S﹣月支出T，但月支出用负数表示因此月盈利V=S+T故处理框中应填：V=S+T故选A＞0，V=S+T【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．11．（5分）（2009•辽宁）正六棱锥P﹣ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D﹣GAC 与三棱锥P﹣GAC体积之比为（）A．1：1 B．1：2 C．2：1 D．3：2【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】由于G是PB的中点，故P﹣GAC的体积等于B﹣GAC的体积；求出DH=2BH，即可求出三棱锥D﹣GAC与三棱锥P﹣GAC体积之比．【解答】解：由于G是PB的中点，故P﹣GAC的体积等于B﹣GAC的体积在底面正六边形ABCDER中BH=ABtan30°=AB而BD=AB故DH=2BH于是V D﹣GAC=2V B﹣GAC=2V P﹣GAC故选C．【点评】本题考查棱锥的体积计算，考查转化思想，是基础题．12．（5分）（2009•辽宁）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．4【考点】函数的图象与图象变化．【专题】压轴题．【分析】先由题中已知分别将x1、x2所满足的关系表达为，2x1=2log2（5﹣2x1）…系数配为2是为了与下式中的2x2对应2x2+2log2（x2﹣1）=5，观察两个式子的特点，发现要将真数部分消掉求出x1+x2，只须将5﹣2x1化为2（t﹣1）的形式，则2x1=7﹣2t，t=x2【解答】解：由题意①2x2+2log2（x2﹣1）=5 ②所以，x1=log2（5﹣2x1）即2x1=2log2（5﹣2x1）令2x1=7﹣2t，代入上式得7﹣2t=2log2（2t﹣2）=2+2log2（t﹣1）∴5﹣2t=2log2（t﹣1）与②式比较得t=x2于是2x1=7﹣2x2即x1+x2=故选C【点评】本题涉及的是两个非整式方程，其中一个是指数方程，一个是对数方程，这两种方程均在高考考纲范围之内，因此此题中不用分别解出两个方程，分别求出x1，x2，再求x1+x2，这样做既培养不了数学解题技巧，也会浪费大量时间．二、填空题13．（5分）（2009•辽宁）某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为1013h．【考点】分层抽样方法．【分析】由三个分厂的产量比，可求出各厂应抽取的产品数，再计算均值即可．【解答】解：从第一、二、三分厂的抽取的电子产品数量分别为25，50，25，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为=1013．故答案为：1013【点评】本题考查分层抽样和样本的均值，属基本题．再求均值时，要注意各部分所占的比例．14．（5分）（2009•辽宁）等差数列{a n}的前n项和为S n，且6S5﹣5S3=5，则a4=．【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】根据等差数列的前n项和的公式表示出S5和S3，然后把S5和S3的式子代入到6S5﹣5S3=5中合并后，利用等差数列的通项公式即可求出a4的值．【解答】解：∵S n=na1+n（n﹣1）d∴S5=5a1+10d，S3=3a1+3d∴6S5﹣5S3=30a1+60d﹣（15a1+15d）=15a1+45d=15（a1+3d）=15a4=5解得a4=故答案为：【点评】此题要求学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式，是一道中档题．15．（5分）（2009•辽宁）设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为4m3．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；压轴题．【分析】由三视图可知几何体是三棱锥，明确其数据关系直接解答即可．【解答】解：这是一个三棱锥，高为2，底面三角形一边为4，这边上的高为3，体积等于×2×4×3=4故答案为：4【点评】本题考查三视图求体积，三视图的复原，考查学生空间想象能力，是基础题．16．（5分）（2009•辽宁）已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为9．【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；双曲线的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据A点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得a，进而根据PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加求得答案．【解答】解：∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（4，0），∴由双曲线性质|PF|﹣|PF′|=2a=4而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．故答案为9．【点评】本题主要考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）（2009•辽宁）如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1 km．试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01 km，≈1.414，≈2.449）．【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题；应用题．【分析】在△ACD中，∠DAC=30°推断出CD=AC，同时根据CB是△CAD底边AD的中垂线，判断出BD=BA，进而在△ABC中利用余弦定理求得AB答案可得．【解答】解：在△ACD中，∠DAC=30°，∠ADC=60°﹣∠DAC=30°，所以CD=AC=0.1．又∠BCD=180﹣60°﹣60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA、在△ABC中，=，sin215°=，可得sin15°=，即AB==，因此，BD=≈0.33km．故B、D的距离约为0.33km．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查学生分析问题解决问题的能力．综合运用基础知识的能力．20．（12分）（2009•辽宁）如图，已知两个正方行ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N 分别为AB，DF的中点．（1）若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；（2）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．【考点】直线与平面所成的角；反证法与放缩法．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）（解法一）由面面垂直的性质定理，取CD的中点G，连接MG，NG，再证出∠MNG是所求的角，在△MNG中求解；（解法二）由垂直关系建立空间直角坐标系，求出平面DCEF的法向量，再用向量的数量积求解；（2）由题意假设共面，由AB∥CD推出AB∥平面DCEF，再推出AB∥EN，由得到EN∥EF，即推出矛盾，故假设不成立；【解答】解：（1）解法一：取CD的中点G，连接MG，NG．设正方形ABCD，DCEF的边长为2，则MG⊥CD，MG=2，NG=．∵平面ABCD⊥平面DCED，∴MG⊥平面DCEF，∴∠MNG是MN与平面DCEF所成的角．∵MN==，∴sin∠MNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值解法二：设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系如图．则M（1，0，2），N（0，1，0），可得=（﹣1，1，﹣2）．又∵=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，∴cos（，）=•∴MN与平面DCEF所成角的正弦值为cos•（2）假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN由已知，两正方形不共面，∴AB⊄平面DCEF．又∵AB∥CD，∴AB∥平面DCEF．∵面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，∴AB∥EN．又∵AB∥CD∥EF，∴EN∥EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立．∴ME与BN不共面，它们是异面直线．【点评】本题考查了线面角的求法，可有面面垂直的性质定理用两种方法来求解；还考查了用反证法证明，用了线线平行与线面平行的相互转化来推出矛盾，考查了推理论证能力和逻辑思维能力．21．（12分）（2009•辽宁）某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为．该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6．击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．（Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；（Ⅱ）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A）．【考点】离散型随机变量及其分布列；等可能事件的概率．【分析】（1）由题意知目标被击中的次数X的取值是0、1、2、3、4，当X=0时表示四次射击都没有击中，当X=1时表示四次射击击中一次，以此类推，理解变量取值不同时对应的事件，用独立重复试验概率公式得到概率，写出分布列（2）第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次所表示的事件，记出事件，根据事件之间的互斥关系，表示出事件，用相互独立事件同时发生和互斥事件的概率公式，得到结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意知目标被击中的次数X的取值是0、1、2、3、4，∵当X=0时表示四次射击都没有击中，∴P（X=0）==，∵当X=1时表示四次射击击中一次，P（X=1）==，∵当X=2时表示四次射击击中两次，∴P（X=2）==同理用独立重复试验概率公式得到X=3和X=4的概率，∴X的分列为0 1 2 3 4P（Ⅱ）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2．B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2．依题意知P（A1）=P（B1）=0.1，P（A2）=P（B2）=0.3，，所求的概率为=0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28【点评】本题考查离散型随机变量和相互独立事件的概率以及互斥事件的概率，解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布．22．（12分）（2009•辽宁）已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．【考点】椭圆的应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程代入已知条件得，求出b，由此能够求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得，再点在椭圆上，结合直线的位置关系进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程为，解得b2=3，（舍去）所以椭圆方程为．（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得设E（x E，y E），F（x F，y F），因为点在椭圆上，所以由韦达定理得：，，所以，．又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以﹣K代K，可得，所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为．【点评】本题综合考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．23．（12分）（2009•辽宁）已知函数f（x）=x2﹣ax+（a﹣1）lnx，a＞1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：若a＜5，则对任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；证明题；分类讨论．【分析】（1）根据对数函数定义可知定义域为大于0的数，求出f′（x）讨论当a﹣1=1时导函数大于0，函数单调递增；当a﹣1＜1时分类讨论函数的增减性；当a﹣1＞1时讨论函数的增减性．（2）构造函数g（x）=f（x）+x，求出导函数，根据a的取值范围得到导函数一定大于0，则g（x）为单调递增函数，则利用当x1＞x2＞0时有g（x1）﹣g（x2）＞0即可得证．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．（i）若a﹣1=1即a=2，则故f（x）在（0，+∞）单调增．（ii）若a﹣1＜1，而a＞1，故1＜a＜2，则当x∈（a﹣1，1）时，f′（x）＜0；当x∈（0，a﹣1）及x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0故f（x）在（a﹣1，1）单调减，在（0，a﹣1），（1，+∞）单调增．（iii）若a﹣1＞1，即a＞2，同理可得f（x）在（1，a﹣1）单调减，在（0，1），（a﹣1，+∞）单调增．（2）考虑函数g（x）=f（x）+x=则由于1＜a＜5，故g'（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）单调增加，从而当x1＞x2＞0时有g（x1）﹣g（x2）＞0，即f（x1）﹣f（x2）+x1﹣x2＞0，故，当0＜x1＜x2时，有【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力，以及基本不等式证明的能力．24．（10分）（2009•辽宁）选修4﹣1：几何证明讲已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+，求△ABC外接圆的面积．【考点】弦切角；圆內接多边形的性质与判定．【专题】计算题；证明题．【分析】首先对于（1）要证明AD的延长线平分∠CDE，即证明∠EDF=∠CDF，转化为证明∠ADB=∠CDF，再根据A，B，C，D四点共圆的性质，和等腰三角形角之间的关系即可得到．对于（2）求△ABC外接圆的面积．只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连接OC，根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆面积．【解答】解：（Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，即AD的延长线平分∠CDE．（Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°．设圆半径为r，则r+r=2+，a得r=2，外接圆的面积为4π．故答案为4π．【点评】此题主要考查圆内接多边形的性质问题，其中涉及到等腰三角形的性质，属于平面几何的问题，计算量小但综合能力较强，需要同学们多练多做题．25．（2009•辽宁）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos（）=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）先利用三角函数的差角公式展开曲线C的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．（2）先在直角坐标系中算出中点P的坐标，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标和直线OP的极坐标方程即可．【解答】解：（Ⅰ）由从而C的直角坐标方程为即θ=0时，ρ=2，所以M（2，0）（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）N点的直角坐标为所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为，ρ∈（﹣∞，+∞）【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．26．（2009•辽宁）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|，（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；（2）如果x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式．【专题】计算题；压轴题；分类讨论．【分析】（1）当a=﹣1，原不等式变为：|x﹣1|+|x+1|≥3，下面利用对值几何意义求解，利用数轴上表示实数﹣左侧的点与表示实数右侧的点与表示实数﹣1与1的点距离之和不小3，从而得到不等式解集．（2）欲求当x∈R，f（x）≥2，a的取值范围，先对a进行分类讨论：a=1；a＜1；a＞1．对后两种情形，只须求出f（x）的最小值，最后“x∈R，f（x）≥2”的充要条件是|a﹣1|≥2即可求得结果．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=|x﹣1|+|x+1|，由f（x）≥3有|x﹣1|+|x+1|≥3据绝对值几何意义求解，|x﹣1|+|x+1|≥3几何意义，是数轴上表示实数x的点距离实数1，﹣1表示的点距离之和不小3，由于数轴上数﹣左侧的点与数右侧的点与数﹣1与1的距离之和不小3，所以所求不等式解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）（2）由绝对值的几何意义知，数轴上到1的距离与到a的距离之和大于等于2恒成立，则1与a之间的距离必大于等于2，从而有a∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）【点评】本小题主要考查绝对值不等式、不等式的解法、充要条件等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想．。
2009-2013j江苏高考数学试卷命题分析
.
2.已知正数 x, y 满足 x y 1 ， 则 ( 1)( 1) 的最小值为
1 x 1 y
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3.已知两个正数 x, y 满足 x y 4 ，若不 等式 1 4 m 恒成立， 则实数 m 的取值范 x y 围为 .
4. 已 知 a, b 为 正 实 数 且 ab 1 ， 若 不 等 式 ( x y)( a b ) M 对任意正实数 x, y 均成立，则 M x y 的取值范围为 .
失分重点：填空题、部分解答题的第二问和第三 问 失分原因：不适应新题 • 2013年江苏高考数学试卷就全卷来说，最难 题的难度其实比去年有所下降，区分度好于去年。 填空题也基本保持平稳。均分下降的首要原因是 解答题新面孔较多，多题把关，如第17-20题第二 问均构思新颖；而学生对新题不适应。习惯于常 见题型的学生，在平时的大量训练中迷失了方向， 不能很好地理解题意、寻求策略，不能灵活运用 数学的基本思想方法解决问题，独立思考能力、 理解分析问题的能力欠佳。
9.20
4.86
18（16 分）
解三角形二 次函数不等 式
6.59
直线和椭圆 的位置关系 几何性质
7.39
导数的应用， 函数的极值、 函数零点
4.14
近三年难度： 2013年86.2(0.54);2011年 91.28（0.61）2012年省均分82(0.51).
2013数学试卷特点：
今年江苏高考数学试题，较好体现了依纲据本，
其次，对问题进一步变化，改变习题的设 问方式、逆命题、或联想与此题相关的各 类试题，通过一题的复习，可以解决一类 问题，从而使学生达到触类旁通的效果。
最后，设置1-2道应用型问题，可以是学 科内部知识的渗透与整合，也可以是实际 应用问题。
导数与函数的极值、最值-重难点题型精讲 高考数学(新高考地区专用)(解析版)
专题3.5 导数与函数的极值、最值1．函数的极值与导数条件f ′(x 0)＝0x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0图象极值 f (x 0)为极大值 f (x 0)为极小值 极值点x 0为极大值点x 0为极小值点2．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．【题型1 根据函数图象判断极值】【方法点拨】由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点.【例1】（2022春•杨浦区校级期末）已知函数y＝f（x）（a＜x＜b）的导函数是y＝f'（x）（a＜x＜b），导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）在（a，b）内有（）A．3个驻点B．4个极值点C．1个极小值点D．1个极大值点【解题思路】由题意结合导函数图像即可确定函数的性质．【解答过程】解：由导函数的图象可知，原函数存在4个驻点，函数有3个极值点，其中2个极大值点，1个极小值点．故选：C．【变式1-1】（2022春•纳雍县期末）已知函数f（x）的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（）A．﹣1是f（x）的极小值点B．曲线y＝f（x）在x＝2处的切线斜率小于零C．f（x）在区间（﹣∞，3）上单调递减D．﹣3是f（x）的极小值点【解题思路】根据题意，由函数导数与单调性的关系依次分析选项，即可得答案．【解答过程】解：根据题意，依次分析选项：对于A，在x＝﹣1左右都有f′（x）＜0，﹣1不是f（x）的极值，A错误；对于B，f′（x）的图象在（﹣3，3）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，则曲线y＝f（x）在x＝2处的切线斜率即f′（2）小于零，B正确；对于C，f′（x）的图象在（﹣∞，﹣3）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，C错误；对于D，f′（x）的图象在（﹣∞，﹣3）上，f′（x）＞0，在（﹣3，3）上，f′（x）＜0，则﹣3是f （x）的极大值点，D错误；故选：B．【变式1-2】（2022春•朝阳区校级月考）如图，可导函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为y＝g（x），设h（x）＝g（x）﹣f（x），h'（x）为h（x）的导函数，则下列结论中正确的是（）A．h'（x0）＝0，x0是h（x）的极大值点B．h'（x0）＝0，x0是h（x）的极小值点C．h'（x0）≠0，x0不是h（x）的极大值点D．h'（x0）≠0，x0是h（x）的极值点【解题思路】由图判断函数h（x）的单调性，结合y＝g（x）为y＝f（x）在点P处的切线方程，则有h'（x0）＝0，由此可判断极值情况．【解答过程】解：由题得，当x∈（﹣∞，x0）时，h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h（x）单调递增，又h'（x0）＝g'（x0）﹣f'（x0）＝0，则有x0是h（x）的极小值点，故选：B．【变式1-3】（2022春•南阳期末）函数f（x）的导函数是f'（x），下图所示的是函数y＝（x+1）•f'（x）（x∈R）的图像，下列说法正确的是（）A．x＝﹣1是f（x）的零点B．x＝2是f（x）的极大值点C．f（x）在区间（﹣2，﹣1）上单调递增D．f（x）在区间[﹣2，2]上不存在极小值【解题思路】根据函数y＝（x+1）•f'（x）（x∈R）的图像判断f′（x）的符号，进而判断f（x）的单调性和极值即可．【解答过程】解：由函数y＝（x+1）•f'（x）（x∈R）的图像知，当﹣2＜x＜﹣1时，x+1＜0，y＞0，∴f'（x）＜0，f（x）在（﹣2，﹣1）上减函数，当﹣1＜x＜2时，x+1＞0，y＞0，∴f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，2）上增函数，当x＞2时，x+1＞0，y＜0，f'（x）＜0，f（x）在（2，+∞）上减函数，∴x＝﹣1、x＝2分别是f（x）的极小值点、极大值点．∴选项A、C、D错误，选项B正确，故选：B．【题型2 求已知函数的极值（点）】【方法点拨】求函数f(x)极值的一般解题步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．【例2】（2022•扬中市校级开学）已知函数f(x)=12x−sinx在[0，π2]上的极小值为（）A ．π12−√32B ．π12−12C ．π6−12D ．π6−√32【解题思路】根据极小值的定义，结合导数的性质进行求解即可． 【解答过程】解：由f(x)=12x −sinx ⇒f′(x)=12−cosx ， 当x ∈(0，π3)时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，当x ∈(π3，π2)时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以π3是函数的极小值点，极小值为：f(π3)=π6−√32， 故选：D ．【变式2-1】（2022春•资阳期末）函数f （x ）＝x 3﹣3x 的极大值为（ ） A ．﹣4B ．﹣2C ．1D ．2【解题思路】求导，利用导数确定f （x ）的单调区间，从而即可求极大值． 【解答过程】解：因为f （x ）＝x 3﹣3x ，x ∈R ， 所以f ′（x ）＝3x 2﹣3＝3（x +1）（x ﹣1）， 令f ′（x ）＝0，得x ＝﹣1或x ＝1，所以当x ＜﹣1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；当﹣1＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；所以f （x ）的单调递增区间为：（﹣∞，﹣1），（1，∞）；单调递减区间为（﹣1，1）． 所以f （x ）极大值＝f （﹣1）＝2． 故选：D ．【变式2-2】（2022春•平谷区期末）函数f （x ）＝x +2cos x 在[0，π]上的极小值点为（ ） A ．π3B ．π6C ．5π6D ．2π3【解题思路】分析函数导数的符号变化，由此可得函数的单调性，由单调性得出结论即可． 【解答过程】解：对于函数f （x ）＝x +2cos x ，f ′（x ）＝1﹣2sin x ， 因为x ∈[0，π]，当0＜x ＜π6时，f ′（x ）＞0， 当π6＜x ＜5π6时，f ′（x ）＜0，当5π6＜x ＜π时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在区间[0，π6]上是增函数，在区间[π6，5π6]上是减函数，在[5π6，π]是增函数． 因此，函数f （x ）＝x +2cos x 在[0，π]上的极小值点为5π6．故选：C ．【变式2-3】（2022春•新乡期末）已知函数f （x ）＝（x ﹣1）2（2﹣x ）3，则f （x ）的极大值点为（ ） A ．1B ．75C ．﹣1D ．2【解题思路】解：因为f '（x ）＝2（x ﹣1）（2﹣x ）3﹣3（x ﹣1）2（2﹣x ）2＝（x ﹣1）（2﹣x ）2（7﹣5x ），所以f （x ）在（﹣∞，1），(75，+∞)上单调递减，在(1，75)上单调递增， 所以f （x ）的极大值点为75，故选：B ．【解答过程】解：f '（x ）＝2（x ﹣1）（2﹣x ）3﹣3（x ﹣1）2（2﹣x ）2＝（x ﹣1）（2﹣x ）2（7﹣5x ）， 令f ′（x ）＝0得x ＝1或x =75，所以f （x ）在（﹣∞，1），(75，+∞)上单调递减，在(1，75)上单调递增， 所以f （x ）的极大值点为75，故选：B ．【题型3 由函数的极值（点）求参数】 【方法点拨】根据函数极值情况求参数的两个要领：①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． ②验证：求出参数后，验证所求结果是否满足题意．【例3】（2022春•龙海市校级期末）函数f （x ）＝4x 3﹣ax 2﹣2bx +2在x ＝1处有极大值﹣3，则a ﹣b 的值等于（ ） A ．0B ．6C ．3D ．2【解题思路】对函数求导，利用f （1）＝﹣3以及f ′（1）＝0解出a ，b ，进而得出答案． 【解答过程】解：由题意得f ′（x ）＝12x 2﹣2ax ﹣2b ，因为f （x ）在x ＝1处有极大值﹣3， 所以f ′（1）＝12﹣2a ﹣2b ＝0，f （1）＝4﹣a ﹣2b +2＝﹣3，解得a ＝3，b ＝3， 所以a ﹣b ＝0． 故选：A ．【变式3-1】（2022春•哈尔滨期末）若函数f(x)=6alnx +12x 2−(a +6)x 有2个极值点，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，6）∪（6，+∞）B．（0，6）∪（6，+∞）C．{6}D．（0，+∞）【解题思路】根据条件函数f（x）有两个极值点，转化为方程f′（x）＝0有两个不等正实数根，得到求解．【解答过程】解：函数f（x）的定义域（0，+∞），f′(x)=6ax+x−(a+6)=(x−6)(x−a)x，令f′（x）＝0得，x＝6或x＝a，∵函数f（x）有2个极值点，∴f'（x）＝0有2个不同的正实数根，∴a＞0且a≠6，故选：B．【变式3-2】（2022春•淄博期末）已知x＝2是函数f（x）＝ax3﹣3x2+a的极小值点，则f（x）的极大值为（）A．﹣3B．0C．1D．2【解题思路】先对函数求导，然后结合极值存在条件可求a，进而可求函数的极大值．【解答过程】解：因为f′（x）＝3ax2﹣6x，由题意可得，f′（2）＝12a﹣12＝0，故a＝1，f′（x）＝3x2﹣6x，当x＞2或x＜0时，f′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，函数单调递减，故当x＝0时，函数取得极大值f（0）＝1．故选：C．【变式3-3】（2022春•赣州期末）已知函数f（x）＝x3+a2x2+（2b2﹣7）x+1（a＞0，b＞0）在x＝1处取得极值，则a+b的最大值为（）A．1B．√2C．2D．2√2【解题思路】根据题意，对函数求导，令f′（1）＝0可求得a2+b2＝2，利用基本不等式可求a+b的最大值．【解答过程】解：函数f（x）＝x3+a2x2+（2b2﹣7）x+1（a＞0，b＞0）的导数为f′（x）＝3x2+2a2x+2b2﹣7，因为函数在x＝1处取得极值，所以f′（1）＝3+2a2+2b2﹣7＝0，即a2+b2＝2，因为a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝2，即（a +b ）2﹣2＝2ab ， 因为ab ≤(a+b 2)2，所以(a +b)2−2≤2(a+b 2)2， 整理得（a +b ）2≤4，所以a +b ≤2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，此时f ′（x ）＝3x 2+2x ﹣5＝（3x +5）（x ﹣1），满足函数在x ＝1处取得极值， 所以a +b 的最大值为2， 故选：C ．【题型4 利用导数求函数的最值】 【方法点拨】(1)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上单调递增或单调递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值． (2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]内有极值，要先求出[a ，b ]上的极值，与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值， 最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极大(或极小)值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导 数的实际应用中经常用到．【例4】（2022•河南开学）函数f(x)=x 2−2x +8x 在（0，+∞）上的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【解题思路】由题意求导，从而确定函数的单调性，从而求函数的最值．【解答过程】解：因为f ′(x)=2x −2−8x 2=(x 3−2x 2)+(x 3−8)x 2=(x−2)(2x 2+2x+4)x 2，所以f （x ）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增， 故f （x ）min ＝f （2）＝4． 故选：C ．【变式4-1】（2022春•中山市校级月考）函数y ＝x ﹣2sin x 在区间[0，2]上的最小值是（ ） A ．π6−√3B ．−π3−√3C ．−π6−√3D ．π3−√3【解题思路】利用导数研究函数区间单调性，进而求其最小值即可． 【解答过程】解：由y ′＝1﹣2cos x ， 当0≤x ＜π3时，y ′＜0，即y 递减； 当π3＜x ≤2时，y ′＞0，即y 递增；所以y min =π3−2sin π3=π3−√3．【变式4-2】（2022春•乐山期末）已知函数f （x ）＝x 2﹣lnx ，则函数f （x ）在[1，2]上的最小值为（ ） A ．1B ．√22C ．18+12ln2 D ．12+12ln2【解题思路】求导确定函数在[1，2]上的单调性，求出最小值即可．【解答过程】解：因为f （x ）＝x 2﹣lnx （x ＞0），所以f ′（x ）＝2x −1x =2x 2−1x ，所以当x ∈[1，2]时，f ′（x ）=2x 2−1x ＞0，则f （x ）在[1，2]上单调递增，则f （x ）在[1，2]上的最小值为f （1）＝1． 故选：A ．【变式4-3】（2022•绿园区校级开学）函数f （x ）＝lnx +1x −12与g （x ）＝xe x ﹣lnx ﹣x 的最小值分别为a ，b ，则（ ） A ．a ＝b B ．a ＞bC ．a ＜bD ．a ，b 的大小不能确定【解题思路】根据函数的单调性分别求出函数f （x ），g （x ）的最小值，比较a ，b 即可． 【解答过程】解：f （x ）的定义域是（0，+∞）， f ′(x)=1−1x =x−1x， 令f ′（x ）＜0，解得：0＜x ＜1，令f ′（x ）＞0，解得：x ＞1， f （x ）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增， f （x ）的最小值是f （1）＝1，故a ＝1， g （x ）＝xe x ﹣lnx ﹣x ，定义域（0，+∞）， g ′(x)=(x +1)e x −1x −1=x+1x (xe x −1)，令h （x ）＝xe x ﹣1，则h ′（x ）＝（x +1）e x ＞0，x ∈（0，+∞），则可得h （x ）在（0，+∞）上单调递增，且h （0）＝﹣1＜0，h （1）＝e ﹣1＞0， 故存在x 0∈（0，1）使得h （x ）＝0即x 0e x 0=1，即x 0+lnx 0＝0， 当x ∈（0，x 0）时，h （x ）＜0，g ′（x ）＜0，函数g （x ）单调递减， 当x ∈（x 0，+∞）时，g ′（x ）＞0，函数g （x ）单调递增，故当x ＝x 0时，函数取得最小值g(x 0)=x 0e x 0−lnx 0−x 0=1−lnx 0−x 0=1，即b ＝1， 所以a ＝b ，【题型5 由函数的最值求参数】【例5】（2022春•烟台期末）若函数f(x)=x 3−3a 2x 2+4在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．103【解题思路】对函数求导后，分a ≤0和a ＞0两种情况求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值，使最小值等于零，从而可出实数a 的值． 【解答过程】解：由f(x)=x 3−3a 2x 2+4，得f '（x ）＝3x 2﹣3ax ＝3x （x ﹣a ）， 当a ≤0时，f '（x ）＞0在[1，2]上恒成立， 所以f （x ）在[1，2]上递增，所以f(x)min =f(1)=1−3a2+4=0，解得a =103（舍去）， 当a ＞0时，由f '（x ）＝0，得x ＝0或x ＝a ， 当0＜a ≤1时，f '（x ）＞0在[1，2]上恒成立， 所以f （x ）在[1，2]上递增， 所以f(x)min =f(1)=1−3a 2+4=0，解得a =103（舍去）， 当1＜a ＜2时，当1＜x ＜a 时，f '（x ）＜0，当a ＜x ＜2时，f '（x ）＞0， 所以f （x ）在（1，a ）上递减，在（a ，2）上递增，所以当x ＝a 时，f （x ）取得最小值，所以f(a)=a 3−3a2a 2+4=0，解得a ＝2（舍去）， 当a ≥2时，当1≤x ≤2时，f '（x ）＜0，所以f （x ）在[1，2]上递减， 所以f(x)min =f(2)=23−3a2×4+4=0，解得a ＝2， 综上，a ＝2， 故选：C ．【变式5-1】（2022春•贵阳期末）若函数f(x)=e x +lnx +x √x −1+a 在x ≤20222021上的最小值为e +1，则a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．20202021D ．20212020【解题思路】判断函数f （x ）的定义域，可知函数f （x ）在定义域上单调递增，由此可建立关于a 的方程，解出即可得到答案．【解答过程】解：函数的定义域为[1，20222021]，而函数y =e x ，y =lnx ，y =x √x −1在[1，+∞）上均为增函数，∴函数f(x)=e x +lnx +x √x −1+a 在[1，20222021]单调递增， ∴f （x ）min ＝f （1）＝e +a ＝e +1，解得a ＝1． 故选：B ．【变式5-2】（2022春•江北区校级期末）若函数f （x ）＝x 3﹣3x 在区间（2a ，a +3）上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−2，12)B ．（﹣2，1）C ．[−1，12)D ．（﹣2，﹣1]【解题思路】由导数性质得f （x ）的增区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞），减区间是（﹣1，1），x ＝1时，f （x ）min ＝﹣2．由此利用函数性质列不等式即可求解a 的范围． 【解答过程】解：∵f （x ）＝x 3﹣3x ，∴f ′（x ）＝3x 2﹣3， 由f ′（x ）＝0，得x ＝±1，x ∈（﹣∞，﹣1）时，f ′（x ）＞0；x ∈（﹣1，1）时，f ′（x ）＜0；x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0， ∴f （x ）的增区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞），减区间是（﹣1，1）， ∴x ＝1时，f （x ）min ＝﹣2． f （x ）＝x 3﹣3x ＝﹣2时， x 3﹣3x +2＝0，x 3﹣x ﹣2x +2＝0， x （x 2﹣1）﹣2x +2＝0，x （x +1）（x ﹣1）﹣2（x ﹣1）＝0， （x 2+x ）（x ﹣1）﹣2（x ﹣1）＝0， （x ﹣1）（x 2+x ﹣2）＝0， （x ﹣1）（x +2）（x ﹣1）＝0， （x ﹣1）2（x +2）＝0， 解得x ＝1，x ＝﹣2，∴﹣2≤2a ＜1＜a +3，∴﹣1≤a ＜12． 即实数a 的取值范围是[﹣1，12），故选：C．【变式5-3】（2022春•公安县校级月考）已知函数f（x）＝x2e ax+1﹣2lnx﹣ax﹣2，若f（x）的最小值为0对任意x＞0恒成立，则实数a的最小值为（）A．2√eB．−2e C．1√eD．√e【解题思路】把f（x）转化为f（x）＝e2lnx+ax+1﹣（2lnx+ax+1）﹣1，证明e x﹣1≥x恒成立，得到f（x）≥0恒成立，从而得到a=−2lnx−1x，令g（x）=−2lnx−1x，利用导数求出函数g（x）的最小值即可求出结果．【解答过程】解：∵函数f（x）＝x2e ax+1﹣2lnx﹣ax﹣2，∴f(x)=e lnx2+ax+1−(lnx2+ax+1)−1，令t＝lnx2+ax+1，则h（t）＝e t﹣t﹣1，f′（t）＝e t﹣1，当t∈（﹣∞，0）时h′（t）＜0，h（t）单调递减，当t∈（0，+∞）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增，∴h（t）≥h（0）＝0，∴f(x)=e lnx2+ax+1−(lnx2+ax+1)−1≥0，等号成立的条件是lnx2+ax+1＝0，即a=−1−2lnxx在（0，+∞）上有解，设g(x)=−2lnx+1x，则g′(x)=−2−(2lnx+1)x2=2lnx−1x2，令g′（x）＝0，解得x=√e，∴当x∈(0，√e)时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈(√e，+∞)时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴g(x)min=g(√e)=2√e，即a的最小值为2√e．故选：A．【题型6 极值和最值的综合问题】【方法点拨】解决函数极值、最值综合问题的策略：(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论．(3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．【例6】（2022春•城厢区校级期末）已知函数f(x)=x3−32(k+1)x2+3kx+1，其中k∈R．（1）当k＝3时，求函数f（x）在（0，3）内的极值点；（2）若函数f（x）在[1，2]上的最小值为3，求实数k的取值范围．【解题思路】（1）首先求得导函数，然后利用导函数研究函数的单调性，据此可求得函数的值域；（2）求得函数的解析式，然后结合导函数的符号确定函数的单调性，分类讨论即可求得实数k的取值范围．【解答过程】解：（1）k＝3时，f（x）＝x3﹣6x2+9x+1，则f'（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3），令f'（x）＝0得x1＝1，x2＝3，当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当1＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞3时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1），（3，+∞），单调递减区间为（1，3）；所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减．故f（x）在（0，3）内的极大值点为x＝1，无极小值点；（2）方法一：f'（x）＝3x2﹣3（k+1）x+3k＝3（x﹣1）（x﹣k），①当k≤1时，∀x∈[1，2]，f'（x）≥0，函数f（x）在区间[1，2]单调递增，所以f(x)min=f(1)=1−32(k+1)+3k+1=3，即k=53（舍）；②当k≥2时，∀x∈[1，2]，f'（x）≤0，函数f（x）在区间[1，2]单调递减，所以f（x）min＝f（2）＝8﹣6（k+1）+3k⋅2+1＝3，符合题意；③当1＜k＜2时，当x∈[1，k）时，f'（x）≤0，f（x）区间在[1，k）单调递减，当x∈（k，2]时，f'（x）＞0，f（x）区间在（k，2]单调递减，所以f(x)min=f(k)=k3−32(k+1)k2+3k2+1=3，化简得：k3﹣3k2+4＝0，即（k+1）（k﹣2）2＝0，所以k＝﹣1或k＝2（都舍）；综上所述：实数k取值范围为k≥2．【变式6-1】（2022春•德州期末）已知函数f(x)=x3−3ax+1(a＞12 )．（1）若函数f（x）在x＝﹣1处取得极值，求实数a的值；（2）当x∈[﹣2，1]时．求函数f（x）的最大值．【解题思路】（1）利用导数求得函数极值，代入计算即可得到a的值；（2）f'（x）＝0的根分类讨论，然后列表表示f'（x）的正负，极值点，同时注意比较端点处函数值，从而得最大值．【解答过程】解：（1）由题意可知f'（x）＝3x2﹣3a，因为函数f（x）在x＝﹣1处取得极值，所以f'（﹣1）＝0，即3﹣3a＝0，解得a＝1，经检验a＝1，符合题意，所以a＝1；（2）由（1）知f'（x）＝3x2﹣3a，令f'（x）＝0，x=±√a，当0＜√a＜1，即0＜a＜1时，f（x）和f'（x）随x的变化情况如下表：x﹣2(−2，−√a)−√a(−√a，√a)√a(√a，1)1 f'（x）+0﹣0+f（x）﹣7+6a单调递增单调递减单调调增2﹣3a由表格可知f（x）在x=−√a取极大值，此时f(−√a)=2a√a+1＞2−3a，所以f（x）在[﹣2，1]的最大值为2a√a+1．当1≤√a＜2，即1≤a＜4时，f（x）和f'（x）随x的变化情况如下表：x﹣2(−2，−√a)−√a(−√a，1)1f'（x）+0﹣f（x）﹣7+6a单调递增单调递减2﹣3a由表格可知f（x）在x=−√a取极大值，此时f(−√a)=2a√a+1＞2−3a，所以f（x）在[﹣2，1]的最大值为2a√a+1．当√a≥2即a≥4时，f'（x）＝3x2﹣3a≤0恒成立，即f（x）在[﹣2，1]上单调递减，所以f（x）的最大值为f （﹣2）＝﹣7+6a ，综上所述，当12＜a ＜4时，f （x ）的最大值为2a √a +1；当a ≥4时，f （x ）的最大值为﹣7+6a ．【变式6-2】（2022春•漳州期末）已知函数f(x)=(x −1)e x −t2x 2−2x ，f '（x ）为f （x ）的导函数，函数g （x ）＝f '（x ）．（1）当t ＝1时，求函数g （x ）的最小值；（2）已知f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）且f(x 1)+52e −1＜0，求实数t 的取值范围． 【解题思路】（1）当t ＝1时，根据题意可得g （x ）＝xe x ﹣tx ﹣2，求导得g '（x ）＝（x +1）e x ﹣1，分析g （x ）的单调性，进而可得g （x ）min ．（2）问题可化为t =e x −2x，有两个根x 1，x 2，令ℎ(x)=e x −2x，则ℎ′(x)=e x +2x 2＞0，求导分析单调性，又x →﹣∞时，h （x ）→0；x →+∞时，h （x ）→+∞且ℎ(12)＜0，推出t ＞0且t =e x 1−2x 1=e x 2−2x 2(x 1＜0＜x 2)，分析f （x 1）的单调性，又φ(−1)=−52e +1，推出﹣1＜x 1＜0，即可得出答案．【解答过程】解：g （x ）＝f '（x ）＝xe x ﹣tx ﹣2，（1）当t ＝1时，g （x ）＝xe x ﹣x ﹣2，g '（x ）＝（x +1）e x ﹣1， 当x ≤﹣1时，x +1≤0，e x ＞0， 所以g '（x ）＝（x +1）e x ﹣1≤0﹣1＜0， 当﹣1＜x ＜0时，0＜x +1＜1，0＜e x ＜1， 所以g '（x ）＝（x +1）e x ﹣1＜1×1﹣1＝0， 当x ＞0时，x +1＞1，e x ＞1，所以g '（x ）＝（x +1）e x ﹣1＞1×1﹣1＝0．综上g （x ）在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数， 所以g （x ）min ＝g （0）＝﹣2．（2）依题有：方程g （x ）＝0有两个不同的根x 1，x 2， 方程g （x ）＝0可化为t =e x −2x ， 令ℎ(x)=e x −2x ，则ℎ′(x)=e x +2x 2＞0， 所以h （x ）在（﹣∞，0）和（0，+∞）都是增函数，因为x →﹣∞时，h （x ）→0；x →+∞时，h （x ）→+∞且ℎ(12)＜0， 所以t ＞0且t =e x 1−2x 1=e x 2−2x 2(x 1＜0＜x 2)， 所以f(x 1)=(x 1−1)e x 1−t2x 12−2x 1 =(x 1−1)e x 1−12(e x 1−2x 1)x 12−2x 1=(−x 122+x 1−1)e x 1−x 1＜−52e +1，令φ(x)=(−x 22+x −1)e x −x(x ＜0)，则φ′(x)=−12x 2e x −1＜0，所以φ（x ）在（﹣∞，0）上为减函数，又因为φ(−1)=−52e +1， 所以﹣1＜x 1＜0， 所以t =e x 1−2x 1＞1e+2． 【变式6-3】（2022春•潞州区校级期末）有三个条件： ①函数f （x ）在x ＝1处取得极小值2； ②f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值6； ③函数f （x ）的极大值为6，极小值为2．这三个条件中，请任意选择一个填在下面的横线上（只要填写序号），并解答本题． 题目：已知函数f （x ）＝x 3﹣3ax +b （a ＞0），并且 _____． （1）求f （x ）的解析式；（2）当x ∈[﹣3，1]时，求函数f （x ）的最值．【解题思路】（1）求出函数f （x ）的导数f ′（x ），选择条件①，②，利用给定的极值点及对应的极值列式求解并验证作答；选择条件③，判断极大值与极小值列式求解并验证作答． （2）利用（1）的结论，利用导数求出给定区间上的最值作答． 【解答过程】解：（1）选条件①：求导得f ′（x ）＝3x 2﹣3a ，由{f ′(1)=0f(1)=2，得{a =1b =4，此时f ′（x ）＝3（x +1）（x ﹣1），当﹣1＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，当x ＞1时，f ′（x ）＞0， 则f （x ）在x ＝1处取得极小值2， 所以f （x ）＝x 3﹣3x +4；选条件②：求导得f ′（x ）＝3x 2﹣3a ，由{f ′(−1)=0f(−1)=6，得{a =1b =4，此时f ′（x ）＝3（x +1）（x ﹣1），当x ＜﹣1时，f ′（x ）＞0，当﹣1＜x ＜1时，f ′（x ）＝＜0，则f（x）在x＝﹣1处取得极大值6，所以f（x）＝x3﹣3x+4．选条件③：求导得f′（x）＝3x2﹣3a，令f′（x）＝3x2﹣3a＝0，得x=±√a，当x＜−√a或x＞√a时，f′（x）＞0，当−√a＜x＜√a时时，f′（x）＜0，因此，当x=−√a时，f（x）取得极大值f（−√a），当x=√a时，f（x）取得极小值f（√a），于是得{(−√a)3−3a(−√a)+b=6(√a)3−3a√a+b=2，解得{a=1b=4，此时f′（x）＝3（x+1）（x﹣1），当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，则f（x）在x＝1处取得极小值2，在x＝﹣1处取得极大值6，所以f（x）＝x3﹣3x+4；（2）由（1）知，f（x）＝x3﹣3x+4，当x∈[﹣3，1]时，f′（x）＝3（x+1）（x﹣1），当﹣3＜x＜﹣1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，则f（x）在[﹣3，﹣1）上递增，在（﹣1，1]上递减，而f（﹣3）＝﹣14，f（1）＝2，所以f（x）max＝f（﹣1）＝6，f（x）min＝f（﹣3）＝﹣14．。
第一讲导数、导函数的概念及导数的运算全面版
导数与导函数的观点【基础知识点】1．函数从到的均匀变化率为① ____________，若△x x2x1，△ y f ( x2 ) f ( x1 ) ，则均匀变化率可表示为．2．一般的，定义在区间（ a ，b）上的函数 f ( x) ，x o( a， b) ，当x 无穷趋近于0 时，y f (x o x) f (x o )A ，则称f ( x)在x x o处可导，并x x无穷趋近于一个固定的常数称 A 为f ( x)在x x o处的导数，记作 f ' ( x o ) 或f ' ( x ) |x xo3．几何意义： f ( x) 在x x0处的导数就是 f ( x) 在x x0处的切线斜率。
4．导函数的观点： f ( x)的对于区间（a , b）上随意点处都可导，则 f ( x) 在各点的导数也随 x 的变化而变化，因此也是自变量x的函数，该函数被称为 f ( x) 的导函数，记作f ' ( x ) 。
【典例分析】【典例 1】函数f ( x)知足f ' (1)2，则当 x 无穷趋近于 0 时，（ 1）f (1x) f (1)2x（ 2）f (12x) f (1)x变式 :设f(x)在x=x0处可导，（3）f ( x04x)f ( x)无穷趋近于1，则f(x0 ) =___________ x（4）f ( x04x)f ( x)无穷趋近于1，则f(x0 ) =__________ x（ 5）当△ x 无穷趋近于0，f ( x02x) f (x02 x)所对应的常数与 f ( x0 ) 的x关系。
总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。
【基础知识点】1．基本初等函数的求导公式：⑴(kx b)k (k,b为常数 ) ⑵(C ) 0 (C 为常数 )⑶ ( x)1⑷( x 2 ) 2 x⑸( x 3) 3x2⑹ (1)1xx 2⑺(x )1由⑶ ~⑹你能发现什么规律 ?2 x⑻ ( x ) x1（ 为常数）⑼ (a x )a x ln a (a0，a 1)⑽(log a x)1log a e1 ( a 0，且 a 1)xxlna⑾(e x )e x⑿(lnx ) 1x⒀(sinx ) cosx⒁(cosx)－ sinx2．曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线 y ＝ f （x ）在点 P （ x 0， f （ x 0））处的切线方程是 y － f （ x 0）＝ f ' ( x o ) （ x － x 0）；3． 求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依照已知点在切线上求解． 4．函数的差、积、商的求导法例：（ 1） （ 2）（ 3）f ( x)g ( x) ' f '( x)g '( x)cf ( x) ' cf (x)'f (x)g ( x) ' f '(x) g(x)f ( x)g '(x)f ( x) '（ 4）f '( x)g (x) f (x) g '( x)( g (x) 0)g( x)g( x)2【典例分析】【典例 1】求以下函数的导数（ 1）y3x 5（ 2）y1（ 3）y log 4 x（ 4）x 4y sin(x)2（ 5）y cos(3（ 6）yx x x x)2题型一：点在曲线上【典例 2】已知曲线y1x3上一点 P(2,8),则过 P 点的切线方程为.33分析：过点 P 的切线的斜率为k f ' 2 4 ，那么切线方程为y84x 2 ，即312 x 3y 160 ．变式：（南通市2013 届高三第一次调研测试数学试卷）曲线 f ( x)f(1)x12在e f (0) x xe2点 (1, f (1)) 处的切线方程为 ________.题型二：点不在曲线上【典例 3】过点(1,0) 作抛物线y x2x1的切线，则此中一条切线为解析：设切点为 x0 , y0，切线的斜率为 f ' x02x0 1 ，则切线方程为：y y0 f 'x0x x0，由于点 ( 1,0) 在切线上，故y0 f ' x0 1x0，解得x00，或 x02，切点为 0,1或2,3，故切线方程为 x y20或3x y30变式： 1．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）过点1,0. 与函数 f x e x( e 是自然对数的底数)图像相切的直线方程是__________.2．（ 2011 年高考（江苏卷））在平面直角坐标系xOy 中,已知点P是函数 f ( x)e x (x0)的图象上的动点 , 该图象在P 处的切线l交y轴于点, 过点P作l的垂线交y轴于点,设M N线段 MN的中点的纵坐标为t ,则 t 的最大值是__题型三：已知切线斜率求切线方程【典例 4】求垂直于直线 2 x6y 1 0且与曲线y x33x2 5 相切的直线方程。
导数与函数的单调性专题(基础)(学生版)
导数与函数的单调性专题（基础）一、高考地位在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.二、知识回顾1.利用导数判断函数单调性条件结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x) 0f(x)在(a，b)内单调递增f′(x) 0f(x)在(a，b)内单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)内是函数2．在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的条件．3．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有()且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．三、题型归纳题型一求无参函数的单调区间使用场景知函数()f x的解析式判断函数的单调性解题模板第一步计算函数()f x的定义域；第二步求出函数()f x的导函数'()f x；第三步若'()0f x>，则()f x为增函数；若'()0f x<，则()f x为减函数.例1：已知函数()ln xx af x e +=. （1）当1a =时，判断()f x 的单调性； 【解析】（1）当1a =时，()ln 1xx f x e +=， 第一步，计算函数()f x 的定义域：第二步，求出函数()f x 的导函数'()f x ： 第三步，第四步，结论.【变式演练1】（1）函数()ln f x x x =的单调递减区间是（ ）A ．10,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,eD ．[),e +∞（2）设函数()()2xf x x e =−，则其单调增区间是（ ）A ．(),1−∞B ．(),2−∞C ．1,D ．()2+∞（3）函数()ln 1f x x x =+的单调递减区间是（ ）A ．1,e ⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭B ．1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(),e +∞（4）以下使得函数()cos 22sin f x x x =+单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭题型二 利用导数判断函数图像使用场景已知函数图像判断导函数图像或者已知导函数图像判断函数图像 解题模板 第一步 确定所给图像是函数图像还是导函数图像；第二步 导函数图像只看正负，函数图像只看增减； 第三步 根据导数与函数单调性极值之间的关系确定图像.例2：已知函数()y xf x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式演练2】（1）已知函数f (x )的导函数()2b x axc f x '＝++的图象如图所示，则f (x )的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．（2）设函数()f x 的图象如图所示，则导函数()f x '的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．题型三 判定含参数的函数的单调性使用场景函数()f x 的解析式中含有参数解题模板 第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步 讨论参数的取值范围，何时使得导函数'()f x 按照给定的区间大于0或小于0； 第三步 根据导函数的符号变换判断其单调区间.例3 已知函数()()2ln 21f x x x ax a R =+−+∈.（1）讨论()f x 的单调性；【解析】（1）第一步，计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ：第二步，讨论参数的取值范围，何时使得导函数'()f x 按照给定的区间大于0或小于0：第三步，根据导函数的符号变换判断其单调区间：【变式演练3】（主导函数是一次型函数）已知函数()=1,f x nx ax a R −∈.（1）讨论函数f x （）的单调性；【变式演练4】（主导函数为类一次型）已知函数()xf x e ax −=+.（I ）讨论()f x 的单调性；【变式演练5】（主导函数为二次型）（1）（2009天津理20）已知函数()()()2223e x f x x ax a a x =+−+∈R ，其中a ∈R ．当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．（2）已知函数()2ln af x x a x x=−−，0a ≥.讨论()f x 的单调性；（3）已知函数2()ln f x x x a x =−+，讨论f (x )在定义域上的单调性。
高考数学真题——函数压轴题(含答案)
所以当 x 1 时， g '(x) 0 ，而 g(1) 0 ，故当 x 1 时， g( x) 0 ．
从而 g (x2) f (2 x2) 0 ，故 x1 x2 2 ．
2013 年数学全国 1 卷
设函数
＝
，
＝
，若曲线
P(0 ， 2) ，且在点 P 处有相同的切线
（Ⅰ）求 ， ， ， 的值；
（Ⅱ）当 ≥－ 2 时，
f ( x)
令 x 1 得： f (0) 1
f (1)ex 1
f (0) x
f ( x) f (1)ex 1 x 1 x2 2
f (0) f (1)e 1 1
f (1) e
得： f (x) ex x 1 x2 2
g( x) f (x) ex 1 x
g ( x) ex 1 0 y g (x) 在 x R 上单调递增
a 2)
n 0 e n0 n 0 2 n0 n 0 0
.
3 ln( 1) 由于 a
ln a ，因此 f ( x) 在 ( ln a,
) 有一个零点 .
综上， a的取值范围为 (0,1)
2016 年数学全国 1 卷
已知函数 f ( x) (x 2)e x a( x 1)2 有两个零点 .
（ I）求 a 的取值范围；
2
) 时， f ( x) 0 ；
a 当 x(
a2 4 a ,
2
a2 4 )时，
2
f (x )
. 所 以 f (x) 在
(0, a
增.
a2 4 a ),(
2
a2 4 ,
2
a ) 单调递减，在 (
a2 4 a ,
2
a2 4 ) 单调递
2009年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析
2009年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2009•湖北）已知P={|=（1，0）+m（0，1），m∈R}，Q={|=（1，1）+n（﹣1，1），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q=（）A．{（1，1）} B．{（﹣1，1）} C．{（1，0）} D．{（0，1）}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】先根据向量的线性运算化简集合P，Q，求集合的交集就是寻找这两个集合的公共元素，通过列方程组解得．【解答】解：由已知可求得P={（1，m）}，Q={（1﹣n，1+n）}，再由交集的含义，有⇒，所以选A．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）（2009•湖北）设a为非零实数，函数y=（x∈R，且x≠﹣）的反函数是（）A．y=（x∈R，且x≠﹣）B．y=（x∈R，且x≠）C．y=（x∈R，且x≠1）D．y=（x∈R，且x≠﹣1）【考点】反函数．【专题】计算题．【分析】从条件中函数y=（x∈R，且x≠﹣）中反解出x，再将x，y互换即得原函数的反函数，再依据函数的定义域求得反函数的定义域即可．【解答】解：由函数y=（x∈R，且x≠﹣）得：x=，∴函数y=（x∈R，且x≠﹣）的反函数是：y=（x∈R，且x≠﹣1）．故选D．【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．3．（5分）（2009•湖北）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数（m+ni）（n﹣mi）为实数的概率为（）A．B．C．D．【考点】复数的基本概念；古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题．【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，虚部为0，求出m、n的关系，求出满足关系的基本事件的个数，求出概率即可．【解答】解：因为（m+ni）（n﹣mi）=2mn+（n2﹣m2）i为实数所以n2=m2故m=n则可以取1、2、3、4、5、6，共6种可能，所以，故选C．【点评】本题考查复数的基本概念，古典概型及其概率计算公式，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．4．（5分）（2009•湖北）函数y=cos（2x+）﹣2的图象F按向量平移到F′，F′的函数解析式为y=f（x），当y=f（x）为奇函数时，向量a可以等于（）A．（，﹣2）B．（，2）C．（，﹣2）D．（，2）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；余弦函数的奇偶性．【专题】计算题．【分析】由左加右减上加下减的原则可确定函数y=cos（2x+）﹣2到y=﹣sin2x的路线，进而确定向量．【解答】解：：∵y=cos（2x+）﹣2∴将函数y=cos（2x+）﹣2向左平移个单位，再向上平移2个单位可得到y=cos（2x+）=﹣sin2x∴=（，2）故选B．【点评】本题是基础题，考查三角函数图象平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意向量的平移的方向．5．（5分）（2009•湖北）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（）A．18 B．24 C．30 D．36【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题．【分析】由题意知本题可以先做出所有情况再减去不合题意的结果，用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C42，顺序有A33种，而甲乙被分在同一个班的有A33种，两个相减得到结果．【解答】解：∵每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C42，元素还有一个排列，有A33种，而甲乙被分在同一个班的有A33种，∴满足条件的种数是C42A33﹣A33=30故选C．【点评】本题考查排列组合的实际应用，考查利用排列组合解决实际问题，是一个基础题，这种题目是排列组合中经常出现的一个问题．6．（5分）（2009•湖北）设+a2n x2n，则[（a0+a2+a4+…+a2n）2﹣（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）2]=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】本题因为求极限的数为二项式展开式的奇数项的系数和的平方与偶数项的系数和的平方的差，故可以把x赋值为1代入二项展开式中，求出A=a0+a1+a2+a3+…a2n﹣1+a2n=，再令x=﹣1，可得到B=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+…﹣a2n﹣1+a2n=，而求极限的数由平方差公式可以知道就是式子A与B 的乘积，代入后由平方差公式即可化简为求得答案．【解答】解：令x=1和x=﹣1分别代入二项式+a2n x2n中得a0+a1+a2+a3+…a2n﹣1+a2n=，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+…﹣a2n﹣1+a2n=由平方差公式得（a0+a2+a4+…+a2n）2﹣（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）2=（a0+a1+a2+a3+…a2n﹣1+a2n）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+…﹣a2n﹣1+a2n）═==所以[（a0+a2+a4+…+a2n）2﹣（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）2]==0故选择B【点评】本题主要考查了二项式定理的应用问题，主要是二项式系数和差的考查，并兼顾考查了学生的计算能力与划归能力以及求极限问题．7．（5分）（2009•湖北）已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是（）A．K∈[﹣，]B．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]C．K∈[﹣，]D．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用；双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先求得准线方程，可推知a和b的关系，进而根据c2=a2﹣b2求得b，椭圆的方程可得，与直线y=kx+2联立消去y，根据判别式小于等于0求得k的范围．【解答】解：根据题意，双曲线中，c2=2+2=4，则c=2，易得准线方程是x=±=±1所以c2=a2﹣b2=4﹣b2=1即b2=3所以方程是联立y=kx+2可得（3+4k2）x2+16kx+4=0由△≤0解得k∈[﹣，]故选A【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是先根据椭圆的性质求出椭圆的方程．8．（5分）（2009•湖北）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（）A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】根据题中的叙述将实际问题转化为不等式中的线性规划问题，利用线性规划确定最值【解答】解：设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件求线性目标函数z=400x+300y的最小值．解得当时，z min=2200．故选B．【点评】在确定取得最大值、最小值时，应注意实际问题的意义，整数最优解．9．（5分）（2009•湖北）设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径．A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2CC．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；应用题；压轴题．【分析】求出球的体积的表达式，然后球的导数，推出，利用面积的导数是体积，求出球的表面积的增长速度与球半径的比例关系．【解答】解：由题意可知球的体积为，则c=V′（t）=4πR2（t）R′（t），由此可得，而球的表面积为S（t）=4πR2（t），所以V表=S′（t）=4πR2（t）=8πR（t）R′（t），即V表=8πR（t）R′（t）=2×4πR（t）R′（t）=故选D【点评】本题考球的表面积，考查逻辑思维能力，计算能力，是中档题．10．（5分）（2009•湖北）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．289 B．1024 C．1225 D．1378【考点】数列的应用；归纳推理．【专题】计算题；压轴题；新定义．【分析】根据图形观察归纳猜想出两个数列的通项公式，再根据通项公式的特点排除，即可求得结果．【解答】解：由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项b n=n2，则由b n=n2（n∈N+）可排除D，又由，与无正整数解，故选C．【点评】考查学生观察、分析和归纳能力，并能根据归纳的结果解决分析问题，注意对数的特性的分析，属中档题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2009•湖北）已知关于x的不等式的解集，则实数a= ﹣2 ．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】先利用解分式不等式的方法转化原不等式，再结合其解集，得到x=﹣是方程ax﹣1=0的一个根，最后利用方程的思想求解即得．【解答】解：∵不等式，∴（ax﹣1）（x+1）＜0，又∵关于x的不等式的解集，∴x=﹣是方程ax﹣1=0的一个根，∴a×（﹣）﹣1=0，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本小题主要考查分式不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数方程思想、化归与转化思想．属于基础题．12．（5分）（2009•湖北）如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数落在[6，10]内的频数为64 ，数据落在（2，10）内的概率约为0.4 ．【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；压轴题．【分析】从直方图得出数落在[6，10]内的频率和数据落在（2，10）内的频率后，再由频率=，计算频数即得．【解答】解：观察直方图易得数落在[6，10]内的频率=0.08×4；数据落在（2，10）内的频率=（0.02+0.08）×4；∴样本数落在[6，10]内的频数为200×0.08×4=64，频率为0.1×4=0.4．故答案为64 0.4．【点评】本题考查读频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，同时考查频率、频数的关系：频率=．13．（5分）（2009•湖北）如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面区域，称为这个卫星的覆盖区域．为了转播2008年北京奥运会，我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为36000km．已知地球半径约为6400km，则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为12800arccos km．（结果中保留反余弦的符号）．【考点】球面距离及相关计算．【专题】计算题．【分析】先求出球的半径，然后求出∠AOB的余弦值，求出角，再求其外接球面上两点A，B间的球面距离．【解答】解：如图所示，可得AO=42400，则在Rt△ABO中可得：cos∠AOB=，所以l=cosθ×R=2∠AOB•R=12800arccos．球面距离的最大值约为：12800arccos．故答案为：12800arccos．【点评】本题考查球面距离的计算，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．14．（5分）（2009•湖北）已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，则f（）的值为 1 ．【考点】导数的运算；函数的值．【专题】计算题；压轴题．【分析】利用求导法则：（sinx）′=cosx及（cosx）′=﹣sinx，求出f′（x），然后把x等于代入到f′（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f′（）的值，把f′（）的值代入到f（x）后，把x=代入到f（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f（）的值．【解答】解：因为f′（x）=﹣f′（）•sinx+cosx所以f′（）=﹣f′（）•sin+cos解得f′（）=﹣1故f（）=f′（）cos+sin=（﹣1）+=1故答案为1．【点评】此题考查学生灵活运用求导法则及特殊角的三角函数值化简求值，会根据函数解析式求自变量所对应的函数值，是一道中档题．15．（5分）（2009•湖北）已知数列{a n}满足：a1=m（m为正整数），a n+1=若a6=1，则m所有可能的取值为4，5，32 ．【考点】数列递推式．【专题】压轴题．【分析】由题设知a5=2，a4=4，有①②两种情况：①a3=1，a2=2，a1=4，即m=4；②a3=8，a2=16，有③④两种情况：③a1=5，即m=5；④a1=32，即m=32．【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=m（m为正整数），a n+1=，a6=1，∴a5=2，a4=4，有①②两种情况：①a3=1，a2=2，a1=4，即m=4；②a3=8，a2=16，有③④两种情况：③a1=5，即m=5；④a1=32，即m=32．故答案为：4，5，32．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（10分）（2009•湖北）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6．现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η=x+y，求η的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题．【分析】随机变量η=x+y，依题意η的可能取值是5，6，7，8，9，10，11，结合变量对应的事件，根据相互独立事件同时发生的概率做出概率的值，写出分布列和期望．【解答】解：随机变量η=x+y，依题意η的可能取值是5，6，7，8，9，10，11得到P（η=5）=；P（η=6）=P（η=7）=；P（η=8）=P（η=9）=；P（η=10）=P（η=11）=∴η的分布列为∴Eη=5×+6×+7×+8×+9×+10×+11×=8【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，考查利用概率知识解决实际问题，本题是一个综合题目．17．（12分）（2009•湖北）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）．（1）求向量的长度的最大值；（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】（1）利用向量的运算法则求出，利用向量模的平方等于向量的平方求出的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值．（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值．【解答】解：（1）=（cosβ﹣1，sinβ），则||2=（cosβ﹣1）2+sin2β=2（1﹣cosβ）．∵﹣1≤cosβ≤1，∴0≤||2≤4，即0≤||≤2．当cosβ=﹣1时，有|b+c|=2，所以向量的长度的最大值为2．（2）由（1）可得=（cosβ﹣1，sinβ），•（）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos（α﹣β）﹣cosα．∵⊥（），∴•（）=0，即cos（α﹣β）=cosα．由α=，得cos（﹣β）=cos，即β﹣=2kπ±（k∈Z），∴β=2kπ+或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1．【点评】本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要条件；三角函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式．18．（12分）（2009•湖北）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）（Ⅰ）求证：对任意的λ∈（0，2），都有AC⊥BE（Ⅱ）设二面角C﹣AE﹣D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tanθ•ta nφ=1，求λ的值．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；证明题．【分析】解法一：（几何法）（Ⅰ）因为SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂线定理只要证AC⊥BD即可．（Ⅱ）先找出θ和φ，因为由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，二面角C﹣AE﹣D的平面角可由三垂线定理法作出．再用λ表示出tanθ和tanφ，代入tanθ•tanφ=1，解方程即可．解法二：（向量法）因为DA．DC．DS两两垂直，故可建立空间直角坐标系，由向量法求解．（Ⅰ）写出向量和的坐标，只要数量积为0即可．（Ⅱ）分别求出平面ACE的法向量、平面ABCD与平面ADE的一个法向量，由夹角公式求出cosθ和sinφ，再由tanθ•tanφ=1求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证法1：如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD．∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，∴AC⊥BE（Ⅱ）解法1：如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，∵SD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴SD⊥CD．又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，而SD∩AD=D，CD⊥平面SAD．连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DF⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，故∠CFD是二面角C﹣AE﹣D的平面角，即∠CFD=θ．在Rt△BDE中，∵BD=2a，DE=λa∴tanφ=在Rt△ADE中，∵，DE=λa∴AE=a从而DF=在Rt△CDF中，tanθ=．由tanθ•tanφ=1，得即=2，所以λ2=2．由0＜λ≤2，解得，即为所求．（Ⅰ）证法2：以D为原点，以DA．DC．DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（0，0，λa），∴，∴，即AC⊥BE．（Ⅱ）解法2：由（I）得，，．设平面ACE的法向量为n=（x，y，z），则由，得即取，得．易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为与．∴，．∵0＜θ＜，λ＞0∴tanθ•tanφ=1⇔θ+φ=⇔sinφ=cosθ⇔⇔λ2=2．由0＜λ≤2，解得，即为所求．【点评】本题考查空间线线垂直的证明、空间垂直之间的相互转化、空间角的求解，考查逻辑推理能力和运算能力．19．（13分）（2009•湖北）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣（）n﹣1+2（n∈N*）．（1）令b n=2n a n，求证：数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式．（2）令c n=，试比较T n与的大小，并予以证明．【考点】数列递推式；数列的求和；等差数列的性质；数学归纳法．【分析】（1）由题意知S1=﹣a1﹣1+2=a1，，所以2n a n=2n ﹣1a n﹣1+1，b n=b n﹣1+1，再由b1=2a1=1，知数列b n是首项和公差均为1的等差数列．于是b n=1+（n﹣1）•1=n=2n a n，所以（2），，利用错位相减求和法可知，于是确定T n与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小．猜想当n=1，2时，2n＜2n+1，当n≥3时，2n＞2n+1．然后用数学归纳法证明．【解答】解：（1）在中，令n=1，可得S1=﹣a1﹣1+2=a1，即当n≥2时，所以所以，即2n a n=2n﹣1a n﹣1+1因为b n=2n a n，所以b n=b n﹣1+1，即当n≥2时，b n﹣b n﹣1=1又b1=2a1=1，所以数列b n是首项和公差均为1的等差数列于是b n=1+（n﹣1）•1=n=2n a n，所以（2）由1）得所以①②由①﹣②得所以于是确定T n与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小．猜想当n=1，2时，2n＜2n+1，当n≥3时，2n＞2n+1下面用数学归纳法证明：当n=3时，显然成立假设当n=k（k≥3）时，2k＞2k+1成立则当n=k+1时，2k+1=2•2k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k﹣1）＞2（k+1）+1所以当n=k+1时，猜想也成立．于是，当n≥3，n∈N*时，2n＞2n+1成立综上所述，当n=1，2时，，当n≥3时，【点评】本题考查当数列的综合运用，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，解题时要注意数学归纳法的解题过程．20．（14分）（2009•湖北）过抛物线y2=2px（p＞0）的对称轴上一点A（a，0）（a＞0）的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线l：x=﹣a作垂线，垂足分别为M1、N1．（Ⅰ）当a=时，求证：AM1⊥AN1；（Ⅱ）记△AMM1、△AM1N1、△A NN1的面积分别为S1、S2、S3，是否存在λ，使得对任意的a＞0，都有S22=λS1S3成立？若存在，求出λ的值，否则说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；压轴题；数形结合；方程思想；转化思想．【分析】（Ⅰ）由题意，可设设直线MN的方程为x=my+a，M（x1，y1），N（x2，y2），则有M1（﹣a，y1），N1（﹣a，y2）．将x=my+a代入y2=2px（p＞0）消去x可得y2﹣2mpy﹣2ap=0利用根与系数的关系及点A （a，0）得出即可证明出结论；（Ⅱ）假设存在λ=4，使得对任意的a＞0，都有S22=4S1S3成立，分别表示出三个三角形的面积，代入验证即可证明出结论【解答】解：依题意，可设直线MN的方程为x=my+a，M（x1，y1），N（x2，y2），则有M1（﹣a，y1），N1（﹣a，y2）．将x=my+a代入y2=2px（p＞0）消去x可得y2﹣2mpy﹣2ap=0从而有y1+y2=2mp，y1y2=﹣2ap ①于是x1+x2=m（y1+y2）+2a=2（m2p+a）②又由y12=2px1，y22=2px2可得x1x2===a2③（Ⅰ）证：如图，当a=时，点A（，0）即为抛物线的焦点，l为其准线，其方程为x=﹣此时M1（﹣，y1），N1（﹣，y2）．并由①可得y1y2=﹣p2∵，∴=0，故有AM1⊥AN1；（Ⅱ）存在λ=4，使得对任意的a＞0，都有S22=4S1S3成立，证明如下：证：记直线l与x轴的交点为A1，则|OA|=|OA1|=a．于是有S1=|MM1||A1M1|=（x1+a）|y1|，S2=|M1N1||AA1|=a|y1﹣y2|，S3=|NN1||A1N1|=（x2+a）|y2|，∴S22=4S1S3⇔（a|y1﹣y2|））2=（（x1+a）|y1|）2 ×（（x2+a）|y2|）2 ⇔a2[（y1+y2）2﹣4y1y2]=[x1x2+a （x1+x2）+a2]|y1y2|将①、②、③代入上式化简可得a2（4m2p2+8ap）=4a2p（m2p+2a）上式恒成立，即对任意的a＞0，S22=4S1S3成立【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合题，考查了根与系数的关系，三角形的面积公式，抛物线的性质等，解题的关键是认真审题准确转化题设中的关系，本题综合性强，符号计算运算量大，解题时要认真严谨避免马虎出错．21．（14分）（2009•湖北）在R上定义运算：（b、c∈R是常数），已知f1（x）=x2﹣2c，f2（x）=x﹣2b，f（x）=f1（x）f2（x）．①如果函数f（x）在x=1处有极值，试确定b、c的值；②求曲线y=f（x）上斜率为c的切线与该曲线的公共点；③记g（x）=|f′（x）|（﹣1≤x≤1）的最大值为M，若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的取值范围．（参考公式：x3﹣3bx2+4b3=（x+b）（x﹣2b）2）【考点】利用导数研究函数的极值；反函数；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】压轴题．【分析】①由题意得到f（x）的解析式，求出f′（x）因为在x=1处有极值得到f（1）=﹣，f′（1）=0求出b、c即可；（2）因为切线的斜率为c，则解出f′（t）=c时t的值得到切点坐标，写出切线方程与曲线解析式联立求出公共点可知公共点的个数；（3）根据题意得到g（x）的解析式，利用已知求出g（x）的最大值M，利用M≥k列出不等式求出k的取值范围即可．【解答】解：①依题意，解得或．若，，′（x）=﹣x2+2x﹣1=﹣（x﹣1）2≤0f（x）在R上单调递减，在x=1处无极值；若，，f′（x）=﹣x2﹣2x+3=﹣（x﹣1）（x+3），直接讨论知，f（x）在x=1处有极大值，所以为所求．②解f′（t）=c得t=0或t=2b，切点分别为（0，bc）、，相应的切线为y=cx+bc或．解得x=0或x=3b；解即x3﹣3bx2+4b3=0得x=﹣b或x=2b．综合可知，b=0时，斜率为c的切线只有一条，与曲线的公共点只有（0，0），b≠0时，斜率为c的切线有两条，与曲线的公共点分别为（0，bc）、（3b，4bc）和、．③g（x）=|﹣（x﹣b）2+b2+c|．若|b|＞1，则f′（x）在[﹣1，1]是单调函数，M=max{|f′（﹣1）|，|f′（1）|}={|﹣1+2b+c|，|﹣1﹣2b+c|}，因为f′（1）与f′（﹣1）之差的绝对值|f′（1）﹣f′（﹣1）|=|4b|＞4，所以M＞2．若|b|≤1，f′（x）在x=b∈[﹣1，1]取极值，则M=max{|f′（﹣1）|，|f′（1）|，|f′（b）|}，f′（b）﹣f′（±1）=（b∓1）2．若﹣1≤b＜0，f′（1）≤f′（﹣1）≤f′（b；若0≤b≤1，f′（﹣1）≤f′（1）≤f′（b），M=max{|f′（﹣1）|，|f′（b）|}=．当b=0，时，在[﹣1，1]上的最大值．所以，k的取值范围是．【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，会利用导数求曲线上某一点的切线方程的能力．。
2009年江苏省高考数学试卷及解析
2009年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）（2009•江苏）若复数z1=4+29i，z2=6+9i，其中i是虚数单位，则复数（z1﹣z2）i的实部为_________．2．（5分）（2009•江苏）已知向量和向量的夹角为300，，则向量和向量的数量积= _________．3．（5分）（2009•江苏）函数f（x）=x3﹣15x2﹣33x+6的单调减区间为_________．4．（5分）（2009•江苏）函数y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）在闭区间[﹣π，0]的图象如图所示，则ω=_________．5．（5分）（2009•江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为_________．6．（5分）（2009•江苏）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，则以上两组数据的方差中较小的一个为S=_________．7．（5分）（2009•江苏）如图是一个算法的流程图，最后输出的W=_________．8．（5分）（2009•江苏）为了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出如图所示的频数分布直方图，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为5．则第四小组的频率是_________，参加这次测试的学生是_________人．9．（5分）（2009•江苏）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3﹣10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为_________．10．（5分）（2009•江苏）已知，函数f（x）=log a x，若正实数m，n满足f（m）＞f（n），则m，n的大小关系为_________．11．（5分）（2009•江苏）已知集合A={x|log2x≤2}，B=（﹣∞，a），若A⊆B则实数a的取值范围是（c，+∞），其中c=_________．12．（5分）（2009•江苏）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题，真命题的序号是_________（写出所有真命题的序号）13．（5分）（2009•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为_________．14．（5分）（2009•江苏）设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n=a n+1（n=1，2，…），若数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q=_________．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2009•江苏）设向量（1）若与垂直，求tan（α+β）的值；（2）求的最大值；（3）若tanαtanβ=16，求证：∥．16．（14分）（2009•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C．17．（14分）（2009•江苏）设a n是公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，满足a22+a32=a42+a52，s7=7（1）求数列a n的通项公式及前n项和S n；（2）试求所有的正整数m，使得为数列a n中的项．18．（16分）（2009•江苏）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（I）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；（II）设P（a，b）为平面上的点，满足：存在过点P的两条互相垂直的直线l1与l2，l1的斜率为2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求满足条件的a，b的关系式．19．（16分）（2009•江苏）调查某农村30户居民月人均收入情况，制成如下的频数分布直方图，收入在1200～1240元的频数是_________．20．（16分）（2009•江苏）设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|．（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；（2）求f（x）的最小值；（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．数学Ⅱ（附加题）参考公式：2222(1)(21)123.6n n n n ++++++=21.[选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分。
高中数学函数与导数及不等式
函数、导数、不等式导数考查内容主要是函数的单调性、极值、最值、图像在某点的切线这四方面有关。
1、导数的知识点回顾及基本运用；2、应用导数工具解决函数、不等式等问题及应用问题。
分值在25分左右（两小一大），函数的单调性和奇偶性有向抽象函数发展的趋势。
注意函数的图像的平移、伸缩变换与对称变换、函数的对称性与函数值的变化趋势，函数的最值与反函数的新题型。
函数与导数的结合是高考的热点题型，文科以三次函数为命题载体，求单调性、最值、极值等问题；理科以对数函数、指数函数及分式函数为命题载体，是一道区分度较大的题目，以切线、极值、单调性为设置条件，与数列、不等式、解析几何综合的有特色的试题，也应加以重视。
不等式不会单独命题，会在其他题型中“隐蔽”出现，分值一般在10左右。
不等式作为一种工具广泛地应用在涉及函数、数列、解几等知识的考查中，不等式重点考五种题型：解不等式（组）；证明不等式；比较大小；不等式的应用；不等式的综合性问题。
选择题和填空题主要考查不等式性质、解法及均值不等式。
解答题会与其它知识的交汇中考查，如含参量不等式的解法（确定取值X 围）、数列通项或前n 项和的有界性证明、由函数的导数确定最值型的不等式证明等。
考查导数的概念、切线方程、导数的计算等内容，在高考中经常以填空题或选择题为主要题型，难度不大；考查单调性、极值、最值等问题及应用问题，以中档题为主，题型以解答题为主。
一、与导数有关的基础考查1. 设'()f x 是函数()f x 的导函数，将()y f x =和'()y f x =的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 （ D ）2. 设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ B ） Ａ．15-Ｂ．0Ｃ．15Ｄ．53. 已知对任意实数x 有f(－x)=－f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，f ’(x)>0，g ’(x)>0，则x<0时A f ’(x)>0，g ’(x)>0B f ’(x)>0，g ’(x)<0C f ’(x)<0，g ’(x)>0D f ’(x)<0，g ’(x)<04.()f x 是定义在（0，±∞）上的非负可导函数，且满足xf(x)+f(x)≤0,对任意正数a 、b ,若a ＜b ，则必有 ( C )A.af(b)≤bf(a)B.bf(a)≤af(b)C.af(a)≤f(b)D.bf(b)≤f(a) 5. 若奇函数f(x)为满足31()2()f x f x +=-，且'(1)1f =-，则'(5)'(11)f f -+-= 6. 若f(x)=21ln(2)2x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值X 围是（ C ） A.[-1，+∞] B.（-1，+∞） C.（-∞，-1） D.（-∞，-1） 7. 曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 8. 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个点评：以上题目从导数的几何意义，函数的单调性与导数的关系判断函数的有关性质和图像及与导数基本运算有关的概念。
正确把握导数与函数单调性之间的关系
【关键词】导数；单调性；增加的；减少的；严格单调；充要条件
导数作为沟通初、高等数学知识的重要衔接点，具有很强的知识交汇功能，拓宽、优化和丰富了许多数学问题解决的思路、方法和技巧，体现了新课程的要求和特点。现在普通高中 课程标准试验教科书中在用导数定义函数单调性时大致相同，如北师大版高中数学选修2-2中是这样定义的：
正确把握导数与函数单调性之间的关系
发表时间：2009-12-11T09:06:42.780Z 来源：《中华现代教育》2009年第45期供稿 作者： 朱乾东 陕西省咸阳市陕科大附中高中部 [导读] 为了适应现代教育的需要，数学新课程恰当精简了传统课程的内容
【摘 要】为了适应现代教育的需要，数学新课程恰当精简了传统课程的内容，更新了知识，强调灵活性和综合性，重视数学应用。导数是新增的教学内容，也是高中数学的基础知 识，还是高等数学的初步内容。导数是解决函数性态问题的重要工具，为研究函数相关问题提供了有效的途径和简便的方法，。在教学时，坚持以导数单调性研究为中心，着重培养学生 理解和应用知识的能力，关键是要让学生正确理解导数与函数单调性之间的关系。
注释11： 设函数为定义在D上的函数，若对于D中任意两个数，当时，总有 1. ，则称为D上递增函数，特别当总成立严格不等式时，称为D上严格递增函数. 2. ，则பைடு நூலகம்为D上递减函数，特别当总成立严格不等式时，称为D上严格递减函数. 递增和递减函数统称为单调函数，严格递增和严格递减函数则统称为严格单调函数。 注释12： 拉格朗日中值定理推论1：设函数在[a，b]内连续，在（a，b）内可导，若，则在（a，b）内为一常数。
高考函数试题分析论文
高考函数试题分析论文研究近年高考试题，了解高考怎样考函数，函数思想方法。
使中学教师在教学过程中目标明确，对高考有较强的针对性。
以提高教学成绩。
究高考函数试题，把握高考函数方向.平乐县民族中学谢厚荣[关键诃]函数思想方法近年高考函数怎么考?从高考中我们从中得到什么样的启示,我们今后怎样指导我们的教学以及高三学生的复习,在这里我想谈谈我的一些看法。
一、重视函数的背景知识，回归朴素的函数思想方法。
函数知识产生的背景来源于生活，生活中孕育许多函数知识。
而这种函数知识的获得，是来源于我们的一种十分重要的思想方法，这就是函数思想方法。
过去我们只重视了已经形成了的函数知识的考查，而忽视了取得这种知识的方法。
使得数学离与我们有些距离，导至学生失去学习的兴趣。
甚至使孩子们产生了恐惧数学，这是我们的教育的偏差。
近年教育界进行了反思，重视学生的生活背景，回归朴素的函数思想方法。
近年来各省市卷有反映例如：2008年，全国卷：选择题第2题，几乎不要什么数学知识，就可解答。
2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（） .A．根据汽2车加速行驶，匀速行驶，减速行驶结合函数图像可知；这是原命题组给出的答案。
但我们可以这样解：汽车加速度行驶距离增长很快，汽车匀速，距离继续增长，这时可去C、D，减速行驶距离增长慢，可知得A，这只有一般函数思想就可解决。
3.图中阴影部分的面积S是h的函数，则该函数的大致图像是（）此题也可简单的看，起初h增大，面积s减少得快，后面减少平缓，应选B。
二、考查函数的变换——平移、对称、翻折函数的考查近年来很少单纯考某一函数的性质。
在函数的教学中，函数的变换成为热点。
反函数依然是必考题，它是最能反映函数变量之间转换，是函数思想的灵活体现，是必备的。
但是在学习函数的变换过程中，不要忘记列表描点作图是根本。
2、函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（）解析：选C．注意的图象是由的图象右移1而得．本题考查函数图象的平移法则．但是，我们在解题时，不应该忘记根本的函数作图的方法，通过仔细观察，当x=1,函数f(x),g(x)都过（1，1），x=2函数f(x),过点（2，2）g(x)过点（1，1/2）故选C通过仔细观察，也比较容易的解决问题。
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2009年高考试题分析（一）
此外山东文科第21题为三次函数,利用求导的方法研究函数的 极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函 数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数 研究最值.也是运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的 思想解答问题. 平时训练不到位和估计不足，历次演练都是以指数、对数、 对号函数为背景进行演练，方向是导数函数综合题，演练方向主要 是含参数问题和不等式证明问题，学生看到应用题就发憷。事实上 不难，它就是一个具体形式的分式函数求导数问题，难度根本就不 大，但很多做过此题的考生数据都没有处理出来，时间不够手忙脚 乱，若此题和19题对调我认为比较好。
考点三：函数应用 山东理科的 山东理科的21题 考点三：函数应用----山东理科的 题 例题： 山东卷理)（ 例题：(2009山东卷理 （本小题满分 分） 山东卷理 本小题满分12分 两县城A和 相距 相距20km，现计划在两县城外以 为直径的半 两县城 和B相距 ，现计划在两县城外以AB为直径的半 上选择一点C建造垃圾处理厂 建造垃圾处理厂， 圆弧 上选择一点 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所 选地点到城市的的距离有关，对城A和城 的总影响度为城A与城 和城B的总影响度为城 选地点到城市的的距离有关，对城 和城 的总影响度为城 与城 B的影响度之和，记C点到城 的距离为 km，建在 处的垃圾 的影响度之和， 点到城A的距离为 的影响度之和 点到城 的距离为x ，建在C处的垃圾 处理厂对城A和城 的总影响度为y,统计调查表明 和城B的总影响度为 统计调查表明： 处理厂对城 和城 的总影响度为 统计调查表明：垃圾处理厂 对城A的影响度与所选地点到城 的距离的平方成反比， 的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比 对城 的影响度与所选地点到城 的距离的平方成反比，比例系 数为4；对城B的影响度与所选地点到城 的距离的平方成反比， 的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比 数为 ；对城 的影响度与所选地点到城 的距离的平方成反比， 比例系数为k 当垃圾处理厂建在 的中点时，对城A和城 和城B的总 比例系数为 ,当垃圾处理厂建在 的中点时，对城 和城 的总 影响度为0.065. 影响度为 表示成x的函数 （1）将y表示成 的函数； ） 表示成 的函数； 上是否存在一点， （11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点， ）讨论（ ）中函数的单调性， 使建在此处的垃圾处理厂对城A和城 的总影响度最小？若存在， 和城B的总影响度最小 使建在此处的垃圾处理厂对城 和城 的总影响度最小？若存在， 求出该点到城A的距离 若不存在，说明理由。 的距离;若不存在 求出该点到城 的距离 若不存在，说明理由。
考点二：函数性质---山东理科第10题 例题：(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ， 则f（2009）的值为( ) log 2 (1 − x), x ≤ 0
f ( x − 1) − f ( x − 2), x > 0
A.-1 B. 0 C.1 D. 2 【解析】:由已知得,,, ,, ,,, 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009） = f（5）=1,故选C. 答案:C. 分析： 分析：【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性 和对数的运算.本题貌似一道简单的函数求值题，实质上考查 的相当有深度。
{x | x ≠ 0}
,
,其定义域为
D A B C
排除C,D,又因为
,所以当
x>0
e x + e− x e2 x + 1 2 y = x −x = 2x = 1+ 2x e −e e −1 e −1
时函数为减函数,故选A.
2009年高考试题分析（一）
分析：【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的 分析： 定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数 比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余 的性质. 数学解题过程是个体的思维能力作用于数学活动的 心理过程，是思维活动. 考生解题的切入点不同，运用的思 想方法不同，体现出不同的思维水平. 本题的 本题的设置体现了试 题很好地注意研究题目信息的配置，考虑从不同角度运用不 同的思想方法，创设多条解题路径，使不同思维层次的考生 都有表现的机会，从而有效地区分出考生不同的数学能力.
（三）教学建议: 针对函数小题，给各位老师提出如下建议： （1）给自己的学生一个准确的定位，确定练习题的难度，对于高考省均分 以下的同学来说，要抓好基础问题和常用的思想方法，把基础题做稳做熟， 一般来说，不超过2个基本知识点的问题可以算容易题，3个以上的算中等题， 解题方向不明确，需要经过探索发现思路，或需要较复杂的分类或转化的问 题可以算难题，老师要根据学生的状况确定三个层次问题的比例． （2）抓好基础题型的练习，再复杂的问题经过分解后都是由基本题型复合 而成的． （3）鼓励学生做好解题后的反思，尤其对于做错的问题一定要分析清楚错误 的原因，例如分类的界点，特殊情形，有些基础运算做错是因为运算习惯不好 （改变运算习惯而不是以粗心概论）等．并在以后的解题中有意识避免类似错 误． （4）对一些比较定型的问题要归纳出一般的方法，如数形结合解决一些方程、 不等式的问题，用分离变量的方法解决恒成立、存在性的问题． （5）教会一些探索性的方法，如尝试的意识，如一般化与特殊化的方法， 如数形结合、化归、等价转化的思想等．注意培养学生独立思考以解决问题 的习惯． （6）教师在教学中要注意多让学生谈思路，不宜过多地以自己的思维代替学 生的思维．
2009年高考试题分析（一） 年高考试题分析（ 年高考试题分析
一、考查的知识点的分布情况 广东 山东 文科 理科 文科 理科 文科 理科 海南 其他
函数概念
第4题 5分
第3题 5分
基本初等函数
第7题 5分
第10题 5分
第12题 5分
第12题 5分
福建5 辽宁12 天津4 福建10 辽宁9 天津8
函数的性质
C 分析： 分析：【命题立意】:本题主要考查了函数 在实际问题中的应用,运用待定系数法求解 x 函数解析式的 能力和运用换元法和基本不 等式研究函数的单调性等问题. B 本题是函数的解答题，考查导数有关的A B 概念、计算和应用.利用导数工具研究函数的 有关性质，不仅体现教材改革的一种理念，也是初等数学与高等数学一个很好的 衔接点.该题解法中应用到了函数与方程思想，转化与化归思想，分类讨论思想都 是考试大纲要求较高的思想方法. 该题达到了知识内容考查与思想方法考查相结合 的目的. 体现了综合性试题以知识网络的交汇点作为设计的起点和着力点，实现全 面考查数学基础和数学素质的目标.的特点。从设问方式和背景设置都有独到新颖 之处，体现了稳中有变的设计思路。而解答过程更是注重通性通法。可用两种方 法通过构造函数的方法，利用导数解决函数的问题。理科第（21）题是把关题， 采用分步设问、分步给分的设计方法，对思维能力，尤其是理性思维有较高要求.。 如方程的思想是试卷重点考查的对象，在求导后判断单调性和极值点时都用到了 方程的理论和思想。另外分类讨论的思想在高考中常考不衰。
分数合计
31分
30分
24分
19分
22分
17分
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从数表中不难看出， 从数表中不难看出，高考对于函数与导数这一部分的考查 更加全面也更加深入了，试题综合考查函数的性质， 更加全面也更加深入了，试题综合考查函数的性质，对函数的 单一性质的考查极少， 单一性质的考查极少，一般一道题涉及的函数性质在两个或两 个以上，对性质的考查也更加灵活。（ 。（其实很难准确的把某道 个以上，对性质的考查也更加灵活。（其实很难准确的把某道 题归为哪一个知识点）。此外， ）。此外 题归为哪一个知识点）。此外，由于函数的工具性和它与数学 其他知识的密切联系，决定了函数的思想，函数与方程， 其他知识的密切联系，决定了函数的思想，函数与方程，不等 数列、 式、数列、实际应用题的数学建模与问题解决等都可以作为考 查函数的题目，这也注定函数成为学生应对高考的一个难点。 查函数的题目，这也注定函数成为学生应对高考的一个难点。
2009年高考试题分析（一）
解决函数综合问题要注意下列几点： （1）第一问题通常不是太难，主要是与函数有关的概念与方法，但非常 重要。往往是后面小题的知识准备或方法上的提示。所以第一小题要做好 做准。再看后面问题与每一小题的联系，然后选择适当的途径解决问题。 （2）通过不同途径了解、洞察所涉及到的函数的性质。在定义域、值域、 解析式、图象、单调性、奇偶性、周期性等方面进行考察。在上述性质中， 知道信息越多，则解决问题越容易。 （3）能画出示意图，则对解决问题起到很大的帮助。作图要注意图象整体 ,局部,细节. 细节。结合函数的定义域，奇偶性，值域，渐近线单调性，周期 性，特定区间，极值最值点，坐标轴的交点，边界点。带有参数的函数问题 要注意不动点。对于两个图像问题要关注交点个数，图形的相对位置。 （4）通过求导来研究函数性质是一种非常重要而有效的方法。通常的步骤： 先求导，要注意求导后定义域的情况；将导数整理变形，能看出导数的符号 性质或零点。再列表，从表中回答所要求解答的问题。 （5）对于含有字母参数的问题，可以通过分类，延伸长度，从而降低难度。 也可以通过分离变量，转化为函数或不等式问题去解决。
（二）考点分析 分析 考点一：函数图像----山东理科的第 题 山东理科的第6题 山东理科的第 例题：(2009山东卷理)函数
e x + e− x y = x −x e −e
的图像大致为(
y
).
y y y
【解析】:函数有意义,需使
e −e
x
−x
≠0
1 O 1 x
1 O1 x
1 O 1 x O
1 1 x
第12题 5分
第16题 4分
函数的图像
第6题 5分 第14题 4分
第6题 5分 第14题 4分