高考理科数学二轮复习专题强化训练(十五)函数与导数理

专题强化训练(十五) 函数与导数一、选择题1．[2019·全国卷Ⅱ]若a ＞b ，则( ) A ．ln(a －b )＞0 B ．3a ＜3bC ．a 3－b 3＞0D ．|a |＞|b |解析：通解：由函数y ＝ln x 的图象(图略)知，当0＜a －b ＜1时，ln(a －b )＜0，故A 不正确；因为函数y ＝3x在R 上单调递增，所以当a ＞b 时，3a＞3b，故B 不正确；因为函数y ＝x 3在R 上单调递增，所以当a ＞b 时，a 3＞b 3，即a 3－b 3＞0，故C 正确；当b ＜a ＜0时，|a |＜|b |，故D 不正确．故选C.优解：当a ＝0.3，b ＝－0.4时，ln(a －b )＜0,3a ＞3b，|a |＜|b |，故排除A ，B ，D ，故选C.答案：C2．[2019·唐山模拟]设函数f (x )＝x (e x ＋e －x)，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：通解：由条件可知，f (－x )＝(－x )(e －x＋e x )＝－x (e x ＋e －x)＝－f (x )，故f (x )为奇函数．f ′(x )＝e x ＋e －x ＋x (e x －e －x )，当x >0时，e x >e －x ，所以x (e x －e －x )>0，又e x＋e－x>0，所以f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，故选A.优解：根据题意知f (－1)＝－f (1)，所以函数f (x )为奇函数．又f (1)<f (2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，故选A.答案：A3．[2019·武昌调研]函数f (x )＝x 2e x|x |的图象大致为( )解析：因为f (x )＝x 2e x |x |(x ≠0)，所以f (－x )＝(－x )2e －x|－x |＝x 2e －x|x |，所以f (x )是非奇非偶函数，因为x <0时，f (x )＝x 2e x －x ＝－x e x >0，所以排除选项C ，D.因为x >0时，f (x )＝x 2e x x＝x e x，所以f ′(x )＝e x＋x e x＝e x(x ＋1)>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，排除选项B.故选A.答案：A4．[2019·江西五校联考]函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的大致图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．a >0，b >0，c >0B ．a <0，b >0，c <0C ．a <0，b <0，c >0D ．a >0，b >0，c <0解析：函数f (x )的定义域为{x |x ≠－c }，从题图可知－c <0，∴c >0，排除B ，D ；由题图可知f (0)＝bc2>0，∴b >0，再排除C ，故选A.答案：A5．[2019·洛阳统考]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x ＋1)＝f (1－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (31)＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：由f (x ＋1)＝f (1－x )及f (－x )＝－f (x )，得f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝f [1－(x ＋1)]＝f (－x )＝－f (x )，则f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (31)＝f (4×8－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－log 2(1＋1)＝－1，故选C.答案：C6．[2019·河北九校联考]函数y ＝x ＋3x＋2ln x 的单调递减区间是( )A ．(－3,1)B ．(0,1)C ．(－1,3)D ．(0,3)解析：解法一：令y ′＝1－3x 2＋2x<0，得－3<x <1，又x >0，故所求函数的单调递减区间为(0,1)．故选B.解法二：由题意知x >0，故排除A 、C 选项；又f (1)＝4<f (2)＝72＋2ln2，故排除D 选项．故选B.答案：B7．[2019·广州调研]已知实数a ＝2ln2，b ＝2＋2ln2，c ＝(ln2)2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．a <c <b解析：因为0<ln2<1，所以a ＝2ln2∈(1,2)，c ＝(ln2)2∈(0,1)．又b ＝2＋2ln2＝2＋ln4∈(3,4)，故c <a <b .故选B.答案：B8．[2019·安徽五校联考]函数y ＝x 2＋12x的图象大致为( )解析：因为函数y ＝x 2＋12x 为奇函数，所以其图象关于原点对称，当x >0时，y ＝12x 2＋1x 2＝121＋1x 2，所以函数y ＝x 2＋12x在(0，＋∞)上单调递减，所以排除选项B ，D ；又当x ＝1时，y ＝22<1，所以排除选项A ，故选C. 答案：C9．[2019·长沙四校一模]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x －1|，0<x ≤4，x2，x >4，，则使不等式f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，16 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4 解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝|log 214－1＝3，当x 2＝3时，x ＝36.又f (x )在(0,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，所以使f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14成立的x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，36.故选B.答案：B10．[2019·福州质量抽测]如图，函数f (x )的图象为两条射线CA ，CB 组成的折线，如果不等式f (x )≥x 2－x －a 的解集中有且仅有1个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |－2<a <－1}B ．{a |－2≤a <－1}C ．{a |－2≤a <2}D ．{a |a ≥－2}解析：根据题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x ＞0，不等式f (x )≥x 2－x －a 等价于a ≥x2－x －f (x )，令g(x)＝x2－x－f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－3x－2，x≤0，x2－2，x＞0可得g(x)的大致图象，如图所示，又g(0)＝－2，g(1)＝－1，g(－1)＝2，所以要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则－2≤a＜－1，即a的取值范围是{a|－2≤a＜－1}．故选B.答案：B11．[2019·合肥质检]已知函数f(x)＝ax2－2x＋ln x有两个不同的极值点x1，x2，若不等式λ＞f(x1)＋f(x2)恒成立，则实数λ的取值范围是( )A．[－3，＋∞)B．(3，＋∞)C．[－e，＋∞)D．(e，＋∞)解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝2ax－2＋1x＝2ax2－2x＋1x，由题意知，2ax2－2x＋1＝0有两个不同的正实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8a＞0，x1＋x2＝1a＞0，x1x2＝12a＞0，解得0＜a＜12.f(x1)＋f(x2)＝ax21－2x1＋ln x1＋ax22－2x2＋ln x2＝a[(x1＋x2)2－2x1x2]－2(x1＋x2)＋ln(x1x2)＝a⎝⎛⎭⎪⎫1a2－2·12a－2·1a＋ln12a＝－ln(2a)－1a－1.令g(a)＝－ln(2a)－1a－1，则g′(a)＝－1a＋1a2＝1a⎝⎛⎭⎪⎫1a－1＞0，所以g(a)在⎝⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增，所以g(a)＜g⎝⎛⎭⎪⎫12＝－3，即f(x1)＋f(x2)＜－3.因为不等式λ＞f(x1)＋f(x2)恒成立，所以λ≥－3，即实数λ的取值范围是[－3，＋∞)，故选A.答案：A12．[2019·福建五校联考]设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，当x>0时，f′(x)ln x<－1xf(x)，则使得(x2－4)f(x)>0成立的x的取值范围是( ) A．(－2,0)∪(0,2)C ．(－2,0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0,2)解析：设函数g (x )＝f (x )ln x ，则g ′(x )＝f ′(x )ln x ＋1xf (x )．于是，当x >0时，由f ′(x )ln x <－1xf (x )可得g ′(x )<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减．从而，当x >1时，有g (x )<g (1)＝0，即f (x )ln x <0，又ln x >0，所以此时f (x )<0；当0<x <1时，有g (x )>g (1)＝0，即f (x )ln x >0，又ln x <0，所以此时f (x )<0.在题设不等式中取x ＝1可得f ′(1)ln1<－11f (1)，化简得f (1)<0，即当x ＝1时，f (x )<0.于是，由上述讨论可知：当x >0时，f (x )<0，故由(x 2－4)f (x )>0得x 2－4<0，结合x >0，解得0<x <2.当x <0时，由f (x )为奇函数及“当x >0时，f (x )<0”可得f (x )>0，故由(x 2－4)f (x )>0得x 2－4>0，结合x <0，解得x <－2.易知f (0)＝0，所以x ＝0不满足(x 2－4)f (x )>0.综上，x 的取值范围是(－∞，－2)∪(0,2)．故选D.答案：D13．[2019·湖南四校调研]已知函数f (x )＝a －x 2(1e≤x ≤e，e 为自然对数的底数)与g (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1e 2＋2 B.[]1，e 2－2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2＋2，e 2－2 D.[)e 2－2，＋∞解析：由条件知，方程a －x 2＝－2ln x ，即a ＝x 2－2ln x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解．设h (x )＝x2－2ln x ，则h ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(1＋x )x .因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1时，h ′(x )<0，当x ∈(1，e)时，h ′(x )>0，所以函数h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上单调递减，在(1，e)上单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝1.因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e 2＋2，h (e)＝e 2－2，所以h (e)>h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，所以方程a ＝x 2－2ln x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e，e 上有解等价于1≤a ≤e 2－2，所以a 的取值范围为[1，e 2－2]，故选B.答案：B14．[2019·广州调研]已知过点A (a,0)作曲线C ：y ＝x ·e x的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)∪(0，＋∞)B ．(0，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：对函数y ＝x ·e x求导得y ′＝e x＋x ·e x＝(1＋x )e x.设切点坐标为，则过点A (a,0)的切线斜率，化简得x 20－ax 0－a ＝0.依题意知，上述关于x 0的二次方程有两个不相等的实数根，所以Δ＝(－a )2－4×1×(－a )>0，解得a <－4或a >0.故选A.答案：A15．[2019·江西五校联考]已知函数f (x )＝a ln x －bx 2，a ，b ∈R .若不等式f (x )≥x 对所有的b ∈(－∞，0]，x ∈(e ，e 2]都成立，则a 的取值范围是( )A ．[e ，＋∞)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 22，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e22，e 2 D ．[e 2，＋∞)解析：f (x )≥x 对所有的b ∈(－∞，0]，x ∈(e ，e 2]都成立，即a ln x －bx 2≥x ，a ln x －x ≥bx 2对所有的b ∈(－∞，0]，x ∈(e ，e 2]都成立，因为b ∈(－∞，0]，x ∈(e ，e 2]，所以bx 2的最大值为0，所以a ln x －x ≥0在x ∈(e ，e 2]时恒成立，所以a ≥xln x在x ∈(e ，e 2]时恒成立，令g (x )＝x ln x ，x ∈(e ，e 2]，则g ′(x )＝ln x －1ln 2x >0恒成立，所以g (x )＝x ln x单调递增，所以当x ＝e 2时，g (x )取得最大值e 22，所以a ≥e22，故选B.答案：B16．[2019·洛阳统考]已知函数f (x )的图象在点(x 0，f (x 0))处的切线为l ：y ＝g (x )，若函数f (x )满足∀x ∈I (其中I 为函数f (x )的定义域)，当x ≠x 0时，[f (x )－g (x )](x －x 0)>0恒成立，则称x 0为函数f (x )的“转折点”．已知函数f (x )＝ln x －ax 2－x 在(0，e]上存在一个“转折点”，则a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12e 2，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，12e 2C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12e 2，1D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12e 2 解析：解法一：f ′(x )＝1x－2ax －1，则f (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝1x 0－2ax 0－1，所以切线的方程为y ＝g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0－2ax 0－1(x －x 0)＋ln x 0－ax 20－x 0.记h (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －ax 2－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0－2ax 0－1(x －x 0)－ln x 0＋ax 20＋x 0，显然h (x 0)＝0，h ′(x )＝1x －2ax －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0－2ax 0－1＝－2a x (x －x 0)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12ax 0.当a >0时，h (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减，所以h (x )<h (x 0)＝0，因此当x ∈(0，x 0)时，[f (x )－g (x )](x －x 0)>0，当x ∈(x 0，＋∞)时，[f (x )－g (x )](x －x 0)<0，因此当a >0时，f (x )在(0，＋∞)上不存在“转折点”，排除A ，B ，C ，故选D.解法二：由题意知，当x >x 0时，f (x )的图象在g (x )图象的上方，当x <x 0时，f (x )的图象在g (x )图象的下方．当a ＝0时，f (x )＝ln x －x ，f ′(x )＝1x －1＝1－x x，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1，e]时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．又f (1)＝－1，f (e)＝1－e ，所以f (x )在(0，e]上的大致图象如图(1)，由图(1)可知f (x )在(0，e]上不存在“转折点”，排除B ，C.当a ＝1时，f (x )＝ln x －x 2－x ，f ′(x )＝1x －2x －1＝(－2x ＋1)(x ＋1)x，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－ln2－34，f (e)＝1－e 2－e ，所以f (x )在(0，e]上的大致图象如图(2)，由图(2)可知f (x )在(0，e]上不存在“转折点”，排除A.故选D.图(1)图(2)答案：D 二、填空题17．[2019·北京卷]设函数f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)．若f (x )为奇函数，则a ＝________；若f (x )是R 上的增函数，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，e －x＋a e x ＝－e x －a e －x ，∴(1＋a )e －x＋(1＋a )e x＝0，∴a ＝－1；∵f (x )是单调递增，∴f ′(x )＝e x－a e －x＝e 2x－aex ≥0，∴e 2x－a ≥0，a ≤0，故a 的取值范围是(－∞，0]． 答案：－1 (－∞，0]18．[2019·江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．解析：设A (x 0，ln x 0)，又y ′＝1x ，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x－x 0)，将(－e ，－1)代入得，－1－ln x 0＝1x 0(－e －x 0)，化简得ln x 0＝ex 0，解得x 0＝e ，则点A 的坐标是(e,1)．答案：(e,1)19．[2019·武昌调研]已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且函数y ＝f (x －1)为偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.解析：解法一：因为f (x )是R 上的奇函数，y ＝f (x －1)为偶函数，所以f (x －1)＝f (－x －1)＝－f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x )，即f (x )的周期T ＝4，因为0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－18.解法二：因为f (x )是R 上的奇函数，y ＝f (x －1)为偶函数，所以f (x －1)＝f (－x －1)＝－f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，由题意知，当－1≤x ＜0时，f (x )＝x 3，故当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 3，当1＜x ≤3时，－1＜x －2≤1，f (x )＝－(x －2)3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫52－23＝－18. 答案：－1820．[2019·长沙四校一模]若定义域为R 的奇函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则函数g (x )＝e xf (x )在区间[－1,5]上的最小值为________．解析：根据f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，得－1≤x ≤1时，f (x )＝x .由f (2－x )＝f (x )，得f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故由－1≤x ≤1时，f (x )＝x ，得1<x ≤3时，f (x )＝2－x .根据f (－x )＝－f (x )，f (2－x )＝f (x )，得f (x ＋4)＝f (2－x －4)＝f (－x －2)＝－f (x ＋2)＝－f (2－x －2)＝－f (－x )＝f (x )，所以f (x )的周期为4，所以当3<x ≤5时，f (x )＝x －4.于是，当－1≤x ≤1时，g (x )＝x e x ，g ′(x )＝(x ＋1)e x，g (x )在[－1,1]上是增函数，－1e≤g (x )≤e； 当1<x ≤3时，g (x )＝(2－x )e x ，g ′(x )＝(1－x )e x，g (x )在(1,3]上是减函数，－e 3≤g (x )≤e；当3<x ≤5时，g (x )＝(x －4)e x ，g ′(x )＝(x －3)e x，g (x )在(3,5]上是增函数，－e 3<g (x )≤e 5.综上，g (x )在[－1,5]上的最小值为－e 3. 答案：－e 3。