高三数学(理科)测试题(函数、导数、三角函数、解三角形)

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高三数学高考大题专项训练全套 (15个专项)(典型例题)(含答案)

1、函数与导数（1）2、三角函数与解三角形3、函数与导数（2）4、立体几何5、数列（1）6、应用题7、解析几何8、数列（2）9、矩阵与变换10、坐标系与参数方程11、空间向量与立体几何12、曲线与方程、抛物线13、计数原理与二项式分布14、随机变量及其概率分布15、数学归纳法高考压轴大题突破练(一)函数与导数(1)1．已知函数f (x )＝a e x x＋x . (1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值；(2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2， ∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1.∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为y －(a e ＋1)＝x －1，又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1，解得a ＝－1e. (2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值．方法一当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0，则00000200201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ⎛ > +> -+ = ⎝①②③ 由③得0e x a ＝－x 20x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0>0，结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0e x a x ＋x 0>0，得a >－020e x x ，设h (x )＝－x 2e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x，当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数，∴a >h (x 0)>h (2)＝－4e 2.又a <0，故当极大值为正数时，a ∈⎝⎛⎭⎫－4e 2，0，从而不存在负整数a 满足条件．方法二当x ∈(1，＋∞)时，令H (x )＝a e x (x －1)＋x 2，则H ′(x )＝(a e x ＋2)x ，∵x ∈(1，＋∞)，∴e x ∈(e ，＋∞)，∵a 为负整数，∴a ≤－1，∴a e x ≤a e ≤－e ，∴a e x ＋2<0，∴H ′(x )<0，∴H (x )在(1，＋∞)上单调递减．又H (1)＝1>0，H (2)＝a e 2＋4≤－e 2＋4<0，∴∃x 0∈(1,2)，使得H (x 0)＝0，且当1<x <x 0时，H (x )>0，即f ′(x )>0；当x >x 0时，H (x )<0，即f ′(x )<0.∴f (x )在x 0处取得极大值f (x 0)＝0e x a x ＋x 0.(*) 又H (x 0)＝0e x a (x 0－1)＋x 20＝0， ∴00e x a x ＝－x 0x 0－1，代入(*)得f (x 0)＝－x 0x 0－1＋x 0＝x 0(x 0－2)x 0－1<0， ∴不存在负整数a 满足条件．2．已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a >0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )<g (x ). (1)求函数f (x )的极值；(2)若g (x )＝xf ′(x )，且∃x ∈[1,2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围．解 (1)∵函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，∴f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0或x 2＝2a， ∵a >0，∴x 1<x 2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (0)＝1，极小值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝8a 2－12a 2＋1＝1－4a 2. (2)g (x )＝xf ′(x )＝3ax 3－6x 2，∵∃x ∈[1,2]，使h (x )＝f (x )，∴f (x )≥g (x )在[1,2]上有解，即ax 3－3x 2＋1≥3ax 3－6x 2在[1,2]上有解，即不等式2a ≤1x 3＋3x在[1,2]上有解，设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1x3(x ∈[1,2])， ∵y ′＝－3x 2－3x 4<0对x ∈[1,2]恒成立， ∴y ＝1x 3＋3x在[1,2]上单调递减， ∴当x ＝1时，y ＝1x 3＋3x的最大值为4， ∴2a ≤4，即a ≤2.高考中档大题规范练(一)三角函数与解三角形1．(2017·江苏宿迁中学质检)已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和值域；(2)若x ＝x 0⎝⎛⎭⎫0≤x 0≤π2为f (x )的一个零点，求sin 2x 0的值．解 (1)易得f (x )＝sin 2x ＋3sin 2x ＋12(sin 2x －cos 2x ) ＝1－cos 2x 2＋3sin 2x －12cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x ＋12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12，所以f (x )的最小正周期为π，值域为⎣⎡⎦⎤－32，52. (2)由f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＋12＝0，得 sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＝－14<0，又由0≤x 0≤π2，得－π6≤2x 0－π6≤5π6，所以－π6≤2x 0－π6<0，故cos ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＝154，此时sin 2x 0＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＋π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6sin π6＝－14×32＋154×12＝15－38. 2．(2017·江苏南通四模)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2，1，n ＝⎝⎛⎭⎫1，3cos x 2，函数f (x )＝m ·n . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝23，求f ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值．解 (1)f (x )＝m ·n ＝sin x 2＋3cos x 2＝2⎝⎛⎭⎫12sin x 2＋32cos x 2 ＝2⎝⎛⎭⎫sin x 2cos π3＋cos x 2sin π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π12＝4π. (2)由f ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝23，得2sin α2＝23，即sin α2＝13. 所以f ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝2cos α ＝2⎝⎛⎭⎫1－2sin 2α2＝149. 3．(2017·江苏南师大考前模拟)已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，n ＝(cos B ，sin B )，并且m ⊥n .(1)求A －B ； (2)若cos B ＝35，AC ＝8，求BC 的长．解 (1)因为m ⊥n ，所以m ·n ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3cos B ＋sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3sin B＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3－B ＝0. 因为0<A ，B <π2，所以－π6<A ＋π3－B <5π6，所以A ＋π3－B ＝π2，即A －B ＝π6. (2)因为cos B ＝35，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin B ＝45，所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝sin B cos π6＋cos B sin π6＝45×32＋35×12＝43＋310，由正弦定理可得BC ＝sin A sin B×AC ＝43＋3. 4．(2017·江苏镇江三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )(sin A ＋sin C )＝(b －3c )sin B .(1)求角A ；(2)若f (x )＝cos 2(x ＋A )－sin 2(x －A )，求f (x )的单调递增区间．解 (1)由(a －c )(sin A ＋sin C )＝(b －3c )sin B 及正弦定理，得(a －c )(a ＋c )＝(b －3c )b ，即a 2＝b 2＋c 2－3bc . 由余弦定理，得cos A ＝32，因为0<A <π，所以A ＝π6. (2)f (x )＝cos 2(x ＋A )－sin 2(x －A )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π32－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12cos 2x ，令π＋2k π≤2x ≤2π＋2k π，k ∈Z ，得π2＋k π≤x ≤π＋k π，k ∈Z . 则f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π2＋k π，π＋k π，k ∈Z .(二)函数与导数(2)1．设函数f (x )＝2(a ＋1)x (a ∈R )，g (x )＝ln x ＋bx (b ∈R )，直线y ＝x ＋1是曲线y ＝f (x )的一条切线．(1)求a 的值；(2)若函数y ＝f (x )－g (x )有两个极值点x 1，x 2.①试求b 的取值范围；②证明：g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)≤1e 2＋12. 解 (1)设直线y ＝x ＋1与函数y ＝f (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，y 0＝2(a ＋1)x 0，a ＋1x 0＝1，解得a ＝0. (2)记h (x )＝f (x )－g (x )，则h (x )＝2x －ln x －bx .①函数y ＝f (x )－g (x )有两个极值点的必要条件是h ′(x )有两个正零点．h ′(x )＝1x －1x－b ＝－bx ＋x －1x ，令h ′(x )＝0，得bx －x ＋1＝0(x >0)．令x ＝t ，则t >0.问题转化为bt 2－t ＋1＝0有两个不等的正实根t 1，t 2，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝1－4b >0，t 1t 2＝1b >0，t 1＋t 2＝1b >0，解得0<b <14. 当0<b <14时，设h ′(x )＝0的两正根为x 1，x 2，且x 1<x 2，则h ′(x )＝－bx ＋x －1x ＝－b (x －x 1)(x －x 2)x ＝－b (x －x 1)(x －x 2)x (x ＋x 1)(x ＋x 2). 当x ∈(0，x 1)时，h ′(x )<0；当x ∈(x 1，x 2)时，h ′(x )>0；当x ∈(x 2，＋∞)时，h ′(x )<0. 所以x 1，x 2是h (x )＝f (x )－g (x )的极值点，∴b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，14. ②由①知x 1x 2＝x 1＋x 2＝1b.可得g (x 1)＋g (x 2)＝－2ln b ＋1b －2，f (x 1)＋f (x 2)＝2b，所以g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)＝12－b ln b －b . 记k (b )＝12－b ln b －b ⎝⎛⎭⎫0<b <14，则k ′(b )＝－ln b －2，令k ′(b )＝0，得b ＝1e 2∈⎝⎛⎭⎫0，14，且当b ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 2时，k ′(b )>0，k (b )单调递增；当b ∈⎝⎛⎭⎫1e 2，14时，k ′(b )<0，k (b )单调递减，且当b ＝1e 2时，k (b )取最大值1e 2＋12，所以g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)≤1e 2＋12. 2．设函数f (x )＝2ax ＋b x＋c ln x . (1)当b ＝0，c ＝1时，讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝3x ＋3a －6且函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2. ①求a 的取值范围；②求f (x 2)的取值范围．解 (1)f (x )＝2ax ＋b x＋c ln x ，x >0， f ′(x )＝2a －b x 2＋c x ＝2ax 2＋cx －b x 2. 当b ＝0，c ＝1时，f ′(x )＝2ax ＋1x. 当a ≥0时，由x >0，得f ′(x )＝2ax ＋1x>0恒成立，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <0时，令f ′(x )＝2ax ＋1x >0，解得x <－12a；令f ′(x )＝2ax ＋1x <0，解得x >－12a，所以，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减．综上所述，①当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a <0时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)①函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝3x ＋3a －6，所以f (1)＝2a ＋b ＝3a －3，f ′(1)＝2a ＋c －b ＝3，所以b ＝a －3，c ＝－a ，f ′(x )＝2a －b x 2＋c x ＝2ax 2－ax ＋3－a x 2，函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2，则方程2ax 2－ax ＋3－a ＝0有两个大于0的解，⎩⎨⎧ Δ＝(－a )2－8a (3－a )>0，a 2a >0，3－a 2a >0，解得83<a <3. 所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫83，3.②2ax 22－ax 2＋3－a ＝0，x 2＝a ＋9a 2－24a 4a ＝14⎝⎛⎭⎫1＋ 9－24a ，由83<a <3，得x 2∈⎝⎛⎭⎫14，12，由2ax 22－ax 2＋3－a ＝0，得a ＝－32x 22－x 2－1. f (x 2)＝2ax 2＋a －3x 2－a ln x 2 ＝a ⎝⎛⎭⎫2x 2＋1x 2－ln x 2－3x 2＝－32x 2＋1x 2－ln x 22x 22－x 2－1－3x 2. 设φ(t )＝－32t ＋1t －ln t 2t 2－t －1－3t ，t ∈⎝⎛⎭⎫14，12， φ′(t )＝－3⎝⎛⎭⎫2－1t 2－1t (2t 2－t －1)－⎝⎛⎭⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2＋3t2 ＝－31t 2(2t 2－t －1)2＋3⎝⎛⎭⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2＋3t 2＝3⎝⎛⎭⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2. 当t ∈⎝⎛⎭⎫14，12时，2t ＋1t－ln t >0,4t －1>0，φ′(t )>0，所以φ(t )在⎝⎛⎭⎫14，12上单调递增，φ(t )∈⎝⎛⎭⎫163ln 2，3＋3ln 2，所以f (x 2)的取值范围是⎝⎛⎭⎫163ln 2，3＋3ln 2. (二)立体几何1．(2017·江苏扬州调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，CD ∥AB ，AB ＝2CD ，AC 交BD 于O ，锐角△P AD 所在平面⊥底面ABCD ，P A ⊥BD ，点Q 在侧棱PC 上，且PQ ＝2QC .求证：(1)P A ∥平面QBD ；(2)BD ⊥AD .证明 (1)如图，连结OQ ，因为AB∥CD，AB＝2CD，所以AO＝2OC.又PQ＝2QC，所以P A∥OQ.又OQ⊂平面QBD，P A⊄平面QBD，所以P A∥平面QBD.(2)在平面P AD内过P作PH⊥AD于点H，因为侧面P AD⊥底面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PH⊂平面P AD，所以PH⊥平面ABCD.又BD⊂平面ABCD，所以PH⊥BD.又P A⊥BD，P A∩PH＝P，所以BD⊥平面P AD.又AD⊂平面P AD，所以BD⊥AD.2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO的中点．(1)若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；(2)若AB＝2PC，求证：CG⊥平面PBD.证明(1)连结OE，由四边形ABCD是正方形知，O为BD的中点，因为PD∥平面ACE，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝OE，所以PD∥OE.因为O为BD的中点，所以E为PB的中点．(2)在四棱锥P－ABCD中，AB＝2PC，因为四边形ABCD是正方形，所以OC＝22AB，所以PC＝OC.因为G为PO的中点，所以CG⊥PO.又因为PC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PC⊥BD.而四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因为AC，PC⊂平面P AC，AC∩PC＝C，所以BD⊥平面P AC，因为CG⊂平面P AC，所以BD⊥CG.因为PO，BD⊂平面PBD，PO∩BD＝O，所以CG⊥平面PBD.3．(2017·江苏怀仁中学模拟)如图，在四棱锥E－ABCD中，△ABD为正三角形，EB＝ED，CB＝CD.(1)求证：EC⊥BD；(2)若AB⊥BC，M，N分别为线段AE，AB的中点，求证：平面DMN∥平面BCE.证明(1)取BD的中点O，连结EO，CO.∵CD＝CB，EB＝ED，∴CO⊥BD，EO⊥BD.又CO∩EO＝O，CO，EO⊂平面EOC，∴BD⊥平面EOC.又EC⊂平面EOC，∴BD⊥EC.(2)∵N是AB的中点，△ABD为正三角形，∴DN⊥AB，∵BC⊥AB，∴DN∥BC.又BC⊂平面BCE，DN⊄平面BCE，∴DN∥平面BCE.∵M为AE的中点，N为AB的中点，∴MN∥BE，又MN⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，∴MN∥平面BCE.∵MN∩DN＝N，∴平面DMN∥平面BCE.4．(2017·江苏楚水中学质检)如图，在三棱锥P－ABC中，点E，F分别是棱PC，AC的中点．(1)求证：P A∥平面BEF；(2)若平面P AB⊥平面ABC，PB⊥BC，求证：BC⊥P A.证明(1)在△P AC中，E，F分别是棱PC，AC的中点，所以P A∥EF.又P A⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，所以P A∥平面BEF.(2)在平面P AB内过点P作PD⊥AB，垂足为D.因为平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，PD ⊂平面P AB ，所以PD ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BC ，又PB ⊥BC ，PD ∩PB ＝P ，PD ⊂平面P AB ，PB ⊂平面P AB ，所以BC ⊥平面P AB ，又P A ⊂平面P AB ，所以BC ⊥P A .(三)数列(1)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋a n ＝4，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知c n ＝2n ＋3(n ∈N *)，记d n ＝c n ＋log C a n (C >0且C ≠1)，是否存在这样的常数C ，使得数列{d n }是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由．(3)若数列{b n }，对于任意的正整数n ，均有b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n a 1＝⎝⎛⎭⎫12n －n ＋22成立，求证：数列{b n }是等差数列． (1)解 a 1＝4－a 1，所以a 1＝2，由S n ＋a n ＝4，得当n ≥2时，S n －1＋a n －1＝4，两式相减，得2a n ＝a n －1，所以a n a n －1＝12，数列{a n }是以2为首项，公比为12的等比数列，所以a n ＝22－n (n ∈N *)． (2)解由于数列{d n }是常数列， d n ＝c n ＋log C a n ＝2n ＋3＋(2－n )log C 2 ＝2n ＋3＋2log C 2－n log C 2＝(2－log C 2)n ＋3＋2log C 2为常数，则2－log C 2＝0，解得C ＝2，此时d n ＝7.(3)证明 b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n a 1 ＝⎝⎛⎭⎫12n －n ＋22，①当n ＝1时，b 1a 1＝12－32＝－1，其中a 1＝2，所以b 1＝－12.当n ≥2时，b 1a n －1＋b 2a n －2＋b 3a n －3＋…＋b n －1a 1＝⎝⎛⎭⎫12n －1－n ＋12，② ②式两边同时乘以12，得b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n －1a 2＝⎝⎛⎭⎫12n －n ＋14，③ 由①－③，得b n a 1＝－n －34，所以b n ＝－n 8－38(n ∈N *，n ≥2)，且b n ＋1－b n ＝－18，又b 1＝－12＝－18－38，所以数列{b n }是以－12为首项，公差为－18的等差数列．2．在数列{a n }中，已知a 1＝13，a n ＋1＝13a n －23n ＋1，n ∈N *，设S n 为{a n }的前n 项和．(1)求证：数列{3n a n }是等差数列； (2)求S n ；(3)是否存在正整数p ，q ，r (p <q <r )，使S p ，S q ，S r 成等差数列？若存在，求出p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由．(1)证明因为a n ＋1＝13a n －23n ＋1，所以3n ＋1a n ＋1－3n a n ＝－2. 又因为a 1＝13，所以31·a 1＝1，所以{3n a n }是首项为1，公差为－2的等差数列． (2)解由(1)知3n a n ＝1＋(n －1)·(－2)＝3－2n ，所以a n ＝(3－2n )⎝⎛⎭⎫13n，所以S n ＝1·⎝⎛⎭⎫131＋(－1)·⎝⎛⎭⎫132＋(－3)·⎝⎛⎭⎫133＋…＋(3－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ，所以13S n ＝1·⎝⎛⎭⎫132＋(－1)·⎝⎛⎭⎫133＋…＋(5－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ＋(3－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ＋1，两式相减，得23S n ＝13－2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫133＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －(3－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝13－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤19×1－⎝⎛⎭⎫13n －11－13＋(2n －3)·⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝2n ·⎝⎛⎭⎫13n ＋1，所以S n ＝n 3n .(3)解假设存在正整数p ，q ，r (p <q <r )，使S p ，S q ，S r 成等差数列，则2S q ＝S p ＋S r ，即2q3q ＝p 3p ＋r 3r. 当n ≥2时，a n ＝(3－2n )⎝⎛⎭⎫13n<0，所以数列{S n }单调递减．又p <q ，所以p ≤q －1且q 至少为2，所以p 3p ≥q －13q －1，q －13q －1－2q 3q ＝q －33q .①当q ≥3时，p 3p ≥q －13q －1≥2q 3q ，又r 3r >0，所以p 3p ＋r 3r >2q3q ，等式不成立． ②当q ＝2时，p ＝1，所以49＝13＋r 3r ，所以r 3r ＝19，所以r ＝3({S n }单调递减，解惟一确定)．综上可知，p ，q ，r 的值为1,2,3.(三)应用题1．已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内(含7天)，无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．(1)当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P 是多少元？(2)设该厂x 天购买一次配料，求该厂在这x 天中用于配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？解 (1)当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用 P ＝70＋0.03×200×(1＋2)＝88(元)．(2)①当x ≤7时，y ＝360x ＋10x ＋236＝370x ＋236，②当x >7时，y ＝360x ＋236＋70＋6[(x －7)＋(x －6)＋…＋2＋1]＝3x 2＋321x ＋432，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧370x ＋236，x ≤7，3x 2＋321x ＋432，x >7，∴设该厂x 天购买一次配料平均每天支付的费用为f (x )元．f (x )＝⎩⎨⎧370x ＋236x，x ≤7，3x 2＋321x ＋432x，x >7.当x ≤7时，f (x )＝370＋236x ，当且仅当x ＝7时，f (x )有最小值2 8267≈404(元)；当x ＞7时，f (x )＝3x 2＋321x ＋432x ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋144x ＋321≥393.当且仅当x ＝12时取等号．∵393<404，∴当x ＝12时f (x )有最小值393元．2．南半球某地区冰川的体积每年中随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年的数据，冰川的体积(亿立方米)关于t 的近似函数的关系式为V (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 3＋11t 2－24t ＋100，0<t ≤10，4(t －10)(3t －41)＋100，10<t ≤12.(1)该冰川的体积小于100亿立方米的时期称为衰退期．以i －1<t <i 表示第i 月份(i ＝1,2，…，12)，问一年内哪几个月是衰退期？ (2)求一年内该地区冰川的最大体积．解 (1)当0<t ≤10时，V (t )＝－t 3＋11t 2－24t ＋100<100，化简得t 2－11t ＋24>0，解得t <3或t >8.又0<t ≤10，故0<t <3或8<t ≤10，当10<t ≤12时，V (t )＝4(t －10)(3t －41)＋100<100，解得10<t <413，又10<t ≤12，故10<t ≤12.综上得0<t <3或8<t ≤12.所以衰退期为1月，2月，3月，9月，10月，11月，12月共7个月． (2)由(1)知，V (t )的最大值只能在(3,9)内取到．由V ′(t )＝(－t 3＋11t 2－24t ＋100)′＝－3t 2＋22t －24，令V ′(t )＝0，解得t ＝6或t ＝43(舍去)．当t 变化时，V ′(t )与V (t )的变化情况如下表：由上表，V (t )在t ＝6时取得最大值V (6)＝136(亿立方米)．故该冰川的最大体积为136亿立方米．3．如图，某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心O 后转向东偏北α角方向的OB .位于该市的某大学M 与市中心O 的距离OM ＝313 km ，且∠AOM ＝β.现要修筑一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，且经过大学M .其中tan α＝2，cos β＝313，AO ＝15 km.(1)求大学M 与站A 的距离AM ； (2)求铁路AB 段的长AB .解 (1)在△AOM 中，AO ＝15，∠AOM ＝β且cos β＝313，OM ＝313，由余弦定理，得AM 2＝OA 2＋OM 2－2OA ·OM ·cos ∠AOM ＝152＋(313)2－2×15×313×313＝13×9＋15×15－2×3×15×3＝72.∴AM ＝62，即大学M 与站A 的距离(2)∵cos β＝313，且β为锐角，∴sin β＝213，在△AOM 中，由正弦定理，得AM sin β＝OMsin ∠MAO ，即62213＝313sin ∠MAO ，sin ∠MAO ＝22， ∴∠MAO ＝π4，∴∠ABO ＝α－π4，∵tan α＝2，∴sin α＝25，cos α＝15， ∴sin ∠ABO ＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝110，又∠AOB ＝π－α，∴sin ∠AOB ＝sin(π－α)＝25. 在△AOB 中，OA ＝15，由正弦定理，得 AB sin ∠AOB ＝OA sin ∠ABO，即AB 25＝15110，∴AB ＝302，即铁路AB 段的长为30 2 km.4．(2017·江苏苏州大学指导卷)如图，某地区有一块长方形植物园ABCD ，AB ＝8(百米)，BC ＝4(百米)．植物园西侧有一块荒地，现计划利用该荒地扩大植物园面积，使得新的植物园为HBCEFG ，满足下列要求：E 在CD 的延长线上，H 在BA 的延长线上，DE ＝0.5(百米)，AH ＝4(百米)，N 为AH 的中点，FN ⊥AH ，EF 为曲线段，它上面的任意一点到AD 与AH 的距离的乘积为定值，FG ，GH 均为线段，GH ⊥HA ，GH ＝0.5(百米)．(1)求四边形FGHN 的面积；(2)已知音乐广场M 在AB 上，AM ＝2(百米)，若计划在EFG 的某一处P 开一个植物园大门，在原植物园ABCD 内选一点Q 为中心建一个休息区，使得QM ＝PM ，且∠QMP ＝90°，问点P 在何处时，AQ 最小．解 (1)以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示．则E ⎝⎛⎭⎫－12，4，因为E 到AD 与AH 距离的乘积为2，所以曲线EF 上的任意一点都在函数y ＝－2x 的图象上．由题意，N (－2,0)，所以F (－2,1)．四边形FGHN 的面积为12×⎝⎛⎭⎫12＋1×2＝32(平方百米)． (2)设P (x ，y )，则MP →＝(x －2，y )，MQ →＝(y ，－x ＋2)，AQ →＝(y ＋2，－x ＋2)，因为点Q 在原植物园内，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤y ＋2≤8，0≤2－x ≤4，即－2≤x ≤2.又点P 在曲线EFG 上，x ∈⎣⎡⎦⎤－4，－12，所以－2≤x ≤－12，则点P 在曲线段EF 上，AQ ＝(y ＋2)2＋(2－x )2，因为y ＝－2x ，所以AQ ＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋22＋(2－x )2＝ x 2＋4x 2－4x －8x＋8＝⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2－4⎝⎛⎭⎫x ＋2x ＋4＝⎝⎛⎭⎫x ＋2x －22＝－x ＋2－x＋2≥22＋2. 当且仅当－x ＝－2x，即x ＝－2时等号成立．此时点P (－2，2)，即点P 在距离AD 与AH 均为2百米时，AQ 最小．(四)解析几何1．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1x 2≠0)，O 是坐标原点，P 是线段AB 的中点，若C 是点A 关于原点的对称点，Q 是线段BC 的中点，且OP ＝OQ ，设圆P 的方程为x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0.(1)证明：线段AB 是圆P 的直径；(2)若存在正数p 使得2p (x 1＋x 2)＝y 21＋y 22＋8p 2＋2y 1y 2成立，当圆P 的圆心到直线x －2y ＝0的距离的最小值为255时，求p 的值．(1)证明由题意知，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，点A (x 1，y 1)关于原点的对称点为C (－x 1，－y 1)，那么点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫－x 1＋x 22，－y 1＋y 22，由OP ＝OQ ，得OP 2＝OQ 2，即⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋⎝⎛⎭⎫y 1＋y 222＝⎝⎛⎭⎫－x 1＋x 222＋⎝⎛⎭⎫－y 1＋y 222，得(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，从而x 1x 2＋y 1y 2＝0，由此得OA ⊥OB ，由方程x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0知，圆P 过原点，且点A ，B 在圆P 上，故线段AB 是圆P 的直径．(2)解由2p (x 1＋x 2)＝y 21＋y 22＋8p 2＋2y 1y 2，得x 1＋x 2＝12p [(y 1＋y 2)2＋8p 2]，又圆心P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22到直线x －2y ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪x 1＋x 22－(y 1＋y 2)5＝⎪⎪⎪⎪14p [(y 1＋y 2)2＋8p 2]－(y 1＋y 2)5＝[(y 1＋y 2)－2p ]2＋4p 245p ≥4p 245p，当且仅当y 1＋y 2＝2p 时，等号成立，所以4p 245p ＝255，从而得p ＝2.2.如图，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，O 是坐标原点，OF ＝5，过点F 作OF 的垂线交椭圆C 于P 0，Q 0两点，△OP 0Q 0的面积为453.(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点M (－5，0)的直线l 与上、下半椭圆分别交于点P ，Q ，且PM ＝2MQ ，求直线l 的方程．解 (1)由题设条件，P 0F ＝00OP Q S OF∆＝4535＝43.易知P 0F ＝b 2a ，所以b 2a ＝43.又c ＝OF ＝5，即a 2－b 2＝5，因此a 2－43a －5＝0，解得a ＝3或a ＝－53，又a >0，所以a ＝3，从而b ＝2. 故所求椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意y 1>0，y 2<0，并可设直线l ：x ＝ty －5，代入椭圆方程得(ty －5)29＋y 24＝1，即(4t 2＋9)y 2－85ty －16＝0. 从而y 1＋y 2＝85t 4t 2＋9，y 1y 2＝－164t 2＋9.又由PM ＝2MQ ，得y 1－y 2＝PMMQ＝2，即y 1＝－2y 2.因此y 1＋y 2＝－y 2，y 1y 2＝－2y 22，故－164t 2＋9＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 4t 2＋92，可解得t 2＝14.注意到y 2＝－85t 4t 2＋9且y 2<0，知t >0，因此t ＝12.故满足题意的直线l 的方程为2x －y ＋25＝0.3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线l ：y ＝－12x 与椭圆E 相交于A ，B 两点，AB ＝210，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 的两点，且直线AC ，BD 相交于点P ，直线AD ，BC 相交于点Q .(1)求椭圆E 的标准方程； (2)求证：直线PQ 的斜率为定值． (1)解因为e ＝c a ＝32，所以c 2＝34a 2，即a 2－b 2＝34a 2，所以a ＝2b .所以椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.由题意不妨设点A 在第二象限，点B 在第四象限，由⎩⎨⎧y ＝－12x ，x 24b 2＋y2b 2＝1，得A (－2b ，22b )．又AB ＝210，所以OA ＝10，则2b 2＋12b 2＝52b 2＝10，得b ＝2，a ＝4.所以椭圆E 的标准方程为x 216＋y 24＝1.(2)证明由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1，A (－22，2)，B (22，－2)．①当直线CA ，CB ，DA ，DB 的斜率都存在，且不为零时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2，C (x 0，y 0)，显然k 1≠k 2.从而k 1·k CB ＝y 0－2x 0＋22·y 0＋2x 0－22＝y 20－2x 20－8＝4⎝⎛⎭⎫1－x 2016－2x 20－8＝2－x 204x 20－8＝－14，所以k CB ＝－14k 1.同理k DB ＝－14k 2.所以直线AD 的方程为y －2＝k 2(x ＋22)，直线BC 的方程为y ＋2＝－14k 1(x －22)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝－14k 1(x －22)，y －2＝k 2(x ＋22)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1，y ＝2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1，从而点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1，2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1.用k 2代替k 1，k 1代替k 2得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22(－4k 1k 2－4k 2＋1)4k 1k 2＋1，2(－4k 1k 2＋4k 1＋1)4k 1k 2＋1.所以k PQ ＝2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1－2(－4k 1k 2＋4k 1＋1)4k 1k 2＋122(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1－22(－4k 1k 2－4k 2＋1)4k 1k 2＋1＝42(k 2－k 1)82(k 2－k 1)＝12.即直线PQ 的斜率为定值，其定值为12.②当直线CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，由题意得，至多有一条直线的斜率不存在，不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C (－22，－2)．设DA 的斜率为k ，由①知，k DB ＝－14k.因为直线CA ：x ＝－22，直线DB ：y ＋2＝－14k (x －22)，得P ⎝⎛⎭⎫－22，－2＋2k . 又直线BC ：y ＝－2，直线AD ：y －2＝k (x ＋22)，得Q ⎝⎛⎭⎫－22－22k ，－2，所以k PQ ＝12.由①②可知，直线PQ 的斜率为定值，其定值为12.4．(2017·江苏预测卷)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，右准线的方程为x ＝433.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P ⎝⎛⎭⎫12，2，过x 轴上的一个定点M 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若三条直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列，求点M 的坐标．解 (1)因为椭圆的离心率为32，右准线的方程为x ＝433，所以e ＝c a ＝32，a 2c ＝433，则a ＝2，c ＝3，b ＝1，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m,0)，当直线l 为y ＝0时，A (－2,0)，B (2,0)， P A ，PM ，PB 的斜率分别为 k P A ＝45，k PM ＝41－2m，k PB ＝－43，因为直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列，所以81－2m ＝45－43，m ＝8.证明如下：当M (8,0)时，直线P A ，PM ，PB 的斜率构成等差数列，设AB ：y ＝k (x －8)，代入椭圆方程x 2＋4y 2－4＝0，得x 2＋4k 2(x －8)2－4＝0，即(1＋4k 2)x 2－64k 2x ＋256k 2－4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝64k 21＋4k 2，x 1x 2＝256k 2－41＋4k 2，又k PM ＝0－28－12＝－415，所以k P A ＋k PB ＝y 1－2x 1－12＋y 2－2x 2－12＝kx 1－8k －2x 1－12＋kx 2－8k －2x 2－12＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－12＋1x 2－12 ＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －2(x 1＋x 2)－1x 1x 2－12(x 1＋x 2)＋14＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －264k 21＋4k 2－1256k 2－41＋4k 2－12×64k 21＋4k 2＋14＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －260k 2－1154(60k 2－1)＝－815＝2k PM ，即证． (四)数列(2)1．已知{a n }，{b n }，{c n }都是各项不为零的数列，且满足a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝c n S n ，n ∈N *，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，{c n }是公差为d (d ≠0)的等差数列． (1)若数列{a n }是常数列，d ＝2，c 2＝3，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＝λn (λ是不为零的常数)，求证：数列{b n }是等差数列；(3)若a 1＝c 1＝d ＝k (k 为常数，k ∈N *)，b n ＝c n ＋k (n ≥2，n ∈N *)，求证：对任意的n ≥2，n ∈N *，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 单调递减．(1)解因为d ＝2，c 2＝3，所以c n ＝2n －1. 因为数列{a n }是各项不为零的常数列，所以a 1＝a 2＝…＝a n ，S n ＝na 1.则由c n S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 及c n ＝2n －1，得 n (2n －1)＝b 1＋b 2＋…＋b n ，当n ≥2时，(n －1)(2n －3)＝b 1＋b 2＋…＋b n －1，两式相减得b n ＝4n －3.当n ＝1时，b 1＝1也满足b n ＝4n －3. 故b n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)证明因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝c n S n ，当n ≥2时，c n －1S n －1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1，两式相减得c n S n －c n －1S n －1＝a n b n ，即(S n －1＋a n )c n －S n －1c n －1＝a n b n ， S n －1(c n －c n －1)＋a n c n ＝a n b n ，所以S n －1d ＋λnc n ＝λnb n .又S n －1＝λ＋λ(n －1)2(n －1)＝λn (n －1)2，所以λn (n －1)2d ＋λnc n ＝λnb n ，即(n －1)2d ＋c n ＝b n ，(*) 所以当n ≥3时，(n －2)2d ＋c n －1＝b n －1，两式相减得b n －b n －1＝32d (n ≥3)，所以数列{b n }从第二项起是公差为32d 的等差数列．又当n ＝1时，由c 1S 1＝a 1b 1，得c 1＝b 1. 当n ＝2时，由(*)得b 2＝(2－1)2d ＋c 2＝12d ＋(c 1＋d )＝b 1＋32d ，得b 2－b 1＝32d .故数列{b n }是公差为32d 的等差数列．(3)证明由(2)得当n ≥2时，S n －1(c n －c n －1)＋a n c n ＝a n b n ，即S n －1d ＝a n (b n －c n )．因为b n ＝c n ＋k ，所以b n ＝c n ＋kd ，即b n －c n ＝kd ，所以S n －1d ＝a n ·kd ，即S n －1＝ka n ，所以S n ＝S n －1＋a n ＝(k ＋1)a n . 当n ≥3时，S n －1＝(k ＋1)a n －1，两式相减得a n ＝(k ＋1)a n －(k ＋1)a n －1，即a n ＝k ＋1k a n －1，故从第二项起数列{a n }是等比数列，所以当n ≥2时，a n ＝a 2⎝⎛⎭⎫k ＋1k n －2，b n ＝c n ＋k ＝c n ＋kd ＝c 1＋(n －1)k ＋k 2＝k ＋(n －1)k ＋k 2＝k (n ＋k )，另外由已知条件得(a 1＋a 2)c 2＝a 1b 1＋a 2b 2. 又c 2＝2k ，b 1＝k ，b 2＝k (2＋k )，所以a 2＝1，因而a n ＝⎝⎛⎭⎫k ＋1k n －2.令d n ＝b na n ，则d n ＋1d n ＝b n ＋1a n a n ＋1b n ＝(n ＋k ＋1)k (n ＋k )(k ＋1).因为(n ＋k ＋1)k －(n ＋k )(k ＋1)＝－n <0，所以d n ＋1d n<1，所以对任意的n ≥2，n ∈N *，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 单调递减．2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a 2＝2，设b n ＝a n ＋a n ＋1，c n ＝a n ·a n ＋1(n ∈N *)． (1)若数列{b 2n －1}是公比为3的等比数列，求S 2n ； (2)若数列{b n }是公差为3的等差数列，求S n ；(3)是否存在这样的数列{a n }，使得{b n }成等差数列和{c n }成等比数列同时成立，若存在，求出{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由．解 (1)b 1＝a 1＋a 2＝1＋2＝3，S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 3＋…＋b 2n －1＝3(1－3n )1－3＝3n ＋1－32.(2)∵b n ＋1－b n ＝a n ＋2－a n ＝3，∴{a 2k －1}，{a 2k }均是公差为3的等差数列，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·3＝3k －2，a 2k ＝a 2＋(k －1)·3＝3k －1，当n ＝2k (k ∈N *)时，S n ＝S 2k ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2k －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2k )＝k (1＋3k －2)2＋k (2＋3k －1)2＝3k 2＝3n 24；当n ＝2k －1(k ∈N *)时，Sn ＝S 2k －1＝S 2k －a 2k ＝3k 2－3k ＋1＝3×⎝⎛⎭⎫n ＋122－3·n ＋12＋1＝3n 2＋14.综上可知，S n＝⎩⎨⎧3n 24，n ＝2k ，k ∈N *，3n 2＋14，n ＝2k －1，k ∈N *.(3)∵{b n }成等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，即2(a 2＋a 3)＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)，a 2＋a 3＝a 1＋a 4，① ∵{c n }成等比数列，∴c 22＝c 1c 3. 即(a 2a 3)2＝(a 1a 2)·(a 3a 4)， ∵c 2＝a 2a 3≠0，∴a 2a 3＝a 1a 4，②由①②及a 1＝1，a 2＝2，得a 3＝1，a 4＝2，设{b n }的公差为d ，则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝d ，即a n ＋2－a n ＝d ，即数列{a n }的奇数项和偶数项都构成公差为d 的等差数列，又d ＝a 3－a 1＝a 4－a 2＝0， ∴数列{a n }＝1,2,1,2,1,2，…，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝2k －1，k ∈N *，2，n ＝2k ，k ∈N *.此时c n ＝2，{c n }是公比为1的等比数列，满足题意．∴存在数列{a n }，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝2k －1，k ∈N *，2，n ＝2k ，k ∈N *，使得{b n }成等差数列和{c n }成等比数列同时成立．高考附加题加分练 1.矩阵与变换1．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 0，点A (1,0)在矩阵M 对应的变换作用下变为A ′(1,2)，求矩阵M 的逆矩阵M －1. 解 ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12， ∴a ＝1，b ＝2.∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 120，∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 121 －12.2．(2017·江苏徐州一中检测)已知曲线C ：y 2＝12x ，在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程．解设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0，设P (x ′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上对应的点为P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y ′ x ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ′，y ＝x ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y ，y ′＝－12x .又点P (x ′，y ′)在曲线C ：y 2＝12x 上，∴⎝⎛⎭⎫－12x 2＝12y ，即x 2＝2y .3．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22x 的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．解矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4.因为λ1＝3是方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1. 由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1. 设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，得x ＝－y . 令x ＝1，则y ＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.4．(2017·江苏江阴中学质检)若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．解 M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.由M －1M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，得M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－10. 2.坐标系与参数方程1．(2017·江苏兴化中学调研)已知曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－1，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，判断两曲线的位置关系．解将曲线C 1，C 2化为直角坐标方程，得 C 1：x ＋3y ＋2＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0，即C 2：(x －1)2＋(y －1)2＝2. 圆心到直线的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝∴曲线C 1与C 2相离．2．(2017·江苏金坛一中期中)已知在极坐标系下，圆C ：ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2与直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，点M 为圆C 上的动点，求点M 到直线l 的距离的最大值．解圆C 化为直角坐标方程，得x 2＋(y ＋1)2＝1. 直线l 化为直角坐标方程，得x ＋y ＝2. 圆心C 到直线l 的距离d ＝|－1－2|2＝322，所以点M 到直线l 的距离的最大值为1＋322.3．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t ，y ＝－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝m ＋2sin θ(θ为参数)相交于A ，B 两点，m 为常数． (1)当m ＝0时，求线段AB 的长；(2)当圆C 上恰有三点到直线的距离为1时，求m 的值．解 (1)直线l ：x ＋y －1＝0，曲线C ：x 2＋y 2＝4，圆心到直线的距离d ＝12，故AB ＝2r 2－d 2＝14.(2)圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －m )2＝4，直线l ：x ＋y －1＝0，由题意，知圆心到直线的距离d ＝|m －1|2＝1，∴m ＝1± 2.4．(2017·江苏昆山中学质检)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝3，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝1＋t(t 为参数，t ∈R )．试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大．解曲线C 的普通方程是x 23＋y 2＝1，直线l 的普通方程是x ＋3y －3＝0.设点M 的直角坐标是(3cos θ，sin θ)，则点M 到直线l 的距离是d ＝|3cos θ＋3sin θ－3|2＝3⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－12.因为－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤2，所以当sin ⎝⎛⎭⎫ θ＋π4＝－1，即θ＝2k π－3π4(k ∈Z )时，d 取得最大值．此时3cos θ＝－62，sin θ＝－22. 设点M 的极角为φ，则⎩⎨⎧ρcos φ＝－62，ρsin φ＝－22，所以⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，φ＝7π6. 综上，当点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，7π6时，该点到直线l 的距离最大． 3.空间向量与立体几何1．(2017·江苏南通中学月考)如图，已知三棱锥O －ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝OC ＝2，E 是OC 的中点．(1)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； (2)求二面角A －BE －C 的正弦值．解 (1)以O 为原点，分别以OB ，OC ，OA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，E (0,1,0)． EB →＝(2，－1,0)，AC →＝(0,2，－1)， ∴cos 〈EB →，AC →〉＝－25，即异面直线BE 与AC 所成角的余弦值为25.(2)AB →＝(2,0，－1)，AE →＝(0,1，－1)，设平面ABE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则由n 1⊥AB →，n 1⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝0，y －z ＝0，取n 1＝(1,2,2)，平面BEC 的法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝23，∴二面角A －BE －C 的余弦值cos θ＝23，∴sin θ＝53，即二面角A －BE －C 的正弦值为53.2．(2017·江苏宜兴中学质检)三棱柱ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3，D 是BC 的中点．(1)求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2)求二面角B 1－A 1D －C 1的正弦值．解 (1)由题意知，B (2,0,0)，C (0,4,0)，D (1,2,0)，A 1(0,0,3)，B 1(2,0,3)，C 1(0,4,3)，则A 1D →＝(1,2，－3)，A 1C 1→＝(0,4,0)，DB 1→＝(1，－2,3)．设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．由n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0，得y ＝0，x ＝3z ，令z ＝1，得x ＝3，n ＝(3,0,1)．设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈DB 1→，n 〉|＝|3＋3|10×14＝33535.(2)设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )，A 1B 1→＝(2,0,0)．由m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0，得a ＝0,2b ＝3c ，令c ＝2，得b ＝3，m ＝(0,3,2)．设二面角B 1－A 1D －C 1的大小为α， |cos α|＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝265， sin α＝3765＝345565.所以二面角B 1－A 1D －C 13．(2017·江苏运河中学质检)PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ADC ＝π2，AB ＝AD ＝PD ＝1，CD ＝2.设Q 为侧棱PC 上一点，PQ →＝λPC →.试确定λ的值，使得二面角Q －BD －P 为π4.解因为侧面PCD ⊥底面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，PD ⊥CD ，所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，又∠ADC ＝π2，故DA ，DC ，DP 两两互相垂直．如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,2,0)，P (0,0,1)，则平面PBD 的一个法向量为n ＝(－1,1,0)，PC →＝(0,2，－1)，PQ →＝λPC →，λ∈(0,1)，所以Q (0,2λ，1－λ)．设平面QBD 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )，由m ·BD →＝0，m ·DQ →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，2λb ＋(1－λ)c ＝0，所以取b ＝1，得m ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，2λλ－1，所以cos π4＝|m ·n ||m ||n |，即22·2＋⎝⎛⎭⎫2λλ－12＝22. 注意到λ∈(0,1)，解得λ＝2－1.4．在三棱锥S －ABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 是AC 的中点，侧棱SB 和底面成45°角．(1)若D 为棱SB 上一点，当SDDB为何值时，CD ⊥AB ； (2)求二面角S －BC －A 的余弦值的大小．解以O 点为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系．由题意知∠SBO ＝45°，SO ＝3.。

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题1.（本小题满分12分）如图以点为中心的海里的圆形海域被设为警戒水域，在点正北海里处有一雷达观测站.在某时刻测得一匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的点处，经过分钟后又测得该船只已行驶到点北偏东且与点相距海里的点处，其中，.（Ⅰ）求该船行驶的速度；（Ⅱ）若该船不改变航行方向继续行驶，判断其能否进入警戒水域（说明理由）.【答案】解：（I）∴△ABC中由余弦定理得∴∴船航行速度为（海里/小时）…………6分（II）建立如图直角坐标系B点坐标C点坐标直线AB斜率直线AB方程：点E(0,-55)到直线AB距离由上得出若船不改变航行方向行驶将会进入警戒水域。

……………12分【解析】略2.（本小题满分12分）设角是的三个内角,已知向量，,且.(Ⅰ)求角的大小; (Ⅱ)若向量,试求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】(Ⅰ)由题意得即--------------------------2分由正弦定理得--------------------------3分再由余弦定理得--------------------------5分(Ⅱ) --------------------------6分-----------------------8分--------------------------10分所以，故. --------------------------12分3.若将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于原点对称，则（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】因为，所以将其图像向右平移个单位长度，得到的图像为，又因为函数的图像关于原点对称，所以函数为奇函数，所以，即，又因为，所以，故应选．【考点】1、三角函数的恒等变换；2、三角函数的图像变换；3、三角函数的图像及其性质；4.若，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得又为第二象限角，所以，选B．【考点】两角差余弦公式5.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（）A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解【答案】D【解析】A．a＝8，b＝16，A＝30°，则B=90°，有一解；B．b＝18，c＝20，B＝60°，由正弦定理得解得，因为，有两解；C．a＝5，c＝2，A＝90°，有一解； D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解是正确的．故选D．【考点】三角形解得个数的判断．6.已知α∈（，），sinα＝，则tan（α＋）=（）A．7B．C．－7D．－【答案】B【解析】根据题意有，，所以，故选B．【考点】同角三角函数关系式，和角公式．7.（本小题满分12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若，求b，c的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）先由余弦定理将已知条件中等式的右端化为，再由正弦定理将其化为，然后利用两角和的正弦公式及三角形的内角和为进行整理，可得出A角的余弦值，从而求出角．（2）由已知条件列出关于b，c的方程组即可求出结果．试题解析：（1）由正弦定理得所以所以，故所以（2）由，得由条件，，所以由余弦定理得解得【考点】利用正弦定理、余弦定理解三角形．8.在中，角的对边分别为，已知，且，则为．【答案】6【解析】，，，，，即，解得．所以在中．，，，．【考点】1诱导公式，余弦二倍角公式；2余弦定理．9.（本小题满分12分）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且，（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值．【答案】（Ⅰ）120°；（Ⅱ）1【解析】（Ⅰ）求角的大小，从已知可看出，把已知条件用正弦定理化为边的关系，然后用余弦定理可得；（Ⅱ）由（Ⅰ），因此可把化为一个角的三角函数，再由两角和与差的正弦公式化为一个三角函数，可得最大值．试题解析：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故，A=120°（Ⅱ）由（Ⅰ）得：故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】原函数在轴左侧是一段正弦型函数图象，在轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于轴对称的点至少有对，可将左侧的图象对称到轴右侧，即，应该与原来轴右侧的图象至少有个公共点如图，不能满足条件，只有此时，只需在时，的纵坐标大于，即，得．【考点】分段函数，函数图象，正弦型函数，对数函数2.若，则函数的最大值是___________．【答案】【解析】由题意因为，所以，所以函数的最大值是．【考点】求最大值．3.已知，，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】,【考点】三角函数的性质4.若，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得又为第二象限角，所以，选B．【考点】两角差余弦公式5.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．-2D．【答案】C【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选C．【考点】三角函数的性质．6.设的最小值为，则．【答案】【解析】，根据题意，结合二次函数在某个区间上的最值问题，对参数进行讨论，当时，其最小值为，所以不合题意，当时，其最小值为，解得，当时，其最小值为，无解，所以．【考点】倍角公式，二次函数在给定区间上的最值问题．7.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．D．-2【答案】D【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选D．【考点】三角函数的性质．8.下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．y=sin2x+cos2xB．y=sin2xcos2xC．y=cos（4x+）D．y=sin22x﹣cos22x【答案】D【解析】因为A项为非奇非偶函数，B项是奇函数，C项是奇函数，只有D项是符合题意的，故选D．【考点】诱导公式，倍角公式，三角函数的奇偶性和周期．9.函数的最大值为．【答案】【解析】解析式表示过的直线的斜率，由几何意义，即过定点（4，3）与单位圆相切时的切线斜率为最值．所以设切线得斜率为k，则直线方程为，即 ,【考点】三角函数最值【方法点睛】本题主要考查三角函数最值问题及转化的思想，解决问题的根据是根据所给函数式子转化为直线与圆的位置关系问题，即将所给式子看做定点与单位圆上点的连线的斜率的范围问题，通过模型转化使问题定点巧妙解决，属于经典试题．10.（本题满分12分）如图，在中，边上的中线长为3，且，．（1）求的值；（2）求边的长．【答案】（1）（2）4【解析】（1）利用角的关系，再结合两角差正弦公式展开就可求解（2）先在三角形ABD中，由正弦定理解出BD长，即CD长：由正弦定理，得，即，解得…故；再在三角形ADC中由余弦定理解出AC：；AC= 4试题解析：（1）（2）在中，由正弦定理，得，即，解得…故，从而在中，由余弦定理，得；AC= 4 ；【考点】正余弦定理11.中，，则的最大值为．【答案】【解析】设，由余弦定理的推论，所以，设，代入上式得，，故，当时，此时，符合题意，因此最大值为，故答案为：．【考点】解三角形．【思路点睛】首先假设，然后再根据余弦定理的推论，可得，找到与的关系，再设，代入上式得，利用根的判别式，进而求出结果．本题的关键是利用余弦定理的推论．12.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若，求函数在区间上的单调减区间．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）由图象中的最高点和最低点的纵坐标得到关于的方程组求得，再利用图象得到函数的周期，进而得到值，最后代入最低点坐标或最高点坐标结合的范围求出，即得到函数的解析式；（2）先求出，利用两角和差的正弦公式将其化为的形式，再利用整体思想求其单调递减区间．试题解析：（1）由图知，解得，又，所以，所以，将点代入，得，再由，得，所以；（2）因为由，解得；又，故所求的单调减区间为，．【考点】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变形．13.已知角的终边经过点（-4，3），则= ，= ；【答案】;【解析】由题意可得.【考点】任意角三角函数的定义.14.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）在解三角形的背景下，考查正弦定理，余弦定理，知值求值．（Ⅱ）综合余弦定理，求三角形的面积公式，需要把作为整体求之．试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得将上式代入已知即，即．∵∵∵B为三角形的内角，∴．（Ⅱ）由余弦定理得，结合，可得，所以△ABC的面积．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式．15.在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．【考点】解三角形．【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．16.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积，则 .【答案】【解析】由余弦定理，，又，，，即，，．【考点】1、余弦定理；2、同角三角函数的基本关系；3、三角形面积公式.【思路点睛】本题主要考查的是余弦定理、同角三角函数基本关系、三角形的面积公式，属于容易题.因为题目求，且的面积，边的平方的形式一般想到余弦定理，面积展开后利用余弦定理即可求得与的关系，从而利用同角三角函数的基本关系求得.17.（2012•安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=，可求a的值，进而可求B=，利用D为BC的中点，可求AD的长．解：（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC∴2sinBcosA=sin（A+C）∵A+C=π﹣B∴sin（A+C）=sinB＞0∴2sinBcosA=sinB∴cosA=∵A∈（0，π）∴A=；（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=∴a2=b2+c2﹣2bccosA=3∴b2=a2+c2∴B=∵D为BC的中点，∴AD=．【考点】余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值．18.在中，已知．（Ⅰ）求sinA与角B的值；（Ⅱ）若角A,B,C的对边分别为的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．【解析】（I）给出了关于角的两个三角函数值，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式可求得其正弦、余弦，再根据三角形的性质可求得的值；（II）在第一问的基础上，利用正弦定理可求得边，再由余弦定理求边，注意利用三角形基本性质舍解．试题解析：（Ⅰ）∵，，又∵，．∵，且，．（Ⅱ）由正弦定理得，，另由得，解得或（舍去），，．【考点】三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系式及利用正、余弦定理在解三角形．19.已知，则的值为．【答案】．【解析】，故填：．【考点】三角恒等变形．20.在中，角A，B，C的对边分别为，，，若，则角的值为（）A．或B．或C．D．【答案】A．【解析】，，∴或，故选A．【考点】余弦定理．【思路点睛】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．21.为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（）A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变【答案】A【解析】这是一个三角函数的图象变换问题，一般的为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（纵坐标不变）即可，因此为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选A.【考点】三角函数的图象变换．【方法点睛】本题是一个三角函数的图象变换问题，属于容易题.一般的要得到函数（其中）的图像可按以下步骤进行：先把的图象向左（）或向右（）平移个单位，再将所得函数的图象上各点的横坐标扩大（）或缩小（）为原来的（纵坐标不变），再把所得函数图象上各点的纵坐标扩大（）或缩小（）为原来的倍（横坐标不变），最后再将所得图像向上（）或向下（）平移个单位，即可得到函数的图象.22.如图，在中，，，点在边上，且，.（I）求；（II）求的长.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】（Ⅰ）由图可知，所以，又，所以，再由两角差的正弦公式可求得；（Ⅱ）由题意可用正弦定理、余弦定理即可求出、的长，在中，有，又从而可求得；在中，由余弦定理得，，从而可求出.试题解析：（Ⅰ）在中，因为，所以，所以（Ⅱ）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以【考点】1.解三角形；2.两角差的正弦公式.23.设的内角对边分别为，已知，且.（1）求角的大小；（2）若向量与共线，求的值.【答案】(1);(2)。

高三数学(理)一轮复习第三章三角函数、解三角形课时作业25

＝ 1－cos2A＝25 5，sinB＝ 1－cos2B＝31010，所以 cosC＝cos[π－(A＋B)]
＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosA·cosB＝2 5 5×3 1010－ 55× 1100＝ 22，所以 C
＝45°。又由正弦定理知sincC＝sianA，所以sin425°＝2
7
721。由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA 可得 c2－2c－3＝0，所以 c
＝3。
答案
21 73
9．已知在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，cosA＝ 55， cosB＝ 1100，c＝ 2，则 a＝________。
解析因为 cosA＝ 55，cosB＝ 1100，A，B，C 为三角形内角，所以 sinA
A．1∶1∶ 3
B．2∶2∶ 3
C．1∶1∶2
D．1∶1∶4
解析 △ABC 中，A∶B∶C＝1∶1∶4，所以 A＝π6，B＝π6，C＝23π，a∶ b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝12∶12∶ 23＝1∶1∶ 3。
答案 A
3．在△ABC 中，a＝8，b＝10，A＝45°，则此三角形解的情况是( )
由题可知
S
△
ABC
＝
1 2
absinC
＝
a2＋b2－c2 4
，
所
以
a2＋ b2－ c2＝
2absinC，由余弦定理 a2＋b2－c2＝2abcosC，所以 sinC＝cosC。因为 C∈(0，
π)，所以 C＝π4。故选 C。
答案 C
5．已知锐角△ABC 的三个内角分别为 A，B，C，则“sinA>sinB”是 “tanA>tanB”的( )

三角函数练习题100题(Word版,含解析)

三角函数习题100题练兵（1-20题为三角函数的基本概念及基本公式，包括同角三角函数关系，诱导公式等，21-40题三角函数的图象与性质，41-55题为三角恒等变形，56-70为三角函数基本关系及角度制与弧度制等，包括象限角弧长与扇形面积公式等，71-90题为三角函数的综合应用，91-100为高考真题。

其中1-55为选择题，56-70为填空题，71-100为解答题。

）1.函数且的图象恒过点，且点在角的终边上，则A. B. C. D.【解答】解：函数且的图象恒过定点，角的终边经过点，，，．故选B2.已知角的终边上有一点，则A. B. C. D.【解答】解：角的终边上有一点，，则．故选C．3.若，且，则角的终边位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】解：，则角的终边位于一二象限，由，角的终边位于二四象限，角的终边位于第二象限．故选择．4.已知是第二象限角，为其终边上一点且，则的值A. B. C. D.【解答】解：是第二象限角，为其终边上一点且，，解得，，．故选A．5.已知角的终边过点，且，则的值为A. B. C. D.【解答】解：由题意，角的终边过点，可得，，，所以，解得，故选A．6.若点在角的终边上，则A. B. C. D.【解析】解：点在角的终边上，，则，，．故选B．7.在平面直角坐标系中，，点位于第一象限，且与轴的正半轴的夹角为，则向量的坐标是A. B. C. D.【解答】解：设，则，，故故选C．8.的大小关系为A. B. C. D.【解答】解：，，，，．故选C．9.已知角的终边上有一点，则的值为A. B. C. D.【解答】解：根据三角函数的定义可知，根据诱导公式和同角三角函数关系式可知，故选A．10.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角的终边过点，，且，则A. B. C. D.【解答】解：因为角的终边过点，所以是第一象限角，所以，，因为，，所以为第一象限角，，所以，所以，故选：．11.若角的终边经过点，则A. B. C. D.【解答】解：由题意，，，因为的正负不确定，则正负不确定．故选C．12.下列结论中错误的是A.B.若是第二象限角，则为第一象限或第三象限角C.若角的终边过点，则D.若扇形的周长为，半径为，则其圆心角的大小为弧度【解答】解：．，故A正确；B.因为为第二象限角，，所以，当为偶数时，为第一象限的角，当为奇数时，为第三象限角，故B正确；C.当时，，此时，故C错误；D.若扇形的周长为，半径为，则弧长为，其圆心角的大小为弧度，故正确．故选C．13.我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图如果内部小正方形的内切圆面积为，外部大正方形的外接圆半径为，直角三角形中较大的锐角为，那么A. B. C. D.【解答】解：因为内部小正方形的内切圆面积为，所以内部小正方形的内切圆的半径为，所以内部小正方形的边长为，外部大正方形的外接圆半径为，所以大正方形的边长为，设大直角三角形中长直角边为，斜边为，则，则，所以，所以大直角三角形中短直角边为，所以，，则．故选D．14.己知是第四象限角，化简为A. B. C. D.【解答】解：是第四象限角，故，又，，则．故选B．15.函数的最小正周期为A. B. C. D.【解答】解：，所以的最小正周期．故选C．16.函数的值域是A. B. C. D.【解答】解：，令，，则，，由二次函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，当时取的最小值，其最小值为，当时取得最大值，其最大值为．故函数的值域为．故选B．17.已知，，且，，则A. B. C. D.【解答】解：由题可知，，，所以，所以，又，所以，所以，当时，．因为，所以，不符合题意，当时，同理可得，故选：．18.已知，则的值为A. B. C. D.【解答】解：因为，所以，所以，所以，所以．故选A．19.在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最小值为A. B. C. D.【解答】解：，由正弦定理化简得：，整理得：，，；则．当且仅当时等号成立，可得的最小值为．故选：．20.若的内角满足，则的值为．A. B. C. D.【解答】解：因为为的内角，且，所以为锐角，所以．所以，所以，即．所以．故选A．21.已知函数给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是A.①B.①③C.②③D.①②③【解答】解：因为，①由周期公式可得，的最小正周期，故①正确；②，不是的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象，故③正确．故选：．22.将函数的图象先向右平移个单位长度，再将该图象上各点的横坐标缩短到原来的一半纵坐标不变，然后将所得图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍横坐标不变，得函数的图象，则解析式是A. B.C. D.【解答】解：由题意函数的图象上各点向右平移个单位长度，得到新函数解析式为，再把所得函数的图象上各点横坐标缩短为原来的一半，得到新函数解析式为，再把所得函数的图象上各点纵坐标伸长为原来的倍，得到新函数解析式为．故选A．23.如图函数的图象与轴交于点，在轴右侧距轴最近的最高点，则不等式的解集是A.，B.，C.，D.，【解答】解：由在轴右边到轴最近的最高点坐标为，可得．再根据的图象与轴交于点，可得，结合，．由五点法作图可得，求得，不等式，即，，，求得，，故选：．24.函数的图像的一条对称轴是A. B. C. D.【解答】解：令，解得，函数图象的对称轴方程为，时，得为函数图象的一条对称轴．故选C25.已知函数，若相邻两个极值点的距离为，且当时，取得最小值，将的图象向左平移个单位，得到一个偶函数图象，则满足题意的的最小正值为A. B. C. D.【解答】解：函数，所以，，相邻两个极值点的横坐标之差为，所以，所以，又，所以，当时，取得最小值，所以，，而，所以，所以，将的图象向左平移个单位得为偶函数，所以，，即．所以的最小正值为．故选A．26.函数的定义域为A. B.C. D.【解答】解：根据对数的真数大于零，得，可知：当时，，故函数的定义域为．故选A．27.设函数若是偶函数，则A. B. C. D.【解答】解：，因为为偶函数，所以当时，则，，所以，，又，所以．故选B．28.函数的部分图像如图所示，则A. B. C. D.【解答】解：由题意，因为，所以，，由时，可得，所以，结合选项可得函数解析式为．故选A．29.已知函数，给出下列命题：①，都有成立；②存在常数恒有成立；③的最大值为；④在上是增函数．以上命题中正确的为A.①②③④B.②③C.①②③D.①②④【解答】解：对于①，，，①正确；对于②，，由，即存在常数恒有成立，②正确；对于③，，令，，则设，，令，得，可知函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，，则的最大值为，③错误；对于④，当时，，所以在上为增函数，④正确．综上知，正确的命题序号是①②④．故选：．30.已知，，直线和是函数图象的两条相邻的对称轴，则A. B. C. D.【解答】解：由题意得最小正周期，，即，直线是图象的对称轴，，又，，故选A．31.已知函数向左平移半个周期得的图象，若在上的值域为，则的取值范围是A. B. C. D.【解答】解：函数向左平移半个周期得的图象，由，可得，由于在上的值域为，即函数的最小值为，最大值为，则，得．综上，的取值范围是．故选D．32.若，则实数的取值范围是A. B. C. D.解：，，，．，，．33.如图，过点的直线与函数的图象交于，两点，则等于A. B. C. D.【解答】解：过点的直线与函数的图象交于，两点，根据三角函数的对称性得出；，，，，．是的中点，，．故选B．34.已知函数，若函数恰有个零点，，，，且，为实数，则的取值范围为A. B. C. D.解：画出函数的图象，如图：结合图象可知要使函数有个零点，则，因为，所以，所以，因为，所以，且，可设，其中，所以，所以，所以的取值范围是．故选A．35.函数的部分图象如图所示，现将此图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为A. B. C. D.【解答】解：根据函数的部分图象，则：，，所以：，解得：，当时，，即：解得：，，因为，当时，，故：，现将函数图象上的所有点向左平移个单位长度得到：函数的图象．故选C．36.已知曲线：，：，则下面结论正确的是A.把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B.把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【解答】解：把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，即曲线，故选D．37.设，则函数的取值范围是A. B. C. D.【解答】解：，因为，所以，所以故选A．38.人的心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值设某人的血压满足函数式，其中为血压单位：，为时间单位：，则下列说法正确的是A.收缩压和舒张压均高于相应的标准值B.收缩压和舒张压均低于相应的标准值C.收缩压高于标准值、舒张压低于标准值D.收缩压低于标准值、舒张压高于标准值【解答】解：某人的血压满足函数式，其中为血压单位：，为时间单位：则此人收缩压；舒张压，所以此人的收缩压高于标准值、舒张压低于标准值．故选C．39.设函数，下述四个结论：①的图象的一条对称轴方程为；②是奇函数；③将的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象；④在区间上单调递增．其中所有正确结论的编号是A.①②B.②③C.①③D.②③④【解答】解：由题意．对①，的对称轴为，即，故是的对称轴故①正确；对②，，故为偶函数，故②错误；对③，将的图象向左平移个单位长度得到故③正确；对④，当时，，因为是的减区间，故④错误．综上可得①③正确．故选C．40.如图，某港口一天时到时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深单位：的最大值为A. B. C. D.【解答】解：由图象知．因为，所以，解得，所以这段时间水深的最大值是．故选C．41.若，且，则等于A. B. C. D.【解答】解：，，则，又，，则．故选：．42.若，则A. B. C. D.【解答】解：，且，，，两边同时平方得，解得或舍去，，故选B．43.，，则的值为．A. B. C. D.【解答】解：，，，，．故选：．44.若，均为锐角，，，则A. B. C.或 D.【解答】解：为锐角，，，且，，且，，，．45.在中，已知，那么的内角，之间的关系是A. B. C. D.关系不确定【解答】解：由正弦定理，即，所以，即，所以，则，所以．故选B．46.设，，则A. B. C. D.【解答】解：根据二倍角公式可得，解得，由，可得，所以，故选A．47.设，，且，则下列结论中正确的是A. B. C. D.【解答】解：，因为，所以．故选A．48.已知是锐角，若，则A. B. C. D.【解答】解：已知是锐角，，若，，则．故选A．49.化简的值等于A. B. C. D.【解答】解：，，．故选A．50.已知，，则的值为A. B. C. D.【解答】解：，，由得．．故选B．51.已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是A. B. C. D.【解答】解：函数，由函数在上单调递减，且，得解得，又，，实数的取值范围是．故选A．52.函数的最大值为A. B. C. D.【解答】解：函数，其中，函数的最大值为，故选C．53.计算：等于A. B. C. D.【解答】解：，，．故选A．54.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，则的值为A. B. C. D.【解答】解：，，即，即，，由正弦定理可得，又，所以由余弦定理可得，故选D．55.函数取最大值时，A. B. C. D.【解答】解：，其中由确定．由与得．若，则，，，此时．所以，最大值时，，，．故选．56.已知点在第一象限，且在区间内，那么的取值范围是___________．【解答】解：由题意可知，，，借助于三角函数线可得角的取值范围为．故答案为．57.已知角的终边经过点，则实数的值是【解答】解：设，由于正切函数周期为，则，又终边经过点，所以，解得，故答案为．58.在平面直角坐标系中，角的顶点是，始边是轴的非负半轴，，若点是角终边上的一点，则的值是____．【解答】解：因为点是角终边上的一点，所以，由，，则在第一象限，又，所以．故答案为．59.已知，，则____________．【解答】解：，，，，．故答案为．60.已知角的终边与单位圆交于点，则的值为__________．【解答】解：由题意可得，则．故答案为．61.若扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为__________．【解答】解：因为，所以扇形面积公式．故答案为．62.如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．【解答】解：由于，若，，则．63.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，，垂足为，，到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为___________．【解答】解：设上面的大圆弧的半径为，连接，过作交于，交于，交于，过作于，记扇形的面积为，由题中的长度关系易知，同理，又，可得为等腰直角三角形，可得，，，，，解得，，故答案为．64.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有齿，小轮有齿．当小轮转动两周时，大轮转动的角度为______________写正数值：如果小轮的转速为转分，大轮的半径为，则大轮周上一点每秒转过的弧长为______________．【解答】解：因为大轮有齿，小轮有齿，当小轮转动两周时，大轮转动的角为，如果小轮的转速为转分，则每秒的转速为转秒，由于大轮的半径为，那么大轮周上一点每转过的弧长是．故答案为．65.终边在直线上的所有角的集合是____________．【解答】解：由终边相同的角的定义，终边落在射线的角的集合为，终边落在射线的角的集合为：，终边落在直线的角的集合为：．故答案为．66.已知直四棱柱的棱长均为，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为________．【解答】解：如图：取的中点为，的中点为，的中点为，因为，直四棱柱的棱长均为，所以为等边三角形，所以，，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因为，所以，所以根据弧长公式可得．故答案为．67.用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内的角的集合是_________________________．【解答】解：由题意，得与终边相同的角可表示为，与终边相同的角可表示为，故角的集合是，故答案为．68.给出下列命题：第二象限角大于第一象限角三角形的内角是第一象限角或第二象限角不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关若，则与的终边相同若，则是第二或第三象限的角．其中正确的命题是填序号【解答】解：①是第二象限角，是第一象限角，但，①错误；②三角形内角有的直角，但它不是象限角，不属于任何象限，②错误；③角的度量是角所在扇形中它所对的弧长与相应半径的比值，与扇形半径无关，③正确④与的正弦值相等，但它们终边关于轴对称，④错误；⑤余弦值小于零，的终边在第二或第三象限或非正半轴上，⑤错误．故答案为③69.已知扇形的圆心角为，周长为，则扇形的面积为______ ．解：设扇形的半径为，圆心角为，弧长，此扇形的周长为，，解得：，则扇形的面积为．故答案为．70.地球的北纬线中国段被誉为中国最美风景走廊，东起舟山东经，西至普兰东经，“英雄城市”武汉东经也在其中，假设地球是一个半径为的标准球体，某旅行者从武汉出发，以离普兰不远的冷布岗日峰东经为目的地，沿纬度线前行，则该行程的路程为__________用含的代数式表示【解答】解：地球半径为，所以北纬的纬度圈半径为，因为武汉和冷布岗日峰的经度分别为东经和东经，相差，即，所以两地在北纬的纬线长是．故答案为．71.如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边的锐角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标是．求的值；若以轴正半轴为始边的钝角的终边与单位圆交于点，且点的横坐标为，求的值．【参考答案】解：因为锐角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标是，所以由任意角的三角函数的定义可知．从而．，．因为钝角的终边与单位圆交于点，且点的横坐标是，所以，从而．于是．因为为锐角，为钝角，所以，从而．72.如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点、在弧上，且线段平行于线段若点为弧的一个三等分点，求矩形的面积；当在何处时，矩形的面积最大？最大值为多少？【参考答案】解：如图，作于点，交线段于点，连接、，，，，，，设，则，，，，，，即时，，此时在弧的四等分点处．73.如图，圆的半径为，，为圆上的两个定点，且，为优弧的中点，设，在右侧为优弧不含端点上的两个不同的动点，且，记，四边形的面积为．求关于的函数关系；求的最大值及此时的大小．解：如下图所示：圆的半径为，，为圆上的两个定点，且，，到的距离，若，则，到的距离，故令则，，的图象是开口朝上，且以直线为对称的抛物线，故当，即时，取最大值．74.如图，在中，，，为，，所对的边，于，且．求证：；若，求的值．【参考答案】证明：，，，，，在直角三角形中，，在直角三角形中，，则，即，，，由此即得证．解：，，，则，由知，，故的值为．75.已知角的终边经过点．求的值；求的值．【参考答案】解：Ⅰ因为角终边经过点，设，，则，所以，，．．Ⅱ．76.已知向量，．当时，求的值；若，且，求的值．【参考答案】解：首先，．当时，．由知，．因为，得，所以．所以．77.如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于、两点，已知、的横坐标分别为求的值；求的值．【参考答案】解：由已知得，，，因为为锐角，故，从而，同理可得，因此，，所以，，又，，，得．78.已知化简若是第二象限角，且，求的值．【参考答案】解：．是第二象限角，且，，是第二象限角，．79.如图，某市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定．求，的值和，两点间的距离；应如何设计，才能使折线段最长？【参考答案】解：因为图象的最高点为，所以，由图象知的最小正周期，又，所以，所以，所以，，故，两点间的距离为，综上，的值为，的值为，，两点间的距离为；在中，设，因为，故，由正弦定理得，所以，．设折线段的长度为，则，所以的最大值是，此时的值为．故当时，折线段最长．80.已知函数．Ⅰ求的最小正周期；Ⅱ求在区间上的最大值和最小值．【参考答案】解：Ⅰ，所以的最小正周期为．Ⅱ因为，所以．于是，当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值．81.已知函数求函数的最小正周期；若函数对任意，有，求函数在上的值域．【参考答案】解：，的最小正周期；函数对任意，有，，当时，则，则，即，解得．综上所述，函数在上的值域为：．82.已知向量，．当时，求的值；设函数，且，求的最大值以及对应的的值．【参考答案】解：因为，所以，因为否则与矛盾，所以，所以；，因为，所以，所以当，即时，函数的最大值为．83.已知函数．求的值；从①；②这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数在上的最小值，并直接写出函数的一个周期．【参考答案】解：Ⅰ由函数，则；Ⅱ选择条件①，则的一个周期为；由；，因为，所以；所以，所以；当，即时，在取得最小值为．选择条件②，则的一个周期为；由；因为，所以；所以当，即时，在取得最小值为．，，84.已知函数．求函数的最小正周期和单调递增区间；若存在满足，求实数的取值范围．【参考答案】解：，函数的最小正周期．由，得，的单调递增区间为．当时，可得：，令．所以若存在，满足，则实数的取值范围为．85.已知函数．求函数的单调减区间；将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．【参考答案】解：函数，当，解得：，因此，函数的单调减区间为；将函数的图象向左平移个单位，得的图象，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，，，故的值域为．86.函数的部分图象如图所示．求的解析式；设，求函数在上的最大值，并确定此时的值．【参考答案】解：由图知，，则，，，，，，，，的解析式为；由可知：，，，，当即时，．87.已知函数的一系列对应值如下表：根据表格提供的数据求函数的一个解析式．根据的结果，若函数周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围．【参考答案】解：设的最小正周期为，则，由，得．又由解得令，即，解得，．函数的最小正周期为，且，．令．，，的图像如图．在上有两个不同的解时，，方程在时恰有两个不同的解，则，即实数的取值范围是．88.已知函数的部分图象如图所示．求函数的解析式；求函数在区间上的最大值和最小值．【参考答案】解：由题意可知，，，得，解得．，即，，，所以，故；当时，，得；当时，即有时，函数取得最小值；当时，即有时，函数取得最大值．故，；89.已知函数．求的值；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【参考答案】解：Ⅰ，．Ⅱ，．．由不等式恒成立，得，解得．实数的取值范围为．90.设函数，．已知，函数是偶函数，求的值；求函数的值域．【参考答案】解：由，得，为偶函数，，，或，，，，，函数的值域为：．高考真题91.（2016山东）设．求的单调递增区间；把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值．【参考答案】解：由，由，得，所以的单调递增区间是．由知，把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，得到的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，即．所以．92.（2020安徽）在平面四边形中，，，，．求；若，求．解：，，，．由正弦定理得：，即，，，，．，，，．93.（2105重庆）已知函数求的最小正周期和最大值；讨论在上的单调性．【参考答案】解：．所以的最小正周期，当时，最大值为．当时，有，从而时，即时，单调递增，时，即时，单调递减，综上所述，单调增区间为，单调减区间为94.（2020上海）已知．求的值求的值．【解答】解：原式原式．95.（2017山东）设函数，其中，已知．Ⅰ求；Ⅱ将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值．解：Ⅰ函数，又，，，解得，又，Ⅱ由Ⅰ知，，，将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到的图象，函数当时，，，当时，取得最小值是．96（2019上海）已知等差数列的公差，数列满足，集合．若，求集合；若，求使得集合恰好有两个元素；若集合恰好有三个元素：，是不超过的正整数，求的所有可能的值．【参考答案】解：等差数列的公差，数列满足，集合．当，集合，数列满足，集合恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时，②终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，，此时，综上，或者．①当时，，数列为常数列，仅有个元素，显然不符合条件；②当时，，，数列的周期为，中有个元素，显然不符合条件；③当时，，集合，情况满足，符合题意．④当时，，，，，或者，，当时，集合，符合条件．⑤当时，，，，，或者，，因为，取，，集合满足题意．⑥当时，，，所以，，或者，，，取，，，满足题意．⑦当时，，，所以，，或者，，，故取，，，，当时，如果对应着个正弦值，故必有一个正弦值对应着个点，必然存在，有，，，，，不符合条件．当时，如果对应着个正弦值，故必有一个正弦值对应着个点，必然存在，有，，不是整数，不符合条件．当时，如果对应着个正弦值，故必有一个正弦值对应着个点，必然存在，有或者，，或者，此时，均不是整数，不符合题意．综上，，，，．97.（2017全国）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立．函数是否属于集合？说明理由；设函数，且的图象与的图象有公共点，证明：；若函数，求实数的取值范围．【参考答案】解：对于非零常数，，．因为对任意，不能恒成立，所以；因为函数且的图象与函数的图象有公共点，所以方程组：有解，消去得，显然不是方程的解，所以存在非零常数，使．于是对于有故；当时，，显然．当时，因为，所以存在非零常数，对任意，有成立，即．因为，且，所以，，。

2020年高考理科数学《解三角形》题型归纳与训练及答案解析

2020年高考理科数学《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ．【答案】（1）15cos 17B =（2）2b =．【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-．上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==．又2ABC S ∆=，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=．所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。

【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。

例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。

届高三理科数学六大专题训练题含详解

届高三理科数学六大专题训练题含详解IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】高三数学（理科）专题训练一《三角函数、三角恒等变换与解三角形》一、选择题1．α为三角形的一个内角，,125tan -=α则=αcos ()A ．1312-B ．135-C ．135D ．13122．函数x y sin =和函数x y cos =都是增函数的区间是()A ．)](22,232[Z k k k ∈++ππππB．)](232,2[Z k k k ∈++ππππC ．)](22,2[Z k k k ∈+πππD ．)](2,22[Z k k k ∈++ππππ3．已知,51)25sin(=+απ那么=αcos ()A ．52-B ．51-C ．51D ．524．在图中，A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A点的坐标为),54,53(且AOB ∆是正三角形．则COB ∠cos 的值为()A ．10334+B ．10334- C ．10343+D ．10343-5．将函数)(sin cos 3R x x x y ∈+=的图象向左平移)0(>m m 个长度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是() A ．12πB ．6πC ．3πD ．65π6．下列关系式中正确的是() A ．︒<︒<︒168sin 10cos 11sin B ．︒<︒<︒10cos 11sin 168sinC ．︒<︒<︒10cos 168sin 11sinD ．︒<︒<︒11sin 10cos 168sin7．在锐角ABC ∆中，角A ，B 所对的边长分别为b a ,.若,3sin 2b B a =则角A 等于()A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π8．已知函数),,0,0)(cos()(R A x A x f ∈>>+=ϕωϕω则“)(x f 是奇函数”是“=ϕ2π”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形中心角是1弧度，则该扇形面积是____．10．设,sin 2sin αα-=),,2(ππα∈则α2tan 的值是________. 11．在锐角ABC ∆中，,1=BC ,2A B ∠=∠则AACcos 的值等于___，AC 的取值范围为___． 12．函数)cos(sin 2)2sin()(ϕϕϕ+-+=x x x f 的最大值为________. 三、解答题 13．已知函数)22,0)(sin(3)(πϕπωϕω<≤->+=x x f 的图象关于直线3π=x 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.π(1)求ω和ϕ的值；(2)若),326(43)2(παπα<<=f 求)23cos(πα+的值．14．已知向量),21,(cos -=x a ),2cos ,sin 3(x x b =,R x ∈设函数.)(b a x f ⋅=(1)求)(x f 的最小正周期； (2)求)(x f 在]2,0[π上的最大值和最小值．15．已知函数,),4sin()(R x x A x f ∈+=π且.23)125(=πf (1)求A 的值；(2)若),2,0(,23)()(πθθθ∈=-+f f 求).43(θπ-f16．已知函数,2cos 21cos sin 3)(x x x x f ωωω-=,0>ω,R x ∈且函数)(x f 的最小正周期为.π(1)求ω的值和函数)(x f 的单调增区间；(2)在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是,,,c b a 又,54)32(=+πA f ,2=b ABC ∆的面积等于3，求边长a 的值． 17．已知函数⋅+=2cos 34cos 4sin 2)(xx x x f(1)求函数)(x f 的最小正周期及最值；(2)令),3()(π+=x f x g 判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由． 18．在ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边分别为.c b a 、、已知,3,==/c b a(1)求角C 的大小；(2)若,54sin =A 求ABC ∆的面积.高三数学（理科）专题训练二数列一、选择题1．数列,,11,22,5,2 的一个通项公式是()A ．33-=n a nB ．13-=n a n C ．13+=n a n D ．33+=n a n 2．已知等差数列}{n a 中，,1,16497==+a a a 则12a 的值是() A ．15B ．30C ．31D ．64 3．等比数列}{n a 中，,20,647391=+=a a a a 则11a 的值是()A ．1B ．64C ．1或64D ．1或324．ABC ∆的三边c b a ,,既成等差数列又成等比数列，则此三角形是()A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 5．已知数列}{n a 满足),2(11≥-=-+n a a a n n n ,3,121==a a 记,321n n a a a a S ++++= 则下列结论正确的是()A ．2,120142014=-=S aB ．5,320142014=-=S aC ．2,320142014=-=S aD ．5,120142014=-=S a6．如果在等差数列}{n a 中，,12543=++a a a 那么=+++721a a a ()A ．14B ．21C ．28D ．357．数列}{n a 中，,,10987,654,32,14321 +++=++=+==a a a a 那么=10a ()A ．495B ．505C ．550D ．5958．各项均为实数的等比数列}{n a 的前n 项和为,n S 若,1010=S ,7030=S 则=40S ()A ．150B ．200-C ．150或200-D ．400或50- 二、填空题9．在等差数列}{n a 中，,8,12543531=-=++a a a a a a 则通项=n a ________.10．设等比数列}{n a 的前n 项和为,n S 若,336=S S 则=69S S________.11．设平面内有n 条直线),2(≥n 其中任意两条直线都相交且交点不同；若用)(n f 表示这n 条直线把平面分成的区域个数，则=)2(f ______，=)3(f ______，=)4(f ______.当4>n 时，=)(n f ________. 12．已知数列}{n a 的通项公式为*).(21log 2N n n n a n ∈++=设其前n 项和为,n S 则使5-<n S 成立的最小自然数n 是________. 三、解答题13．等差数列}{n a 的前n 项和为,23,1=a S n 公差d 为整数，且第6项为正，从第7项起变为负． (1)求d 的值；(2)求n S 的最大值；(3)当n S 是正数时，求n 的最大值．14．设d a ,1为实数，首项为、1a 公差为d 的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足.01565=+S S(1)若,55=S 求6S 及;1a(2)求d 的取值范围.15．已知数列}{n a 的首项n S a a ,1=是数列}{n a 的前n 项和，且满足,0,32122=/+=-n n n n a S a n S (1)若数列}{n a 是等差数列，求a的值；(2)确定a 的取值集合M ，使M a 时，数列}{n a 是递增数列.16．已知}{n a 为递增的等比数列，且}.16,4,3,1,0,2,6,10{},,{531---⊆a a a(1)求数列}{n a 的通项公式； (2)是否存在等差数列},{n b 使得221123121--=+++++--n b a b a b a b a n n n n n 对一切*N n ∈都成立？若存在，求出n b ；若不存在，说明理由. 17．等差数列}{n a 各项均为正整数，,31=a 前n 项和为n S ，等比数列}{n b 中，,11=b 且,6422=S b }{n a b 是公比为64的等比数列． (1)求n a 与；n b(2)证明：⋅<+++4311121n S S S 18．已知数列},{n a n S 为其前n 项的和，,9+-=n n a n S .*N n ∈(1)证明数列}{n a 不是等比数列；(2)令,1-=n n a b 求数列}{n b 的通项公式n b ；(3)已知用数列}{n b 可以构造新数列．例如：},3{n b },12{+n b },{2nb },1{nb },2{n b },{sin n b …，请写出用数列}{n b 构造出的新数列}{n p 的通项公式，使数列}{n p 满足以下两个条件，并说明理由．①数列}{n p 为等差数列；②数列}{n p 的前n 项和有最大值．高三数学（理科）专题训练三<概率>一、选择题1．对满足B A ⊆的非空集合B A 、有下列四个命题：其中正确命题的个数为()①若任取,A x ∈则B x ∈是必然事件②若,A x ∉则B x ∈是不可能事件③若任取,B x ∈则A x ∈是随机事件④若,B x ∉则A x ∉是必然事件 A ．4B ．3C ．2D ．12．从1，2，…，9中任取两个数，其中在下列事件中，是对立事件的是()①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数②至少有一个是奇数和两个都是奇数③至少有一个是奇数和两个都是偶数④至少有一个奇数和至少有一个偶数A ．①B ．②④C ．③D ．①③ 3．如图所示，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2x y =图象下方的点构成的区域，向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为() A ．21B ．31C ．41D ．51 4．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A 、B 中至少有一件发生的概率是() A ．125B ．21C ．127D ．43 5．如图所示，圆C 内切于扇形,3,π=∠AOB AOB 若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C 内的概率为() A ．21B ．31C ．32D ．43 6．已知随机变量ξ服从正态分布),,0(2σN 若,023.0)2(=>ξP 则)22(≤≤-ξP 的值为()A ．．．．7．把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为() A ．14-πB ．π2C ．214-πD ．218．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布)10,80(~2N ξ，则下列命题中不正确的是()A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10 二、填空题9．盒子里共有大小相同的三只白球、一只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是__________． 10．在集合}10,,3,2,1,6|{ ==n n x x π中任取1个元素，所取元素恰好满足方程21cos =x 的概率是__________．11．在区间]3,3[-上随机取一个数x ，使得1|2||1|≤--+x x 成立的概率为______.12．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为,209则参加联欢会的教师共有____人. 13．已知,4|),{(},0,0,6|),{(≤=≥≥≤+=Ωx y x A y x y x y x 若向区域Ω上随机投一点P ，则P 落入区域A 的概率是________. 三、解答题14．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是,31得到黑球或黄球的概率是,125得到黄球或绿球的概率也是,125试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？15.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是32和53.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获得利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望. 16.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. （1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X . 17设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.60.50.50.4、、、，各人是否需使用设备相互独立.（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（2）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望. 18乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域,A B ，乙被划分为两个不相交的区域,C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上记3分，落点在D 上记1分，其它情况记0分，落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在,A B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（I ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（II ）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.高三数学（理科）专题训练四《立体几何初步》一、选择题1．已知ABC ∆的三个顶点为、、)7,3,4()2,3,3(-B A ),1,5,0(C 则BC 边上的中线长为() A ．5B ．4C ．3D ．22．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A ．6B ．9C ．12D ．183．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可能是()A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱4．已知n m 、表示两条不同直线，α表示平面，下列说法中正确的是()A ．若αα//,//n m ，则n m //B ．若,,//n m m ⊥α，则α⊥nC ．若,,n m m ⊥⊥α，则α//nD ．若,,αα⊂⊥n m ，则n m ⊥ 5．已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为() A ．310cm πB ．320cm πC ．3310cm πD ．3320cm π6．已知过球面上C B A ,,三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且,2===CA BC AB 则球的半径是()A ．32B ．34C ．36D ．17．用c b a ,,表示三条不同的直线，α表示平面，给出下列命题：其中正确的命题是()①若,//,//c b b a 则;//c a ②若,,c b b a ⊥⊥则;c a ⊥③若,//,//ααb a 则;//b a ④若,,αα⊥⊥b a 则.//b aA ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 8．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥的轴截面顶角的余弦值是() A ．43B ．54C ．53D ．53-二、填空题9．已知三棱柱111C B A ABC -的6个顶点都在球O 的球面上，若,4,3==AC AB,AC AB ⊥,121=AA 则球O 的半径为_______.10．在三棱锥ABC P -中，,1====BC PC PB PA 且,2π=∠BAC 则PA 与底面ABC 所成角为______.11．在长方体1111D C B A ABCD -中，,2,31cm AA cm AD AB ===则四棱锥D D BB A 11-的体积为____cm 3．三、解答题12．如图所示，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，求切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值.ABCD P -与ABCD Q -的高都是2，.4=AB(1)求证：⊥PQ 平面;ABCD (2)求四面体QAD P -的体积． 14．如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，,,901CC BC AC ACB o ===∠点M 为AB 的中点，点D 在11B A 上，且.311DB D A =(1)求证：平面⊥CMD 平面;11A ABB(2)求二面角M BD C --的余弦值.中，底面ABCD 为矩形，,ABCD PA 平面⊥E 为PD 的中点． (1)证明：AEC PB 平面//；(2)设二面角C AE D --为60°，,3,1==AD AP求三棱锥ACD E -的体积.16．如图所示，直二面角E AB D --中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，,EB AE =点F 为CE 上的点，且⊥BF 平面.ACE (1)求证：⊥AE 平面;BCE (2)求二面角E AC B --的余弦值；(3)求点D 到平面ACE 的距离． 17．如图所示，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．(1)求证：平面PAC ⊥平面PBC . (2)若,1,1,2===PA AC AB 求二面角A PB C --的余弦值.18．如图所示，平行四边形ABCD中，.4,2,60===∠AD AB DAB 将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面⊥EDB 平面ABD. (1)求证：⊥AB 平面;EBD (2)求三棱锥ABD E -的侧面积．高三数学（理科）专题训练五《圆锥曲线方程》一、选择题 1．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为,25则C 的渐近线方程为()A ．x y 41±=B ．x y 31±=C ．x y 21±=D ．x y ±=2．已知,40πθ<<则双曲线1cos sin :22221=-θθy x C 与1sin cos :22222=-θθx y C ()A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等 3．椭圆1422=+y x的两个焦点为,,21F F 过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则=||2PF ()A ．23B ．3C ．27D ．4 4．已知双曲线14222=-b y x 的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于() A ．5B ．24C ．3D ．5 5．设1F 和2F 为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两个焦点，若)2,0(,,21b P F F 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为() A ．23B ．2C ．25D ．36．已知双曲线1222=-y x 的焦点为,,21F F 点M 在双曲线上，且,021=⋅则点M 到x 轴的距离为() A ．34B ．35C ．332D ．37．设双曲线的左焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，右顶点为A ，如果直线FB 与BA 垂直，那么此双曲线的离心率为()A ．2B ．3C ．213+D ．215+ 8．已知F 是抛物线x y =2的焦点，点A 、B 在该抛物线上，且位于x 轴的两侧，2=⋅（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是() A ．2B ．3C ．8217D ．10 二、填空题9．已知抛物线x y 82=的准线过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点，双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_________. 10．已知21,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且.21PF ⊥若21F PF ∆的面积为9，则=b _________.11．抛物线)0(22>=p py x 的焦点为F ，其准线与双曲线13322=-y x 相交于A ，B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则=p _________. 12．椭圆12222=+by a x 的四个顶点为,,,,D C B A 若菱形ABCD 的内切圆恰好经过它的焦点，则此椭圆的离心率是____. 三、解答题13．如图所示，动圆)31(:2221<<=+t t y x C 与椭圆19:222=+y x C 相交于DC B A ,,,四点，点21,A A 分别为2C 的左、右顶点，当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积．14．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两条渐近线方程为,33x y ±=若顶点到渐近线的距离为1，求双曲线方程.15．如图，在平面直角坐标系xOy中，21,F F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点，顶点B 的坐标是),,0(b 连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结.1C F(1)若点C 的坐标为),31,34(且,2||2=BF 求椭圆的方程；(2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.16．椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点分别为,,21F F 点P 在椭圆C 上，且,211F F PF ⊥ (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M ，交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称，求直线l 的方程．17．若点O 和点F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，求FP OP ⋅的最大值．18．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点)0)(,0(>c c F 到直线02:=--y x l 的距离为.223设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． (1)求抛物线C 的方程；(2)当点),(00y x P 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3)当点P 在直线l 上移动时，求||||BF AF ⋅的最小值．高三数学（理科）专题训练六《导数及其应用》一、选择题1．若,)(3x x f =,6)('0=x f 则=0x () A ．2B ．2-C ．2±D ．1± 2．函数133+-=x x y 的单调递减区间是()A ．)2,1(B ．)1,1(-C ．)1,(--∞D ．),1(+∞3．与直线052=+-y x 平行的抛物线2x y =的切线方程是()A ．032=+-y xB ．032=--y x C ．012=+-y x D ．012=--y x4．已知曲线x x y ln 342-=的一条切线的斜率为,21则切点的横坐标为()A ．3B ．2C ．1D ．215．曲线x y cos =与x 轴在区间]23,2[ππ-上所围成的图形的面积是()A ．1B ．2C ．3D ．46．设)(),(x g x f 是定义域为R 的恒大于零的可导函数，且,0)(')()()('<-x g x f x g x f 则当x a <b <时，有()A ．)()()()(b g b f x g x f >B ．)()()()(x g a f a g x f >C ．)()()()(x g b f b g x f >D ．)()()()(a g a f x g x f >7．若)2ln(21)(2++-=x b x x f 在区间),1(+∞-内是减函数，则实数b 的取值范围是()A ．),1[+∞-B ．),1(+∞-C ．]1,(--∞D ．)1,(--∞8．如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则函数的解析式为()A ．x x y 5312513-=B ．x x y 5412523-= C ．x x y -=31253D ．x x y 5112533+-=二、填空题9．若曲线)1ln(+-=x ax y 在点)0,0(处的切线方程为,2x y =则=a ______. 10．若曲线xbax y +=2（a 、b 为常数）过点),5,2(-P 且该曲线在点P 处的切线与直线++y x 2703=平行，则=+b a ______. 11．若,)(2)(12dx x f x x f ⎰+=则=⎰dx x f )(1______.12．设,R a ∈若函数)(3R x x e y ax ∈+=有大于零的极值点，则a 的取值范围是______. 三、解答题13．设函数)0()(=/=k xe x f kx .(1)求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程；(2)求函数)(x f 的单调区间．14．已知函数x=xxxf-+ln.1()1)(+(1)若,1xxf求实数ax)('2++≤ax的取值范围；(2)证明：.0f-xx)()1(≥15．设,12321ln )(+++=x x x a x f 其中,R a ∈曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于y 轴． (1)求a 的值；(2)求函数)(x f 的极值．16．如图所示，已知曲线21:x y C =与曲线)1(2:22>+-=a ax x y C 交于点O 、A ，直线)10(≤<=t t x 与曲线21C C 、分别相交于点D 、B ，联结.AB DA OD 、、(1)写出曲边四边形ABOD （阴影部分）的面积S 与t 的函数关系式);(t f S =(2)求函数)(t f S =在区间]1,0(上的最大值．17．某村庄拟修建一个无盖圆柱形蓄水池（不计厚度），设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元／平方米，底面的建造成本为160元／平方米，该蓄水池的总建造成本为π12000（π为圆周率）．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.18．已知函数.)2(ln )(2x a ax x x f -+-=(1)讨论)(x f 的单调性；(2)设,0>a 证明：当ax 10<<时，);1()1(x ax a f ->+(3)若函数)(x f y =的图象与x 轴交于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为,0x证明：.0)('0<x f高三数学（理科）专题训练一《三角函数、三角恒等变换与解三角形》参考答案9．2cm 210．311．2,)3,2(12．1 三、解答题13．(1)因)(x f 的图象上相邻两个最高点的距离为,π所以)(x f 的最小正周期,π=T 从而.22==Tπω又因)(x f 的图象关于直线3π=x 对称，所以,,2,1,0,232 ±±=+=+⋅k k ππϕπ因≤-2π2πϕ≤得,0=k 所以⋅-=-=6322πππϕ(2)由(1)得=-⋅=)622sin(3)2(πααf ,43所以⋅=-41)6sin(πα由326παπ<<得,260ππα<-< 所以=--=-)6(sin 1)6cos(2παπα⋅=-415)41(12 因此+-==+)6sin[(sin )23cos(πααπα6sin )6cos(6cos )6sin(]6ππαππαπ-+-= 14．(1)π=T (2)21)(,1)(min max -==x f x f15．(1)==+=32sin )4125sin()125(ππππA A f ,23233sin )3sin(===-A A A πππ所以=A ,3所以).4sin(3)(π+=x x f(2))()(θθ-+f f )4sin(3)4sin(3πθπθ+-++=,23cos 6==θ所以,46cos =θ因为,0sin ),2,0(>∈θπθ则=θsin ,410)46(1cos 122=-=-θ 故=+-=-]4)43sin[(3)43(πθπθπf ⋅=⨯==-4304103sin 3)sin(3θθπ16．(1)1=ω)](3,6[Z k k k ∈+-ππππ(2)13=a17．(1)因),32sin(22cos 32sin)(π+=+=x x x x f 故)(x f 的最小正周期.4212ππ==T当1)32sin(-=+πx 时，)(x f 取得最小值;2-当1)32sin(=+πx 时，)(x f 取得最大值2．(2)由(1)知⋅+=)32sin(2)(πx x f 又⋅+=)3()(πx f x g故]3)3(21sin[2)(ππ++=x x g ⋅=+=2cos 2)22sin(2xx π故).(2cos 2)2cos(2)(x g xx x g ==-=-所以函数)(x g 是偶函数． 18．(1)由题意得，=+-+22cos 122cos 1BA ,2sin 232sin 23B A - 即=-A A 2cos 212sin 23-=--B A B B 2sin()62sin(,2cos 212sin 23π),6π 由b a =/得，,B A =/又),,0(π∈+B A 得,6262πππ=-+-B A 即,32π=+B A 所以⋅=3πC(2)由,3=c Cc A a A sin sin ,54sin ==得58=a ，由,c a <得,C A <从而,53cos =A故=+=+=C A C A C A B sin cos cos sin )sin(sin ,10334+ 所以ABC ∆的面积为==B ac S sin 21⋅+251838高三数学（理科）专题训练二《数列》参考答案9．133-n 10．3711．4；7；11；222++n n 12．63 三、解答题13．(1)由已知,0076⎩⎨⎧<>a a 得,06230523⎩⎨⎧<+>+d d 解得,623523-<<-d 又d 为整数，故.4-=d (2)nn n n n S n 252)4(2)1(232+-=-⨯-+=,8625)425(22+--=n当6=n 时，;78=n S 当7=n 时，.77=n S 取最大值为78. (3)令,0>n S 得,02522>+-n n 解得<<n 0*),(225N n ∈ 故n 的最大值为12. 14．(1)由题意知：.31556-=-=S S .8566-=-=S S a所以,85510511⎩⎨⎧-=+=+d a d a 解得,71=a 所以.7,316=-=a S(2)因为,01565=+S S 所以,015)156)(105(11=+++d a d a即.0110922121=+++d da a 故.8)94(221-=+d d a 所以.82≥d故d 的取值范围为22-≤d 或.22≥d15．(1)在21223-+=n n n S a n S 中分别令,2=n 3=n 及,1a a =得++=+a a a a a (,12)(2222.)(27)223232a a a a a ++=+因为,0=/n a 所以2a ,212a -=.233a a +=因为数列}{n a 是等差数列，所以+1a ,223a a =即,23)212(2a a a ++=-解得.3=a经检验3=a 时，,2)1(3,3+==n n S n a n n ,2)1(31-=-n n S n 满足.32122-+=n n n S a n S(2)由,32122-+=n n n S a n S 得,32212n n n a n S S =--即,3))((211n n n n n a n S S S S =-+--因为,0=/n a ,2≥n 所以,321n S S n n =+-①所以,)1(321+=++n S S n n ② ②－①得,361+=++n a a n n 所以=+-1n n a a ,3)1(6+-n两式相减得：).2(611≥=--+n a a n n即数列 642,,a a a 及数列 ,,,753a a a 都是公差为6的等差数列，因为,23,21232a a a a +=-=所以⎪⎩⎪⎨⎧+-≥-+==.,623,3,623,1,为偶数为奇数且n a n n n a n n a a n要使数列}{n a 是递增数列，须有,21a a <且当n 为大于或等于3的奇数时,1+<n n a a且当n 为偶数时,1+<n n a a 即⎪⎩⎪⎨⎧-++<+-≥+-+<-+-<为偶数为奇数且n a n a n n n a n a n a a ,62)1(36233,62)1(3623,212 解得⋅<<41549a所以M 为),415,49(当Ma ∈时，数列}{n a 是递增数列.16．(1)12-n (2)存在17．(1)设}{n a 公差为d ，由题意易知,0>d 且∈d *,N则,)1(3d n a n -+=.2)1(3d n n n S n -+=设}{n b 公比为q ，则.1-=n n q b 由,6422=S b 可得64)6(=+d q …①又}{n a b 是公比为64的等比数列，所以6411111====---+++d a a a a a a q q qq b b n n n n n n …② 由①②，且*,N d >,0>d 可解得.2,8==d q所以,12+=n a n .*,81N n b n n ∈=- (2)由(1)知),2(22)1(3+=⨯-+=n n n n n S n .*N n ∈所以),211(21)2(11+-=+=n n n n S n 所以+-=+++)311[(2111121n S S S )]211()5131()4121(+-++-+-n n 18．(1)略(2)1)21(4-=n n b (3)=n p )1(log >a b n a高三数学（理科）专题训练三《概率》参考答案一、选择题BCBCCCAB 二、填空题9．2110．5111．3212．120人13．278三、解答题14．设得到黑球、黄球的概率分别为,y x 、由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---+=+,125)311(,125y x y y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,61,41y x 故41)6141311(=---,所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别是⋅416141、、15解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题可知32)(=E P ,31)(=E P ，53)(=F P ，52)(=F P .且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立.(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则F E H =，于是1525231)()()(=⨯==F P E P H P ，故所求概率为15131521)(1)(=-=-=H P H P .（2）设企业可获利润为X （万元），则X 的可能取值为0，100，120，220.又因1525231)()0(=⨯===F E P X P ，1535331)()100(=⨯===F E P X P ，1545232)()120(=⨯===F E P X P ，1565332)()220(=⨯===EF P X P .11521001562201541201531001520)(==⨯+⨯+⨯+⨯=X E .16（Ⅰ）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯=.2()0.003500.15P A =⨯=.()0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=. （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为033(0)(10.6)0.064P X C ==⋅-=,123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==⋅-=,223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==⋅-=,333(3)0.60.216P X C ==⋅=,=，方差D （X ）=3××（）= 17解：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，0,1,2i =B 表示事件：甲需使用设备C 表示事件：丁需使用设备D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（1）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅ 所以122()()P D P A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅122()()()P A B C P A B P A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅ （2）X 的可能取值为0，1，2，3，40(0)()P X P B C A ==⋅⋅0()()()P B P C P A =2(10.6)(10.4)0.50.06=-⨯-⨯=． 0.25=，2(4)()P X P B C A ==⋅⋅2()()()P B P C P A =20.50.60.40.06=⨯⨯=，(3)()(4)0.25P X P D P X ==-==，所以(X)(2)0(0)1(1)2(3)3(3)4(4)E P X P X P X P X P X P X ===⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=0.2520.3830.2540.06=+⨯+⨯+⨯2=．18解：（I ）设恰有一次的落点在乙上这一事件为A高三数学（理科）专题训练四《立体几何初步》参考答案9．21310．3π11．6三、解答题12．底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体的体积为：1211h R V ⋅=π632⋅⋅=π.54π=从某零件的三视图可知：该几何体为左边是一个底面半径为2cm 、高为4cm 的圆柱体，右边是一个底面半径为3cm 、高为2cm 的圆柱体．其中左边的圆柱体的体积为：所以切削掉部分的体积为：.204322ππ=-⋅⋅=V V因此切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：⋅==271054201ππV V 13．(1)如图所示，取AD 的中点M ，连接.,QM PM因为ABCD P -与ABCDQ -都是正四棱锥，所以,,QM AD PM AD ⊥⊥ 从而.PQM AD 平面⊥又,PQM PQ 平面⊂所以.AD PQ ⊥同理,AB PQ ⊥所以.ABCD PQ 平面⊥(2)连接OM ，则,21221PQ AB OM ===所以,90o PMQ =∠即⋅⊥MQ PM由(1)知,PM AD ⊥所以,QAD PM 平面⊥从而PM 就是四面体QAD P -的高，在直角PMO ∆中，.22222222=+=+=OM PO PM又,242242121=⋅⋅=⋅=∆QM AD S QAD故⋅=⋅⋅=⋅=∆-31622243131PM S V QAD QAD P14．(1)在ABC ∆中，,BC AC =点M 为AB 的中点，故.AB CM ⊥又因三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，故,11ABC A ABB 平面平面⊥又,ABC CM 平面⊂故11A ABB CM 平面⊥,而,CMD CM 平面⊂故11A ABB CMD 平面平面⊥ (2)以点C 为原点，分别以1,,CC CB CA 所在直线为z y x ,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令,11===CC BC AC则),0,0,0(C ),0,0,1(A ),1,0,1(1A ),0,1,0(B ),1,1,0(1B故),0,1,0(=CB )1,43,41(=CD设平面CBD 的法向量为),,,(z y x n =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CD n CB n ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=043410z y x y ⇒⎩⎨⎧=+=040z x y ,取,1-=z 则,4=x ,0=y 故)1,0,4(-=n ,而平面MBD 的法向量是),0,21,21(=CM故>=<n ,cos 1722)1,0,4()0,21,21(⨯-⋅⋅=17342 即二面角M BD C --的余弦值为⋅17342 15．(1)连结BD 交AC 于点O ，连结EO .因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以.//PB EO又,AEC EO 平面⊂,AEC PB 平面⊂/所以.//AEC PB 平面(2)因为,ABCD PA 平面⊥ABCD 为矩形，所以AP AD AB ,,两两垂直．如图所示，以A 为坐标原点，的方向为x 轴的正方向，||AP 为单位长，建立空间直角坐标系,xyz A -则),21,23,0(),0,3,0(E D ⋅=)21,23,0( 设),0)(0,0,(>m m B 则),0,3,(m C ).0,3,(m =设),,(1z y x n =为平面ACE 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅011n n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.02123,03z y y mx 可取),3,1,3(1-=m n 又)0,0,1(2=n 为平面DAE 的法向量，由题设,21|,cos |21=><n n 即=+2433m ,21解得⋅=23m因为E 为PD 的中点，所以三棱锥ACD E -的高为⋅21所以三棱锥ACD E -的体积为：⋅=⨯⨯⨯⨯=83212332131V16．(1)因⊥BF 平面.ACE 故.AE BF ⊥又因二面角E AB D --为直二面角，且,AB CB ⊥故⊥CB 平面.ABE故.AE CB ⊥⊥AE 平面.BCE (2)以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因⊥AE 面,BCE ⊂BE 面,BCE故.BE AE ⊥则),0,0,0(A ),0,1,1(E ,2,0(C ).2),0,1,1(=AE ⋅=)2,2,0(AC设平面AEC 的法向量为),,,(z y x n =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AC n AE n ,即,0220⎩⎨⎧=+=+z y y x 解得⋅⎩⎨⎧=-=xz x y令,1=x 得=n )1,1,1(-是平面AEC 的一个法向量，又平面BAC 的一个法向量为),0,0,1(=m且n m ,所成的角就是二面角E AC B --的平面角，因>=<n m ,cos ||||n m n m ⋅⋅,3331==故二面角E AC B --的余弦值为⋅33 (3)因),2,0,0(=AD 故点D 到平面ACE 的距离=d .33232||||==⋅n n 17．(1)略(2)4618．(1)证明：如图所示，在ABD ∆中，因,60,4,2o DAB AD AB =∠==故=∠⋅-+=DAB AD AB AD AB BD cos 2222,32故,222AD BD AB =+故.BD AB ⊥又因,ABD EBD 平面平面⊥,BD ABD EBD =平面平面,ABD AB 平面⊂故.EBD AB 平面⊥(2)解：由(1)知,//,AB CD BD AB ⊥故,BD CD ⊥从而.DB DE ⊥在DBE Rt ∆中，因,2,32====AB DC DE DB 故.3221=⋅=∆DE DB s BDE又因,EBD AB 平面⊥,EBD BE 平面⊂故.BE AB ⊥因,4===AD BC BE 故.421=⋅=∆BE AB S ABE 因,BD DE ⊥平面EBD ⊥平面ABD ，故.ABD ED 平面⊥而,ABD AD 平面⊂故,AD ED ⊥故.421=⋅=∆DE AD S ADE 综上得三棱锥ABDE -的侧面积为.328+=S高三数学（理科）专题训练五《圆锥曲线方程》参考答案9．1322=-y x 10．3=b 11．612．215-三、解答题13．设),,(00y x A 则矩形ABCD 的面积||40x S =.||0y由192020=+y x 得，,912020x y -=故202020x y x =,49)29(91)91(22020---=-x x当21,292020==y x 时，,6max =S故当5=t 时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6．14．根据几何性质有.1=cab又因,33=a b 解得⎪⎩⎪⎨⎧==34422b a 故双曲线的方程为.143422=-y x15．(1)由题意，),,0(),0,(2b B c F =||2BF ,222==+a c b又)31,34(C 在椭圆上，所以,1)31(2)34(222=+b 解得.1=b 所以椭圆方程为.1222=+y x(2)直线2BF 方程为,1=+byc x 与椭圆方程12222=+by a x 联立方程组，解得A 点坐标为),,2(223222c a b c a c a +-+则C 点坐标为,2(222c a c a +),223ca b + 又,c bk AB -=由AB C F ⊥1得⋅+3233c c a b ,1)(-=-cb 即,34224c c a b += 所以=-222)(c a ,3422c c a +化简得.55==ac e 16．(1)由于点P 在椭圆上，故.3,6||||221==+=a PF PF a 在21F PF Rt ∆中，.52||||||212221=-=PF PF F F 解得,5=c 从而.4222=-=c a b因此椭圆C 的方程为.14922=+y x (2)设A ，B 的坐标分别为).,(),,(22]1y x y x已知圆的方程为,5)1()2(22=-++y x 圆心).1,2(-设直线l 方程为,1)2(++=x k y代入椭圆C 的方程得273636)1836()94(2222-+++++k k x k k x k 0=由于A ，B 关于点M 对称，所以,29491822221-=++-=+k kk x x 解得98=k因此直线l 的方程为,1)2(98++=x y 即.02598=+-y x 17．由题意，),0,1(-F 设点),,(00y x P 则有,1342020=+y x 解得)41(32020x y -=因为),,1(00y x +=),,(00y x =所以200)1(y x x ++=⋅,34)41(3)1(0202000++=-++=x x x x x此二次函数对应的抛物线的对称轴为.20-=x因为,220≤≤-x 所以当20=x 时，⋅取得最大值.632422=++ 18．(1)y x 42=(2)02200=--y y x x (3)29高三数学（理科）专题训练六《导数及其应用》参考答案9．310．－311．31-12．)3,(--∞三、解答题13.(1),)1()('kx e kx x f +=,1)0('=f ,0)0(=f故曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为.x y =(2)由0)1()('=+=kx e kx x f 得).0(1=/-=k kx ①若,0>k 则当)1,(kx --∞∈时，,0)('<x f 函数)(x f 单调递减；当),1(+∞-∈kx 时，,0)('>x f 函数)(x f 单调递增，②若,0<k 则当)1,(kx --∞∈时，,0)('>x f 函数)(x f 单调递增；当),1(+∞-∈kx 时，,0)('<x f 函数)(x f 单调递减．14．(1)因为),0(1ln 1ln 1)('>+=-++=x xx x x x x f 所以.1ln )('+=x x x xf 由,1)('2++≤ax x x xf 得.ln x x a -≥令,ln )(x x x g -=则11)('-=xx g 当10<<x 时，;0)('>x g 当1>x 时，.0)('<x g所以1=x 是最大值点，.1)1()(max -==g x g 故,1-≥a即a 的取值范围是).,1[+∞- (2)由(1)知,1)1(ln )(-=≤-=g x x x g 故.01ln ≤+-x x当10<<x 时，x x x x x x f ln 1ln )1()(=+-+=;01ln ≤+-+x x当1≥x 时，+=+-+=x x x x x f ln 1ln )1()(.0)111(ln ln 1ln ≥-+-=+-xx x x x x x综上，.0)()1(≥-x f x15．(1)因为,12321ln )(+++=x x x a x f 故⋅+-=2321)('2x x a x f由于曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即,0)1('=f 从而,02321=+-a 解得.1-=a(2)由(1)知)0(12321ln )(>+++-=x x x x x f 令,0)('=x f 解得,11=x 312-=x （因312-=x 不在定义域内，舍去）．当)1,0(∈x 时，,0)('<x f 故)(x f 在)1,0(上为减函数；当),1(+∞∈x 时，,0)('>x f 故)(x f 在,1()∞+上为增函数．故)(x f 在1=x 处取得极小值.3)1(=f16．(1)由⎩⎨⎧+-==axx y x y 222得点).,(),0,0(2a a A O又由已知得).,(),2,(22t t D at t t B +-故)(t f S =+⋅⋅-+-=⎰2221)2(t t dx ax x t)()2(2122t a t at t -⋅-+-(2).221)('22a at t t f +-=令,0)('=t f即,022122=+-a at t 解得a t )22(-=或.)22(a t +=因为,10≤<t ,1>a 所以a t )22(+=舍去．若,1)22(≥-a 即222221+=-≥a 时，对,10≤<t 有.0)('≥t f故)(t f 在区间]1,0(上单调递增，S 的最大值是⋅+-=61)1(2a a f若,1)22(<-a 即2221+<<a 时，对,)22(0a t -<<有;0)('>t f当t a <+)22(1≤时，有.0)('<t f 故)(t f 在))22(,0(a -上单调递增，在]1,)22((a +上单调递减，)(t f 的最大值是.3222))22((3a a f -=- 综上所述，=max)]([t f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<<-+≥+-222132222226132a a a a a 17．(1)),4300(5)(3r r r V -=π定义域为);35,0((2))(r V 在区间)5,0(上单调递增，在区间)35,5(上单调递减；当,5=r 8=h 时，蓄水池的体积最大18．(1))(x f 的定义域为-=+∞xx f 1)('),,0(⋅-+-=-+xax x a ax )1)(12()2(2若,0≤a 则,0)('>x f 所以)(x f 在),0(+∞单调递增．若,0>a 则由0)('=x f 得,1ax =且当∈x )1,0(a时，,0)('>x f 当ax 1>时，.0)('<x f 所以)(x f 在)1,0(a单调递增，在),1(+∞a单调递减．(2)设函数),1()1()(x af x a f xg --+=则,2)1ln()1ln()(ax ax ax x g ---+=.12211)('2223x a x a a axa ax a x g -=--++=当ax 10<<时，,0)('>x g 而,0)0(=g 所以.0)(>x g故当ax 10<<时，⋅->+)1()1(x af x a f (3)由(1)可得，当0≤a 时，函数)(x f y =的图象与x 轴至多有一个交点，故,0>a 从而)(x f 的最大值为),1(a f 且.0)1(>af 不妨设,0),0,(),0,(2121x x x B x A <<则⋅<<<2110x ax 由(2)得=>-+=-)()11()2(111x f x a a f x a f ).(02x f =又,1,1221ax a x a >>-从而,212x ax ->于是⋅>+=ax x x 12210由(1)知，.0)('0<x f。

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知中，那么角=【答案】π/4【解析】略2.已知f(α)＝(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值．【答案】(1)f(α)＝＝－cosα.(2)∵α是第三象限角，且cos(α－)＝－sinα＝，∴sinα＝－，∴cosα＝－＝－，∴f(α)＝－cosα＝.【解析】略3.已知函数为奇函数，且，其中（1）求的值;（2）若，求的值．【答案】（1） , ；（2）【解析】（1）由为奇函数，可得，函数化为，又根据可求；（2）由（1）可得，由得又因为，所以，再根据两角和的正弦可求试题解析：因为为奇函数，所以，，则（2），因为，即又因为，所以，【考点】函数的奇偶性，三角函数的性质4.设命题函数是奇函数；命题函数的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．为真B．为假C．为假D．为真【答案】C【解析】因为是偶函数，所以命题是假命题，由余弦函数的性质可知命题是假命题，选项C正确.【考点】1.三角函数性质；2.逻辑联结词与命题.5.（本小题满分12分）某同学用五点法画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：5-5（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；（2）若函数的图像向左平移个单位后对应的函数为，求的图像离原点最近的对称中心．【答案】（1）；（2）．【解析】第一问结合三角函数的性质，确定出对应的值，完善表格，从而确定出函数解析式，第二问利用图形的平移变换，将函数的解析式求出来，利用函数的性质，找出函数图像的对称中心，给赋值，比较从而确定出离原点最近的对称中心．试题解析：（1）根据表中已知数据，解得数据补全如下表：050-50函数表达式为（2）函数图像向左平移个单位后对应的函数是，其对称中心的横坐标满足，所以离原点最近的对称中心是．【考点】三角函数的性质，图像的变换．6.（本小题满分10分）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）设，求的值域和单调递减区间．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再求出周期即可；（2）先根据x的范围求得，再结合正弦函数的性质可得到函数f（x）的值域，求得单调递减区间．试题解析：（1）（2）∵，，的值域为．的递减区间为．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性7.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，已知，向量，且∥．（1）求角的大小；（2）若成等差数列，求边的大小．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用数量积运算、正弦定理即可得出；（2）由成等差数列，可得，或，即2a=b．再利用直角三角形的边角关系、余弦定理即可得出．试题解析：（1）∥，得，由正弦定理可得，（2）成等差，所以化简整理得：即或得或若若【考点】正弦定理；平面向量数量积运算8.在中，角所对的边为．已知，且．（1）求的值；（2）当时，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据已知条件中的式子，结合正弦定理，将其化为的方程，即可求解；（2）利用已知条件，结合余弦定理，可求得，的值，再利用三角形面积计算公式即可求得的值．试题解析：（1）∵，∴①，又∵，∴②，联立①②，即可求得，；（2）由（1）结合余弦定理可知，或，由已知易得，∴，∴，．【考点】1．正余弦定理解三角形；2．三角恒等变形．9.（本题满分12分）已知，,函数．（1）求的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；（2）当时，求函数的值域．【答案】（1）的最小正周期为，其对称中心的坐标为（）（）；（2）的值域为．【解析】（1）先用降幂公式和辅助角公式，将进行化简整理得到，然后根据正弦函数的周期公式可得函数的最小正周期，进而求出函数的零点，即为函数的图像对称中心的坐标；（2）根据可得到，最后结合正弦函数的图像与性质可得函数的值域．试题解析：（1）因为=，所以的最小正周期为，令，得，∴故所求对称中心的坐标为（）（）．（2）∵，∴，∴，即的值域为．【考点】1、三角函数中的恒等变换；2、三角函数的周期性及其求法；3、正弦函数的图像及其性质．【方法点晴】本题考查了三角函数中的恒等变换、三角函数的周期性及其求法和正弦函数的图像及其性质，重点考查学生对三角函数的基本概念、基本性质和基本原理，属中档题．解决这类问题最关键的一步是运用降幂公式、倍角公式及三角函数的和差公式等将函数的表达式化简为同角的正弦或余弦形式．因此需要大家应熟练掌握相关公式并结合三角函数的图像及其性质进行求解．10.若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得：，解得，选A．【考点】正切函数性质11.（本小题满分12分）已知向量，．（1）当时，求的值；（2）设函数，已知在中，内角、、的对边分别为、、，若，，，求当时，的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中，利用，得出，把转化为的式子，从而求解；（2）熟悉三角公式的整体结构，灵活变换，要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形，把形如化为，研究函数的性质由的取值范围确定的取值范围，再确定的取值范围．试题解析：（1），，，（2）由正弦定理得，得或，，因此，，即．【考点】1、同角三角函数的基本关系；2、三角函数的化简；3、求三角函数的值域．12.（2012秋•泰安期中）已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（α）=，求sin（π﹣4α）的值．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）﹣．【解析】（I）利用二倍角公式即辅助角公式，化简函数，利用直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，可得函数的最小正周期为π，根据周期公式，可求ω的值；（II）利用正弦函数的单调性，可得函数f（x）的单调增区间；（III）由f（a）=，可得sin（2a+）=，根据sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1，即可求得结论．解：（I）∵f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，∴函数的最小正周期为π∴=π∴ω=1；（II）由（I）知，f（x）=2sin（2x+）∴﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z∴﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴函数f（x）的单调增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（III）∵f（a）=，∴sin（2a+）=∴sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1=﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．13.已知向量，且函数在时取得最小值．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，分别是内角的对边，若，，，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式，求的值；（Ⅱ）先求出，再利用正弦定理，即可求的值．试题解析：（Ⅰ）由于（Ⅱ）由上知,于是由正弦定理得:【考点】正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数，向量的数量积14.已知，函数在单调递减，则的取值范围是．【答案】【解析】，，由题意，所以，由于，所以只有，．【考点】三角函数的单调性．【名师】求形如y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ（ω＞0）”视为一个“整体”；②A＞0（A＜0）时，所列不等式的方向与y＝sin x（x∈R），y＝cos x（x∈R）的单调区间对应的不等式方向相同（反）．15.（2015秋•南京校级期中）将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得的图象关于直线x=对称，则m的最小值为．【答案】【解析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．解：将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），可得y=2sin[2（x+m）﹣]=2sin（2x+2m﹣）的图象．∵所得的图象关于直线x=对称，∴2•+2m﹣=kπ+，k∈Z，即 m=+，k∈Z，则m的最小值为，故答案为：．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．16.（2015秋•昌平区期末）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函数f（x）的单调递减区间是．）【解析】（Ⅰ）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，即可求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函数的单调性即可求函数f（x）的单调递减区间．解：（Ⅰ）==所以最小正周期．（Ⅱ）由，得．所以函数f（x）的单调递减区间是．）【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．17.已知函数．（1）求的最小正周期和在上的单调递减区间；（2）若为第四象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）对的表达式进行三角恒等变形，利用三角函数的性质即可求解；（2）利用同角三角函数的基本关系求得的值后即可求解．试题解析：（1）由已知，所以最小正周期，由，得，故函数在上的单调递减区间；（2）因为为第四象限角，且，所以，所以．【考点】三角函数综合．18.已知是第二象限角，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由,得，又∵是第二象限角,∴，∴原式=；故选C．【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系式．19.在中，角所对的边分别为，且，则的最大值为_____.【答案】【解析】由及正弦定理得，又因为，于是可得，所以，所以，则的最大值为，故答案填.【考点】1、正弦定理；2、两角和与差的三角函数；3、基本不等式.20.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得，再向左平移个单位，得，令，解得，令，得，即所得函数图象的一条对称轴的方程是，故选D．【考点】三角函数的图象变换与三角函数的性质．21.设平面向量.（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先利用向量数量积的坐标表示求出，利用商数关系求出得值，再利用二倍角公式求出的值，最后代入到的展开式即可求得；（2）欲求，先求出，再根据求的范围，从而可得的取值范围.试题解析：（1）因为，所以，∴，∴.（2），，.【考点】1、向量数量积的坐标表示；2、二倍角公式；3、三角函数；4、商数关系；5、向量的模．22.设中的内角所对的边长分别为，且.（1）当时，求角的度数；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出,再由正弦定理求出,求出角；（2）求三角形面积的最大值,即求的最大值,由,,求出,就可以求出面积的最大值.试题解析：解：（1）因为，所以.因为，由正弦定理可得.因为，所以是锐角，所以.（2）因为的面积，所以当最大时，的面积最大.因为，所以.因为，所以，所以（当时等号成立）.所以面积的最大值为.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理；3.重要不等式.23.在中，内角的对边为，已知.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】根据正弦定理可得，根据内角和定理和两角和的正弦公式整理可得，即得角的值；（2）由的面积为，求得的值，根据余弦定理表示构造的另一个方程，解方程组即可求得.试题解析：（1）∵，∴，∴，即，∴，∴，又∵是三角形的内角，∴（2）∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴【考点】正余弦定理解三角形.24.的三个内角满足：，则（）A．B．C．D．或【答案】B【解析】由已知条件以及正弦定理可得：，即，再由余弦定理可得，所以，故选B.【考点】正弦定理、余弦定理.25.在中，角，，的对边分别是，，，已知，．（I）求的值；（II）若角为锐角，求的值及的面积．【答案】（I）；（II）【解析】（I）根据题意和正弦定理求出a的值；（II）由二倍角的余弦公式变形求出sin2A，由A 的范围和平方关系求出cosA，由余弦定理列出方程求出b的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．试题解析：（I）因为，且，所以．因为，由正弦定理，得．（II）由得．由余弦定理，得．解得或（舍负）．所以．【考点】正弦定理；余弦定理26.如图所示的是函数和函数的部分图象，则函数的解析式是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】由题意得，，故排除B，D；又∵，故排除A，故选C.【考点】三角函数的图象和性质．27.已知，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A．【考点】和差倍半的三角函数．28.在中，角所对的边分别为,．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的面积．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）先根据正弦定理将边统一成角：，再利用三角形内角关系、诱导公式、两角和正弦公式将三角统一成两角：，最后根据同角三角函数关系将弦化切：（Ⅱ）由（Ⅰ）易得，已知两角一对边，根据正弦定理求另一边：，利用三角形内角关系求第三角的正弦值：，最后根据面积公式求面积：试题解析：解：（Ⅰ）由及正弦定理得.所以,所以.（Ⅱ）,所以, ,,所以的面积为.【考点】正弦定理，弦化切【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.29.同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，函数的最小周期为，则，又函数图象关于直线对称，则函数为函数的最小值，则只有B、C满足，由当时，，则函数是单调递增函数，故选C．【考点】三角函数的性质．30.若函数的最大值为5，则常数______.【答案】【解析】，其中，故函数的最大值为，由已知得，，解得.【考点】三角函数的图象和性质.【名师】解决三角函数性质问题的基本思路是通过化简得到，结合角的范围求解.. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.31.定义在区间[0，]上的函数的图象与的图象的交点个数是 .【答案】7【解析】由，因为，所以故两函数图象的交点个数是7.【考点】三角函数图象【名师】求函数图象的交点个数，有两种方法：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程，此方法立足于易于求解；二是数形结合，分别画出函数图象，数出交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其是要明确函数的增长幅度.32.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=（A）（B）（C）2 （D）3【答案】D【解析】由余弦定理得，解得（舍去），选D.【考点】余弦定理【名师】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！33.将函数y=2sin（2x+）的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x–）D．y=2sin（2x–）【答案】D【解析】函数的周期为，将函数的图像向右平移个周期即个单位，所得图像对应的函数为，故选D.【考点】三角函数图像的平移【名师】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减”；二是平移多少个单位是对x而言的,不要忘记乘以系数.34.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD＝．【答案】5【解析】，，所以，．【考点】解三角形．【名师】在解直角三角形时，直角三角形中的三角函数定义是解题的桥梁，利用它可以很方便地建立边与角之间的关系．35.设函数的部分图象如图所示，直线是它的一条对称轴，则函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为直线是它的一条对称轴，排除B，D，因为图象过点，排除选项A,选C.【考点】三角函数图象与性质.36.在中，角，，的对边分别为，，，且满足，则角等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，所以，故应选A。

高三数学试卷三角函数、三角恒等变换、解三角形

试卷第1页，总4页绝密★启用前三角函数、三角恒等变换、解三角形1．如图所示，在直径为BC 的半圆中,A 是弧BC 上一点，正方形PQRS 内接于△ABC，若BC=a,∠ABC=θ，设△ABC 的面积为S l ，正方形PQRS 的面积为S 2.（1）用a ，θ表示S 1和S 2；（2)当a 固定，θ变化时，求12S S 取得最小值时θ的值． 2．如图,摄影爱好者在某公园A 处,发现正前方B 处有一立柱,测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为30°,已知摄影爱好者的身高约为米(将眼睛S 距地面的距离SA 按米处理).(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离AB 和立柱的高度OB.(2)立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN,且MN 绕其中点O 在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转.在彩杆转动的任意时刻,摄影爱好者观察彩杆MN 的视角∠MSN(设为θ)是否存在最大值?若存在,请求出∠MSN 取最大值时cos θ的值;若不存在,请说明理由.3．如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN BC ⊥.（1）设30MOD ∠=，求三角形铁皮PMN 的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN 的面积的最大值. 4．已知函数)0,0(12sin 2)sin(3)(2πφωφωφω<<>-+++=x x x f 为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为2π．（1）当)4,2(ππ-∈x 时，求)(x f 的单调递减区间；（2）将函数)(x f y =的图象沿x 轴方向向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），得到函数)(x g y =的图象．当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,12ππx 时，求函数)(x g 的值域．5．设△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c. 已知C ＝，acosA=bcosB ．（1）求角A 的大小；（2）如图，在△ABC 的外角∠ACD 内取一点P ，使得PC ＝2．过点P 分别作直线CA 、CD 的垂线PM 、PN ，垂足分别是M 、N ．设∠PCA ＝α，求PM ＋PN 的最大值及此时α的取值．6．在ABC △中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知向量(cos ,cos )m A B =、(2,)n c b a =+，且m n ⊥．（1）求角A 的大小；（2）若4a =，求ABC △面积的最大值．7．在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足sin cos c A C =． (1) 求角C 的大小;(2) 当B A cos sin 3-取得最大值时,请判断ABC ∆的形状． 8．已知函数，2()sin()sin()cos 2f x x x x ππ=--+(l)求函数()f x 的最小正周期；(2)当3,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数f(x)的单调区间。

2022届高三数学(理)一轮总复习练习-第三章三角函数、解三角形 3-4 Word版含答案

课时规范训练[A 级基础演练]1．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b解析：选C.∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .2．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析：选B.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )． 3．(2022·高考山东卷)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.32πD ．2π解析：选B.法一：由题意得f (x )＝3sin x cos x －3sin 2x ＋3cos 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 .故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B.法二：由题意得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6×2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B.4．(2022·高考全国甲卷)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )解析：选B.法一：将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )得，∴x ＝π6＋k 2π.(k ∈Z )，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．法二：∵y ＝2sin 2x 的对称轴为x ＝π4＋k 2π，向左平移π12个单位后为x ＝π4－π12＋k 2π＝π6＋k2π，故选B.5．(2021·长春模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋ф)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为．解析：函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2向左平移π6个单位后得到函数为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，由于此时函数为奇函数，所以π3＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋k π(k ∈Z )．由于|φ|<π2，所以当k ＝0时，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，即当2x －π3＝－π3时，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3有最小值为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32. 答案：－326．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝．解析：由已知条件可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，又由0≤x <2π得－π3≤x －π3<5π3，当x －π3＝π2时y 取得最大值，此时x ＝5π6.答案：5π67．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为．解析：分析三角函数图象，依据最小值求k ，再求最大值．依据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.答案：88．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为．解析：利用正弦函数的对称性求周期． ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3. ∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.答案：π9．(2022·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)由于f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－38π，k π＋π8k ∈Z .10．已知函数y ＝f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x ＋a (x ∈R )，其中a 为常数． (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期；(2)假如y ＝f (x )的最小值为0，求a 的值，并求此时f (x )的最大值及图象的对称轴方程．解：(1)y ＝f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1，所以函数的最小正周期T ＝π.(2)f (x )的最小值为0，所以－2＋a ＋1＝0，故a ＝1，所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2的最大值等于4.当2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π2＋π6(k ∈Z )时函数有最大值或最小值，故函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． [B 级力量突破]1．同时具有性质：“①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上是增函数”的一个函数是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3解析：选C.对于A ，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的最小正周期为4π，故排解A ；对于B ，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的最小正周期为4π，故排解B ；对于D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3时，2x ＋π3∈(0，π)，此时y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3单调递减，故排解D.选C.2．函数f (x )＝|sin x |＋2|cos x |的值域为( ) A ．[1， 5 ] B ．[1，2] C ．[2， 5 ]D ．[5，3]解析：选A.∵f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＋2|cos(x ＋π)|＝|－sin x |＋2|－cos x |＝|sin x |＋2|cos x |， ∴f (x )为偶函数，f (x )为周期函数，其中的一个周期为π，故只需考虑f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域即可．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ＋2cos x ＝5sin(x ＋α)，其中cos α＝15，sin α＝25，∴f (x )max＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝5，f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时， f (x )＝sin x －2cos x ＝5sin(x ＋β)，其中cos β＝15， sin β＝－25，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝5，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，∴f (x )的值域为[1， 5 ]．3．(2021·江西南昌一模)如图，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )分别是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与两条直线l 1：y ＝m (A ≥m ≥0)，l 2：y ＝－m 的两个交点，记S (m )＝|x N －x M |，则S (m )的图象大致是( )解析：选C.如图所示，作曲线y ＝f (x )的对称轴x ＝x 1，x ＝x 2，点M 与点D 关于直线x ＝x 1对称，点N 与点C 关于直线x ＝x 2对称，所以x M ＋x D ＝2x 1，x C ＋x N ＝2x 2，所以x D ＝2x 1－x M ，x C ＝2x 2－x N ，又点M 与点C 、点D 与点N 都关于点B 对称，所以x M ＋x C ＝2x B ，x D ＋x N ＝2x B ，所以x M ＋2x 2－x N ＝2x B ，2x 1－x M ＋x N ＝2x B ，得x M －x N ＝2(x B －x 2)＝－T2， x N －x M ＝2(x B －x 1)＝T2，所以|x M －x N |＝T2(常数)，其中，T 为f (x )的周期，选C.4．设函数f (x )＝|cos x |＋|sin x |，下列四个结论正确的是．①f (x )是奇函数；②f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称；③当x ∈[0，2π]时，f (x )∈[1，2]；④当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )单调递增．解析：对于①，f (－x )＝|cos(－x )|＋|sin(－x )|＝|cos x |＋|sin x |，∴f (－x )＝f (x )是偶函数，①不正确；对于②，留意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )，因此函数f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，②正确；对于③④，留意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )，因此函数f (x )是以π2为周期的函数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝|sin x |＋|cos x |＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的值域是[1，2]，故当x ∈[0，2π]时，f (x )∈[1，2]，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2>1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上不是增函数，故③正确，④不正确．综上所述，其中正确的结论是②③.答案：②③5．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2(ω>0)，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间．解：(1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2＝32sin 2ωx －12cos 2ωx －4×1－cos 2ωx 2＋2＝32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3(ω>0)，依据函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，可得函数f (x )的最小正周期为2×π2＝2π2ω，得ω＝1，故函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋m ）＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2m ＋π3的图象，依据g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，可得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －π3＝0，所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )，由于m >0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6. 此时，g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z .结合x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12，可得g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，7π12.。

2019-2020学年度第一学期期中考试(3)

2019-2020学年度第一学期期中考试高三数学(理科）本试卷分为第I 卷和第II 卷，试卷满分150分，考试时间120分钟。

考试范围：【集合、函数、导数、三角函数、解三角形、平面向量、数列、不等式】第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A ＝{x |x ＜1}，B ＝{x |3x ＜1}，则（）{}.|x<0A A B x ⋂=.B A B R ⋃= {}.|1C A B x x ⋃=>.D A B ⋂=Φ2. 若函数f (x )＝()()212xx x a +-为奇函数，则a 等于()A.2 B ． 1 C ．12 D ．－123 .若x∈（0，1），a ＝lnx ，b ＝ln 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝ln x e ,则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b ＞c ＞a B ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c24.()23--3]1(2)2f x x ax a A x a x a x =+-∞+≥>∈∈-记函数在区间（，上单调递减时的取值集合为，不等式恒成立时实数的取值集合为B ，则"x A"是"x B"的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 正三角形ABC 中,D 是线段BC 上的点,AB=6, BD=2,则AB AD ⋅=（）A.12B. 18C. 24D. 30 6. 在下列给出的四个结论中,正确的结论是( )A. 已知函数()f x 在区间(,)a b 内有零点,则()()0f a f b <B.1,333a ba b +=若则是和的等比中项C. 121212,2,36,//e e m e e n e e m n =-=-若是不共线的向量，且则D. 已知角α终边经过点 (3,-4),则4cos 5α=-{}457621222107.(,),(,),4,log log ...log ()n a a a a b a a a b a a a ==⋅=+++=等比数列的各项均为正数，已知向量且A. 12B. 10C. 5 2.2log 5D +2228.,,,ABC A B C b c a B +-=在中，内角所对边分别是a 、b 、c,若csinC=acosB+bcosA,且则角的大小（）A.6πB.3π C.2π D.23π219.()ln (2)2f x a x x =--∞已知函数在[1,+)上是减函数，则实数a 的取值范围是（）.[1,)A -+∞ .(1,)B -+∞ .(,1)C -∞- .(,1]D -∞-210.()2sin cos (0)0f x x x x ωωωωπω=->已知函数在区间（，）内有且只有一个极值点，则的取值范围为（）5.(0,]12A 11.(0,]12B 511.(,]1212C 511.[,]1212D23111.()log )f x x a b=+已知函数，若对任意的正数a 、b,满足f(a)+f(3b-1)=0则的最小值为（）A ．6B ．8C ．12D ．24'23312.()(1)1,2()1,[,](2cos )2sin 2222x R f x f f x x f x ππ=>∈-+>定义在上的可导函数满足且当时，不等式的解集为（）4.()33A ππ， 4.()33B ππ-， .(0)3C π， .()33D ππ-，第II 卷二、填空题（本题共4道小题，每题5分,共20分,其中第16题第一空2分,第二空3分,请将正确的答案填在横线上）13.sin()cos()___ ____.633ππαα+=-=已知则3214.()(2)2,()()1,3f x x a x x f x f x =+-+设函数若为奇函数，则曲线y=在点（）处的切线方程为________.1,210,______.4a b a a b b π=-==15.已知，的夹角为,且则16. 将正整数12分解成两个正整数的乘积有112,26,34⨯⨯⨯三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解.当(,)p q p q p q N *⨯≤∈且是正整数n 的最佳分解时我们定义{}(),(12)43 1.(88)(5))2020n f n q p f f f n N *=-=-=∈函数例如则的值为_______，数列（的前项和为_______.三、解答题（第17题10分，第18题至22题每题12分，共计70分）{}.1),(log 21222.17n 121T n b b N n a b a a n n n n n n n 项和的前求数列）若（的通项公式；）求数列（为公比的等比数列，为首项，是以已知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+*-.sin sin 333)2()1(1)cos(32cos ,,,,,.18的值，求，的面积为若的值；求已知的对边分别为中，在C B b ABC A C B A c b a C B A ABC =∆=+-∆.(2019)f ...(2)f (1)f 2)()()1(.4),21()(,20,0),22,22()),(2cos 2,2(.19的值计算的单调递减区间；求函数离为与其相邻的最高点的距点，的图像过点函数其中已知向量+++⋅=<<>-=+=x f B B ba x fb x aπϕωϕω20.如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD .在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ 始终为45°(其中点P ，Q 分别在边BC ，CD 上)，设BP ＝t （百米）．(1)用t 表示出PQ 的长度，并探求△CPQ 的周长L 是否为定值；(2)设探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积为S (平方百米)，求S 的最大值.{}{}{}{}11121.2,2(1),b .(1)b 11c ,c , 2.n n n n n n nn n n n n n nna a a a na n a a a nb ++=⋅+=+=-=<+已知数列满足设求证：数列为等比数列，并求的通项公式.(2)设数列的前n 项和为S 求证：S22.()+(0,0,1,1)1(1)2,,2()2(2)()6201,1,()(),21.x x f x a b a b a b a b f x f x mf x m a b g x f x a x R b =>>≠≠==∀=≥-<<>-∈=①求方程②若对不等已知函数当时的根；恒成立，求实数的最大值；（）若函数有且只有个零点，求的值式2019-2020学年度第一学期期中考试高三数学(理科）答案一、选择题1.A【解析】：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，所以A正确，D错误，A∪B={x|x＜1}，所以B和C都错误。

高三数学解三角形试题

高三数学解三角形试题1.如图，、是两个小区所在地，、到一条公路的垂直距离分别为，，两端之间的距离为.（1）某移动公司将在之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对、的张角与对、的张角相等，试确定点的位置.（2）环保部门将在之间找一点，在处建造一个垃圾处理厂，使得对、所张角最大，试确定点的位置.【答案】(1)；（2）．【解析】（1）设，我们只要利用已知列出关于的方程即可，而这个方程就是在两个三角形中利用正切的定义，，，因此有，解之得；实际上本题可用相似形知识求解，，则，由引开出方程解出；（2）要使得最大，可通过求，因为，只要设，则都可用表示出来，从而把问题转化为求函数的最值,同（1）可得，这里我们用换元法求最值，令，则有，注意到，可取负数，即为钝角，因此在取负值中的最小值时，取最大值.（1）设，，.依题意有，. 3分由，得，解得，故点应选在距点2处. 6分（2）设，，.依题意有，，10分令，由，得，，12分，，当，所张的角为钝角，最大角当，即时取得，故点应选在距点处. 14分【考点】(1)角相等的应用与列方程解应用题；（2）角与函数的最大值.2.（2011•浙江）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB （p∈R）．且ac=b2．（1）当p=，b=1时，求a，c的值；（2）若角B为锐角，求p的取值范围．【答案】（1）a=1，c=或a=，c=1 （2）＜p＜【解析】（1）解：由题设并利用正弦定理得故可知a，c为方程x2﹣x+=0的两根，进而求得a=1，c=或a=，c=1（2）解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB﹣，即p2=+cosB，因为0＜cosB＜1，所以p2∈（，2），由题设知p∈R，所以＜p＜或﹣＜p＜﹣又由sinA+sinC=psinB知，p是正数故＜p＜即为所求3.在中，角所对的边分别为，已知，，（1）求角；（2）若，，求的面积。

高三数学三角函数试题答案及解析

高三数学三角函数试题答案及解析1.若点在函数的图象上，则的值为 .【答案】.【解析】由题意知，解得，所以.【考点】1.幂函数；2.三角函数求值2.设，将函数在区间内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据三角函数的恒等变换化简，得，再根据三角函数的性质找到极值点，利用等差数列的性质写出数列的通项公式；（2）先根据（1）中的结果写出的通项公式，然后写出的解析式，在构造出，利用错位相减法求，计算量比较大，要细心.试题解析：（1），其极值点为， 2分它在内的全部极值点构成以为首项，为公差的等差数列， 4分所以； 6分（2）， 8分所以，，相减，得，所以. 12分【考点】1、三角函数的恒等变换及化简；2、三角函数的性质的应用；3、等差数列的通项公式；4、错位相减法求数列的前项和；5、等比数列的前项和.3.若函数的一个对称中心是，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于正切函数的对称中心坐标为，且函数的一个对称中心是，所以，因此有，因为，所以当时，取最小值，故选B.【考点】三角函数的对称性4.在锐角中，，，则的值等于；的取值范围为 .【答案】；【解析】，所以，由正弦定理得，即，所以，为锐角三角形，则，且，即，则有，且有，所以，故有，，所以，即，故的取值范围为.【考点】1.正弦定理；2.三角函数的取值范围5.已知是第二象限角,，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】已知是第二象限角,，所以，故选B.【考点】同角三角函数基本关系式.6.在中，角的对边分别为向量，,且．（１）求的值；（２）若,,求角的大小及向量在方向上的投影．【答案】（1）；（2），向量在方向上的投影．【解析】（1）由向量数量积坐标形式列式，可求得的值，再利用平方关系可求得的值；（2）先利用正弦定理可求得的值，再利用大边对大角可求得角的大小．由投影的定义可求得向量在方向上的投影．试题解析：(１)由,得, 1分, 2分.. ３分．４分(２)由正弦定理，有, ５分．６分，, ７分． 8分由余弦定理，有， 9分或（舍去）． 10分故向量在方向上的投影为 11分． 12分【考点】1、向量数量积、投影；2、三角恒等变换；3、解三角形．7.在中产生区间上均匀随机数的函数为“( )”,在用计算机模拟估计函数的图像、直线和轴在区间上部分围成的图形面积时，随机点与该区域内的点的坐标变换公式为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，，而，，所以坐标变换公式为，. 故选D.【考点】均匀随机数的意义与简单应用.8.已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数的图象关于直线对称B．函数的最大值为C．函数在区间上是增函数D．函数的最小正周期为【答案】C【解析】令得错误；函数的最大值为，故错误；函数的最小正周期为，故错误；当时，，故函数在区间上是增函数，所以选．【考点】考查三角函数的图像及其性质．9.函数，，在上的部分图象如图所示，则的值为．【答案】【解析】根据题意，由于函数，，在上的部分图象可知周期为12，由此可知，A=5，将（5,0）代入可知，5sin(+)=0，可知=，故可知==，故答案为【考点】三角函数的解析式点评：主要是考查了三角函数的解析式的求解和运用，属于基础题。

高三数学(理科)测试题(函数导数三角函数解三角形)

高三数学（理科）测试题（函数导数三角函数解三角形）高三数学（理科）测试题（函数、导数、三角函数、解三角形）-高三数学“函数与导数、三角函数与解三角形”（科学）试题一、选择题1．设f:x?()a．?2X是从集合a到集合B的映射，如果B？？1,2?，然后是a？B是b．{1}c、 ?。

？或{2}d．?或{1}2.函数f（x）？十、LNX零点的间隔为（）A.（-1,0）b．（0，1）c、（1,2）d.（1,e）23．若函数f(x)?log在区间(??,x?ax?3)a(a]上为减函数，则a的取值范围是2()a、（0,1）b.（1，＋∞)c、（1,23）d.（0,1）∪(1，23)ex4.若g(x)lnxx?0x?0，则g(g(1))?()211a．b．1c．e2d．?ln225.已知f（x）？ax3？bx2？cx？如果图中显示了D的图像，那么有（）A.B？0b.0？B一c．1?b?2d．b?26.如果函数f（x）的域已知为r，则以下命题：①若y?f(x)为偶函数，则y?f(x?2)的图象关于y轴对称.②若y?f(x?2)为偶函数，则y?f(x)关于直线x?2对称.③若函数y?f(2x?1)是偶函数，则y?f(2x)的图象关于直线x=④若f(x?2)?f(2?x)，则则y?f(x)关于直线x?2对称.⑤函数y?f(x?2)和y?f(2?x)的图象关于x?2对称.正确的命题号是（）a。

① ② ④ B① ③ ④ C② ③ ⑤ D② ③ ④ 7y=（SiNx+cosx）2-1是（）A.最小正周期为2πC的偶数函数.最小正周期为πC的偶数函数b．最小正周期为2π的奇函数d．最小正周期为π的奇函数yo12x1对称.2π8.将函数y=sin（ωx＋φ）（ω>0，|φ|6伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得的图象解析式为y＝sinx，则()πa．ω＝2，φ＝61πc．ω＝，φ＝26πb、ω＝2，φ＝131πd、ω＝φ＝2129.如果函数f（x）=sinωx＋cosωx（ω>如果最小正周期为0）为1，则其图像的一个对称中心为（）π－，0? A.8.c、（0,0）π?B8，0? π－，0?d.??4?10.函数y=cos（ωx＋φ）（ω>0,0）2a、 x＝πc．x＝1tan10°＋tan50°＋tan120°11。

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题1.某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A、B ，且 AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC=105°和∠BAC=30°，经过20秒后，航模直线航行到 D 处，测得∠BAD=90°和∠ABD=45°.请你根据以上条件求出航模的速度.（答案保留根号）【答案】法一：在△ABC中,∵∠BAD=90°,∠ABD=45°,∴∠ADB="45°"在中，在中，DC2=DB2+BC2-2DB·BC cos60°=(80)2+(40)2-2×80×40×=9600,航模的速度（米/秒）答：航模的速度为2（米/秒））法二:（略解）、在中，中在中，DC2=AD2+AC2-2AD·AC cos60°="9600"航模的速度（米/秒）答：航模的速度为2（米/秒）【解析】略2.函数的一部分图象如图所示，其中，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得：又，故选D3.函数的部分图象如图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则A．B．C．D．【答案】B【解析】从向x轴作垂线，垂足为，由，可得，，，所以，故选B.【考点】1.三角函数的图像与性质；2.三角函数求值.4.中，角所对的边分别为，若（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】由余弦定理，又由，得，故选C．【考点】余弦定理.5.（12分）已知向量，，设函数．（1）求函数的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】本题主要考查向量的数量积、倍角公式、两角差的正弦公式、三角函数的单调性、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先利用向量的数量积得到的解析式，再利用倍角公式和两角差的正弦公式化简表达式，使之成为的形式，再数形结合求函数的递减区间；第二问，先利用正弦定理将转化为，再将已知条件代入余弦定理中得出，从而得到特殊角，最后代入中．试题解析：（1）令，所以的递减区间为（2）由，⇒，∴，即，又∵，，∴．【考点】向量的数量积、倍角公式、两角差的正弦公式、三角函数的单调性、正弦定理、余弦定理．6.（本小题满分12分）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且，（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值．【答案】（Ⅰ）120°；（Ⅱ）1【解析】（Ⅰ）求角的大小，从已知可看出，把已知条件用正弦定理化为边的关系，然后用余弦定理可得；（Ⅱ）由（Ⅰ），因此可把化为一个角的三角函数，再由两角和与差的正弦公式化为一个三角函数，可得最大值．试题解析：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故，A=120°（Ⅱ）由（Ⅰ）得：故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。

高三数学复习专题练习题：解三角形（含答案）

⾼三数学复习专题练习题：解三⾓形（含答案）⾼三数学复习专题练习：解三⾓形（含答案）⼀. 填空题（本⼤题共15个⼩题，每⼩题5分，共75分）1.在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC ⼀定是三⾓形.2.在△ABC 中，A=120°,AB=5,BC=7，则CBsin sin 的值为 . 3.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c,且⾯积S △ABC =41（b 2+c 2-a 2），则A= . 4.在△ABC 中，BC=2，B=3π，若△ABC 的⾯积为23，则tanC 为 . 5.在△ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab,则C= .6.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则C= .7.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1,b=7,c=3,则B= . 8.在△ABC 中，若∠C=60°，则c b a ++ac b+= . 9.如图所⽰，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km, 灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为 km.10.⼀船⾃西向东匀速航⾏，上午10时到达⼀座灯塔P 的南偏西75°距塔68海⾥的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南⽅向的N 处，则这只船的航⾏速度为海⾥/⼩时. 11. △ABC 的内⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c=2，b=6，B=120°,则a= .12. 在△ABC 中,⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若（a 2+c 2-b 2）tanB=3ac ，则⾓B 的值为 . 13. ⼀船向正北航⾏，看见正西⽅向有相距10 海⾥的两个灯塔恰好与它在⼀条直线上，继续航⾏半⼩时后，看见⼀灯塔在船的南偏西600，另⼀灯塔在船的南偏西750，则这艘船是每⼩时航⾏________ 海⾥.14.在△ABC 中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC 的⾯积为 .15.在△ABC 中，⾓A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若（3b-c ）cosA=acosC ，则cosA= .（资料由“⼴东考神”上传，如需更多⾼考复习资料，请上 tb ⽹搜“⼴东考神”）⼆、解答题（本⼤题共6个⼩题，共75分）1、已知△ABC 中，三个内⾓A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 的⾯积为S ，且2S=（a+b ）2-c 2，求tanC 的值. （10分）2、在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，并且a 2=b(b+c). （11分）（1）求证：A=2B ；（2）若a=3b,判断△ABC 的形状.3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是⾓A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-ca b+2. (12分)（1）求⾓B 的⼤⼩；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的⾯积.4、△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2-a 2+bc=0. (12分) （1）求⾓A 的⼤⼩；（2）若a=3，求bc 的最⼤值；（3）求cb C a --?)30sin(的值.5、已知△ABC 的周长为)12(4+，且sin sin B C A +=． (12分)（1）求边长a 的值；（2）若A S ABC sin 3=?，求A cos 的值．6、在某海岸A 处，发现北偏东 30⽅向，距离A 处）（13+n mile 的B 处有⼀艘⾛私船在A 处北偏西 15的⽅向，距离A 处6n mile 的C 处的缉私船奉命以35n mile/h 的速度追截⾛私船. 此时，⾛私船正以5 n mile/h 的速度从B 处按照北偏东 30⽅向逃窜，问缉私船⾄少经过多长时间可以追上⾛私船，并指出缉私船航⾏⽅向. (12分)ACB3015· ·参考答案：⼀、填空题：1、等腰；2、53；3、45°；4、33；5、60°；6、45°或135°；7、65π；8、1；9、3a ；10、2617；11、2；12、3π或32π；13、10；14、103；15、33。

高三数学解三角形试题

高三数学解三角形试题1.在中，内角所对的边分别为.已知，（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）求角的大小，由已知，可利用降幂公式进行降幂，及倍角公式变形得，移项整理，，有两角和与差的三角函数关系，得，可得，从而可得；（2）求的面积，由已知，，且，可由正弦定理求出，可由求面积，故求出即可，由，，故由即可求出，从而得面积．（1）由题意得，，即，，由得，，又，得，即，所以；（2）由，，得，由，得，从而，故，所以的面积为．点评：本题主要考查诱导公式，两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，等基础知识，同时考查运算求解能力．2.如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝θ，而△BCD是正三角形．(1)将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；(2)求S的最大值及此时θ角的值．【答案】（1）S＝＋sin(θ－)，其中0<θ<π（2）S取得最大值1＋，此时θ＝＋＝＝×1×1×sinθ＝sinθ，【解析】解：(1)S△ABD＝BD2．因为△BDC是正三角形，则S△BDC由△ABD及余弦定理，可知BD2＝12＋12－2×1×1×cosθ＝2－2cosθ，于是四边形ABCD的面积S＝sinθ＋ (2－2cosθ)，即S＝＋sin(θ－)，其中0<θ<π．(2)由(1)，知S＝＋sin(θ－)，由0<θ<π，得－<θ－<，故当θ－＝时，S取得最大值1＋，此时θ＝＋＝．3.在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶8，则△ABC一定为()A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形【答案】D【解析】已知得a∶b∶c＝4∶5∶8，所以cosC＝－<0，选D项．4.已知△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S ＝(a＋b)2－c2，则tan C等于()A．B．C．－D．－【答案】C【解析】由2S＝(a＋b)2－c2得2S＝a2＋b2＋2ab－c2，即2×absin C＝a2＋b2＋2ab－c2，则absin C－2ab＝a2＋b2－c2，又因为cos C＝－1，所以cos C＋1＝，即2cos2＝sin cos ，所以tan ＝2，即tan C＝＝＝－5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f(A)＝2cos sin＋sin2－cos2.(1)求函数f(A)的最大值；(2)若f(A)＝0，C＝，a＝，求b的值．【答案】（1）（2）3【解析】(1)f(A)＝2cos sin＋sin2－cos2＝sin A－cos A＝sin.因为0<A<π，所以－<A－<.当A－＝，即A＝时，f(A)取得最大值，且最大值为.(2)由题意知f(A)＝sin＝0，所以sin＝0.又知－<A－<，则A－＝0，∴A＝.因为C＝，所以A＋B＝，则B＝.由，得ab＝＝36.已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．【答案】15【解析】由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x－4，x，x＋4.由一个内角为120°知其必是最长边x＋4所对的角．由余弦定理，得(x＋4)2＝x2＋(x－4)2－2x(x－4)·cos 120°，∴2x2－20x＝0，∴x＝0(舍去)或x＝10.∴S＝×(10－4)×10×sin 120°＝15.△ABC7.设的内角所对的边长分别为，且，,则的最小值是（）A．2B．3C．4D．5【答案】C．【解析】由题意根据正弦定理得，再由余弦定理得，即的最小值为4.【考点】解三角形.8.在中，已知（1）求；（2）若，的面积是，求.【答案】（1）；（2）2.【解析】（1）用三角形三内角和定理及特殊角的三角函数值求解；（2）利用余弦定理与三角形的面积公式，得到关于、的方程组，解出即得.（1）在中，，，，.（2）由余弦定理，则，又的面积是，则，即，，即，.【考点】三角形三内角和定理，余弦定理，三角形的面积.9.在中，分别为角所对的三边，，(Ⅰ)求角；(Ⅱ)若，角等于，周长为，求函数的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)根据题目条件，容易联想到余弦定理，求出角； (Ⅱ)求函数的取值范围，这是一个函数的值域问题，需先找出函数关系式，因此要先把各边长求出来，或用表示出来，方法是利用正弦定理来沟通三角形的边角关系，求出函数关系式后，不要忘记求函数的定义域，根据函数定义域去求函数的值域，这显然又是一个三角函数的值域问题，可化为的类型求解.试题解析：(Ⅰ)由，得，3分又， 6分(Ⅱ)同理： 9分故，，. 12分【考点】正弦定理、余弦定理、三角函数的值域.10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积.（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若a+b=2，且c=，求A.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先利用余弦定理和面积公式将进行化简求解；（Ⅱ）利用正弦定理将边转化角，然后利用两角差的正弦公式展开进行合并求解.试题解析：（Ⅰ）由余弦定理知c2－a2－b2＝－2abcosC，又△ABC的面积S＝absinC＝ (c2－a2－b2)，所以absinC＝ (－2abcosC)，得tanC＝－．因为0＜C＜π，所以C＝． 6分（Ⅱ）由正弦定理可知＝＝＝2，所以有a＋b＝2sinA＋2sinB＝2，sinA＋sin(－A)＝1，展开整理得，sin(＋A)＝1，且＜＋A＜，所以A＝． 12分【考点】1.正弦定理和余弦定理；2.三角化简.11.在中，角所对的边分别为满足，,,则的取值范围是 .【答案】【解析】由得，得为钝角，故，由正弦定理可知：，，所以.【考点】正余弦定理，辅助角公式.12.已知、、分别为三个内角、、的对边，若，，则的值等于．【答案】【解析】根据余弦定理得：.∵是三角形的内角，∴.在中，.∴.根据正弦定理和已知得：.∴.∴.【考点】解三角形，涉及正余弦定理、三角变换.13.设的三个内角，，所对的边分别为，，．已知.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】解：（1）由已知有， 1分得，则， 3分. 4分又，故. 5分（2）（法一）由正弦定理得, ,则. 7分而. 9分则.又，所以. 10分所以当且仅当，即时，取得最大值，11分故. 12分（法二）由余弦定理得，即， 7分则，又则 10分 10分得，故，当且仅当时，. 12分【考点】正弦定理点评：主要是考查了正弦定理和解三角形中余弦定理的运用，属于基础题。

2025届江西高三10月联考数学试卷

高三数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数，解三角形. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}(){}U 0,1,2,3,4,5,1,3,5U A B A B =∪=∩= ，则集合B =（） A.{}1,3,5 B.{}0,2,4 C.∅ D.{}0,1,2,3,4,5 2.225π5πsincos 1212−=（）A.12 C.12− D.3.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()2f x y f x y f y +−−=，则()0f =（） A.0 B.1 C.2 D.1− 4.已知0,0x y >>，且121y x+=，则12x y +的最小值为（）A.2B.4C.6D.85.设函数()()2ln 1sin 1f x x x =+++，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（） A.12 B.13 C.16 D.236.把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是C θ′ ，空气的温度是0C θ ，则min t 后该物体的温度C θ满足()400e t θθθθ−′=+−.若0,θθ′不变，在12min,min t t 后该物体的温度分别为12C,C θθ，且12θθ>，则下列结论正确的是（）A.12t t >B.12t t <C.若0θθ′>，则12t t >；若0θθ′<，则12t t <D.若0θθ′>，则12t t <；若0θθ′<，则12t t >7.已知log 1(,0n m m n >>且21,1),e m n m n ≠≠+=，则（） A.e (1)1m n −+< B.e (1)1m n −+> C.e ||1m n −< D.e ||1m n −>8.在ABC 中，4,6,90AB BC ABC ∠=== ，点P 在ABC 内部，且90,2BPC AP ∠== ，记ABP ∠α=，则tan2α=（）A.32 B.23 C.43 D.34二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知命题2:,p x x x x ∃∈−>R ；命题πππ:,π,cos sin 244q ααα∀∈−=+，则（） A.p 是真命题 B.p ¬是真命题 C.q 是真命题 D.q ¬是真命题10.已知函数()1cos f x x x=+，则（） A.()f x 为偶函数 B.()f x 的最大值为cos2 C.()f x 在()1,2上单调递减D.()f x 在()1,20上有6个零点 11.已知函数()3213f x x bx cx =++，下列结论正确的是（） A.若0x x =是()f x 的极小值点，则()f x 在()0,x ∞−上单调递减 B.若x b =是()f x 的极大值点，则0b <且0c <C.若3c =，且()f x 的极小值大于0，则b的取值范围为(2,−D.若3c b =−，且()f x 在[]0,3上的值域为[]0,9，则b 的取值范围为[]3,0−三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()sin (0π)f x x ϕϕ=+< 的图象关于y 轴对称，则ϕ=__________. 13.已知函数()2,0,,01x ax x f x xx x +<= −+ 的最小值为1−，则a =__________. 14.已知函数()()sin 1f x x ϕ=++，若()()121f x f x −=，则12x x −的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在π,04− 上的值域.16.（15分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin 1sin 1cos cos A B A B++=. （1）证明：A B =.（2）若D 是BC 的中点，求CAD ∠的最大值. 17.（15分）已知函数()e xf x a x =−. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()e 10,0,,x a x f x a x∞−>∀∈+>−，求a 的取值范围.18.（17分）已知集合,A B 中的元素均为正整数，且,A B 满足：①对于任意,i j a a A ∈，若i j a a ≠，都有i j a a B ∈；②对于任意,m k b b B ∈，若m k b b <，都有kmb A b ∈. （1）已知集合{}1,2,4A =，求B ；（2）已知集合{}()2,4,8,8A t t =>，求t ；（3）若A 中有4个元素，证明：B 中恰有5个元素. 19.（17分）已知函数()()ln f x x x a x =++.（1）若()f x 是增函数，求a 的取值范围.（2）若()f x 有极小值，且极小值为m ，证明：1m . （3）若()0f x ，求a 的取值范围.高三数学试卷参考答案1.B (){}U U ,0,2,4A B B B ∩== .2.B225π5π5πsin cos cos 12126−=−3.A 令0y =，则()00f =.4.D11112224448x y x xy y x y xy+=++=+++= ，当且仅当14,121,xy xy y x= += 即2,14x y = = 时，等号成立.5.A ()22cos 1xf x x x =++′，则()01f ′=，即切线方程为1y x =+. 令0x =，则1y =，令0y =，则1=−，故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为12. 6.D 因为()1400e θθθθ−′=+−，所以004ln t θθθθ−=−−′.若0θθ′>，则()04ln f θθθθθ−′=−−是减函数，因为12θθ>，所以12t t <；若0θθ′<，则()04lnf θθθθθ−′=−−是增函数，因为12θθ>，所以12t t >.7.B 因为log 1(,0n m m n >>且0,0)m n ≠≠，所以1m n >>或01m n <<<.若0m n <<<1，则2m n +<，与2e m n +=矛盾，所以e1,11,(1)1m n m n m n >>−+>−+>.8.C 由题意可得BCP ABP ∠∠α==.在BCP 中，sin 6sin BP BC αα==.在ABP 中，2222cos AP AB BP AB BP α=+−⋅，即2436sin 162α+−×6sin 4cos αα⋅，化简得3cos24sin25αα+=，两边平方得229cos 216sin 2αα+ 24cos2sin225αα+=，则22229cos 216sin 224cos2sin225cos 2sin 2αααααα++=+，所以22916tan 224tan2251tan 2ααα++=+，解得4tan23α=.9.BC 因为0,0,2,0,x x x x x −=< 所以0x x − ，又20x ，所以2,x x x p − 是假命题， p ¬是真命题.由诱导公式可得πππ,π,cos sin 244ααα ∀∈−=+，所以q 是真命题， q ¬是假命题.10.AC 因为()()11cos cos f x x x f x x x−=−−=+=，所以()f x 为偶函数，A 正确.()f x 的最大值为1,B 错误.令函数()()1,g x x g x x =+在()1,2上单调递增，且当()1,2x ∈时，()g x 的值域为52,2. 因为函数cos y x =在52,2上单调递减，所以()f x 在()1,2上单调递减，C 正确. 当()1,20x ∈时，()g x 的值域为()2,20.05,6π20.057π<<，函数cos y x =在()2,20.05上有5个零点，所以()f x 在()1,20上有5个零点，D 错误.11.BCD 由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，()f x 在()0,x ∞−上不单调，A 错误.()22f x x bx c =++′，若x b =是()f x 的极大值点，则()2220f b b b c =++=′，所以()()()2223,233c b f x x bx b x b x b ′=−=+−=+−.若()0,b f x =没有极值点.()0f x ′=的解为123,x b x b =−=.因为x b =是()f x 的极大值点，所以3b b <−，即20,30,b c b <=−<B 正确.若3c =，则()()32221133,2333f x x bx x x x bx f x x bx=++=++=++′.因为()f x的极小值大于0，所以()f x 只有一个零点，且()f x 的极大值点与极小值点均大于0，所以方程21303x bx ++=无实数根，且方程()2230f x x bx =++=′的2个实数根均大于0，所以2122Δ40,Δ412020,b b b =−< −> −>解得2b −<<，C 正确.若3c b =−，则()()()()32213,23,00,393f x x bx bx f x x bx b f f =+−=+−==′.令()0f x ′=，若2Δ4120b b =+ ，即()()30,0,b f x f x ′− 单调递增，符合题意.由2Δ4120b b =+>，解得3b <−或0b >，此时()0f x ′=的2个解为12x b x b =−=−.当0b >时，120,0x x <>，所以()f x 在()20,x 上单调递减，即当(0x ∈，)2x 时，()0f x <，不符合题意.当3b <−时，103x <<，所以()f x 在[]0,3上的最大值为()1f x ，且()()139f x f >=，不符合题意.综上，若3c b =−，且()f x 在[]0,3上的值域为[]0,9，则b 的取值范围为[]3,0−，D 正确.12.π2 因为函数()f x 的图象关于y 轴对称，所以ππ,2k k ϕ=+∈Z .又0πϕ< ，所以π2ϕ=. 13.2 当0x 时，11111x y x x =−=−>−++.因为()f x 的最小值为1−，所以函数2y x ax =+在(),0∞−上取得最小值1−，则20,21,4a a −< −=− 解得2a =. 14.π3 根据三角函数的周期性和对称性，不妨设12ππ0,,,022x x ϕϕ+∈+∈−.因为 ()()121f x f x −=，所以()()1212122sin sin 12cossin 22x x x xx x ϕϕϕ++−+−+==⋅，即121211sin2222cos 2x x x x ϕ−=++，所以12π26x x − ，即12π3x x − ，当且仅当12ππ,66x x ϕϕ+=+=−时，等号成立.15.解：（1）由图可得，2πππ2362T −，所以2ππT ω==. 结合0ω>，解得2ω=，则()()sin 2f x x ϕ=+. 由ππsin 2066f ϕ=×+=，结合图象可得π2π,3k k ϕ+=∈Z ，即π2π,3k k ϕ=−+∈Z . 因为π2ϕ<，所以π3ϕ=−，所以()πsin 23f x x=−.（2）因为π,04x∈−，所以π5ππ2,363x −∈−− ，所以()f x 在π,04− 上的值域为11,2−−.16.（1）证明：因为sin 1cos A A +=，所以222222sin cos sin cos 2222,cos sin cos sin 2222A A B B A A B B++ =−− 则sincossin cos 2222cos sin cos sin2222A A B BA AB B ++=−−. 则sincos cos sin 02222A B A B −=，即sin 022A B−=. 因为(),0,πA B ∈，所以022A B−=，即A B =. （2）解：2222224cos 22AC AC AD AC AD CD CAD AC AD AC AD∠+−+−==⋅⋅22334282AC AD AC AD AC AD AD AC +==+⋅ ，所以π6CAD ∠，当且仅当AD AC =. 故CAD ∠的最大值为π6. 17.解：（1）()e 1x f x a =−′. 当0a 时，()()0,f x f x ′<是减函数.当0a >时，()y f x =′是增函数.令()0f x ′=，解得ln x a =−. 当(),ln x a ∞∈−−时，()0f x ′<；当()()ln ,,0x a f x ∞∈−+>′. 所以()f x 在(),ln a ∞−−上单调递减，在()ln ,a ∞−+上单调递增.综上，当0a 时，()f x 是减函数；当0a >时，()f x 在(),ln a ∞−−上单调递减，在()ln ,a ∞−+上单调递增.（2）()e 1x f x a x −>−，即e 1e x xa x a x−−>−.令函数()1g x x x =−，则()e e e x x xg a a a−=−，所以()()e x g a g x >. 因为()g x 在()0,∞+上单调递增，所以e x a x >，即ex x a >. 令函数()()0e x x h x x =>，则()1e xxh x −=′. 当()0,1x ∈时，()0h x ′>；当()()1,,0x h x ∞∈+′<. 所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以()11()1,()e eh x h a h x ==>=极大值极大值. 故a 的取值范围为1,e ∞ +.18.（1）解：由①可得2,4,8都是B 中的元素. 下面证明B 中除2,4,8外没有其他元素：假设B 中还有其他元素，分两种情况：第一种情况，B 中最小的元素为1，显然81不是A 中的元素，不符合题意；第二种情况，B 中最小的元素为2，设B 中除2,4,8外的元素为()2k k b b >，因为2kb 是A 中的元素，所以k b 为4或8，而4，8也是B 中的元素，所以B 中除2,4,8外没有其他元素. 综上，{}2,4,8B =.（2）解：由①可得，8,16,32,2,4,8t t t 都是B 中的元素. 显然84,82,162t t t <<<，由（2）可得，422,,8816t t t 是A 中的元素，即,,248t t t是A 中的元素. 因为842t t t t <<<，所以2,4,8842t t t===，解得16t =. （3）证明：设{}12341231,,,,A a a a a a a a a =<<<.由①可得，1224,a a a a 都是B 中的元素. 显然1224a a a a <，由②可得，2412a a a a 是A 中的元素，即41a a 是A 中的元素. 同理可得，科333412221112,,,,,a a a a a a a a a a a a 是A 中的元素. 若11a =，则31344122a a a a a a a a =>，所以3112a aa a 不可能是A 中的元素，不符合题意.若12a ，则32311a a a a a <<，所以321211,a a a a a a ==，即23213121,a a a a a a ===. 又因为44443211a a a a a a a <<<<，所以444123321,,a a a a a a a a a ===，即441a a =，所以{}2341111,,,A a a a a =，此时{}3456711111,,,,a a a a a B ⊆.假设B 中还有其他元素，且该元素为k ，若31k a<，由（2）可得71a A k∈，而7411a a k >，与{}2341111,,,A a a a a =矛盾.若31k a >，因为31k A a ∈，所以131,1,2,3,4i k a i a ==，则31,1,2,3,4i k a i+=，即{}45671111,,,k a a a a ∈，所以B 中除3456711111,,,,a a a a a 外，没有其他元素.所以{}3456711111,,,,B a a a a a =，即B 中恰有5个元素. 19.（1）解：()ln 2a f x x x++′. 令函数()ln 2a g x x x++，则()2x a g x x −=′. 若0a >，则当()0,x a ∈时，()0g x ′<，当(),x a ∞∈+时，()0g x ′>，所以()g x 在()0,a 上单调递减，在(),a ∞+上单调递增，()min ()ln 3g x g a a ==+.因为()f x 是增函数，所以min ()0f x ′ ，即min ()0g x ，解得31ea . 若0a ，则()0g x ′>在()0,∞+上恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递增.因为函数ln 2y x =+与函数a y x =−的图象有1个交点，所以存在0x ，使得00ln 20a x x ++=，即当()00,x x ∈时，()0g x <，当()0,x ∞+时，()0g x >，所以()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，与题设不符.综上，a 的取值范围为31,e ∞ +. （2）证明：由（1）可得当31e a 时，()f x 是增函数，不存在极小值. 当310ea <<时，()()min ()0,g x g a g x =<在()0,a 上单调递减，所以()f x 在()0,a 上不存在极小值点. 因为()120g a =+>，所以()()11,1,0x a g x ∃∈=，所以()f x 在()1,a x 上单调递减，在()1,x ∞+上单调递增.()()()()1()ln 2350f x f x f a a a a a a a a =<=++<+×−=−<极小值.当0a 时，由()1可得()()0000()ln f x f x x x a x ==++极小值.因为000ln 2a x x x =−−，所以()()200000000()ln 2ln ln f x x x x x x x x x =+−−=− 极小值 ]0ln 1x +−.令函数()2(ln )ln 1h x x x x =−+− ，则()()ln ln 3h x x x =−+′. 当()310,1,e x ∞∈∪+ 时，()0h x ′<，当31,1e x ∈时，()0h x ′>，所以()h x 在()310,,1,e ∞+ 上单调递减，在31,1e 上单调递增. 当310,e x ∈ 时，2215ln 3,(ln )ln 1ln 024x x x x <−+−=+−>，所以()2(ln )ln 10h x x x x =−+−< .因为()()11h x h ==极大值，所以()1h x ，所以()1f x 极小值，当且仅当01,2x a ==−时，等号成立. 综上，1m .（3）解：若333311120,330e e e e a f a a >=−+=−−<，不符合题意. 若0a ，要使得()0f x ，只需要()0f x 极小值，即()2000ln ln 10x x x −+−，所以()200ln ln 10x x +− 0ln x ，即0x . 000ln 2a x x x =−−，令函数()ln 2u x x x x =−−，则()ln 3u x x =−−′. 当31,e x ∞ ∈+时，()()0,u x u x ′<单调递减.因为31e >，所以()u x 在上单调递减.又u u ==所以()u x 在上的值域为.故a 的取值范围为 .。

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