含字母参数不等式恒成立问题的解法

含字母参数不等式恒成立问题的解法
焦作市孟州第五高级中学刘会霞
摘要：含参数不等式恒成立问题最突出的特点是不等式中含有参数，这类题学生主要错在对参数的讨论不够全面。

求参数取值范围时一定要分析恒成立的类型，以便确定求参数范围的方法。

本文从换元、函数最值、分离参数、二次函数、数形结合五种类型来展开探究。

含参数不等式恒成立问题是高中数学中常见的问题之一，问题中渗透着换元化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法。

本文通过实例就解这类问题的方法进行初步的探讨，大致可分为以下几种：换元、函数最值、分离参数、二次函数、数形结合。

一，换元法
在不等式恒成立问题中，有些题表面看是有限定条件的函数的定义域问题，但如果换一个角度来考虑，若主元（或参数）能变为一次的形式，则可利用一次函数的性质来解决。

对于一次函数f(x)=k x+b, x,f(x)>0恒成立⇔, f(x)<0
恒成立⇔
例1 设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若t[－2,2]时，y>0 恒成立，求x的取值范围．
解：设y＝f(t)=( log2x-1)t+(log2x)2-2 log2x +1,
则f(t) 是一次函数，当t∈[-2,2]时,f(t)>0恒成立.
则由,即
解得log
2x <-1或log
2
x>3.
∴0<x<或x>8,
∴x的取值范围是（0，）∪（8，+∞）
【规律方法】解决恒成立问题一定要清楚谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数。

二、函数最值法
应用重要结论：“不等式a>f(x)恒成立⇔a>a> ; 不等式a<f(x)恒成立⇔ a<”
例2．(2010·山东高考)若对任意x >0，
x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．
解析：若对任意x >0，
x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立， 只需求得y ＝
x x 2
＋3x ＋1的最大值即可． 因为x >0， 所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x ＋3＝15
， 当且仅当x ＝1时取等号，
所以a 的取值范围是[15
，＋∞)． 三、分离参数法
若不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为
所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，即化成a>f(x) ( a<f(x) )型恒成立问题，再利用结论“a>f(x)恒成立
⇔a>
; a<f(x)恒成立
⇔ a<” (转化为求最值问题)，求出参数范围,有时可避免较复
杂的分类讨论。

即：“大与最大的，小与最小的”。

本类问题分离参数后实质上是求函数的最
值问题。

例3．若不等式x 2
＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，12]恒成立，则a 的最小值是________．
解析：因为x ∈(0，12
]，所以不等式x 2＋ax ＋1≥0可化为 a ≥
－x 2－1x ，则a 的最小值即是－x 2－1x 的最大值，由x ∈(0，12]， 得－x 2－1x ＝－(x ＋1x )的最大值为－52
. 所以 a 的最小值为－52
四、二次函数型
例4：设函数f(x)=mx 2-mx-1.
（1） 若对于一切实数x,f(x)＜0恒成立，求m 的取值范围.
（2）若对于x ∈［1,3］，f(x)＜-m+5恒成立，求m 的取值范围.
解（1）要使mx 2-mx-1＜0恒成立，若m=0,显然-1＜0;
若m ≠0，则
-4<m<0.
所以-4＜m ≤0
(2)方法一：要使f(x)＜-m+5在［1,3］上恒成立，
就是要使m(x- )2+ m-6＜0,x ∈［1,3］ 令g(x)=m(x- )2+ m-6,x ∈［1,3］.
当m ＞0时，g(x)在［1,3］上是增函数,
所以g(x)max =g(3) 7m-6＜0,
所以m ＜ ,则0＜m ＜ ; 当m=0时，-6＜0恒成立；
当m ＜0时，g(x)在［1,3］上是减函数,
所以g(x)max =g(1) m-6＜0,所以m ＜6，所以m ＜0.
综上所述：m 的取值范围是(-∞, )
方法二：要使f(x)＜-m+5在［1,3］上恒成立，就是要使m(x 2-x+1)-6＜0,
x ∈［1,3］,
因为-x+1=+>0
又因为m(-x+1)-6<0,所以m<.
令h(x)==
h(x)在 区间［1,3］上是减函数，
所以=h(3)= ，所以只需m<即可。

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所以，m的取值范围是.
【规律方法】（1）是含参数一元二次不等式对一切实数恒成立问题，可讨论
m的取值，利用判别式来解决。

不等式a+bx+c>0对任意实数x恒成立
⇔,,不等式a+bx+c<0对任意实数x恒成立
⇔,,
（2）是含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：方法一是利用二次函数区间上的最值来处理；方法二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般方法二比较简单.
五、数形结合法
有些不等式直接求解，较为烦难，借助图像或几何意义来显示数量关系，能达到直观、化难为易的目标。

把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等号两边函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的问题转化为一个可行的函数图象的问题，然后从图象中寻找条件，就能解决问题。

例5、（2010南京模拟）y=f(x)=若不等式f(x)≥ 2x-m恒
成立，则实数m的取值范围是
解析：在平面直角坐标系中作出函数
y＝2x－m及y＝f(x)的图象 (如图)，
由于不等式f(x)≥2x－m恒成立，所以函数
y＝2x－m的图象，应总在函数y＝f(x)的图象的下方，
因此，当x＝－2时，y＝－4－m≤0 。

所以m≥－4，所以m的取值范围是[－4，＋∞)。

【规律方法】此题属于不等式恒成立问题，先利用
图象的上、下位置关系确定直线的位置，然后再求解即
可．解不等式或证明不等式问题时经常要结合函数的图
象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用函数图象的上、下位置关系来确定不等式的解集或证明不等式。

数学家华罗庚说：“善于退，足够地退，退到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。

”在解综合性较强的不等式恒成立问题时，要抓住恒成立的本质，灵活运用解法，便可迎刃而解。

参考文献：
李玉莲.关于含字母参数的不等式问题的解法[ J].
山东世纪金榜书业有限公司 .恒成立问题常见类型及解法.
卫荷. 三法求不等式恒成立问题[ J].中学生报，2008，07，15。