最新七年级下册数学三角形与全等讲义

课堂测验
一、选择题：（每小题10分，共40分）
1. 如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（ ）
（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8
2. 如图，已知,AE CF =AFD CEB ∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
． （A ）A C ∠=∠ （B ） （C ）BE DF = （D ）AD BC ∥
3. 如图，∠1=100°，∠C =70） （A ）10° （B ）20° （C ）30° （D ）80°
4. 如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线BE 、
CD 相交于F ，∠ABC=42º， ∠A=60º，则∠BFC=（ ）
A 、118º
B 、119º
C 、120º
D 、121º 二、填空题（每小题10分，共40分）
5. 如图，三点在同一条直线上，，，请添加一个．．适当的条件 ，使得．
6. 一个三角形的三条边长分别为1、2、x ，则x 的取值范围是 .
7.已知△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于 .
8． 如图，A 、B 、C 分别是线段A 1B 、B 1C 、C 1A 的中点，若△ABC 的面积是1，那么△A 1B 1C 1的面积是 ． 三、解答题（共20分）
10.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，点D 在边AB 上，使DB =BC ，过点D 作EF ⊥AC ，分别交
ADF CBE △≌△AD CB =A B C 、、90A C ==∠∠°AB CD =EAB BCD △≌△ A
B
C A 1
B 1
C 1
B
A
求证：AB=BF
第 14 讲：三角形全等
【考纲要求】
三角形全等是初中数学的最基础也是最重要的知识之一。

运用全等三角形的知识可以解决有关的线段和角的相等关系、线段的和差倍分、两直线的平行或垂直、求角度等问题，常利用三角形全等来解决。

因此，三角形的全等判定和性质的应用是进行等量代换使问题转化的重要工具，是初中几何的核心内容。

三角形全等的条件: 共5个.
三角形全等的性质是 .
常见基本图形：（1）常见的对折型的全等图形
（2
（3）常见的平移型的全等图形
（4）常见的翻转型的全等图形
【教学重难点】三角形全等方法的灵活应用
【本讲命题方向】选择题、填空题及证明题
【典型题例精讲】 1.全等三角形性质
【例1】1如图，A B C '''△是由ABC △沿射线AC 方向平移2cm 得到，若AC ＝3cm ，
则A C '＝ cm ．
2.如图，把△ABC 绕点C 顺时针旋转35度，得到△A ′B ′C, A ′B ′交AC 于点D ，已知∠A ′DC=90°，∠A=______.
【反思与小结】当已知两个三角形全等时,要考虑到全等三角形的对应边 ,全等三角形的对应角 的应用.
2.三角形全等判定
【例2】1. 如图，在方格纸中，以AB 为一边作△ABP ，使之与△ABC 全等，从P 1，P 2，P 3，P 4四个点中找出符合条件的点P ，则点P 有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2. 如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B=∠DEF ，AB=DE ，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC ≌△DEF ，这个条件是（ ）A ．∠A=∠D B ．BC=EF C ．∠ACB=∠F D ．AC=DF
3.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD=CD ，AB=CB ，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC ⊥BD ；②AO=CO=2
1
AC ；③△ABD ≌△CBD ，其中正
4.如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD ，AB=5，AE=2，则CE= ．
5．在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形(其中点B 、F 、C 、E 在同一直线上)，并写出四个条件：①AB DE =，②BF EC =，③B E ∠=∠，④∠1=∠2．
请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题．．．，并给予证明． 题设：______________；结论：________．(均填写序号
【反思与小结】要证两三角形全等，应对照题中的已知条件和判定三角形全等的四种方法探究出需要的条件.
【例3】1.如图，点B ，F ，C ，E 在直线l 上（F ，C 之间不能直接测量），点A ，D 在l 异侧，测得AB =DE ，
AC =DF ，BF =EC .
（1）求证：△ABC ≌△DEF ；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.
2.如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，CE ∥DF ，EC=BD ，AC=FD ．求证：AE=FB ．
3. 如图，在△ABC 中，分别以AC 、BC 为边作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，连接AE 、BD 交于点O ，求∠AOB 的度数．
A
【例4】如图，在△ABC 中，AB=AC ，作AD ⊥AB 交BC 的延长线于点D ，作AE ∥BD 、CE ⊥AC ，且AE 、CE 相交于点E ，求证:AD=CE.
3. 三角形全等应用
【例5】1.如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点， F 是AD 延长线上一点，且DF=BE ． （1）求证：CE=CF ；
（2）若点G 在AD 上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD 成立吗？
为什么？
2.如图，E ，F 分别是等边三角形ABC 的边AB ，AC 上的点，且AE=CF ，CE 、BF 交于点P 。

（1）求证：CE=BF ；（2）求∠BPC 的度数．
【反思与小结】借助几何全等变换的思想，寻找对应元素，使某些等量关系更集中，图形更直观，易于找到解题途径。

对于能体现一定规律的基本图形如【例5】2题，要注意总结规律并学会加以推广.
【变式训练】
1.已知正方形ABCD 中，BE=CF ，BF 与AE 相交于P ，求∠APF 的大小。

2．如图8，点M 、N 分别是正五边形ABCDE 的边BC 、
CD 上的点，且BM ＝CN ，AM 交BN 于点P ．(1)求证：△ABM ≌△BCN ；(2)求∠APN
的度数
P
M
N
C
D
A
B
C 3.把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点
D 在BC 上，
连结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ．猜想AD 与BE
【拔高限时训练】
1．如图（1），已知两个全等三角形的直角顶点及一条直角边重合。

将△ACB 绕点C 按顺时针方向旋转到B C A ''∆ 的位置，其中C A '交直线AD 于点E ，B A ''分别交直线AD 、AC 于点F 、G ，则在图（2）中，全等三角形共有（ ）
A ．5对
B ．4对
C ．3对
D ．2对
2. 如图，点D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE=FE ，FC ∥AB. 求证：AE=CE ．
3.如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC ．延长AD 到
E 点，使DE=AB ． 求证：△ABC ≌△EDC ．
4．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，
B，C，D在同一条直线上. 求证：BD=CE.
【课后作业】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN. 求证：∠ABC=∠ACN.
类比探究
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由.。