基本概念曲线切向量

沿x轴
到点 B (– a , 0 ).
解:
或L的
(1) y a2
y2 d x
L 参数方程为
a x 2 (a2
a
x:a
x2) d x
a,
4 a3 3
则
y2 d x a2 sin2 t (a sin t )dt
L
0
2a3 2 1 4 a3
y
(2) L 的方程为
3
3
y 0, x : a a,
x
,d
2
y (t
, dz)( t )
) 2(t
)
2
(dt )s
2
二、对坐标的曲线积分的概念与性质Fra bibliotek空间变力
ur F
ur F( x, y, z) (P( x, y, z) , Q( x, y, z) , R( x, y, z))
将质点
A 从点
沿曲线
特别 常力 沿直线
所作的功
B 移动到 点
ur uuur W F AB
1.2. 6.7.8
19
备用.
设一个质点在
处受
力F 的作用,
F 的大小与M 到原点 F 的方向与OM
O 的距离成正比, 垂直且与 y 轴夹锐角,
此质点由点
沿椭圆
按逆时针方向移动到
y
B(0,b) F M( x, y)
o A(a,0)x
x acost AB : y bsin t
t:0
2
求力F 所作的功W.
椭圆
上， 每一点
都作用力
其大小 等于 从
到椭圆 中心 的距离
方向 指向 椭圆 中心， 今有
在椭圆
沿逆时针
移动， 求
一质量为
（1）
经过
第一象限
的椭圆弧段时，
的质点 所作的功
（2）
走遍
全椭圆时，
所作的功
解
（1）
2 0
y
?
/2
0
o
x （2）
15
1. 定义
内容小结
2. 性质
(1)若 L=L1+L2
则
L P( x, y)dx Q( x, y)d y
(2 2cos t sin t)cos t
2
0
(2sin t 2cost1 2cos 2t)dt 2 13
例4.设在力场
沿移动到
作用下, 其中为
质点由
解:(1)
z
B
试求力场
对质点
所作的功.
2
( R2k 2t )d t 0
(2)
的参数方程为
0
A
uuur AB
R
y
2
kt
kdt
0
14
设在 194页9
x ydx
O»B
y B(1,1)
解法2
3
2
1
x2
dx
4
0
5
取 y 为积分变量
则
y x
o
x
xy dx L
1 y2 y 2 y d y
1
y x
A( 1, 1 )
8
例2.计算 y2 d x L
圆心在原点的
上半圆周,
,其中 L 为
(1)半径为a
方向为逆时针方向
(2) 从点 A ( a , 0 )
z (t)
P[ (t), (t), (t)](t) Q[ (t), (t), (t)] (t ) R[ (t), (t), (t)] (t) }d t 4. 两类曲线积分的联系
L P d x Q d y P d x Q d y R d z
18
作业 193页习题10—2
曲线
规定了 方向 的曲线
叫有向曲线,
t : ,
弧微分 ds 2(t ) 2(t )2 (t ) d t
切向量: ((t), (t), (t))
单位 切向量:
d x (t ) d t
ds
同样 d y (t) d t
ds
d z (t) d t
ds
uur
若记 d
其则中
uur dr
r
(d
x : 0 1
AB : x 1, 0 1
4 1 x3dx 0
(2) 原式 1( 2 y2 y2 y y4 )d y 0
y B(1,1) (3) 原式
x y2
y x2
o
A( 1 , 0x)
1
1
2x0dx 1 d y
0
0
11
空间曲线 :
x (t)
y (t) t : , 则
B
A
a o a x
则 y2 d x L
9
计算 193页1（2）
(1) 直线 L : y x,
(3) 立方抛物线
L: y x3
(2) 抛物线 上从
解: (1) 原式
其中L为
到
那一段
(2) 原式 1 ( y2 y 2 y y y2)d y 0
y (1,1)
x y2
y x3
o
x
(3) 原式
3
平面 将质点
变力
ur F
ur
F ( x, y) (P( x, y) , Q( x, y))
A B 从点
沿曲线
移动到 点
所作的功.
ur uur
W F d r
P( x, y) dx Q ( x, y)d y
对坐标的曲线积分 或第二类曲线积分
•
B
•
A
4
性质
(1)若 L= L1+L2
则
L P( x, y) dxQ( x, y) d y
15设在194页9椭圆上每一点都作用力其大小等于从到椭圆中心的距离方向指向椭圆中心今有一质量为的质点在椭圆沿逆时针移动求1经过第一象限的椭圆弧段时所作的功2走遍全椭圆时所作的功解12161
10.2
第十章
第二型曲线积分
一、基本概念 二、对坐标的曲线积分的概念与性质 三、对坐标 的曲线积分 的计算法
1
一、基本概念
所作的功.
解决办法:
“大化小”
“常代变”
“近似和”
“取极限”
n ur uur ur uur
ur
W
lim
0
F i r i
F d r
i 1
Fi
Mi M i 1
•
•
B
P
d
xQd
y
R
dz 对坐标的曲线积分
或第二类曲线积分
uur(P F Q
R
)ds
A
对r i弧A(长x的i,曲y线i ,积z分iB)
或第一类曲线积分
• 对有向光滑弧
x (t)
L
:
y
(t
)
t :
{P[ (t), (t)] (t) Q[ (t), (t)] (t)dt
• 对有向光滑弧
L: y (x) , x :a b
b
a
P
[
x,
(
x)]
Q[
x,
(
x)]
(
x)
dx
17
3.对空间光滑曲线弧 :
x (t) y (t) t : , 有
o
x
从 a 到 b的定积分。 7
例1.计算L x y d x
其中L 为沿抛物线
A(1, 1) 到B(1, 1) 的一段.
y2 x 从点
解法1
取 x 为积分变量
则 L : AO OB
AO : y x , x : 1 0 OB : y x , x : 0 1
x ydx
L
¼AO x ydx
z (t)
P[ (t) ,
(t), (t)](t)Q[ (t), (t), (t)] (t ) R[ (t) , (t) , (t)](t) }d t
12
例3. 求
其中
z
C
2
o 1y
x
从 z 轴正向看
为顺时针方向.
解:
取 的参数方程
x cos t
y
sin
t,
t : 0 2
z 2 cos t sin t
解:
ur OM ( x , y),F k( y , x)
ur
ur
则 F k x2 y2 且 OM F
ur uur
W AB F ds k AB ydx xdy
kab
2 (sin2 t
cos2 t)dt
kab
0
20 2
则
ab {P[x, ( x)] Q[x, ( x)] ( x)}dx 6
193页3. 证明
证
设L为xoy面内
直线 x=a
的一段
所以
193页4.
设L为xoy面内
的一段直线，
证明
x 轴上
从点(a, 0)
到点(b, 0)
证
L： y 0,
x :a b,
y
ab P ( x, 0 )dx
相当于一元函数 P(x,0)
1 [ x x3( x3 x)3 x2]dx 0
1( x4 3x5 3x3)dx 0
10
练习. 计算
其中L为
(1) 抛物线
L:y x2, x : 0 1
(2) 抛物线 (3) 有向折线
解: (1) 原式
y2,
0 1
uuur uuur uuur L : OA AB . OuuAur: y 0,
P( x, y) dxQ( x, y) d y P( x, y) dxQ( x, y) d y
L1
L2
(2) 用L－ 表示
L 的反向曲线 ,
则
P( x, y)dx Q( x, y)d y
L P( x, y)dx Q( x, y)d y
5
三、对坐标的曲线积分的计算法
第一步:
将曲线方程
代入
被积函数
P( x, y)dx Q( x, y)d y P( x, y)dx Q( x, y)d y
L1
L2
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 ,
则
P( x, y)dx Q( x, y)d y L P( x, y)dx Q( x, y)d y
•对坐标的曲线积分
必须注意积分弧段的方向 !
16
3. 计算
第二步:
变成定积分
或二重积分
或曲面积分
方法一:
变成定积分
定理:
L 的参数方程为
x (t)
y
(t
)
t : ,
则
(t) dt
(t)dt
{P[ (t) , (t)] (t) Q[ (t) , (t)] (t)dt
特别若 L： y ( x), x :a b, d y ( x)d x,