2020届湖南省高三上学期期末统测数学（理）试题

2020届湖南省高三上学期期末统测数学（理）试题
一、单选题
1．设集合{|{|19}A x y B x x ===<≤，则()
A B =R （ ）
A ．(1,3)
B ．(3,9)
C ．[3,9]
D ．∅
【答案】A
【解析】求函数定义域求得集合A ，由此求得(
)R
A B ⋂.
【详解】
因为{|3}A x x =≥，所以(
)(1,3)R
A B ⋂=.
故选：A 【点睛】
本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算，属于基础题. 2．已知复数552i
z i i
=+-，则||z =（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．【答案】B
【解析】利用复数除法、加法运算，化简求得z ，再求得z 【详解】
55(2)
551725
i i i z i i i i +=
+=+=-+-，故||z ==故选：B 【点睛】
本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题. 3．设1
3
3a =，13
log 2b =，
12
13c ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则（ ）
A ．b a c <<
B ．c b a <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
【答案】C
【解析】利用“0,1分段法”比较出,,a b c 三者的大小关系. 【详解】
因为1
331a =>，13
log 20b =<，
12
1013c ⎛⎫
<=< ⎪⎝⎭
，所以b c a <<.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查指数、对数比较大小，属于基础题. 4．函数2
()cos 3f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的最小正周期为（ ） A ．
4
π B ．2π
C ．
2
π D ．π
【答案】D
【解析】利用降次公式化简()f x 表达式，再由此求得最小正周期. 【详解】
因为22cos 211213()cos cos 232232
x f x x x πππ⎛
⎫
++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+==+
+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，所以最小正
周期为π. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题. 5．左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为（ ） A ．
16
B ．
112
C ．
13
D ．
12
【答案】B
【解析】根据相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】
骰子向上为6点的概率为
16
，硬币向上为正面的概率为1
2，故所求事件的概率为
111
6212
⨯=. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题.
6．设,,m n l 为三条不同的直线，,a β为两个不同的平面，则下面结论正确的是（ ） A ．若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m n B ．若//,//,m n m n αβ⊥，则αβ⊥ C ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥
D ．//,//,,m n l m l n αα⊥⊥，则l α⊥
【答案】C
【解析】根据线线、线面、面面位置关系，对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项. 【详解】
A 选项中，,m n 可能异面；
B 选项中，,αβ也可能平行或相交；D 选项中，只有,m n 相交才可推出l α⊥.
C 选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性判断，属于基础题. 7．若执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）
A ．3ln2
B ．2ln3
C ．ln7
D ．ln10
【答案】A
【解析】根据程序框图运行所计算的S 的表达式，结合对数运算，求得输出的S 的值. 【详解】
运行程序框图中的程序，可得
2348234
8
ln ln ln ln
ln ln83ln 2123
7123
7
S =+++
+=⨯⨯⨯⨯
==. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查根据循环结构程序框图计算输出结果，考查对数运算，属于基础题. 8．已知函数||()32x a f x -=+，且满足(5)(3)f x f x +=-，则(6)f =（ ） A ．29 B ．5
C ．3
D ．11
【答案】D
【解析】根据(5)(3)f x f x +=-求得()f x 的对称轴，也即求得a 的值，从而求得
()6f 的值.
【详解】
因为(5)(3)f x f x +=-，所以()f x 的图象关于4x =对称，所以
64
4,(6)3
211a f -==+=.
故选：D 【点睛】
本小题主要考查函数图像的对称性，考查函数值的求法，属于基础题.
9．已知抛物线2:12C y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，
FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且,,A F B 三点共线，则||AF =（ ）
A ．16
B ．10
C ．12
D ．8
【答案】C
【解析】根据圆的几何性质，结合抛物线的定义，根据F 到准线的距离，求得AF . 【详解】
因为,,A F B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥.由抛物线定义知
1
||2||||2
AD EF AF AB ===
，所以30ABD ︒∠=.因为F 到准线的距离为6，所以||||2612AF BF ==⨯=.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查圆的几何性质，考查抛物线的定义和几何性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
10．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（ ） A ．y x =- B ．2y x =-+
C ．y x =
D ．2y x =-
【答案】A
【解析】首先根据函数的奇偶性，求得当0x <时，()f x 的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜率，从而求得切线方程. 【详解】
因为0x <，()()ln()1f x f x x x =-=--+，()11f -=，()ln()1f x x '=---，
(1)1f '-=-，所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()11y x -=-+，即
y x =-.
故选：A 【点睛】
本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题.
11．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2
2
2
2(1)(21)
1236
n n n n ++++++=
）
A ．1624
B ．1024
C ．1198
D ．1560
【答案】B
【解析】根据高阶等差数列的定义，求得等差数列{}n c 的通项公式和前n 项和，利用累加法求得数列{}n a 的通项公式，进而求得19a . 【详解】 依题意
n a ：1，4，8，14，23，36，54，……
两两作差得
n b ：3，4，6，9，13，18，……
两两作差得
n c ：1，2，3，4，5，……
设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，设
{}n c 的前n 项和为n C .
易n c n =，22n n n C +=，进而得21332
n n n n
b C ++=+=+，所以
2(1)1
33222
n n n n b n -=+=-+，则(1)(1)36n n n n B n +-=
+，所以11n n a B +=+，所以191024a =. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
12．在三棱锥D ABC -中，1AB BC CD DA ====，且,,,AB BC CD DA M N ⊥⊥分别是棱BC ，CD 的中点，下面四个结论：
①AC BD ⊥； ②//MN 平面ABD ；
③三棱锥A CMN -的体积的最大值为212
； ④AD 与BC 一定不垂直.
其中所有正确命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．②③④
C ．①④
D ．①②④
【答案】D
【解析】①通过证明AC ⊥平面OBD ，证得AC BD ⊥；②通过证明//MN BD ，证得//MN 平面ABD ；③求得三棱锥A CMN -体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得AD 与BC 一定不垂直. 【详解】
设AC 的中点为O ，连接,OB OD ，则AC OB ⊥，AC OD ⊥，又OB
OD O =，
所以AC ⊥平面OBD ，所以AC BD ⊥，故①正确；因为//MN BD ，所以//MN 平面ABD ，故②正确；当平面DAC 与平面ABC 垂直时，A CMN V -最大，最大值为
1122
34448
A CMN N ACM V V --=⨯⨯=
=，故③错误；若AD 与BC 垂直，又因为AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC BD ⊥，又BD AC ⊥，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD OB ⊥，因为OB OD =，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故④正确.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空
间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
二、填空题
13．已知数列{}n a 是等比数列，131,36a a ==，则2a =__________. 【答案】6±
【解析】根据等比数列通项公式，首先求得q ，然后求得2a . 【详解】
设{}n a 的公比为q ，由131,36a a ==，得2
36,6q q ==±，故26a =±.
故答案为：6± 【点睛】
本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.
14．已知向量(4,3),(1,2)a b =-=-，,a b 的夹角为θ，则sin θ=__________.
【解析】利用两个向量夹角计算公式，求得cos θ的值，再根据同角三角函数的基本关系式求得sin θ的值. 【详解】
依题意[]0,πθ∈，所以cos ||||5a b a b θθ⋅=
=-===
⨯
【点睛】
本小题主要考查向量夹角的坐标运算，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题. 15．3
8
1
(2)x x
-展开式中常数项为______. 【答案】112
【解析】求得二项展开式的通项，令3(8)0r r --=，解得6r =，代入即可得到展开式的常数项． 【详解】
由题意，二项展开式的通项为3883(8)1881
(2)
()2(1)r
r
r r r r r r r T C x C x x
----+=-=-， 令3(8)0r r --=，解得6r =，所以常数项为6866
782(1)112T C -=-=．
【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
16．双曲线()2222222210,0x y a b a b -=>>与椭圆()22
112211
10x y a b a b +=>>有相同的焦点，
且左、右焦点分别为12,F F ，它们在第一象限的交点为P ，若
1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则该双曲线的离心率
为____________.
【解析】利用正弦定理求得1222F F PF =，利用椭圆和双曲线的定义求得12a a c =+，进而由121⋅=e e 列方程，并转化为含有双曲线离心率2e 的方程，由此求得双曲线的离心率. 【详解】
设椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，122F F c =，由正弦定理得
212
1212
sin sin PF F F PF F F PF =∠∠.∵1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，∴1222F F PF =，
∴2PF c =.∵1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，∴11222PF a c a c =-=+，∴12a a c =+.又∵1212221c c c c e e a a a c a ⋅=
⋅=⋅=+，22
22c a a c =+，两边除以22a 并化
简得2
2210e e --=，∴2e =
.
【点睛】
本小题主要考查椭圆和双曲线的定义，考查双曲线离心率的求法，考查正弦定理进行边角互化，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
三、解答题
17．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且(3)cos cos 0a c B b C ++=. （1）求sin B ；
（2）若1,22a b ==，求ABC ∆的面积.
【答案】（1）22sin 3B =
（2）
72
9
【解析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得cos B 的值，进而求得sin B 的值. （2）利用余弦定理列方程，由此求得c ，再利用三角形的面积公式求得三角形ABC 的面积. 【详解】
（1）因为(3)cos cos 0a c B b C ++=，
所以3sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=， 所以3sin cos (sin cos sin cos )sin A B B C C B A =-+=-.
因为sin 0A >，所以1
cos 3
B =-，所以22
sin 3
B =
. （2）由余弦定理得2
2
2
2
2
22cos 3
b a
c ac B a c ac =+-=++. 因为1,22a b ==，所以2
2
703
c c +-=，即23221(3)(37)0c c c c +-=+-=， 所以73
c =
. 所以ABC ∆的面积为1172272
sin 122339
ac B =⨯⨯⨯=
. 【点睛】
本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题. 18．如图，ABCD 是正方形，点P 在以BC 为直径的半圆弧上（P 不与B ，C 重合），
E 为线段BC 的中点，现将正方形ABCD 沿BC 折起，使得平面ABCD ⊥平面BCP .
（1）证明：BP ⊥平面DCP .
（2）三棱锥D BPC -的体积最大时，求二面角B PD E --的余弦值. 【答案】（1）见解析（215
【解析】（1）利用面面垂直的性质定理证得CD ⊥平面BPC ，由此证得DC BP ⊥，根据圆的几何性质证得BP PC ⊥，由此证得BP ⊥平面DCP .
（2）判断出三棱锥D BPC -的体积最大时P 点的位置.建立空间直角坐标系，通过平面BPD 和平面EPD 的法向量，计算出二面角B PD E --的余弦值. 【详解】
（1）证明：因为平面ABCD ⊥平面,BPC ABCD 是正方形， 所以DC ⊥平面BPC .
因为BP ⊂平面BPC ，所以DC BP ⊥.
因为点P 在以BC 为直径的半圆弧上，所以BP PC ⊥. 又DC PC C ⋂=，所以BP ⊥平面DCP .
（2）解：显然，当点P 位于BC 的中点时，BCP ∆的面积最大，三棱锥D BPC -的体积也最大.
不妨设2BC =，记AD 中点为G ，
以E 为原点，分别以,,EB EP EG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -， 则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,2),(0,1,0)E B D P -，
(2,0,2),(1,0,2),(1,1,2)BD ED PD =-=-=--
设平面BDP 的法向量为()111,,m x y z =，
则11111220,20,
BD m x z PD m x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩令11x =，得(1,1,1)m =. 设平面DEP 的法向量为()222,,n x y z =， 则2222220,20,
ED n x z PS n x y z ⎧⋅=-+=⎪
⎨
⋅=--+=⎪⎩令22x =，得(2,0,1)n =，
所以cos ,||||3m n m n m n ⋅
〈〉=
==
⨯. 由图可知，二面角B PD E --为锐角，故二面角B PD E --的余弦值为
5
.
【点睛】
本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
19．生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.
（1）完成下列22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；
生二孩 不生二孩 合计 头胎为女孩 60 头胎为男孩 合计
200
（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X 的分布列及数学期望. 附：
()2P K k ≥
0.15 0.05 0.01 0.001 k
2.072
3.841
6.635
10.828
22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）.
【答案】（1）见解析，有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.（2）分布
列见解析，167
EX =
【解析】（1）根据题目所给数据，计算并填写出22⨯列联表，计算出2K 的值，由此判断出有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.
（2）利用超几何分布分布列和数学期望计算公式，计算出所求X 的分布列及数学期望. 【详解】
（1）因为头胎为女孩的频率为0.5，所以头胎为女孩的总户数为2000.5100⨯=. 因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为2000.525105⨯=.
22⨯列联表如下：
22
200(60554540)600 3.84110595100100133
K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，
故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.
（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，则这7户家庭中，头胎生女孩的户数为4，头胎生男孩的户数为3，则X 的可能取值为1，2，3，4.
13
434
74
(1)35C C P X C ⋅===； 2243
44C C 18(2)C 35P X ⋅===；
3143
44C C 12(3)C 35P X ⋅===；
44471
(4)35
C P X C ===.
X 的分布列为
418121161234353535357
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列和数学期望的计算，属于基础题.
20．已知12,F F 分别为椭圆22
:143x y C +=的左、右焦点，MN 为该椭圆的一条垂直于
x 轴的动弦，直线:4m x =与x 轴交于点A ，直线2MF 与直线AN 的交点为B .
（1）证明：点B 恒在椭圆C 上.
（2）设直线n 与椭圆C 只有一个公共点P ，直线n 与直线m 相交于点Q ，在平面内是否存在定点T ，使得2
PTQ π
∠=恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理
由.
【答案】（1）见解析（2）存在，(1,0)T
【解析】（1）根据题意求得2,F A 的坐标，设出,M N 的坐标，求得直线2,MF AN 的方程，由此求得B 的坐标，代入椭圆方程的左边，化简后得到1，由此判断出B 恒在椭圆
C 上.
（2）首先判断直线n 的斜率是否存在.然后当直线n 斜率存在时，设出直线n 的方程y kx b =+，判断出T 的位置并设出T 的坐标.联立直线n 的方程和椭圆方程，化简后利
用判别式等于零求得,k b 的关系式，进而求得P 的坐标，结合Q 点坐标以及
2
PTQ π
∠=
，利用0TP TQ ⋅=列方程，结合等式恒成立求得T 的坐标.
【详解】
（1）证明：由题意知2(1,0),(4,0)F A ，设(,),(,)M s t N s t -，则22
143
s t +=.
直线2MF 的方程为(1)1t y x s =
--，直线AN 的方程为(4)4
t y x s -=--，
联立可得5825B s x s -=
-，325B t y s =-，即B 的坐标为583,2525s t s s -⎛⎫
⎪--⎝⎭
.
因为22
2222
22
(58)12(58)3691434(25)4(25)B B x y s t s s s s -+-+-+===--， 所以B 点恒在椭圆C 上.
（2）解：当直线n 的斜率不存在时，不符合题意.不妨设直线n 的方程为y kx b =+，由对称性可知，若平面内存在定点T ，使得2
PTQ π
∠=恒成立，则T 一定在x 轴上，故
设()0,0T x ，
由22,1,4
3y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2224384120k x kbx b +++-=.
因为直线n 与椭圆C 只有一个公共点，
所以(
)(
)(
)
22
2
2
22
6444341248430k b k b k b ∆=-+-=-+=， 所以43
,P P P k x y kx b b b
=-
=+=. 又因为(4,4),2
Q k b PTQ π
+∠=
，所以
()0043,4,40k
TP TQ x x k b b
b ⎛⎫⋅=--⋅-+= ⎪⎝⎭，
即()00
43(4)
40k k b x x b b
+⎛
⎫+
-+= ⎪⎝
⎭. 所以()2
00043440k
x x x b
-++
-=对于任意的满足22430k b -+=的,k b 恒成立， 所以0200440,430,
x x x -=⎧⎨-+=⎩解得01x =.
故在平面内存在定点(1,0)T ，使得2
PTQ π
∠=恒成立.
【点睛】
本小题主要考查直线与直线交点坐标，考查点与椭圆的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
21．已知函数()ln 12a
f x x a x x
=+--+有两个不同的极值点12,x x . （1）求a 的取值范围.
（2）求()f x 的极大值与极小值之和的取值范围.
（3）若110,,,22
m n ⎛
⎫⎛⎫∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，则()()f m f n -是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由. 【答案】（1）1
04
a <<
（2）(,2ln 21)-∞-+（3）()()f m f n -没有最小值.见解析 【解析】（1）先求得函数()f x 的定义域和导函数，结合一元二次方程根的分布求得a 的取值范围.
（2）根据（1）求得1212,1x x a x x =+=，求得()()12f x f x +的表达式，并利用导数求得这个表达式的取值范围.
（3）由（2）假设()1()f x f x =极小值，()2()f x f x =极大值，则
()()min 12[()()]f m f n f x f x -=-，求得()()12f x f x -的表达式，并利用导数研究
这个表达式的单调性，由此判断出这个表达式没有最小值，也即()()f m f n -没有最小值. 【详解】
（1）()f x 定义域为()0,∞+，222
1()1a x x a
f x x x x
-+-'=--=. 因为()f x 有两个不同的极值点12,x x ，且0x >，
所以20x x a -+=有两个不同的正根，1212
140100
a x x x x a ∆=->⎧⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩，解得1
04a <<.
（2）因为1212,1x x a x x =+=，不妨设12x x <，所以()1()f x f x =极小值，
()2()f x f x =极大值，
所以
()()()
()
1212121212
()()ln 2(12)a x x f x f x f x f x x x a x x x x ++=+=⋅+-+-+极小值极大值
ln 24a a =+-.
令()ln 42a a a ϕ=-+，则1
()40a a
ϕ'=
->，
所以()a ϕ在10,4
⎛
⎫ ⎪⎝
⎭上单调递增，所以1()2ln 214a ϕϕ⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭
，
即()f x 的极大值与极小值之和的取值范围是(,2ln 21)-∞-+.
（3）由（2）知1212,1x x a x x =+=.因为12111
0,,,,22
2
m n x x ⎛⎫⎛⎫∈∈+∞<< ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 所以()()min 1max 2(),()f m f x f n f x ==， 所以()()121min 1221212
[()()]ln
x x x f m f n f x f x x x a x x x --=-=+-+. 因为121x x =-，所以()2
min 22
1[()()]ln
221x f m f n x x --=+- ()22221ln 1ln 4212x x x x ⎛⎫
=--+-<< ⎪⎝⎭
.
令1()ln(1)ln 4212h x x x x x ⎛⎫
=--+-<<
⎪⎝⎭
，则2
11(21)()401(1)
x h x x x x x -'=-+=<--，
所以()h x 在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，()h x 无最小值，
故()()f m f n -没有最小值. 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用导数研究函数的最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.
22．在直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程是11cos ,421sin 42x y αα⎧=+⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩
（α是参数），以
原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）在曲线C 上取一点M ，直线OM 绕原点O 逆时针旋转
3
π
，交曲线C 于点N ，求||||OM ON ⋅的最大值.
【答案】（1）sin 6π⎛
⎫ρ=θ+
⎪⎝⎭（2）最大值为3
4
【解析】（1）利用22sin cos 1αα+=消去参数α，求得曲线C 的普通方程，再转化为极坐标方程.
（2）设出,M N 两点的坐标，求得||||OM ON ⋅的表达式，并利用三角恒等变换进行化简，再结合三角函数最值的求法，求得||||OM ON ⋅的最大值. 【详解】
（1
）由11cos ,421sin ,
42x y αα⎧
=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
消去α得曲线C
的普通方程为221022x y x y +--=.
所以C
的极坐标方程为1
cos 2
ρ=
θ+θ， 即sin 6π⎛
⎫ρ=θ+
⎪⎝⎭
. （2）不妨设()1,M ρθ，2,3N πρθ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
，10ρ>，20ρ>，[0,2)θπ∈， 则
12||||sin sin 663OM ON πππρρθθ⎛⎫⎛⎫⋅==+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin cos 6θθ
⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭1cos cos 22θθθ⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝
⎭
112cos 244θθ=++11sin 2264πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 当6
π
θ=
时，||||OM ON ⋅取得最大值，最大值为
3
4
. 【点睛】
本小题主要考查参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程，考查极坐标系下线段长度的乘积的最值的求法，考查三角恒等变换，考查三角函数最值的求法，属于中档题.
23．已知函数()|2||3|f x x x =++-. （1）解不等式()32f x x ≤-；
（2）若函数()f x 最小值为M ，且23(0,0)a b M a b +=>>，求13
211
a b +++的最小值.
【答案】（1）7
,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
（2）
169
【解析】（1）利用零点分段法，求得不等式的解集.
（2）先求得()5f x ≥，即235(0,0)a b a b +=>>，再根据“1的代换”的方法，结合基本不等式，求得13
211
a b +++的最小值. 【详解】
（1）当2x <-时，2332x x x ---+≤-，即3
5x ≥，无解； 当23x -≤≤时，2332x x x +-+≤-，即73x ≤，得7
33
x ≤≤；
当3x >时，2332x x x ++-≤-，即1x ≥，得3x >. 故所求不等式的解集为7
,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.
（2）因为()|2||3||(2)(3)|5f x x x x x =++-≥+--=， 所以235(0,0)a b a b +=>>，则213(1)9a b +++=，
1311313(1)3(21)16
[213(1)]10211921192119b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎡⎤+=++++=++≥ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎣⎦
.
当且仅当211,235,0,0,
a b a b a b +=+⎧⎪+=⎨⎪>>⎩即5,
8
54a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时取等号.
故
13211
a b +++的最小值为169.
【点睛】
本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。