新北师大版高中数学必修五第二章《解三角形》检测(含答案解析)

一、选择题
1．在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若
()
sin sin sin
c C a A b a B
=+-，角C的角平分线交AB于点D，且3
CD=，3
a b
=，则c的值为（）
A．
7
2
B．
47
C．3D．23
2．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多
边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正n边形逼
近圆，算得圆周率的近似值记为
n
π，那么用圆的内接正2n边形逼近圆，算得圆周率的近
似值加
2n
π可表示成（）
A ．360
sin
n
n
π
︒B．360
cos
n
n
π
︒C．180
cos
n
n
π
︒D．90
cos
n
n
π
︒
3．在ABC中，,,
a b c分别是角,,
A B C的对边，以下四个结论中，正确的是（）A．若a b c
>>，则sin sin sin
A B C
>>
B．若A B C
>>，则sin sin sin
A B C
<<
C．cos cos sin
a B
b A
c C
+=
D．若222
a b c
+<，则ABC是锐角三角形
4．在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若
222
4
ABC
a b c
S
+-
=（其
中
ABC
S表示ABC的面积），且角A的平分线交BC于E，满足0
AE BC
⋅=，则ABC的形状是（）
A．有一个角是30°的等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
5．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106m（如图），则旗杆的高度为（）
A．10 m B．30 m C．3m D．6m
6．在ABC中，,,
a b c分别为三个内角,,
A B C的对边，若cos cos
a A
b B
=，则
ABC一定是（）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角
三角形
7．在ABC 中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若sin 3cos 0b A a B -=，且
2
b a
c =，则
a c
b
+ 的值为（ ） A ．
22
B ．2
C ．2
D ．4
8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a B b A B =，则
ABC ∆的形状是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
9．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，现要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，
120ACB ∠=︒，则A 、B 两点间的距离为（ ）
A ．80
B ．803
C ．160
D ．805
10．已知△ABC 中，2cos =c b A ，则△ABC 一定是
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 成等差数列，且直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长，则△ABC 的面积的最大值为（ ） A ．33B 33
C ．
32
D 312．小华想测出操场上旗杆OA 的高度，在操场上选取了一条基线BC ，请从测得的数据①12m BC =，②B 处的仰角60°，③C 处的仰角45∘，④36
cos BAC ∠=30BOC ∠=︒中选取合适的，计算出旗杆的高度为（ ） A ．103m
B ．12m
C ．122m
D ．123m
二、填空题
13．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()2
26b a c =+-，
23
B π
=
，则ABC 的面积是______________. 14．已知在锐角ABC 的面积为23，且212tan tan sin A B A +=，其内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，则边c 的 最小值为_____________.
15．在ABC 中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，ABC 的面积为S ，若,,B A C 成等差数列，
3
cos cos S a B b A =+，3c =，则a =__________. 16．设角,,A B C 是ABC ∆的三个内角，已知向量()sin sin ,sin sin m A C B A =+-，
()sin sin ,sin n A C B =-，且m n ⊥.则角C 的大小为_____________.
17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则满足10a =，18b =，30A =︒的三角形解的个数是______.
18．在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且满足
cos 2b a
C a
-=
，则tan A 的取值范围是__． 19．如图，在四边形ABCD 中，已知AB BC ⊥，5AB =，7AD =，135BCD ∠=︒，
1
cos 7
A =
，则BC =________.
20．如图，在ABC 中，点D 是边BC 上的一点，1DC =，2AC =，3BD =，
120BAD ∠=︒，则AB 的长为________.
三、解答题
21．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
)
2cos cos b a C c A -=．
（1）求角C 的大小；
（2）若a =
()2
cos cos c a B b A b -=，求ABC 的面积．
22．在①()2
2sin sin sin sin sin A B C B C --=，②sin
sin 2
B C
b a B +=，③2sin sin 3a B b A π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 2b c +=，______求A 和
C ．
23．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且22cos b c a C -=. （1）求A ；
（2）若ABC 为锐角三角形，2c =，求b 的取值范围. 24．a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，已知
()()()222222222(2)2a b a b c a b c a b a c b ++-=+-++-．
（1）若a ＝4，b ＝2，求△ABC 的面积； （2）证明：sin 2sin tan cos 2cos A B
C A B
+=
+．
25．在①()
cos cos cos 0C A A B +=，②()cos23cos 1B A C -+=，
③cos sin b C B a +
=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 问题：在ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若1a c +=，
___________，求角B 的值和b 的最小值.
26．在ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c 且2cos cos cos b B a C c A =+. （1）求B 的值；
（2）求22sin cos()A A C +-的范围.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角C 的值，由ABC ACD BCD S S S =+△△△可得出
ab a b =+，结合3a b =可求得a 、b 的值，再利用余弦定理可求得c 的值.
【详解】
()sin sin sin c C a A b a B =+-，由正弦定理可得()22c a b a b =+-，可得
222a b c ab +-=，
由余弦定理可得：2221
cos 22
a b c C ab +-==
，0C π<<，所以3C π=， 由ABC ACD BCD S S S =+△△△，有
111sin sin sin 232626
ab a CD b CD πππ
=⋅+⋅，得ab a b =+，
所以234b b =，
0b >，4
3
b ∴=
，34a b ==， 由余弦定理可得22161647
1692cos 3c a b ab C =+--=
=+
. 故选：B. 【点睛】
方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
2．C
解析：C 【分析】
设圆的半径为r ，由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：
180180
sin
cos
n n n n
π⨯=⨯，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：2180
sin
n n n
π⨯=，问题得解. 【详解】
设圆的半径为r ，将内接正n 边形分成n 个小三角形， 由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：
221360sin
2r n r n π≈⨯⨯，整理得：1360
sin 2n n
π≈⨯⨯， 此时1360sin 2n n n π⨯
⨯=，即：180180
sin cos
n n n n
π⨯=⨯ 同理，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：
2213602sin
22r n r n π≈⨯⨯，整理得：1360180
2sin sin 22n n n n
π≈⨯⨯=⨯ 此时2180sin
n n n
π⨯= 所以
2180
sin
180cos n
n n n
n
ππ==⨯ 故选C 【点睛】
本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题．
3．A
解析：A 【分析】
由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===，可判定A 正确；由大边对大角定理和正弦定理可判定B 错误；由正弦定理，可判定C 错误；根据余弦定理，可判定D 错误． 【详解】
对于A 中，由于a b c >>，由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===， 可得sin sin sin A B C >>，故A 正确；
对于B 中，A B C >>，由大边对大角定理可知，则a b c >>，
由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===，可得sin sin sin A B C >>，故B 错误； 对于C 中，由正弦定理可得cos cos 2(sin cos sin cos )a B b A R A B B A +=+
2sin()2sin()2sin R A B R C R C c π=+=-==，故C 错误；
对于D 中，由2
2
2
a b c +<，根据余弦定理可得222
cos 02a b c C ab
+-=<，
因为(0,)C π∈，可得C 是钝角，故D 错误．
故选：A. 【点睛】
本题主要考查了以解三角形为背景的命题真假判定问题，其中解答中熟记解三角形的正弦定理、余弦定理，合理推算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
4．D
解析：D 【分析】
根据角A 的平分线交BC 于E ，满足0AE BC ⋅=，得到ABC 是等腰三角形，再由
222
1sin 24
+-==
ABC a b c S ab C ，结合余弦定理求解. 【详解】
因为0AE BC ⋅=， 所以AE BC ⊥，
又因为AE 是角A 的平分线， 所以ABC 是等腰三角形， 又222
1sin 24
+-==
ABC
a b c S
ab C ， 所以222
1sin cos 22a b c ab C C ab
+-==，
因为()0,C π∈， 所以4
C
π
,
所以ABC 是等腰直角三角形， 故选：D 【点睛】
本题主要考查余弦定理，面积公式以及平面向量的数量积，属于中档题.
5．B
解析：B 【分析】
作图，分别求得∠ABC ，∠ACB 和∠BAC ，然后利用正弦定理求得AC ，最后在直角三角形ACD 中求得AD ． 【详解】 解：如图，
依题意知∠ABC ＝30°+15°＝45°，∠ACB ＝180°﹣60°﹣15°＝105°， ∴∠BAC ＝180°﹣45°﹣105°＝30°， 由正弦定理知
BC AC
sin BAC sin ABC
=∠∠，
∴AC BC sin BAC
=∠•sin ∠
ABC
22
=
=
m ）， 在Rt △ACD 中，
AD =
AC =
=30（m ） 即旗杆的高度为30m ． 故选B ． 【点睛】
本题主要考查了解三角形的实际应用．结合了正弦定理等基础知识，考查了学生分析和推理的能力．
6．D
解析：D 【分析】
根据cos cos a A b B =，利用正弦定理将边转化为角得到sin cos sin cos A A B B =，然后再利用二倍角的正弦公式化简求解. 【详解】
因为cos cos a A b B =，
由正弦定理得：sin cos sin cos A A B B =， 所以sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-， 即A B =或2
A B π
+=
所以ABC 一定是等腰三角形或直角三角形， 故选：D 【点睛】
本题主要正弦定理，二倍角公式的应用，属于中档题.
7．C
解析：C 【分析】
利用正弦定理边化角，结合辅助角公式可求得sin 03B π⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭，从而确定3
B π
=；利用余弦定理构造方程可求得()2
4+=a c ac ，代入所求式子即可化简得到结果. 【详解】
sin cos 0b A B =，
()
sin sin cos sin sin 2sin sin 03B A A B A B B A B π⎛
⎫∴=-=-= ⎪⎝
⎭，
()0,A π∈，sin 0A ∴≠，sin 03B π⎛
⎫∴-= ⎪⎝⎭，又()0,B π∈，3B π∴=.
()2
2222231cos 2222
a c ac a c
b a
c ac B ac ac ac +-+-+-∴====
，整理可得：
()
2
4+=a c ac ，
2a c b
+∴
==
=
=. 故选：C . 【点睛】
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角、余弦定理的应用等知识；解决此类问题的关键是能够通过正弦定理，将边的齐次式转化为角的关系，属于常考题型.
8．B
解析：B 【分析】
根据正弦定理得到2sin sin sin cos cos A B B A B =，化简得到()sin cos 0B A B -+=，计算得到答案. 【详解】
2sin cos cos a B b A B =，所以2sin sin sin cos cos A B B A B =，
所以()sin sin sin cos cos 0B A B A B -=，即()sin cos 0B A B -+=. 因为0A π<<，0B π<<，所以2
A B π
+=，故ABC ∆是直角三角形.
故选：B 【点睛】
本题考查了正弦定理和三角恒等变换，意在考查学生对于三角公式的综合应用.
9．D
解析：D 【分析】
如图，BCD △中可得30CBD ∠=︒，再利用正弦定理得BD =ABD △中，由余弦定理，即可得答案； 【详解】
如图，BCD △中，80CD =，15BDC ∠=︒，
12015135BCD ACB DCA ∠=∠+∠=︒+︒=︒，
∴30CBD ∠=︒，
由正弦定理得
80
sin135sin 30BD =︒︒
，解得BD =
ACD △中，80CD =，15DCA ∠=︒，
13515150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，
∴15CAD ∠=︒，∴==80AD CD ，
ABD △中，由余弦定理得
2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠
2280(802)280802cos135=+-⨯⨯⨯︒ 2805=⨯，
∴805AB =，即A ，B 两点间的距离为805．
故选：D. 【点睛】
本题考查正余弦定理的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
10．B
解析：B 【解析】
试题分析：由2cos =c b A 和正弦定理得sin 2sin cos =C B A ，即
sin()2sin cos ,sin cos sin cos A B B A A B B A +==．因sin 0,sin 0A B >>，故,A B 不
可能为直角，故tan tan A B =．再由,(0,)A B π∈，故A B =．选B ． 考点：本题考查正弦定理、内角和定理、两角和的三角函数公式．
点评：综合考查正弦定理、两角和与差的三角公式．三角形中的问题，要特别注意角的范围．
11．B
解析：B 【分析】
由三角形内角和公式以及等差数列的性质可得3
B π
=
，根据直线过圆心可得
2312a c +=，根据基本不等式可得6ac ≤，最后由三角形面积公式得结果.
【详解】
在△ABC 中，A +B +C ＝π，
∵角A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A +C ， ∴2B ＝π﹣B ，∴B 3
π
=
．
∵直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长， ∴圆心（2，3）在直线ax +cy ＝12上，则2a +3c ＝12， ∵a ＞0，c ＞0，∴12＝2a +3c 26ac ≥，即ac ≤6． 当且仅当2a ＝3c ，即a ＝3，c ＝2时取等号． ∴11333
sin 622ABC
S
ac B =≤⨯⨯=
， ∴△ABC 的面积的最大值为33
． 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，基本不等式以及三角形面积公式的应用，属于中档题.
12．D
解析：D 【分析】
设旗杆的高度OA h =.选①②③⑤，表示出OB OC ，，在BOC ∆中，由余弦定理列方程求解；选①②③④，表示出AB AC ，，在BAC ∆中，由余弦定理列方程求解. 【详解】
设旗杆的高度OA h =.选①②③⑤，则OC h =，3
OB =
， 在BOC ∆中，由余弦定理得2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅⋅∠，
即2
2
2
3122233h h =+-⋅⋅⋅ ⎪
⎝⎭
，解得123h =； 选①②③④，则3
AB h =
，2AC h =， 在BAC ∆中，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠， 即(
)
2
2
2361222233h h =
+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
，解得123h =. 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了余弦定理在解三角形的应用，考查了仰角的概念，考查了学生对概念的理
解和运算求解能力，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】利用余弦定理求出的值再利用三角形的面积公式可求得的面积【详解】由余弦定理可得可得则解得因此的面积是故答案为：【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中若已知条件同时含有边和角但不能直接使用正弦定理
【分析】
利用余弦定理求出ac 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积. 【详解】
由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=++，222a c b ac ∴+-=-，
()2
222626b a c a c ac =+-=++-，可得222260a c b ac +-+-=，则
260ac ac --=，解得6ac =，
因此，ABC 的面积是11sin 622ABC S ac B ==⨯=
△.
【点睛】
方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
14．2【分析】先化切为弦结合正余弦定理将角化边再由面积公式求得构造函数再用导数求得最值【详解】由得即结合正弦定理得再由余弦定理可得整理又由余弦定理可得代入上式得又锐角的面积所以时所以设函数求导可得由得所
解析：2 【分析】
先化切为弦，结合正、余弦定理将角化边，再由面积公式求得)22cos 3sin A c A
-=，
构造函数()2cos 0sin 2x f x x x π-⎛⎫
=<< ⎪⎝⎭
，再用导数求得最值.
【详解】
由
212tan tan sin A B A +=，得2cos sin cos sin 2
sin sin sin A B B A A B A
+=， 即2cos sin cos sin 2sin A B B A B +=，结合正弦定理得2cos cos 2b A a B b +=，
再由余弦定理可得2222222222b c a a c b b a b bc ac
+-+-⋅+⋅=，整理22234c b a bc +-=.
又由余弦定理可得2222cos b a bc A c -=-，代入上式得()2
2cos c bc A =-，
又锐角ABC 的面积
1sin 2bc A =
，所以bc =)
2
2cos 3sin A c A
-=
， 设函数()2cos 0sin 2x f x x x π-⎛⎫=
<< ⎪⎝⎭
，求导可得()2
12cos sin x
f x x -'=，由()212cos 0sin x f x x -'=
=，得3
x π
=，
所以在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,32ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，
所以()3f x f π⎛⎫≥= ⎪
⎝⎭于是24c =≥，即2c ≥，当且仅当3A π=时，等号成立. 故答案为：2 【点晴】
结合正、余弦定理将角化边，构造函数求最值是本题解题的关键.
15．【分析】由三角形内角和为及内角的等差关系可得再由面积公式和正弦定理可得再由余弦定理可得解【详解】由成等差数列可知即解得由可知根据正弦定理知即因此由余弦定理得故故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形
【分析】
由三角形内角和为π及内角的等差关系可得3
A π
=
，再由面积公式和正弦定理可得4b =，再由余弦定理可得解.
【详解】
由,,B A C 成等差数列可知2A B C =+，即3A π=，解得3
A π=.
cos cos S a B b A =+1sin cos cos 2
ab C a B b A =+，
根据正弦定理知
1
sin sin sin cos 32
A b C A
B ⋅⋅=sin cos sin B A
C +=，
即sin b A =4b =，
由余弦定理得2
221
2cos 169243=132
a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯
，故a =.
【点睛】
本题主要考查了解三角形的相关知识，涉及等差中项的应用，属于基础题.
16．【分析】先利用得到三角正弦之间的关系再根据正余弦定理求出即得角【详解】因为且所以即根据正弦定理得故根据余弦定理知又因为得故答案为：【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算和正余弦定理的应用是常考的综合题 解析：3
π
【分析】
先利用0m n ⋅=得到三角正弦之间的关系，再根据正、余弦定理求出cos C ，即得角C . 【详解】
因为()sin sin ,sin sin m A C B A =+-，()sin sin ,sin n A C B =-，且m n ⊥ 所以()()()sin sin sin sin sin sin sin 0m n A C A C B A B ⋅=+-+-= 即222sin sin sin sin sin A B C A B +-= 根据正弦定理得222a b c ab +-=
故根据余弦定理知222cos 1
22
a b c C ab +-==，又因为()0,C π∈
得3
C π
=
故答案为：3
π
. 【点睛】
本题考查了向量垂直的坐标运算和正余弦定理的应用，是常考的综合题，属于中档题.
17．2【分析】直接利用正弦定理得到答案【详解】根据正弦定理得到：故故满足条件的三角形共有个故答案为：【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形的个数问题意在考查学生的应用能力
解析：2 【分析】
直接利用正弦定理得到答案. 【详解】
根据正弦定理得到：
sin sin a b A B
=，故9sin 10B =，9
1sin sin 10B A >=
>. 故满足条件的三角形共有2个. 故答案为：2.
本题考查了利用正弦定理判断三角形的个数问题，意在考查学生的应用能力.
18．【分析】先由余弦定理可将条件整理得到利用正弦定理得到；结合二倍角公式；再由和差化积公式得：代入①整理得；求出和的关系求出角的范围即可求解【详解】解：由余弦定理可知则整理得即由正弦定理可得即①由和差化
解析：，1) 【分析】
先由余弦定理可将条件整理得到22c a ab -=，利用正弦定理得到22sin sin sin sin C A A B -=；结合二倍角公式
1cos21cos2cos2cos2sin sin 222
C A A C
A B ----==；再由和差化积公式得：cos 2cos 22sin()sin()A C A C A C -=-+-代入①整理得sin sin()sin()A A C C A =--=-；求
出A 和C 的关系，求出角的范围即可求解． 【详解】
解：由余弦定理可知222cos 2a b c C ab
+-=，则22222a b c b a ab a +--=
， 整理得2222a b c b ab +-=-，即22c a ab -=， 由正弦定理可得，22sin sin sin sin C A A B -=， 即
1cos21cos2cos2cos2sin sin 222
C A A C
A B ----==①， 由和差化积公式得：cos 2cos 22sin()sin()A C A C A C -=-+-代入①得 sin()sin()sin sin A C A C A B -+-=；
因为sin()sin 0A C B +=≠； sin sin()sin()A A C C A ∴=--=-；
在锐角ABC ∆中，C A A -=即2C A =， 则3B A C A ππ=--=-，
因为02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪
⎪
<<⎨⎪
⎪
<-<⎪⎩，
∴
6
4
A π
π
<<
，
tan A ∴
的取值范围是，1)
；
故答案为：，1)．
本题主要考查正弦定理、余弦定理以及和差化积公式的应用，特殊角的三角函数值，属于中档题．
19．【分析】由余弦定理可得由诱导公式可得进而可得由三角恒等变换得再由正弦定理即可得解【详解】在中由余弦定理得所以所以又所以所以所以在中由正弦定理得所以故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理解三角
解析：)
4
1
【分析】
由余弦定理可得8BD =、1
cos 2ABD ∠=
，由诱导公式可得1sin 2
CBD ∠=
，进而可得cos CBD ∠=
，由三角恒等变换得sin BDC ∠，再由正弦定理即可得解. 【详解】
在ABD △中，由余弦定理得2222cos 64BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅=， 所以8BD =，
所以2221
cos 22
AB BD AD ABD AB BD +-∠==⋅，
又AB BC ⊥，所以1sin cos 2CBD ABD ∠=∠=，0,2CBD π⎛⎫
∠∈ ⎪⎝⎭
，
所以cos 2
CBD ∠==
， 所以()sin sin sin cos cos sin BDC BCD CBD BCD CBD BCD CBD ∠=∠+∠=∠∠+∠∠
1222=
=
在BCD △
中，由正弦定理得sin sin 2
BC BD BDC BCD ===∠∠
所以)
41BC BDC =∠==.
故答案为：)
41.
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理解三角形的应用，考查了三角恒等变换的应用及运算求解能力，属于中档题.
20．【分析】在两个三角形中利用余弦定理建立等量关系式整理得出结合题中所给的条件利用余弦定理建立等量关系式求得结果【详解】因为所以可得在△中所以整理得出所以所以故答案为：【点睛】该题考查的是有关解三角形的
【分析】
在两个三角形中，利用余弦定理，建立等量关系式，整理得出2AB AD =，结合题中所给的条件，利用余弦定理建立等量关系式，求得结果. 【详解】
因为cos cos ADB ADC ∠=-∠，
所以2229142321AD AB AD AD AD
+-+-=-
⨯⨯⨯⨯，可得2AB AD =， 在△ABD 中，2222cos BD AD AB AD AB BAD =+-⨯⨯∠，
所以2
2192()422
AB AB AB AB =+-⨯⨯⨯-，
整理得出
2794AB =，所以2367AB =，所以AB =
. 【点睛】
该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理解三角形，属于简单题目.
三、解答题
21．（1）4
π；（2）12.
【分析】
（1）利用正弦定理化边为角，利用三角恒等变换公式化简，得到cos 2
C =
，从而求得C 的大小；
（2）利用余弦定理化简()2
cos cos c a B b A b -=，得到222a b =，求出b ，再计算面积
即可. 【详解】
解：（1cos sin cos sin cos B C A C C A -=．
∴
()cos sin cos cos sin sin B C A C A C A C =+=+．
∵πA C B +=-，∴()sin sin A C B +=． ∴
cos sin B C B =．
又∵sin 0B ≠，∴cos C =
．
∵()0,πC ∈，∴π4
C =
． （2）由已知及余弦定理，得222222
222a c b b c a ac bc b ac bc +-+-⋅-⋅=．
222222
222
a c
b b
c a b +-+--= 化简，得222a b =．
又∵a =∴1b =．
∴
ABC 的面积111
sin 12222
ABC ab C S =
=⨯=△． 【点睛】
在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 22．选择见解析，3
A π=，512C π=．
【分析】
选择条件①，利用正弦定理结合余弦定理求出cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得A
2b c +=sin 2sin A B C +=，由三角形的内角和定理以及三角恒等变换思想求出1sin 62
C π⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭，由角C 的取值范围可求得结果；
选择条件②，利用诱导公式、正弦定理以及三角恒等变换思想求出sin
2
A
的值，结合角A
的取值范围可求得角A 2b c +=可得出
sin 2sin A B C +=，由三角形的内角和定理以及三角恒等变换思想求出
1sin 62C π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，由角C 的取值范围可求得结果；
选择条件③，由正弦定理以及两角差的正弦公式可求得tan A 的值，结合角A 的取值范围
可求得角A 2b c +=sin 2sin A B C +=，由三角形的内角和定理以及三角恒等变换思想求出1sin 62
C π⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭，由角C 的取值范围可求得结果. 【详解】
（1）选择条件①，由()2
2
sin sin sin sin sin A B C B C --=及正弦定理知
()2
2a b c bc --=，
整理得，2
2
2
b c a bc +-=，由余弦定理可得2221
cos 222
b c a bc A bc bc +-===，
又因为()0,A π∈，所以3
A π
=
，
2b c +=sin 2sin A B C +=，
由23
B C π=
-2sin 2sin 33C C π
π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
，
1
sin 2sin 2
C C C ++=，即3sin C C
6C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 6C π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭， 因为20,
3C π⎛
⎫∈ ⎪
⎝
⎭，所以,662C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而64C ππ-=，解得512
C π
=； 选择条件②，因为A B C π++=，所以222
B C A
π+=-， 由sin
sin 2
B C b a B +=得cos sin 2A
b a B =，
由正弦定理知，sin cos
sin sin 2sin cos sin 222
A A A
B A B B ==， ()0,B π∈，()0,A π∈，可得
0,22A π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
， 所以，sin 0B >，cos
02A >，可得1
sin 22A =，所以，26A π=，故3
A π=.
以下过程同（1）解答； 选择条件③，由2sin sin 3a B b A π⎛⎫=-
⎪⎝⎭
， 及正弦定理知，2sin sin sin sin 3A B B A π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，()0,B π∈，则sin 0B >，
从而21sin sin sin 32A A A A π⎛⎫
=-=+
⎪⎝⎭，则sin A A =，解得
tan A ，
又因为()0,A π∈，所以3
A π
=，以下过程同（1）解答． 【点睛】
方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 23．（1）π
3
；（2）()1,4. 【分析】
（1）利用正弦定理和三角恒等变换化简已知即得解； （2）先求出ππ
62C <<
，再利用正弦定理求出1b =+. 【详解】
（1）因为22cos b c a C -=，
由正弦定理得2sin sin 2sin cos B C A C -=， 又()()sin sin πsin B A C A C =-+⎡=⎤⎦+⎣，
所以()2sin cos cos sin sin 2sin cos A C A C C A C +-=， 所以2cos sin sin 0A C C -=.
因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以1
cos 2
A =. 因为()0,πA ∈， 所以π3
A =
. （2）由（1）得π3
A =
， 根据题意得π0,2
ππ,
3
2C C ⎧
<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得ππ62C <<.
在ABC 中，由正弦定理得
sin sin c b
C B
=，
所以π2sin sin 31sin sin C c B b C C ⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭====+
. 因为ππ
62C <<
，所以tan 3C ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
，
()0,3
，所以()11,4+.
故b 的取值范围为()1,4.
【点睛】
易错点睛：本题求b 的取值范围，利用的是函数的方法，学生容易把C 的范围求错，简单认为(0,)2C π∈，解不等式π0,2ππ,3
2C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩得到的才是正确范围. 24．（1
）
2；（2）证明见解析． 【分析】
（1）由已知可得210c =，由余弦定理可求cos C ，进而求得sin C ，再由面积公式即可求出；
（2）根据已知条件由余弦定理可得(2)cos (cos 2cos )a b C c A B +=+，再由正弦定理可得(sin 2sin )cos sin (cos 2cos )A B C C A B +=+，即可得证.
【详解】
解：（1）因为a ＝4，b ＝2，
所以()()()
222820412412c c c -=-++，解得210c =， 则2225cos 28a b c C ab +-==
，所以sin C = 故△ABC
的面积11sin 4222S ab C ==⨯⨯= （2）证明：因为()()()
222222222(2)2a b a b c a b c a b a c b ++-=+-++-， 所以222222222
2(2)24222a b c b c a a c b ab a b abc abc ab bc ac
+-+-+-+⋅=⋅+⋅， 即(2)cos (cos 2cos )a b C c A B +=+，
由正弦定理得(sin 2sin )cos sin (cos 2cos )A B C C A B +=+， 故sin 2sin tan cos 2cos A B C A B +=
+，得证． 【点睛】
本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用条件结合正余弦定理进行化简，尤其是第二问需先利用余弦定理对条件进行转化化简.
25．条件选择见解析；3B π=
，b 最小值为12
. 【分析】
选①
，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及两角和的余弦公式化简得出tan B ，结合()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值；
选②，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及二倍角的余弦公式求出cos B 的值，结合()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值； 选③，利用正弦定理边角互化、三角形的内角和定理以及两角和的正弦公式化简可求得
tan B ，结合()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值.
【详解】
解：若选择①：在ABC 中，有A B C π++=，
则由题可得：()()
cos cos cos 0A B A A B π-++=⎡⎤⎣⎦， ()
cos cos cos cos 0A B A B A B -++=，
sin sin cos cos cos cos cos 0A B A B A B A B -+-=，
sin sin cos A B A B =，
又sin 0A ≠，所以sin B B =，则tan B =
又()0,B π∈，所以3B π
=，
因为1a c +=，所以1c a =-，()0,1a ∈.
由余弦定理可得：
2222cos b a c ac B =+-22a c ac =+-()()2
211a a a a =+---2331a a =-+， ()0,1a ∈，又2
211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以，当12a =时，()2min 14
b =，即b 的最小值为12； 若选择②：在ABC 中，有A B C π++=， 则由题可得()222cos 13cos 2cos 3cos 11B B B B π---=+-=， 解得1cos 2
B =或cos 2B =-（舍去）， 又()0,πB ∈，所以3B π
=.（剩下同①）
若选择③：由正弦定理可将已知条件转化为sin cos sin sin 3
B C C B A +=， ()()sin cos s s in cos in sin sin B C C B A B C B C π=+=-+=+⎡⎤⎣⎦，
sin sin cos C B C B =，
又sin 0C ≠，所以sin B B =，tan B .
又()0,B π∈，所以3B π=
.（剩下同①）
【点睛】 方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
26．（1）3B π=
；（2）1(,12
-+. 【分析】
（1）根据等差数列的性质可知cos cos 2cos a C c A b B +=，利用正弦定理把边转化成角的正弦，化简整理得sin 2sin cos B B B =，求得cos B ，进而求得B ；
（2）先利用二倍角公式及辅助角对原式进行化简整理，进而根据A 的范围和正弦函数的单调性求得()2sin cos A A C 2+-的范围. 【详解】
因为2cos cos cos b B a C c A =+
由正弦定理得， 2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+
即：()sin 2sin cos A C B B +=，则sin 2sin cos B B B =，因为sin 0B ≠ 所以1cos 2
B =，又0B π<< 得3B π= （2）∵3B π=
， ∴23
A C π+= ∴2222sin cos()2sin cos(2)3A A C A A π+-=+-
=131cos 2cos 2212cos 222
A A A A A --
+=-
=1)3A π-， ∵203A π<<，233A πππ-<-<
∴sin(2)13
A π<-≤
则()2sin cos A A C 2+-的范围为1,12⎛- ⎝ 【点睛】
在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．。